Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri Pascal Üçgeni... 5 Binom Açılımı... 6 Konu Testi ÜNİTE OLASILIK Koşullu Olasılık... Deney, Çıktı... Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta... Olay, Kesin Olay, İmkansız Olay... Ayrık Olaylar... Bağımsız Olay... Olasılık Fonksiyonu... Eş Olumlu Örnek Uzay... Olasılık Hesabı... Koşullu Olasılık... 5 Bağımlı ve Bağımsız Olay... 5 Bileşik Olay... 8 Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: ODTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: info@sebit.com.tr Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 SAYMA Ünite- Kazanımlar 0.. Sayma 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle açıklar n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini hesaplar n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir. Raunt

4 SAYMA SAYMA Sıralama ve Seçme Toplama Yolu İle Sayma A ve B sonlu ve ayrık iki küme ise, s(a B) = s(a) + s(b) dır. Bu eşitlikten yararlanılarak yapılan sayma yöntemidir. Örnek A kentinden B kentine havayolu ile farklı, denizyolu ile farklı ve karayolu ile 5 farklı şekilde ulaşmak mümkündür. Buna göre, bir kişi A kentinden B kentine kaç farklı şekilde gidebilir? Çözüm Toplama yolu ile sayma kuralına göre bu kişi, = 0 farklı şekilde A kentinden B kentine gidebilir. Çarpma Yolu ile Sayma A işlemi n farklı yolla, A işlemi n farklı yolla,..., A k işlemi n k farklı yolla sonuçlandırılabiliyorsa, bu işlemler art arda yapıldığında işlemin tamamı n.n.....n k değişik yolla sonuçlandırılabilir. Örnek 5 tişörtü, pantolonu ve kemeri olan bir kişi art arda kaç gün farklı giyinebilir? Çözüm Çarpma yolu ile sayma kuralına göre; 5.. = 0 gün farklı giyinebilir. Örnek A B C A dan B ye 5 farklı yol, B den C ye farklı yol vardır. Giderken kullanılan yol dönüşte kullanılmamak üzere, her seferde B ye uğrayarak A dan C ye kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir? Çözüm A kentinden hareket edildiğinde 5 farklı şekilde B kentine, B kentinden hareket edildiğinde farklı şekilde C kentine gidilebilir. Dönerken kullandığımız yolları tekrar kullanmayacağımız için bu yollar 4 ve ye iner. Çarpma yolu ile sayma kuralına göre; = 0 farklı yoldan gidilip dönülebilir. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite- Örnek 4 A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile üç basamaklı, a. En çok kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı en çok kaç sayı yazılabilir? c. En az iki rakamı aynı en çok kaç sayı yazılabilir? d. Yalnız iki rakamı aynı olan en çok kaç sayı yazılabilir? e. 00 den büyük en çok kaç çift sayı yazılabilir? Çözüm 4 Yüzler Onlar Birler a = 6 bulunur. b = 0 bulunur. c. Bütün sayılardan rakamları farklı olanlar çıkarılırsa, 6 0 = 96 bulunur. d = 90 bulunur. e = 7 bulunur. {, 4, 5, 6} {, 4, 6} Örnek 5 A = {0,,,, 4, 5} kümesinin elamanları ile üç basamaklı, a. 00 den büyük en çok kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı en çok kaç çift sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı 00 den büyük en çok kaç çift sayı yazılabilir? Örnek 6 İlk hanesi farklı rakamdan ve son iki hanesi farklı iki harften oluşan 5 haneli bir şifre kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Permütasyon (Sıralama) Faktöriyel Çözüm 5 a = 08 = 07 bulunur. {,4,5} {00} b = 0 + = 5 Çözüm 6 bulunur. {0} {,4} c {,4,5} {0} {,4,5} {} {,5} {4} = = bulunur. Rakam Rakam Rakam Harf Harf = Rakamlar ve harfler birbirinden farklı olduğundan bir basamakta kullanılan harf ya da rakam diğer basamakta kullanılmaz. den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir. 5! = = 0 dir.! = dir. İşlemlerde, n! = n.(n )! n! = n.(n ).(n )! şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, (n + )! = (n + ).(n + ).n! dir. HATIRLATMA 0! = olarak ayrıca tanımlanır. Raunt 5

6 SAYMA Örnek 7 ( n+ )! = 56 n! olduğuna göre, n kaçtır? Örnek 8 Çözüm 7 ( n + )! ( n+ ).( n+ ). n! = = 56 olduğundan, n! n! (n+).(n+) = = 56 n + = 8 n + = 7 dir. Buradan n = 6 bulunur. Çözüm ! + 7.! 77.! 6.! işleminin sonucu kaçtır? 0. 6! ! 6!( 0+ 84) 94 = = = 776..! 6.! 6!( 49 ) 47 Örnek 9 x =! +! +! ! olduğuna göre, x in ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 9 4! = 4 olduğundan, 4! ve 4! den büyük tüm sayılar ile tam bölünür. O halde, kalanı belirleyecek kısım;! +! +! dir.! +! +! = = 9 olduğundan, x in ile bölümünden kalan 9 dur. Permütasyon (Sıralama) n tane elemanı olan bir A kümesinin elemanlarının birbirinden farklı her dizilişine (sıralanışına), A kümesinin bir permütasyonu denir. Örnek 0 Örnek: A = {a, b, c} nın bütün lü permütasyonları; A a b c Birbirinden farklı 4 fizik, matematik, türkçe kitabı bir rafa; a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Matematik kitapları yanyana olmak üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir? c. Aynı tür kitaplar yanyana olmak üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir? (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) olmak üzere 6 tanedir. a b c A a, elemandan biri ile b, kalan elemandan biri ile c, kalan eleman ile eşlenebileceğinden çarpma kuralına göre,.. =! türlü eşleme yapılabilir. O halde; n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarının sayısı P(n, n) = n! dir. Çözüm 0 a = 9 farklı kitap bulunmaktadır. Hiç bir koşul bulunmadığından, P(9,9) = 9! farklı şekilde sıralanabilir. b. m m m F F F F 4 T T Matematik kitapları önce tek bir kitap gibi düşünülür. Daha sonra kendi içinde yer değişimi hesaplanır. 7!.! bulunur. c. m m m F F F F 4 T T!.!. 4!.! Farklı derslerin kitaplarının kendi arasında değişme ihtimalidir. 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite- Örnek "RAKS" kelimesindeki harfler yer değiştirerek elde edilen bütün kelimeler alfabetik sıraya dizildiğinde kaçıncı kelime "RAKS" tır? Çözüm..... = 6 tane A ile başlayan..... = 6 tane K ile başlayan R A K S R harfi ile başlayan dizilimlerin birincisidir. O halde = bulunur. n Elemanlı Kümenin r li Permütasyonları 0 r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, P(n, r) = n.(n ).(n ).....(n r + ) n! = ( n r)! dir. P(8, ) = P(n, ) = n P(n, 0) = P(9, ) = 9.8 P(n, n) = n! Örnek P(n, ) =.P(n, ) + 50 eşitliğini sağlayan n kaçtır? Örnek A = {,,, 4, 5} kümesinin lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 bulunur? Örnek 4 4 erkek, 5 kız öğrencinin bulunduğu bir grubun 9 kişilik bir sıraya dizilişlerinin kaç tanesinde herhangi iki erkek öğrenci yanyana değildir? Çözüm P(n, ) =. P(n, ) + 50 n.(n ) =.n.(n ) n n = n n + 50 n = 50 n = 5 n = 5 bulunur. Çözüm. 4. = adet permütasyonda 5, yüzler {5} basamağındadır. Onlar ve birler basamağı için bulunan değer ile çarpılır.. = 6 bulunur. Çözüm 4 _ K _ K _ K _ K _ K _ Erkek öğrencileri kız öğrencilerin aralarına yerleştirirsek, 6 boşluk oluştuğundan, P(6. 4). 5! olur. Kızların yer değiştirme sayısı Raunt 7

