İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (DUYARSIZ ORTALAMALAR)

SAÜ 5. BÖLÜM İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ (DUYARSIZ ORTALAMALAR) PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR 1.1. Mod (Tepe Noktası) 1.1.1.1. Basit Serilerde Mod 1.1.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Mod 1.1.1.3. Gruplanmış Serilerde Mod 1.1.1.4. Modun Özellikleri 1.2. Medyan (Ortanca) 1.2.1.1. Basit Serilerde Medyan 1.2.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Medyan 1.2.1.3. Gruplanmış Serilerde Medyan 1.2.1.4. Medyanın Özellikleri 1.3. Kartiller 1.3.1.1. Basit Serilerde Kartiller 1.3.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Kartiller 1.3.1.3. Gruplanmış Serilerde Kartiller 1.4. Ortalamalar Arasındaki ve Kartiller Arasındaki İlişkiler 1.4.1.1. Aritmetik Ortalama, Mod ve Medyan Karşılaştırılması ve Serinin Asimetrisi 1.4.1.2. Kartillerin Karşılaştırılması ve Serinin Asimetrisi 2. ORTALAMA TİPİNİN SEÇİMİ 3. DÜZELTİLMİŞ ORTALAMA 4. DESİL (ONDALIK) VE YÜZDE HESAPLARI 4.1. Desil Hesabı 4.2. Yüzde Hesabı Hedefler Hassas Olmayan Ortalamaların Tanıtılması.

1. HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR Gözlem değerlerinin tamamı işleme katılmadan hesaplanan ortalamalara HASSAS OLMAYAN ORTALAMALAR denir. Hassas olmayan ortalamalar Mod, Medyan ve Kartiller olarak üç gruba ayrılırlar. Bu üç farklı hassas olmayan ortalamanın basit seriler, tasnif edilmiş seriler ve gruplanmış serilerde nasıl hesaplandığı ilerleyen bölümlerde örnekler yardımıyla açıklanacaktır. 1.1. MOD Bir seride en fazla tekrarlanan ya da en çok frekansa sahip olan değere MOD denir. Bir seride birden fazla mod olabilir. Bu durumda basit serilerde mod hesaplanamaz, tasnif edilmiş seriler gruplanmış seriye, gruplanmış seriler ise sınıfları birleştirilerek daha geniş aralıklı gruplara dönüştürülerek tek modlu serilere dönüştürülebilir. 1.1.1. Basit Serilerde Mod Basit seride her bir gözlem değerinden bir adet olduğundan basit serilerin modu bulunamaz. ÖRNEK: Aşağıdaki tabloda İstatistik dersi sınavına giren 4 öğrencinin aldığı notlar verilmiştir. Serinin modunu bulunuz. İstatistik Notları (X i ) 70 50 40 90 Seride en fazla tekrarlanan gözlem değeri (en fazla alınan not) 2 kere ile 50 değeri olduğundan serinin modu bulunamaz. 1.1.2. Tasnif Edilmiş Serilerde Mod Tasnif edilmiş serilerde en yüksek frekansa karşılık gelen gözlem değeri serinin modunu vermektedir. Tasnif edilmiş seride birden fazla en yüksek frekansa sahip değer varsa seri gruplanmış seriye dönüştürülerek bu durum ortadan kaldırılabilir. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin İstatistik final sınavı notları tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Serinin modunu bulunuz? Öğrencilerin Notları (X i ) Notların Sıklığı (Frekansı) = f i 40 1 50 2 1

