OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağıdır. Bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. 1
Diğer bir tanım, Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.??? 2
Temel Tanımlar ve Kavramlar- Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması. 3
Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 } 4
Temel Tanımlar ve Kavramlar Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi. Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi P(A) bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça 5 as olması P(A)
Bileşik olay:iki veya daha çok olayın birlikte veya birbiri ardına meydana gelmesine denir. P(A 1 ve A 2 ) İki zar atılır ve 4 gelmesi Bir zar arka arkaya iki defa atılır.her iki atışta da 4 gelmesi. 52 lik desteden as ve aynı zamanda karo gelmesi. 6
Temel Tanımlar ve Kavramlar Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi Bir sınavda geçilir veya kalınır. 7
Bağdaşır olay:bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa bağdaşır olaydır. Örnek: Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi. (Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler.) 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız olması 8
Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise P( A B P( A). P( B) Örneğin, ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de erkek olacağı anlamına gelmez. Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51. 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı olaydır. 9
Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılığı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. 10
Olasılığın İki Temel Kuralı; 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1 den büyük olamaz!!!! Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklinde gösterilir. 11
Olasılığın Gelişim Aşamaları Klasik (A Priori) Olasılık Frekans (A Posteriori) Olasılığı Aksiyom Olasılığı NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. 12
Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı n(s) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(a) adedi A olayının özelliğine sahip ise A nın olasılığı: P(A) = n(a) / n(s) kesri ile elde edilir n(s): Örnek uzayı eleman sayısı n(a): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur. 13
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(s): Örnek uzayı eleman sayısı = 15 n(a): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 n( A) 5 P( A) n( S) 15 1 3 14
Frekans Olasılığı Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(a) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı): P(A) = n(a) / n olarak bulunur. 15
Örnek: Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken; örneklem alarak p = n(h) / n olasılığını hesaplamaktır. 16
Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir. Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Bazı Temel Olasılık Aksiyomları Örnek: İki para atılma olayında örnek uzayı: s ( YY ),( TT),( TY),( YT ) Her sonucun gelme olasılığı ¼ dür. 4 sonuç olduğuna göre ¼+1/4+1/4+1/4=1. P(S)=1 örnek uzağının olasığı 1 dir. P ( ) = 0 boş kümenin olasılığı sıfırdır. A olayının tümleyeni olarak gösterilir. A P( A) 1 P(A) 17
Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1) Toplama Yöntemi 2) Çarpma Yöntemi 18
Bağımlı olayda çarpma kuralı: Bağımlı iki olaydan A 2 olayı A 1 olayından sonra ortaya çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır. P( AveA ) P( A ). P( A A ) 1 2 1 2 1 A 2 nin şartlı olasılığı 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir? 1.bilet: P(A 1 )=2/10 Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı. P( A A ) 2 1 1 9 2 1 1 P( AveA 1 2) P( A1 ). P( A2 A1 ). 10 9 45 19
Bağımsız olayda çarpma kuralı: Birbirinden bağımsız A 1 ve A 2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir. P( AveA ) P( A ). P( A ) 1 2 1 2 Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi 1 1 1 P( AveA 1 2) P( A1 ). P( A2 ). 6 6 36 Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli Hasan ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının 0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta olma olasılığı nedir. P( AveA ) P( A ). P( A ) 0.60.(0.50) 0.30 1 2 1 2 20