8 SAYMA Örnek 5,,, 4, 5 sayıları ile oluşturulabilecek 5 basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesinde ve yanyana gelir? Çözüm 5 ve yi tek eleman gibi düşünürsek,,,, 4, 5 4 farklı eleman, P(4, 4).! = 4!.! farklı şekilde sıralanır. = 4. = 48 bulunur. Örnek 6 4 evli çift yanyana dizilip fotoğraf çektirecektir. Eşler daima yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler? Çözüm 6 AB, CD, EF, GH çift çift çift çift 4 4!.!.!.! = 84 farklı şekilde fotoğraf çekilebilirler. Örnek 7,,, 4 ve 5 rakamları kullanılarak yazılabilen, rakamları tekrarlı veya tekrarsız tüm iki basamaklı çift sayıların toplamı kaçtır? Çözüm 7 onlar birler onlar birler 5. ve ya 5. {,,,4,5} {} {,,,4,5} {4} (+++4+5) (+++4+5) = 0 bulunur. Örnek 8 A, B, C, D, E, F, G harfleri sıralanacaktır. A ve E nin arasında en az bir harf bulunması şartıyla kaç değişik biçimde sıralama yapılabilir? Çözüm 8 Tüm sıralamalardan A ve E'nin yan yana olma olasılığını çıkartılırsa, AE, B, C, D, E, F, G 7!!. 6! 7. 6!. 6! = 6! (7 ) = 6!. 5 bulunur. 8 Raunt

9 Sınav Kodu: M000 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. Bir kooperatifte bulunan 7 kişiden bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir denetçi kaç farklı şekilde seçilebilir? 6. Pn (, n) + n = ise n sayma sayısı kaçtır? Pn (, n ) A) 80 B) 50 C) 080 D) 040 E) 4080 A) 6 B) 5 C) 4 D) E). A = {a, b, c, d} B = {,,, 4, 5} f : A B, f(a) = ve f(b) = 5 olmak üzere; A dan B ye kaç tane fonksiyon yazılabilir? 7. 0,,,, 4, 5, 6 rakamları ile rakamları farklı, 00 den büyük üç basamaklı en çok kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) 48 B) 60 C) 64 D) 70 E) 7 A) 5 B) 4 C) 0 D) 8 E) 8. 5 kişiden belli ikisinin ehliyeti vardır.. Herbiri 4 seçenekli olan 5 sorudan oluşan bir testin cevap anahtarı, art arda iki cevabın aynı seçenekte olmaması şartıyla kaç değişik şekilde hazırlanabilir? Buna göre, aracı ehliyetli birinin kullanması ve üç kişinin arkada oturması şartı ile 5 kişi kaç farklı şekilde seyahat edebilir? A) 48 B) 4 C) 40 D) 6 E) 4 A) B) 4 C). 4 D) 5 E) HATİCE kelimesindeki harfler yer değiştirilerek hiçbir sesli harfin yanyana gelmediği anlamlı ya da anlamsız altı harfli kaç kelime türetilebilir? 4. 6 farklı renk ile 4 katlı bir binanın her katı tek renk olacak şekilde, art arda iki katın rengi aynı olmamak şartı ile kaç farklı şekilde boyanır? A) 96 B) 00 C) 08 D) 8 E) 44 A) 60 B) 70 C) 750 D) 800 E) (n )! =.(n 4)! olduğuna göre, n kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 0 E) 4 0. BEREKET kelimesindeki harfler yer değiştirilerek E ile başlayıp, E ile biten ve B ile T harflerinin yanyana olduğu anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç kelime türetilebilir? A) 48 B) 45 C) 4 D) 40 E) 6 Raunt 9

10 Sınav Kodu: M000 SAYMA Konu Testi.! + 0! 0! 9! işleminin sonucu kaçtır? A)40 B) C) D) E) Meclisteki kanun görüşmelerinde her milletvekilinin kanunla ilgili kabul, ret veya çekimser olmak üzere seçim hakkı vardır. 550 milletvekili bulunan bir mecliste bu kanunun oylanmasıyla ilgili kaç sonuç çıkabilir? A) 550 B) P(550, ) C) 550! D) 550 E) 550. P(n, ) = 7.P(n, ) olduğuna göre, n kaçtır? A) 9 B) C) D) 5 E) 8 6. A = {E, R, S, İ, N} kümesinin elemanları beş harften oluşan ve son harfi sessiz olan anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazılabilir? A) 0 B) 08 C) 7 D) 48 E) 6. A B C A şehrinden B şehrine farklı yol, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol, A şehrinden C şehrine ise farklı yol vardır. Buna göre, A kentinden harekete başlayan bir araç C ye kaç değişik yoldan gidebilir? 7. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı en çok kaç doğal sayı yazılabilir? A) 60 B) 80 C) 90 D) 08 E) 0 A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 4. farklı mektup, 6 posta kutusuna, herbir posta kutusuna en çok mektup atmak şartıyla kaç değişik şekilde atılabilir? 8. A = {,, 4, 5, 7, 8} kümesinin elemanları kullanılarak 00 den büyük 700 den küçük rakamları farklı en çok kaç tek sayı yazılabilir? A) 40 B) 80 C) 0 D) 60 E) 0 A) 60 B) 48 C) 44 D) 4 E) 40 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite- 9. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde e bulunur?. 5 evli çift, düz bir sırada eşler bir arada olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır? A) 0 B) 90 C) 75 D) 60 E) 40 A) 700 B) 4500 C) 840 D) 600 E) Matematik, 5 Fizik, 4 Kimya kitabı, aynı dersin kitapları yanyana olmak koşuluyla bir kütüphanenin rafına kaç değişik şekilde sıralanabilir? A)! B) 0!. 4! C)!. (4!). 5 D) 0! E) 9!. 4! 4. 0 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir? A) 0! B) 9! C) 440 D) 70 E) 480. Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 7 kişi fotoğraf çekilecektir. Ayşe ile Fatma yanyana olmak koşulu ile kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler? 5. Ahmet ile Mehmet'in aralarında bulunduğu 6 kişilik bir sıralamada, Ahmet'in Mehmet'in gerisinde olduğu kaç farklı durum olabilir? A) 400 B) 60 C) 40 D) 00 E) 80 A) 880 B) 440 C) 080 D) 70 E) kız ve erkek öğrenci düz bir sırada, herhangi iki kız öğrenci yanyana gelmemek koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanır? sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı sayılar yazılıyor. Bu sayıların kaçında 5 rakamı ün solunda nin sağındadır? A) 44 B) 08 C) 7 D) 64 E) 48 A) 00 B) 80 C) 60 D) 40 E) 0 Raunt