60 4 70 6 80 4 90 2 100 1 En fazla frekansa sahip (frekans=6) gözlem değeri olan 70 değeri serinin modunu vermektedir. İstatistik dersinde en fazla alınan not 6 öğrenci ile 70 tir. ÖRNEK: Aşağıdaki tabloda Matematik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar verilmiştir. Serinin modunu bulunuz? İstatistik Notları (X i ) 70 50 40 70 50 Seride en fazla tekrarlanan iki tane gözlem değeri (50 ve 70) olduğundan bu seride modun hesabı gruplanmayı gerektirir. 1.1.3. Gruplanmış Serilerde Mod Gruplanmış serilerde maksimum frekans belli bir gözleme değil bir sınıf aralığına yani gruba karşılık geleceğinden modu belli aşamalar sonucunda mod hesaplanabilir. İlk aşamada en yüksek frekansa sahip sınıf aralığı belirlenir ki bu sınıf aralığına mod sınıfı denir. İkinci aşamada, belirlenen mod sınıfının alt sınırı ya da üst sınırına göre aşağıdaki formüller yardımıyla gruplanmış seride mod hesaplanır. Mod formülünde, gruplandırılmışlarda, mod sınıfından önceki ve sonraki sınıfların frekanslarının mod sınıfındaki birimlerin o sınıfın tam ortasında değil frekansı büyük olan komşu sınıfa daha yakın bir noktada toplandıkları varsayımından hesaplanır. Gruplandırılmış seri mod formülünden yararlanılırken, mod sınıfından önceki ve sonraki sınıfların frekanslarının mod sınıfındaki birimlerin o sınıf aralığı içine dağılışını etkilediği, dolayısıyla bunların sınıfın tam ortasında değil frekansın büyük olan komşu 2

sınıfına daha yakın bir noktada toplandıkları varsayımından hareket edilmektedir. İki formülde aynı sonucu verecektir. Sınıfın alt sınıra göre mod: Sınıfın üst sınıra göre mod: Yukardaki denklemlerde, I alt : Mod sınıfının alt sınırı I üst : Mod sınıfının üst sınırı s: Sınıf aralığı Δ 1 : Mod sınıfının frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki mutlak fark Δ 2 : Mod sınıfının frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki mutlak farkı ifade etmektedir. ÖRNEK: Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin istatistik yılsonu notları gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Serinin modunu hesaplayınız? Başarı Derecesi Not Sınıfları (Gruplar) Sınıf Orta Değeri m i Öğrenci Sayısı (Frekansı) f i AA 90-100 95 50 BA 85-89 87 60 BB 80-84 82 40 CB 75-79 77 50 CC 70-74 72 100 DC 60-69 64,5 50 DD 50-59 54,5 60 DF 40-49 44,5 40 FF 0-39 19,5 50 3

I alt : 70 I üst : 74 s: 74-70 = 4 Δ 1 : 100 50 = 50 Δ 2 : 100 50 = 50 Sınıfın alt sınıra göre mod: I alt : 70 I üst : 74 s: 74-70 = 4 Δ 1 : 100 50 = 50 Δ 2 : 100 50 = 50 Sınıfın alt sınıra göre mod: Sınıfın üst sınıra göre mod: Yukarıdaki örnekten de görüldüğü gibi serinin modu, mod sınıfı olan 70-74 aralığında çıkmıştır ve iki formülde aynı sonucu vermektedir. Gruplanmış serilerde Mod değeri, mod sınıfının alt sınırından küçük, üst sınırından büyük olamaz. 1.1.4. İki Tepeli Serilerde Modun Hesabı Eğer bir seride 2 veya daha fazla tepe noktası var ise sınıflandırılmış seriler gruplandırılmış seri haline dönüştürülür. En yüksek frekansa sahip seri sayısı bu işlem sonucu bire iner. ÖRNEK: X i 6 9 14 17 22 N i 5 8 10 2 10 Yukarda ki sınıflandırılmış seride görüldüğü gibi 2 tane yüksek frekans vardır. İlk önce 4