Bağdaşır olayda toplama kuralı: İki olay bağdaşır olduğunda A 1 olayının veya A 2 olayının ortaya çıkması, ya A 1 olayının ya A 2 olayının ya da A 1 ve A 2 olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir. P( AveyaA ) P( A ) P( A ) P( AveA ) 1 2 1 2 1 2 P(A U A ) P(A ) P(A )-P(A A ) 1 2 1 2 1 2 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça kızı çekme olasılığı nedir? P(A1 U A 2) P(A 1) P(A 2)-P(A 1 A 2) 4 13 1 P( AveyaA 1 2) P( A1 ) P( A2 ) P( AveA 1 2) 52 52 52 21
Bağdaşmaz olaylarda toplama kuralı: A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A 1 veya A 2 olayının ortaya çıkması olasılığı P( AveyaA ) P( A ) P( A ) 1 2 1 2 Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir? 1 1 2 1 P( AveyaA ) P( A ) P( A ) 1 2 1 2 6 6 6 3 22
Şartlı Olasılık Bağımlı olaylardan birinin (A 1 ) gerçekleştiği bilindiğine göre, diğerine (A 2 ) bağlı meydana gelme olasılığıdır. P( A2 A1) A 2 nin A 1 e bağlı şartlı olasılığı. P( A A ) P( AveA ) / P( A ) 2 1 1 2 1 P( A A2) / P( A ) 1 1 A 1 in gerçekleşmiş olması şartıyla A 2 nin gerçekleşme olasılığıdır. 23
Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma olasılığı P(A 1 )=0.25 olsun. Aynı öğrencinin hem iktisat hem Matematikte başarılı olma olasılığı P(A 1 ve A 2 )=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı nedir? P( A A ) P( AveA ) / P( A ) 2 1 1 2 1 P( A A2) / P( A ) 1 1 P( A2 A1) 0.15 / 0.25 24
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70 i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35 a) P ( T / S ) = 0,40 P (T S ) =? P(T S) P(T/S)*P(S) 0,40*0,35 0,14 b) P(T U S) P(T) P(S) - P(T S) 0,70 0,35-0,14 0,91 25
26 Bayes Teoremi Çeşitli nedenlerin aynı sonucu verebildiği durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi nedenden meydana geldiği bilinmeyebilir. Sonucun hangi olasılıkla, hangi nedenden ortaya çıktığı araştırılmak istendiğinde Bayes teoreminden yararlanılır. Yani sonuç belli iken geriye doğru analiz yapma imkanı sağlar. k i i i i i i i B P B A P B P B A P A P B A P A B P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / (
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) =? B i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P(B 1 ) = P(B 2 ) + P(B 3 ) P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) = 1 olduğundan; P(B 1 ) = 0,50 P(B 2 ) = P(B 3 ) = 0,25 olarak elde edilir. 27
Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; P(B /A) 1 /A) P(B 1 P(A/B )P(B ) 1 1 P(A/B 1)P(B 1) P(A/B )P(B ) 2 2 P(A/B )P(B (0.02)(0.5) 0,40 (0.02)(0.5) (0.02)(0.25) (0.04)(0.25) 3 3 ) A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) = B i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P ( B 1 ) ; P ( B 2 ); P ( B 3 ) P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) = 1 olduğundan; P(B 1 ) = 0,50 P(B 2 ) = P(B 3 ) = 0,25 28
Örnek: 3 mavi, 2 kırmızı ve 5 yeşil torba bulunmaktadır. Mavi torbaların her birinde 15 bilya(7si beyaz ve 8 i siyah), kırmızı torbaların her birinde 11 bilya(7si beyaz ve 4 ü siyah) yeşil torbaların herbirinde 20 bilya(11 i beyaz ve 9 u siyah) bulunduğu bilinmektedir. Bu torbaların birinden bir bilya çekilmiş ve siyah renkte olduğu görülmüştür. Bu bilyanın mavi renkte bir torbadan çekilmesi olasılığı nedir. 29
S:siyah bilya çekilmesi olayını P(M):bir bilyanın mavi torbadan çekilmesi olasılığı =3/10 P(K): bir bilyanın kırmızı torbadan çekilmesi olasılığı=2/10 P(Y) : bir bilyanın yeşil torbadan çekilmesi olasılığı=5/10 P( S M ) : P( S K ) : P( S Y ) : P( M S ) : Mavi torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=8/15 Kırmızı torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=4/11 Yeşil torbadan çekilen bir bilyanın siyah renkli olması olasılığı=9/20 Siyah renkli bir bilyanın mavi torbadan çekilmiş olması olasılığı nedir? 30
P( M S) P( M ). P( S M ) P( M ). P( S M ) P( K). P( S K) P( Y). P( S Y) P( M S) (3/10).(8 /15) (3/10).(8 /15) (2 /10).(4 /11) (5 /10).(9 / 20) P( M S) 0.3496 Çekilen siyah bilyanın mavi renkli bir torbadan çekilmiş olması olayı %34.96dır. 31