12 Sınav Kodu: M000 SAYMA Konu Testi. ( n+ )! + ( n+ )! = ( n+ )! + n! olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. 0 soruluk bir sınavda her sorunun 5 şıkkı vardır. Art arda sorunun yanıtının farklı olması koşuluyla kaç değişik cevap anahtarı oluşturulabilir? A) 0! B) 5 0 C) D) 4 0 E) P(n, r) = 0 olduğuna göre, n in alabileceği kaç farklı değer vardır? A) B) C) D) 4 E) kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?. A A) 6! B) C) 6 D) 6 E) P(6, ) B C A şehrinden B şehrine 5 farklı, A şehrinden C şehrine farklı ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yoldan gidilebilmektedir. Buna göre, bir kişi A dan C ye, giderken kullandığı yolu dönüşte kullanmamak şartıyla kaç değişik yoldan gidip dönebilir? A) 8 B) 40 C) 06 D) 56 E) A = {0,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) 78 B) 7 C) 70 D) 68 E) Bir köşkün 6 tane bahçe giriş kapısı, tane ev giriş kapısı vardır. Köşke giren bir hırsız eve girerken kullandığı kapıları çıkarken kullanmamak şartıyla kaç değişik şekilde giriş-çıkış yapabilir? A) 4 B) 06 C) 00 D) 80 E) A = {0,,,, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak 0 dan büyük 500 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 9. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütas- Raunt

13 Matematik-0 Ünite- yonlarının kaç tanesinde bulunur, bulunmaz? A) 6 B) 4 C) 48 D) 54 E) 60 yan yana fotoğraf çektirecektir. Zümrüt ile Seda'nın arasında yalnızca bir kişi bulunmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 88 B) 40 C) 9 D) 08 E) 7 0. A = {a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde c veya d bulunur? A) 60 B) 54 C) 48 D) 6 E) 4 4. A = {E, R, S, İ, N} kümesindeki harfler ile yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaçında sessiz harfler alfabetik sıradadır? A) 60 B) 80 C) 60 D) 40 E) 0. Aralarında Bilgi ve Gülten'in de bulunduğu 7 kişi, Bilgi ile Gülten yanyana olmamak şartıyla düz bir sırada kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 7!.6! B) 7!5! C) 5.6! D) 6!.5! E) 6! 5. Ozan, Onur ve Sefa 6 kişilik ekmek kuyruğundadır. Ozan'ın Sefa ve Onur'un önünde bulunduğu kaç farklı sıralama vardır? A) 540 B) 60 C) 0 D) 40 E) kız 5 erkek yanyana sıralanacaktır. Aynı cinsiyetten iki kişinin yanyana gelmemesi koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 7!.6! B) 6!.5! C).5!.5! D) 5!.5! E) 5!.4!. Aralarında Zümrüt ve Seda'nın da bulunduğu 6 kişi 6. Ali, Ahmet ve Hüseyin 6 kişilik maç kuyruğundadır. Ali'nin, Ahmet ile Hüseyin arasında bulunduğu kaç farklı sıralama olabilir? A) 40 B) 60 C) 0 D) 60 E) 0 Raunt

14 SAYMA Kombinasyon (Seçme) A kümesi, n elemanlı sonlu bir küme ve r n olmak üzere, A kümesinin r elemanlı her alt kümesine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir. n farklı elemanın r li kombinasyonlarının sayısı; C(n, r) veya n e o ile gösterilir. r! Cn (, r) n n = e o= r ( n r)!. r! Pn (, r) Cnr (, ) = dir. r! dir. Kombinasyonla İlgili Özellikler. C(n, 0) = C(n, n) =. C(n, ) = C(n, n ) = n. C(n, r) = C(n, n r) 4. C(n, r) + C(n, r + ) = C(n +, r + ) 5 C(n, 0) + C(n, ) + C(n, ) C(n, n) = n 6. n n e o = f p & n = r+ p r p veya r = pdir. Örnek 9 A = {,,, 4, 5} kümesinin lü kombinasyonları kaç tanedir? Çözüm 9 5 elemanlı bir kümenin elemanlı kombinasyonlarının sayısı; 5! 5! 54..! C5 (, ) = = = = 0 bulunur. ( 5 )!.!!.!.! Örnek 0 Çözüm 0 P(n, 4) = 5.C(n, 5) eşitliğini sağlayan n kaçtır? P(n, 4) = 5.C(n, 5) n.(n ).(n ).(n ) = 5.(n 4) = 5! n 4 = 4! n 4 = 4 n = 8 bulunur. 5n.( n ).( n ).( n ).( n 4) 5! 4 Raunt

15 Matematik-0 Ünite- Örnek Bir öğrenci soruluk bir sınavda soruların 9 tanesini cevaplamak zorundadır. İlk 7 sorudan en az 6 tanesini seçmek koşulu ile öğrenci bu 9 soruyu kaç farklı biçimde seçebilir? Çözüm İlk 7 sorudan 6 tane veya ilk 7 sorudan 7 soru seçilebilir f p f p+ f p f p = 80 bulunur. Örnek 6 kişilik bir futbol takımının kadrosunda 4 tane kaleci vardır. Kaleci olmayan 4 kişinin daima oynaması koşulu ile kişilik bir futbol takımı kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Çözüm Bu takımda oyuncu 4 kaleci vardır. 4 = 8 oyuncu içinden 6 tane oyuncu ve 4 kaleci içinden kaleci seçmeliyiz f p f p f p =.8.4 = bulunur. 4 6 Örnek f p+ f p+ f p+ f p toplamının sonucu kaçtır? Çözüm, f p+ f p+ f p+ f p f p+ f p= f p olur = + +, + = f p f p f p f p f p f p olur =, 4 f p+ f p f p+ f p= f p olur = 4 f p f p= f p= = 64.. bulunur. Örnek 4 Çözüm 4 C A B D nokta çember üzerinden nokta doğru üzerinden veya noktanın hepsi çember üzerinden seçilebilir f p f p+ f p E F G H Şekildeki noktalar kullanılarak en az iki noktası çember üzerinde olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir? = 8 bulunur. Raunt 5

16 SAYMA Örnek 5 Aynı düzlemdeki birbirinden farklı a. 0 doğru b. 0 çember c. 0 üçgen en çok kaç noktada kesişirler? Örnek 6 A = {a, b, c, d, e, f, i, k} kümesindeki harfler kullanılarak sesli, sessiz harften oluşan 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir? Çözüm 5 a. farklı doğru en çok noktada kesişir. Bu yüzden 0 doğrudan li kombinasyonlar seçer ve noktada kesiştiklerini kabul ederiz C(0, ) = = 45 bulunur.. b. farklı çember en çok noktada kesişir..c(0,) =.45 = 90 c. farklı üçgen en çok 6 noktada kesişir. 6.C(0,) = 6.45 = 70 bulunur. Çözüm 6 Sesli harfler = {a, e, i} f p = Sessiz harfler = {b, c, d, p, k} 5 f p = 0 farklı şekilde seçilebilir. Bu seçilen harfler P(5,5) = 5! farklı kelime oluşturabilir. Buna göre,.0.5! = 600 bulunur. Örnek 7 A, B, C, D, E, F, G derslerinden belli iki tanesi aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden herhangi dört tanesini seçmek zorunda olan bir öğrenci seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? Çözüm 7 Aynı saatte olanlardan birini ve kalanlardan üçünü veya aynı saatte olmayanlardan dördünü seçebilir,. 5 5 f p f p+ f p =.0+5 = 5 4 farklı seçim yapabilir. Örnek 8 4 ü paralel, 5 i bir A noktasından geçen bir düzlemin farklı doğrusu en çok kaç noktada kesişebilir? Çözüm f p f p f p + doğrudan liler seçeriz. 4 paralel doğru kesişmez. 5 doğru bir A noktasında kesişiyordu. A noktası = 5 bulunur. 6 Raunt