bu sınıflandırılmış seri gruplandırılmış seri haline dönüştürülür. sınıflar 5-11 den az 11-17 den az 17-23 den az N i 13 10 12 Burada alt sınır 5, genişlik 6 alınmıştır. Burada gruplar yapılırken ilk olarak, ilk sınıfın alt sınıfını dilediğimiz gibi belirlenebilir. Daha sonra 2şer, 3 er, 5er aralıklar belirlenir. Burada 17-23 den az olan grup 17 yi de içermektedir. Mod değeri; dan Yukarıda mod sınıfı 5-11 den azdır, S=11-5=6 dır. Gruplandırılmış serilerde, mod için, eşit sınıf aralığı gerekir. Maksimum frekanslar eşit olmasa bile incelenen kütle homojen olmamasından dolayı kaynaklanan iki maksimumlu serilerle karşılaşılabilir. Örneğin, erkek ve kadınların ağırlıklarını gösteren seride kütle erkek ve kadın homojen gruplarına ayrıştırılır. Her bir grup için ayrı bir mod hesaplanır. Şayet gruplandırılmış serilerde çifte v.s. mod görülürse, sınıf aralıkları geniş ve yine sınıf aralıkları eşit olmak zorundadır. 1.1.5. Modun Özellikleri 1. Mod, serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalmaz. Aşırı değerlerin olduğu serilerde ortalama olarak mod seçilebilir. 2. Seride en yüksek frekansa sahip değer olduğundan ortalamayı iyi temsil eder. 3. J, ters J ve U şeklindeki serilerde mod hesaplanamaz. 4. Kütledeki birimlerin çoğunluğuna uyduğu için ortalamalar arasında bir seriyi en iyi temsil etme özelliğine sahiptir. 6. Pratik hayatta en çok kullanılan bir ortalamadır. Üretim ve pazarlamada, piyasada en çok kullanılan ayakkabı numaralarına göre üretim yapmak gibi. 7. Mod sınıflanmış tam sayı karakterlerine sahip olduğundan gerçeği daha iyi yansıtır. Örneğin aileler, 1.5, 2.5 sayıda çocuk sahibi olmadıklarından mod bunlara müsaade etmez. 8. Serideki bütün gözlem değerlerinin hesaplamada kullanılmaması modun seriyi temsil kabiliyetini zayıflatır. 5

1.1. MEDYAN Büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralanan bir seride tam orta noktaya düşen ve seriyi eşit iki parçaya ayıran gözlem değerine MEDYAN denir. Çift gözlem değerine sahip serilerde tam orta noktaya iki tane gözlem düşmektedir. Bu durumda ortaya düşen iki gözlemin aritmetik ortalaması medyanı vermektedir. 1.1.5. Basit Serilerde Medyan Büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralanan bir basit seride tam orta noktaya düşen gözlemin değeri medyanı vermektedir. Serideki gözlem sayısı tek sayı ise inci gözlem değeri medyanı verir. Serideki gözlem sayısı çift sayı ise inci gözlem ile +1 ci değerlerinin aritmetik ortalaması medyanı verir. ÖRNEK: İstatistik dersi sınavına giren 5 öğrencinin aldığı notlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Öğrencilerin aldığı notların medyanını bulunuz? İstatistik Notları (X i ) İstatistik Notları Düzenlenmiş (X i ) 70 40 80 Küçükten büyüğe 50 40 düzenleme 70 90 80 50 90 İstatistik notlarının medyanını bulmak için gözlem değerleri küçükten büyüğe sıralanarak düzgün seri oluşturulur. Serinin ortasına düşen değer (70) medyanı vermektedir. Serideki gözlem sayısı tek sayı (5) olduğu için 70 medyanı vermektedir. üncü gözlem değeri olan ÖRNEK: Bir ailedeki altı kardeşin yaşları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yaşların medyanını bulunuz? Yaşlar (X i ) Yaşlar Düzenlenmiş (X i ) 7 1 3 Küçükten büyüğe 3 14 düzenleme 5 17 7 1 14 6

5 17 Serideki gözlem sayısı çift sayı (6) olduğu için gözlem değeri medyanı vermektedir. 3.5 uncu gözlem 3 ve 4 üncü gözlem arasında olduğundan dolayı 3 üncü ve 4 üncü gözlemlerin değerlerinin (5 ve 7) aritmetik ortalaması alınırsa medyan bulunmuş olur. 1.1.6. Tasnif Edilmiş Serilerde Medyan Tasnif edilmiş serilerde tekrarlanan veya aynı değere sahip gözlem değerleri frekanslarla gösterildiğinden serideki gözlem sayısı toplam frekans sayısına (N) eşittir. Toplam gözlem sayısı tek sayı ise, çift sayı ve +1 ci terim formüllerinden yararlanılarak serinin orta gözlemi veya gözlemleri bulunur. Kümülatif frekanslar oluşturularak serinin orta gözleminin değeri bulunur. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin kardeş sayıları tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın medyanını hesaplayınız? Kardeş Sayısı (X i ) Aile Sayısı (Frekansı) = f i Kümülatif Frekans 0 3 3 1 2 5 2 8 13 3 7 20 4 4 24 5 2 26 6 1 27 Toplam = N Serideki gözlem sayısı (27) tek sayı olduğundan gözleme karşılık 7