17 Matematik-0 Ünite- Örnek 9 4 kız 6 erkek öğrenci arasından en az bir tanesi kız olan 4 kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Çözüm 9 En az tanesi kız olan 4 kişilik grup kız erkek, kız erkek ve kız erkek şeklinde oluşturulabileceğinden; = f pf p+ f pf p+ f pf p olur. = = = 94 bulunur. Örnek 0 Çözüm 0 a. Yatay eksenden doğru ve düşey eksenden doğru seçilebileceği için, Birbirine paralel olan doğrulardan oluşan şekilde, a. kaç paralelkenar, b. bir köşesi A olan kaç paralelkenar vardır? A 6. 6 f p f p = 5.5 = 5 bulunur. b. Yatay eksende A noktasının üzerinde bulunduğu doğru dışında doğru ve düşey eksende A noktasının bulunduğu doğru dışında doğru seçileceğinden; 5. 5 f p f p = 5 bulunur. Örnek Çözüm G A B C F Üçgenlerin üç köşesi de A, B, C, D, E veya G, A, F noktalarından seçilemeyeceğinden; 7 5 f p f p f p = 5 0 = 4 D 4 üçgen çizilebilir. E Şekilde köşeleri A, B, C, D, E, F, G noktaları olan kaç farklı üçgen çizilebilir? Raunt 7

18 Sınav Kodu: M0004 SAYMA Konu Testi. Farklı 4 beyaz, siyah ve kırmızı toptan iki tanesi beyaz olacak şekilde 4 top kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 90 B) 84 C) 80 D) 7 E) f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucu kaçtır? 4 5 A) 96 B) 08 C) D) 0 E) 6 4. A = { 4,,, 0, 5, 7, 9, 0} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanlar çarpımı sıfır veya negatif bir sayıdır? 7. 8 kişilik bir gruptan biri, diğeri 5 kişilik iki farklı takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 4 B) 48 C) 5 D) 56 E) 60 A) 48 B) 40 C) 6 D) 0 E) 4. 0 soruluk bir sınavda ilk 5 sorudan en az dördünü çözmek şartıyla 7 soru kaç farklı şekilde cevaplanabilir? 8. 5 erkek ve kız öğrenci arasından seçilecek erkek ve kız öğrenci kaç farklı şekilde yan yana oturabilir? A) 400 B) 800 C) 00 D) 600 E) 4800 A) 70 B) 64 C) 60 D) 56 E) Şekildeki işaretli noktaları kullanarak kaç tane üçgen çizilebilir? A) 80 B) 76 C) 7 D) 64 E) 60 Şekildeki çemberin üzerinde 7 nokta verilmiştir. Buna göre, bu noktalarla en çok kaç tane çokgen çizilebilir? A) 99 B) 98 C) 97 D) 96 E) ü aynı noktadan geçen 7 doğru en çok kaç noktada kesişir? Yukarıdaki şekil 0 birimkareden oluşmuştur. Buna göre, şekilde kaç tane farklı dikdörtgen vardır? A) 96 B) 00 C) 08 D) 0 E) A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0. 7 farklı oyuncak üç çocuğa, her birine en az iki oyuncak verilmek üzere, kaç farklı biçimde paylaştırılır? A) 480 B) 500 C) 540 D) 600 E) 60 8 Raunt

19 Sınav Kodu: M0005 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 5. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 0 E) 5. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde b eleman olarak bulunur? A) 0 B) 5 C) 6 D) 0 E). n n f p+ f p = 8 olduğuna göre, n kaçtır? n A) B) C) 4 D) 5 E) elemanlı bir kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 4 D) 56 E) 57 Cn (, ). Cn (, ) + Cn (, 0) = 6. olduğuna göre, n n kaçtır? 7. 4 farklı Fizik ve farklı Matematik kitabı arasından kitap seçilecektir. En az iki Matematik kitabı bulunması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) 0 B) C) 8 D) 0 E) f p= f p olduğuna göre, n kaçtır? n+ n 8. Aralarında Ozan ve Ceren'in de bulunduğu 7 kişi bir otelin ve 4 kişilik iki odasına yerleşecektir. Ozan ile Ceren aynı odada bulunmak koşuluyla 7 kişi odalara kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 0 B) C) 5 D) 0 E) 5 Raunt 9

20 SAYMA 9. Bir öğrenci bir sınavda kendisine sorulan 0 sorudan 7 sini cevaplamak zorundadır. İlk 4 sorudan yalnız ünü cevaplamak şartıyla kaç farklı seçim yapabilir?. d d d d 4 d 5 A) 48 B) 5 C) 54 D) 60 E) 64 l l l l 4 l // l // l // l 4, d // d // d // d 4 // d 5 olduğuna göre şekilde kaç adet paralelkenar vardır? A) 6 B) 48 C) 60 D) 7 E) kişilik bir gruptan biri 7, diğeri kişilik iki ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? A) 0 B) 0 C) 90 D) 80 E) Bir düzlemde, ü birbirine paralel, 4 ü bir A noktasından geçen 0 doğrunun en çok kaç kesim noktası vardır? A) 8 B) C) 7 D) 9 E) evli çift arasından içinde en az bir evli çift bulunan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 60 B) 50 C) 40 D) 0 E) 0 Yukarıda verilen 8 nokta ile oluşturabilecek kaç farklı üçgen vardır? A) 54 B) 5 C) 5 D) 5 E) özdeş oyuncak, çocuğa her birine en az oyuncak verilmesi şartıyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Şekildeki 0 nokta ile yalnızca iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 5 B) 6 C) 0 D) 5 E) 0 A) 4 B) 6 C) 48 D) 60 E) 7 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M0006 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. C(n, ) + C(n, ) = 6 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 8 D) 5 E) 4 6. n n f p= f p eşitliğine göre, n nin alabileceği n değerler toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde veya eleman olarak bulunur? A) B) 4 C) 5 D) 7 E) A = f p+ f p+ f p+ f p+ f p B = f p+ f p+ f p+ f p olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 0 7. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz, e elemanı bulunur? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) f p+ f p+ f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 8. 4 doktor, 5 hemşire arasından doktor ve hemşireden oluşan bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 64 A) 84 B) 7 C) 68 D) 66 E) 60 Raunt

22 SAYMA 9. 0 oyuncunun bulunduğu bir kadrodan kişilik bir futbol takımı ve takımdaki oyunculardan biri kaptan olacak şekilde kaç farklı takım ve kaptan seçimi yapılabilir? A) f p B) f p. f p C) f p+ f p D) f p+ f p E) f p. f p. Yandaki şekil eş karelerden oluşmuştur. Şekilde kare olmayan kaç dikdörtgen vardır? A) 50 B) 80 C) 0 D) 0 E) farklı çemberin kesiştirilmesiyle en fazla kaç nokta elde edilir? 0. 0 kişilik bir gruptan 5 er kişilik iki ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 40 A) 6 B) 6 C) 58 D) 9 E) 5 5. A B C. 4 evli çift arasından içinde evli çift bulunan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? ABC üçgeni biçiminde verilen şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 8 B) 6 C) 0 D) 6 E) 4 A) 6 B) 40 C) 4 D) 48 E) 5 6. d d // d d. a > b > c olmak üzere, kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? Şekildeki d doğrusu üzerindeki 4, d doğrusu üzerindeki 5 nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 0 B) 96 C) 8 D) 60 E) 48 A) 0 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 Raunt