gelen değer medyanı vermektedir. 14 üncü gözlemin değeri kümülatif frekansı 20 olan gözleme karşılık gelen değer olan 3 tür ve medyanı vermektedir. Dikkat edilmesi gereken nokta 14, 15, 16, 17, 18, 19 ve 20 inci gözlemlerin değerlerinin aynı (3) olduğudur. ÖRNEK: Maliye bölümü öğrencilerinin İstatistik final sınavı notları tasnif edilmiş seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın medyanını hesaplayınız? Öğrencilerin Notları (X i ) Notların Sıklığı (Frekansı) = f i Kümülatif Frekans 40 1 1 50 2 3 60 4 7 70 6 13 80 4 17 90 2 19 100 1 20 Toplam = N Serideki gözlem sayısı (20) çift sayı olduğundan gözleme karşılık gelen değer medyanı vermektedir. Bu sayı 10 ile 11 inci gözlemin arasında olduğundan dolayı kümülatif frekansı 13 olan gözleme karşılık gelen değer olan 70 medyanı vermektedir. Dikkat edilmesi gereken nokta 8, 9, 10, 11, 12 ve 13 üncü gözlemlerin değerlerinin aynı (70) olduğudur. 1.1.7. Gruplanmış Serilerde Medyan Gruplanmış serilerde medyan değeri hesaplanırken ilk aşamada kümülatif frekans yardımıyla medyanın hangi sınıf aralığında olduğu yani medyan sınıfı bulunur. Gruplandırılmış seriler sürekli seriler olduğundan medyanın düştüğü sınıf aralığı terim formülü yardımıyla bulunur. Kümülatif frekans yardımıyla bulunan orta gözlemin hangi sınıf aralığına karşılık geldiği tespit edilir. İkinci aşamada, belirlenen medyan sınıfının alt sınırı ya da üst sınırına göre aşağıdaki formüller yardımıyla gruplanmış seride medyan hesaplanır. İki formülde aynı sonucu verecektir. ci 8

Sınıfın alt sınırına göre medyan: Sınıfın üst sınırına göre medyan: Yukardaki denklemlerde, I alt : Medyan sınıfının alt sınırı I üst : Medyan sınıfının üst sınırı s: Medyan sınıfının sınıf aralığı : Gözlem sayısının yarısı : Medyan sınıfının frekansı : Medyan sınıfından önceki frekansların toplamı : Medyan sınıfından sonraki frekansların toplamı ÖRNEK: Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin İstatistik yılsonu notları gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın medyanını hesaplayınız. Başarı Derecesi Not Sınıfları (Gruplar) Sınıf Orta Değeri m i Öğrenci Sayısı (Frekansı) Kümülatif Frekans f i AA 90-100 95 50 50 BA 85-89 87 60 110 BB 80-84 82 40 150 CB 75-79 77 50 200 CC 70-74 72 100 300 DC 60-69 64,5 50 350 DD 50-59 54,5 60 410 DF 40-49 44,5 40 450 9