23 Sınav Kodu: M0007 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 7. 4 erkek, 5 kız öğrenci arasından kişilik bir ekip kurulacaktır. Bu ekiplerin kaçında en az erkek öğrenci vardır? 5. a b < c koşulu ile abc biçiminde basamaklı kaç farklı sayı yazılır? A) 0 B) 0 C) 00 D) 90 E) 80 A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. 8 kişiden ikisi Ali ile Ayşe'dir. Ali ile Ayşe farklı gruplardan olmak üzere, 4 er kişilik iki grup kaç farklı şekilde kurulur? 6. f p+ f p+ f p f p toplamı kaça eşit- 5 tir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) Bir şirkette çalışan 0 kişiden, iki tane kişilik, bir tane 4 kişilik ekip kurulacak ve bu ekipler Ankara, Adana, Antalya da görevlendirilecektir. Bu görevlendirme kaç farklı şekilde yapılır? A) 600 B) 000 C) 0000 D) 8600 E) 700 Şekildeki 9 nokta ile kaç farklı üçgen oluşturulur? A) 40 B) 50 C) 56 D) 60 E) 7 8. Şekil birimkarelerden oluşturulmuştur farklı hediye, her çocuk en az bir hediye almak koşulu ile çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılır? A) 50 B) 0 C) 75 D) 60 E) 50 Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır? A) 4 B) 6 C) 4 D) 44 E) 56 Raunt

24 SAYMA 9. Bir çember üzerindeki 8 farklı noktadan en çok kaç farklı çokgen çizilebilir?. KALEM kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime yazılır? A) 56 B) 6 C) 87 D) 9 E) 9 A) 0 B) 00 C) 60 D) 70 E) O 4. A = {,,, 4, 5} kümesinin elemanlı alt kümelerinin tamamı yazılırken kullanılan rakamların toplamı kaçtır? Şekilde O merkezli kaç daire dilimi vardır? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 80 A) 8 B) 0 C) D) 4 E) ü özdeş 0 kitap arasından birbirinden farklı kitap kaç farklı şekilde seçilir? 5. 0 sayısının pozitif bölenlerinin hepsi birer kağıda yazılıyor ve bu kağıtlardan rastgele üçü alınıyor. Alınan kağıtlarda yazan sayıların çarpımının çift olduğu kaç durum vardır? A) 48 B) 50 C) 5 D) 54 E) 56 A) 90 B) 80 C)60 D) 50 E) 0. 4 farklı üçgen en çok kaç noktada kesişir? A) 0 B) 6 C) 4 D) 6 E) f p+ f p+ f p+ f p toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C)5 D) 5 E) 56 4 Raunt

25 Matematik-0 Ünite- Pascal Üçgeni Matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n = 0'dan başlayarak numaralandırılır. Satırdaki sayılar komşu sütünlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler toplanır. Eğer sağ ve sol üstünde sayı yoksa buradaki değer olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + = 'dir üçüncü satırda ise 4 ve toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur. Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da kullanılır. Bu üçgen, biyoloji, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur. Formül: n n! n n n k+ f p = =......, n, k N k k!.( n k)! k 0 olmak üzere, 5 5! 54..! f p = = = = = 0 bulunur. (Pascal üçgeninde 6. satırın. elemanıdır.)!.!!.!! Raunt 5

26 SAYMA Binom Açılımı a, b gerçel sayılar, n N, a + b 0 olmak üzere; n n ( a b) a n n a n n n. b a n. b... 0 n b n + = f p + f p + f p + + f p eşitliğine binom açılımı denir. İki Terimli (Binom) Açılım 0 0 ( a" b) f p 0 ( a" b) f pa" f pb 0 ( a" b) f pa " f pab+ f pb 0 ( a" b) f pa " f pa b+ f pab " f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pab + f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pa b + f pab " f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pa b + f pa b " f pab + f pb h h h h h h h h Binom açılımındaki katsayılar Pascal Üçgeni ile de elde edilebilir. 6 Pascal Üçgeni Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı, alt satırda bu iki sayının arasında yazılan sayıyı verir. Örneğin; (a+ b) = f p( a) + f p( a) ( b) + f p( a)( b) + f p( b) 0 =.8a +.4a.b +.a.9b +.7b = 8a + 6a b + 54ab + 7b 6 Raunt

27 Matematik-0 Ünite- HATIRLATMA n N için (a ± b) n açılımında ) (n + ) tane terim vardır. ) Her terimde a ve b nin üsleri toplamı n dir. ) a = b = için katsayılar toplamı bulunur. n n r r 4) a nın azalan kuvvetlerine göre baştan (r+). terim, f p a. b dir. r 5) (a + b) n n açılımında ortadaki terim. n a n b n f p dir. Örnek a b 4 f p açılımı nedir? Örnek (x + y) 8 ifadesinin açılımında katsayısı en büyük olan terim nedir? Çözüm b b b ( a). 4 ( a). 4 = f p f p + ( a). 0 f p f p + f p f p 4 4 b b ( a) f p f p + ( a). f p f p b = 8a 54a b+ a b ab + 6 Çözüm Ortadaki terim katsayısı en büyük olan terim olduğundan r = 4 için; f p x. y = x y = 70x y bulunur Örnek 4 n fx + p açılımında baştan 4. terim k.x ise x n + k kaçtır? Örnek 5 (5x + by) 4 açılımında terim sayısı n ise (x + y z) n açılımında terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır? Çözüm 4 n n ( x ). n n 9 x. n n 0 f p f = = x p f p x x f p n 0 = 4 f p= k n = 4 n + k = 8 bulunur. 4 = k Çözüm 5 (5x + by) açılımında 5. terim oldğundan n = 5 olur. (x + y z) 5 ifadesinde x =, y =, z = için; ( + ) 5 = bulunur. Raunt 7

28 SAYMA Örnek 6 7 fx + p açılımında x6 lı terimin katsayısı kaçtır? x Çözüm 6 baştan (r + ). terim; 7 r r 7 x. 7 4 r x. 7 r 4 4r b l f p f = =.. x p f p r f p r x r x r olduğundan, 4 4r = 6 r = bulunur.. terim; f p.. x =.. x = 84x bulunur.. f a b Örnek 7 b 9 p açılımında sabit terim kaçtır? a Çözüm 7 baştan 7. terim; r = 6 için J 6 N a K b O a b.. 9 f p e o K O =.. 6 b K f p a O b a L P = = 84.. bulunur. Örnek 8 (x y) 8 açılımında baştan. terim ile sondan. terimin katsayıları toplamı kaçtır? Çözüm 8 baştan. terim; 8 f p ( 6 x).( y) = 8.64x 6 y sondan. terim; 8 f p ( x).( 6 y) = 8.4x y = 8.68 = 904 bulunur. Örnek 9 ( + ) açılımında kaç tane rasyonel terim vardır? Çözüm 9 r = 0, 6, için; 0 ( ), 6 6 ( ).( ), 0 b l f p f p f p( ) ( ) 0 6 tane rasyonel terim vardır. 8 Raunt