FF 0-39 19,5 50 500 Toplam İlk aşamada orta gözlem bulunarak medyanın kaçıncı gözlem olduğu ve bu gözlemin hangi sınıf aralığına düştüğü tespit edilir. Medyan = 250 inci gözleme düşmektedir. Bu gözlem kümülatif frekansta 300 sayısının bulunduğu sınıf aralığına (70-74) düşmektedir. Medyan sınıfı belirlendikten sonra yukarıdaki iki formülden bir tanesi kullanılarak gruplanmış serinin medyanı hesaplanabilir. Medyan 70-74 aralığında olacaktır ve bu aralığa göre formüldeki değerler bulunup formülde yerine konulursa medyan hesaplanmış olur. I alt : 70 I üst : 74 s: 4 : 100 : 200 : 200 Sınıfın alt sınıra göre medyan: Sınıfın üst sınırına göre medyan: Yukarıdaki örnekten de görüldüğü gibi serinin medyanı, medyan sınıfı olan 70-74 aralığında çıkmıştır ve iki formülde aynı sonucu vermektedir. Son formülde 200=50+60+40+50 toplamlarından oluşur veya Toplam frekans-medyan sınıfının kümülatif frekansı;500-300; farkına eşittir. 1.1.8. Medyanın Özellikleri 1. Veri setinde aşırı uçlu değerler olduğunda aritmetik ortalamaya göre daha sağlıklı sonuç verir. 2. Veri setindeki tüm elemanların hesaplamada kullanılmaması medyanın zayıf 10

yönüdür. 3. Bir veya iki ucu açık sınıflarda aritmetik ortalama hesaplanamazken medyan hesaplanabilir. 4. Basit bir sıralama sonucu bir serinin medyanı kolayca belirlenebildiğinden pratiklik sağlar. 5. Medyan, gruplanmış serilerinin sınıf aralıklarının eşitliğini gerektirmez. 6. Medyanda, medyan sınıfı serinin ilk sınıfı olmadığı müddetçe alt ve üst sınıra gerek kalmadan yani alt ve üst sınır belirlenmemiş sınıfların varlığında dahi medyan kullanılabilir. Açık sınıfların varlığında duyarlı ortalama hesabında açık sınıfın ortalaması tahminsel olarak belirlenir. Medyan frekanslarla ilgili olduğunda böyle bir tahmini açık serilerde gerektirmez. 7. Seri terimelerinin medyandan sapmalarının toplamı sıfırdan N farklıdır; ( Xi Me) 0. i 1 1.2. KARTİLLER Uç değerlerden çok fazla etkilenen serilerin dağılımının yayıklık ölçüleri sağlıklı olmayacaktır. Bu durumlarda gözlemler değerlerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır ve dört eşit parçaya bölünür. Bu dört eşit parçayı birbirinden ayırmada sınır çizgisi gören gözlem değerlerine KARTİL denir. Seride üç adet kartil mevcuttur. Kartiller serilerin asimetri ve değişkenlikleri konusunda bilgi vermesi açısından faydalıdır. Kartillerin hesaplanması medyanın hesaplanması ile benzerlik gösterir. Medyan bir seriyi ortadan ikiye bölerken kartil dört eşit parçaya böler. Kartiller Q harfiyle temsil edilir. Q 1 : Birinci kartil (serideki 25 inci yüzdelik değeri yada 1. çeyreğin değerini göstermektedir.) Q 2 : İkinci kartil (serideki 50 inci yüzdelik değeri yada 2. çeyreğin değerini göstermektedir. Medyana eşittir.) Q 3 : Üçüncü kartil (serideki 75 inci yüzdelik değeri yada 3. çeyreğin değerini göstermektedir.) Her zaman Q 3 > Q 2 > Q 1 dir. I. kartil = ¼. Terimdir. Medyan=II. kartil= 2/4. Terimdir. III. kartil= ¾. Terimdir. Basit ve sınıflanmış serilerde kartiller i*n+2 1N+2 2N+2 3N+2 4N+2 Qi= ; Q1=, Q2=, Q3=. Q4= ci terimlerdir. 4cü kartil serinin 4 4 4 4 4 en son terimine eşittit. 11