29 Sınav Kodu: M0008 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 8. x = 0 y = 98 olduğuna göre, x x y + xy y ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 8 D) E) fx p açılımında terimler azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 4. terimin katsayısı x kaçtır? A) 60 B) 90 C) 60 D) 0 E) 40. A = x 4 4x + 6x 4x + ifadesinde A = 56 için x in pozitif değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) fx + p açılımında terimler azalan kuvvetle- x rine göre sıralanırsa sondan 6. terim aşağıdakilerden hangisidir? 8 6 A)5. B)84. x C)4. x x 7 D)84. E)5. x 4 x. (x x) 5 açılımında terimler azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 5. terimin katsayısı kaçtır? A) 80 B) 5 C) 0 D) 80 E) 0 7. (x y + ) 5 açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) 8 E) 4. (x + y) n =... + K.x 6. y açılımında terimler x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 5. terimin katsayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 60 D) 80 E) fx p açılımında katsayılar toplamı kaçtır? x A) B) 0 C) 6 D) 4 E) 0 Raunt 9

30 SAYMA 9. fx y kaçtır? 6 p açılımında orta terimin katsayısı. a + k 6 açılımında kaç terim rasyoneldir? A) B) C) D) 4 E) A) B) E) D) E) 4. (a + b c) 5 açılımında kaç terim vardır? A) 6 B) C) 6 D) 9 E) 0. (x y + ) 5 açılımda sabit terim kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 5 E) 5. Pascal üçgeninde ilk altı satırdaki sayıların toplamı kaçtır?. (x x) 6 açılımında x 0 lu terimin katsayısı kaçtır? A) 6 B) 48 C) D) 5 E) A) 45 B) 60 C) 75 D) 05 E) 5. fx p açılımında sabit terim kaçtır? x A) 5 B) C) 55 D) 99 E) fx p açılımında x 6 lı terimin katsayısı aşa- x ğıdakilerden hangisidir? A) f p. B) f p. C) f p D) f p. E) f p. 5 0 Raunt

31 OLASILIK Ünite- Kazanımlar 0.. Olasılık 0... Koşullu olasılığı örneklerle açıklar Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar; gerçekleşme olasılıklarını hesaplar Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar. Raunt

32 OLASILIK OLASILIK Koşullu Olasılık Deney, Çıktı Bir paranın atılmasında iki durum vardır. Sonuç yazı veya tura olabilir. Burada paranın atılmasına deney, yazı veya tura gelmesine çıktı denir. Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta Bir deneyin tüm çıktılarının kümesine o deneyin örneklem uzayı (örnek uzayı), örneklem uzayın her bir elemanına örneklem nokta (örnek nokta) denir. Örneklem uzay E ile gösterilir. Örnek Hilesiz bir madeni paranın art arda kez havaya atılması deneyinin örneklem uzayını ağaç şeması ile gösteriniz. Olay, Kesin Olay, İmkansız Olay Bir örneklem uzayın her alt kümesine olay denir. Örnek uzaya kesin olay, boş kümeye imkansız olay denir. Ayrık Olaylar Çözüm Para atılması deneyi Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar denir. E örnek uzay A E, B E olmak üzere, A B = ise A ile B ayrık olaylardır. T Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y Örnek Bir torbada den 0 a kadar sayıların bulunduğu 0 tane top vardır. Bu torbadan, çekilen top tekrar geriye konulmak şartıyla art arda iki top çekiliyor. a. Bu olayın örnek uzayının kaç tane elemanı vardır? b. Bu torbadan çekilen iki topun üzerindeki sayıların toplamının 5 olması olayının elemanları nelerdir? c. Bu torbadan çekilen iki topun üzerindeki sayıların asal sayı olması olayının elemanları nelerdir? Çözüm a. E = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Örnek uzayın 0 tane elemanı vardır. O halde, olayın 0. 0 = 00 tane elemanı vardır. b. İki topun üzerindeki sayıların toplamının 5 olması durumları; (, 4), (, ), (, ), (4, ) olur. c. İki topun üzerindeki sayıların asal sayı olması olayının elemanları; (, ), (, ), (, 5), (, 7) (, ), (, ), (, 5), (, 7) (5, ), (5, ), (5, 5), (5, 7) (7, ), (7, ), (7, 5), (7, 7) Raunt

33 Matematik-0 Ünite- Örnek Bağımsız Olay A ve B iki olay olsun. A nın gerçekleşmesi B yi, B nin gerçekleşmesi de A yı etkilemiyor ise A ile B bağımsız olaylardır denir. Bir madeni para ile bir zarın birlikte atılması deneyinde, zarın çift sayı gelmesi ile paranın yazı gelmesi olayları bağımsız olaylardır. Olasılık Fonksiyonu E örnek uzay, A örnek uzaydaki tüm olaylar kümesi olsun. P : A [0, ] şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A olayının olma olasılığı P(A) ile gösterilir. Özellikler. E örnek uzay P(E) = dir. P( ) = 0 dır.. E örnek uzay ve A E için 0 P(A) dir.. E örnek uzay ve A E ve B E olmak üzere, A ile B ayrık olaylar; yani A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) dir. 4. E örnek uzay, A E, B E ve A B olmak üzere, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. 5. A ve B bağımsız olaylar ise P(A B) = P(A). P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A). P(B) dir. Eş Olumlu Örnek Uzay E sonlu bir örnek uzay ve E = {e, e,..., e k } olsun. Eğer P(e ) = P(e ) =... = P(e k ) ise E ye eş olumlu örnek uzay denir. Yani, eş olumlu örnek uzayında her eleman eşit şansa sahiptir. Olasılık Hesabı Eş olumlu bir örnek uzayında A E için A olayının olma olasılığı P(A) ile gösterilir ve İstenen durumlar P(A) = Tüm durumlar İki zar atıldığında, zarların üste gelen yüzeylerindeki sayıların toplamının 9 veya daha büyük olma olasılığı kaçtır? = s(a) dir. s(e) Çözüm Tüm durumlar sayısı s(e) = 6 dır. Zarların üst yüze gelen yüzeylerindeki sayıların toplamının 9 veya daha büyük olma olayı A ise; A = {(,6), (6,), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} olduğundan s(a) = 0 olur. sa ( ) 0 5 PA ( ) = = = bulunur. se ( ) 6 8 Raunt

34 OLASILIK Örnek 4 Çözüm 4 Bir torbada 5 mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan art arda 4 bilye çekiliyor. a. Çekilen bilyelerin 4 ünün de mavi olma olasılığı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin sinin mavi sinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? c. Çekilen bilyelerin en çok sinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? a. b. c. 5 f p 4 5 = = f p bulunur f p f p = = = f p bulunur f p f p+ f p f p+ f p = f p = = bulunur.. 0 Örnek 5 İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların birbirine eşit veya toplamlarının 0 olması olasılığı kaçtır? Örnek 6 0 bayan ve 6 erkekten oluşan bir toplulukta 6 bayan ve 4 erkek İngilizce bilmektedir. Bu topluluktan rasgele seçilen bir kişinin İngilizce bilen veya bayan olma olasılığı kaçtır? Çözüm 5 s(e) = 6 dır. Zarların üst yüzyerinin birbirine eşit veya toplamlarının 0 olması olayı ise; A = {(,), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6), (4,6), (6,4)} olduğundan, s(a) = 8 olur. sa ( ) 8 PA ( ) = = = se ( ) 6 Çözüm 6 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olduğundan, = = bulunur Örnek 7 Bir zar ile iki madeni para birlikte atılıyor. Buna göre, zarın asal sayı veya paraların aynı yüzünün gelme olasılığı kaçtır? Çözüm 7 P(A) + P(B) P(A B) olduğundan, = +. = + = bulunur Raunt