1.2.5. Basit Serilerde Kartil Küçükten büyüğe doğru sıralanmış N sayıda gözleme sahip basit bir seride kartillerin kaçıncı gözleme karşılık geleceği aşağıdaki formüller yardımıyla bulunur. N serideki gözlem sayısını vermektedir. ÖRNEK: Aşağıdaki tabloda istatistik mazeret sınavına giren 12 öğrencinin notları verilmiştir. Kartillerin kaçıncı gözleme karşılık geldiğini ve kartil değerlerini bulunuz? Gözlem Değerleri (X i ) Kartile karşılık Gelen Gözlem Kartilin Değeri 5 20 30 30+40 =35 2 40 55 60 62 74 78 80 84 90 Birinci kartil 3.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve bu gözlem üçüncü ve 12

dördüncü gözlemlerin arasında bulunduğundan iki gözlem değerinin aritmetik ortalaması alınarak birinci kartilin değeri olan 30 bulunur. İkinci kartil 6.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve bu gözlem altıncı ve yedinci gözlemlerin arasında bulunduğundan iki gözlem değerinin aritmetik ortalaması alınarak ikinci kartilin değeri olan 61 bulunur. Üçüncü kartil 9.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve bu gözlem dokuz ve onuncu gözlemlerin arasında bulunduğundan iki gözlem değerinin aritmetik ortalaması alınarak birinci kartilin değeri olan 79 bulunur. 1.2.6. Tasnif Edilmiş Serilerde Kartil Tasnif edilmiş serilerde kartillere karşılık gelen gözlemleri bulmamız için kümülatif frekanslardan yararlanırız. Basit serilerde kartilleri bulurken kullandığımız formülleri kullanarak kartillerin kaçıncı gözleme karşılık geldiği bulunduktan sonra ve kümülatif frekanstan bu gözlemlere karşılık gelen değerler kolaylıkla görülebilir. ÖRNEK: Aşağıdaki tabloda istatistik mazeret sınavına giren 12 öğrencinin notları verilmiştir. Kartillerin kaçıncı gözleme karşılık geldiğini ve kartil değerlerini bulunuz? Gözlem Değerleri (X i ) f i Kümülatif Frekans Kartile karşılık Gelen Gözlem Kartilin Değeri 5 1 1 20 3 4 25 2 6 40 5 11 55 10 21 55 60 15 36 60 62 5 41 74 10 51 3N+2 182 Q 3= = =45.5 4 4 74 78 4 55 13

80 2 57 84 3 60 Toplam N=60 Birinci kartil 15.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve kümülatif frekansında gösterdiği gibi 12 inci gözlemden başlayarak 21 inci gözleme kadar bütün gözlemlere ve dolayısıyla da 15.5 uncu gözleme karşılık gelen değer 55 tir. İkinci kartil 30.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve kümülatif frekansında gösterdiği gibi 22 inci gözlemden başlayarak 36 ıncı gözleme kadar bütün gözlemlere ve dolayısıyla da 30.5 uncu gözleme karşılık gelen değer 60 tır. Üçüncü kartil 45.5 uncu gözlem değerine karşılık gelmektedir ve kümülatif frekansında gösterdiği gibi 42 inci gözlemden başlayarak 51 inci gözleme kadar bütün gözlemlere ve dolayısıyla da 45.5 uncu gözleme karşılık gelen değer 74 tür. 1.2.7. Gruplanmış Serilerde Kartil Gruplanmış serilerde kartilleri bulmak için ilk aşamada kümülatif frekanslar yardımıyla kartillerin hangi sınıf aralığına karşılık geldiği tespit edilir. Bunun için i*n 1N 2N 3N Qi= ; Q1=, Q2=, Q3=. formülü kullanılır ve i. kartilin düştüğü sınıf aralığı 4 4 4 4 bulunur. Sonraki aşamada aşağıdaki formüller yardımıyla i. kartilin hangi değere karşılık geldiği bulunur. 1. Kartilin formülü: 2. Kartilin formülü:. 3. Kartilin formülü: : Kartilin bulunduğu sınıfın alt sınırı N: Gözlem sayısı 14