35 Matematik-0 Ünite- Koşullu Olasılık E bir örnek uzay, A ve B iki olay ve P(B) > 0 olsun. B olayının gerçekleşmesi halinde A olayının gerçekleşme olasılığına A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A I B) ile gösterilir. A nın B koşullu olasılığı P(A I B) = sa ( + B) PA ( + B) se ( ) = PB ( ) sb ( ) se ( ) sa ( + B) = olur. sb ( ) Örnek 8 İki zar atılıyor. Zarların üst yüzeylerindeki sayılardan bir tanesinin olduğu bilindiğine göre, toplamlarının 9 olma olasılığı kaçtır? Çözüm 8 E = {(,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (4,), (5,), (6,)} olduğundan s(e) = olur. Zarların üst yüze gelen sayıların toplamı olayı A olmak üzere; A = {(,6), (6,)} olduğundan s(a) = olur. P(A) = sa ( ) = bulunur. se ( ) Örnek 9 Bir torbada 5 siyah, 6 beyaz top vardır. Çekilen toplar torbaya geri atılmamak üzere art arda iki top çekiliyor. Çekilen. topun beyaz olduğu bilindiğine göre,. topun siyah olma olasılığı kaçtır? Çözüm 9. topun beyaz olduğu bilindiğinden örnek uzayın eleman sayısıdır. s(e) = f p olur. 0 A olayı. topun siyah olması olayı olmak üzere Bağımlı ve Bağımsız Olay s(a) = 5 f p dir. 5 f p sa ( ) 5 PA ( ) = = = = se ( ) 0 0 f p A ile B bağımsız iki olay ise aşağıdaki eşitlikler vardır. P(A) = P(A \ B) P(B) = P(B \ A) dır. bulunur. Raunt 5

36 OLASILIK Örnek 0 si erkek olan 0 kişilik bir gruptan 4 ü bayan ve 9 u erkek olmak üzere kişi tatile gidecektir. Rastgele seçilen bir kişinin tatile gitmeyeceği bilindiğine göre, bayan olma olasılığı kaçtır? Çözüm 0 E = {Tatile gitmeyen kişiler} ise s(e) = 0, s(e) = 7 olur. A = {Tatile gitmeyen bayanlar} ise s(a) = 4 olur. P(A) = sa ( ) 4 = bulunur. se ( ) 7 Örnek A ve B iki olay PA ( ) = PB ( ) = PA (, B) = 4 olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır? Çözüm P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olduğundan = + PA ( + B) 4 5 PA ( + B) = = olur. 6 4 PA ( + B) PBA ( ) = = = bulunur. PA ( ) 6 Örnek den ye kadar numaralandırılmış kartlardan biri çekiliyor. Çekilen karttaki sayının 5 ten büyük bir sayı olduğu bilindiğine göre, 0 olma olasılığı kaçtır? Çözüm E = {6, 7, 8, 9, 0,, } ise s(e) = 7 Çekilen karttaki sayının 0 olma olayı A ise sa ( ) PA ( ) = = bulunur. se ( ) 7 Örnek A = {a, b, c, d, e} kümesinin elemanlı alt kümelerinden seçilen bir kümede a nın eleman olarak bulunduğu bilindiğine göre, b nin de kümenin elemanı olma olasılığı kaçtır? Çözüm a elemanının bulunduğu elemanlı alt küme sayısı 4 f p olduğundan s(e) = 6 dır. a ve b elemanının bulunduğu elemanlı alt küme sayısı f p olduğundan s(a) = 'dır. P(A) = sa ( ) = = se ( ) 6 6 Raunt

37 Matematik-0 Ünite- Örnek 4 Çözüm 4 Şeklin üzerindeki kare sayısı olmak üzere, s(e) = 50'dir. Alanı 9 br 'den küçük kare sayısı = 9 dur. Birim karelerden oluşan yukarıdaki şekilden seçilen bir dikdörtgenin kare olduğu bilindiğine göre, alanının 9 birim kareden küçük olma olasılığı kaçtır? Örnek 5 B A D E Yukarıdaki şekilden seçilen bir üçgenin bir köşesinin C olduğu bilindiğine göre, seçilen üçgenin CDE üçgeni olma olasılığı kaçtır? Örnek 6 Aralarında Ece ve Ayşe'nin de bulunduğu ü erkek 7 kişi yanyana fotoğraf çektirecektir. Kızların yanyana olduğu bilindiğine göre, Ece ve Ayşe'nin yanyana olma olasılığı kaçtır? C 9 bulunur. 50 Çözüm 5 Bir köşesi C olan üçgen sayısı f p. 4 olmak üzere, s(e) = 'dir. Seçilen üçgen CDE üçgeni olma olayı A ise P(A) = sa ( ) = bulunur. se ( ) Çözüm 6 Kızların yanyana olduğu dizilişlerin sayısı 4!.4! ve Ece ile Ayşe'nin yanyana olduğu dizilişlerin sayısı!.!.4! olduğundan,!.!. 4! P = = bulunur. 4!. 4! Örnek 7 İki torbadan A torbasında 5 kırmızı ve beyaz, B torbasında 4 siyah ve kırmızı top vardır. İki torbadan rastgele biri seçilip, seçilen torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, A torbasından çekilmiş olma olasılığı kaçtır? Çözüm 7 5K 4S B K 5 A torbasından kırmızı çekme olasılığı = 8 B torbasından kırmızı çekme olasılığı = 6 O zaman istenilen olasılık = = bulunur. Raunt 7

38 OLASILIK Bileşik Olay Bir bileşik olay birden çok sonuçtan oluşmaktadır. Bileşik olaylar A, B, C, D,... ya da A, A, A,..., B, B, B,... biçiminde gösterilmektedir. Örnek 8 Bir işyerinde çalışan personel arasından rasgele iki personel seçilip cinsiyetleri kaydedilecektir. A olayı, en çok bir erkeğin seçilmiş olduğu durum olarak tanımlansın. Buna göre, A olayının gerçekleşmesi olasılığını bulunuz. Çözüm 8 A olayı hiç erkek olmaması ya da bir erkek olması durumunda gerçekleşecektir ve aşağıdaki gibi gösterilecektir. A = {EK, KE, KK} A olayı, birden çok sonuçlu olduğu için bir bileşik olaydır. Bu olayın Venn diyagramı yardımıyla grafiksel gösterimi aşağıdadır. S EE KE EK A KK P(A) = 4 bulunur. Örnek 9 Hilesiz bir bozuk para üç kere atıldığında en az ikisinin yazı gelme olasılığını ağaç diyagramı yardımıyla bulunuz. Çözüm 9 Bütün olası sonuçlar aşağıdaki ağaç şemasında gösterilmiştir. Birinci T Y İkinci T Y T Y Üçüncü T Y T Y T Y T Y O zaman istenilen olasılık 8 4 = olarak bulunur. 8 Raunt

39 Sınav Kodu: M0009 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. N M P 5. Bir çift zar atma deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği biliniyorsa, zarların üstündeki sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A C D B Şekilde belirtilen 7 noktadan üçünü köşe kabul eden üçgenlerden biri seçiliyor. Seçilen bu üçgenin bir köşesinin A noktası olma olasılığı kaçtır? Sadece siyah ve beyaz topların bulunduğu bir torbadaki beyaz topların sayısı, siyah topların sayısının iki katıdır. Torbadan rastgele iki top çekildiğinde birinin mavi, 6 siyah, yeşil bilye bir torbaya konuyor. Çekilen bilye geri atılmamak şartıyla torbadan art arda bilye çekiliyor. İlk çekilen bilyenin mavi olduğu bilindiğine göre, üçünün de farklı renkte olma olasılığı kaçtır? beyaz, diğerinin siyah gelme olasılığı oldu- ğuna göre, torbada ilk durumda kaç beyaz top vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. 6 tane özalt kümesi bulunan bir kümeye eleman daha eklediğimizde, oluşan yeni kümeden seçtiğimiz bir alt kümenin elemanlı olma olasılığı kaçtır? Bir sınıfta 0 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Kızların 6 sı, erkeklerin ü matematikten başarılıdır. Seçilen kişinin sinin kız, birinin erkek olduğu bilindiğine göre, üçünün de matematikten başarılı olma olasılığı kaçtır? Üzerinde den 0 ye kadar numaralar olan 0 top bir torbaya konuluyor ve rastgele bir top çekiliyor. Torbadan çekilen topun üzerindeki sayının tek sayı olduğu bilindiğine göre, 5 ile bölünebilen sayı olma olasılığı kaçtır? Üç torbadan birincisinde mavi, 5 kırmızı bilye, ikincisinde 4 mavi, siyah bilye, üçüncüsünde mavi, 4 beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele seçilip, seçilen torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin mavi olduğu bilindiğine göre, ikinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır? Raunt 9

40 Sınav Kodu: M000 OLASILIK Konu Testi. A = {,,, 4} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen bu kümede ün eleman olarak bulunma olasılığı kaçtır? Bir torbaya eşit sayıda siyah ve beyaz bilyeler koyuluyor. Bu torbadan geri koyulmamak üzere arka arkaya çekilen iki bilyenin siyah olma olasılığı 5 dir. Buna göre, torbada toplamda kaç bilye vardır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 0. 4 kız, erkek arasından rastgele kişi seçiliyor. İkisinin de kız olma olasılığı kaçtır? kişilik bir sınıfta, 8 kız öğrenci vardır. Bu sınıftaki kızların 8 i, erkeklerin si kıvırcık saçlıdır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya kıvırcık saçlı olma olasılığı kaçtır? negatif ve 5 pozitif sayı arasından rastgele sayı seçiliyor. Seçilen bu sayıların çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır? "SELİN" kelimesinin harflerinin yerlerini değiştirerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız 5 harfli tüm kelimeler yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan çekilecek kelimenin E harfi ile başlama olasılığı kaçtır? Bir torbada özdeş x tane beyaz, y tane siyah top vardır. 5x = 6y olduğuna göre, torbadan çekilen bir topun siyah olma olasılığı kaçtır? Şekildeki dikdörtgen 5 eş karaden oluşmuştur. Seçilen bir dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? Raunt

41 Matematik-0 Ünite- 9. A B C D E. Bir zar ve bir madeni para atılıyor. Zarın çift geldiği bilindiğine göre, paranın tura gelme olasılığı kaçtır? 6 4 Şekilde A, B, C, D, E noktaları bir doğru üzerinde ayrıca B, D noktaları çember üzerindedir. Bu noktalardan seçilecek olan iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? Bir torbada 4 turuncu, 5 yeşil ve 6 siyah top vardır. Bu torbadan rastgele seçilen bir topun turuncu veya yeşil olma olasılığı kaçtır? 4. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı üç basamaklı doğal sayılar yazılıyor. Bu sayılardan seçilen bir sayının 400 den büyük olduğu bilindiğine göre, çift olma olasılığı kaçtır? A ve B örnek uzayın bağımsız iki alt kümesidir. PB ( ) = 4 PA ( + B) = 0 olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır? 5. 5xy dört basamaklı sayısı 5 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 6 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır? Bir kutuda 4 kırmızı, 5 beyaz ve sarı top vardır. Kutudan geri atılmamak şartıyla art arda seçilen iki toptan birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, diğerinin sarı olma olasılığı kaçtır? İki basamaklı doğal sayılardan bir sayı seçiliyor. Seçilen bu sayının 60 dan büyük olduğu bilindiğine göre, 5 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır? Raunt 4

42 Sınav Kodu: M00 OLASILIK Konu Testi. İki basamaklı doğal sayılardan rastgele seçilen bir sayının 40 tan küçük olduğu bilindiğine göre, asal sayı olma olasılığı kaçtır? Dört basamaklı a4 sayısının ile tam bölünebildiği bilindiğine göre, a rakamının çift sayı olma olasılığı kaçtır? Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre, asal olma olasılığı kaçtır? Bir zar ile bir madeni para atılıyor. Zarın 4 ten büyük ve paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? si erkek olan 6 kişilik bir sınıfın yarısı Fizik, diğer yarısı Matematik dersinden kalmıştır. Fizik dersinden kalan kız öğrenci sayısı 4 tür. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin Matematik dersinden kaldığı bilindiğine göre, erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır? Emir ve Rüzgar'ın gireceği bir sınavı Emir'in kazanma olasılığı 5, Rüzgar'ın kazanma olasılığı olduğuna göre, bu sınavı Emir ve Rüzgar'ın 8 kazanma olasılığı kaçtır? farklı negatif ve 5 farklı pozitif sayı arasından rastgele tanesi seçiliyor. Seçilen sayıların çarpımlarının pozitif olduğu bilindiğine göre, bu sayılardan üçünün de pozitif olma olasılığı kaçtır? A ve B bağımsız iki olaydır. PA ( ) = ve PB ( ) = 5 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? Raunt

43 Matematik-0 Ünite- 9. Bir torbada sarı, 7 lacivert bilye vardır. Bu torbadan art arda seçilen iki bilyenin birincisinin lacivert, ikincisinin sarı olma olasılığı kaçtır? İki torbadan, birincisinde sarı, 5 mavi ve ikincisinde sarı, mavi bilye vardır. Bu torbalardan biri seçilip içinden rastgele alınan bir bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan alınmış olma olasılığı kaçtır? Bir torbada sarı, 5 lacivert, 4 beyaz bilye vardır. Bu torbadan rastgele alınan üç bilyenin üçününde farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A ve B, E örnek uzayının iki olayıdır. P(A B) = 4, P(B) = ve P(A B) = olduğuna göre, P(A \ B) kaçtır? Bir torbada 5 sarı, 7 yeşil bilye vardır. Torbadan alınan bilyenin tekrar torbaya atılması koşuluyla art arda alınan iki bilyenin de farklı renkte olma olasılığı kaçtır? Bir madeni para art arda 4 kez atılıyor. Üst yüzeye gelen durumun her seferinde bir öncekinden farklı gelme olasılığı kaçtır? A torbasında sarı, 5 lacivert ve B torbasında 4 sarı, lacivert bilye vardır. Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve diğer torbaya atılıyor. Bu işlemin sonunda torbadaki sarı ve lacivert bilye sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? Bir torbada kırmızı, 5 beyaz ve 8 sarı bilye vardır. Geri atılmaksızın art arda çekilen iki bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? Raunt 4