: Kartilin bulunduğu grubun frekansı : Kartilin bulunduğu sınıfın aralığı : Kartilin bulunduğu sınıftan önceki sınıfların frekanslarının toplamı. Gruplandırılmış serilerde kartil değeri sınıfının alt sınıfından küçük, üst sınıfından büyük olamaz. ÖRNEK: Sakarya Üniversitesi İİBF öğrencilerinin istatistik yılsonu notlarının gruplanmış seri olarak aşağıda verilmiştir. Bu serinin kartillerini hesaplayınız? Not Sınıfları (Gruplar) Öğrenci Sayısı (Frekansı) f i Toplam Frekans 90-100 50 50 85-90 60 110 80-85 40 150 75-80 50 200 70-75 100 300 60-70 50 350 50-60 60 410 40-50 40 450 0-40 50 500 Toplam I. Kartilin bulunması: İlk aşamada birinci kartilin serideki hangi gözleme karşılık geldiği tespit edilir. inci gözlemin değeri birinci kartili vermektedir. Kümülatif frekanstan bu gözlemin 80-85 sınıf aralığına karşılık geldiği tabloda görülmektedir. İkinci aşamada birinci kartilin formülünde değerler yerine konur ve birinci kartilin değeri hesaplanır. II. Kartilin bulunması (Medyan): İlk aşamada ikinci kartilin serideki hangi gözleme karşılık geldiği tespit edilir. 15

inci gözlem. Kümülatif frekanstan bu gözlemin 70-75 sınıf aralığına karşılık geldiği tabloda görülmektedir. İkinci aşamada ikinci kartilin formülünde değerler yerine konur ve ikinci kartilin değeri hesaplanır. III. Kartilin bulunması: İlk aşamada üçüncü kartilin serideki hangi gözleme karşılık geldiği tespit edilir. inci gözlem. Kümülatif frekanstan bu gözlemin 40-50 sınıf aralığına karşılık geldiği tabloda görülmektedir. İkinci aşamada üçüncü kartilin formülünde değerler yerine konur ve üçüncü kartilin değeri hesaplanır. Bu şekilde 500 öğrencinin istatistik ders notlarının dağılımı kartiller yardımıyla dört eşit parçaya ayrılmıştır. Serinin kaçıncı gözlemden ayrıldığı ve bu gözlemin değeri bulunmuştur. Birinci kartile bakarak öğrencilerin %25 inin notunun 100 81.5 aralığına düştüğünü söyleyebiliriz. Diğer bir ifade ile öğrencilerin %25 inin notu 81.5 ten yüksek ve % 75 inin notu 81.5 ten düşüktür. İkinci kartile bakarak öğrencilerin %50 sinin notunun 100 72.5 aralığına düştüğünü söyleyebiliriz. Diğer bir ifade ile öğrencilerin %50 sinin notu 72.5 ten yüksek ve diğer % 50 sinin notu 72.5 ten düşüktür. Üçüncü kartile bakarak öğrencilerin %75 inin notunun 100 54.2 aralığına düştüğünü söyleyebiliriz. Diğer bir ifade ile öğrencilerin %75 inin notu 54.2 ten yüksek ve % 25 inin notu 52.4 ten düşüktür. ÖRNEK: Bir X şirketinde çalışan işçilerin haftalık ücret dağılımlarının a) Medyanını bulunuz? b) 65 işçinin model ücretini bulunuz? c) Kartillerini yorumlayınız? Ücretler f i m i f i m i f i 250-260 dan az 8 255 2040 8 260-270 den az 10 265 2650 18 270-280 den az 16 275 4400 34 16

280-290 dan az 14 285 3990 48 290-300 den az 10 295 2950 58 300-310 dan az 5 305 1525 63 310-320 den az 2 315 630 65 ΣN i =65 Σf i m i =18185 18185 X 279.76 65 a. M e N N a 2 32.5 18 s. 270 (10) 279.06 N 16 m b. 1 M o s. s. M o Nm Nm 1 N N N N 1 2 m m 1 m m 1 16 10 270 10 277.58 6 (16 14) c. Q1 için; N 65 16.25.terim, 1 4 4 Q =260+ 16.25 8 x10 268.25 10 Q2 için; 2 N 32.5.terim, Q2 270+ 32.5 18 x10 279.06 4 16 Q3 için; 3 N 48.75.terim, Q 3 =290 + 48.75 48 x10 290.75 4 10 Buna göre işçilerin %25 i %50 si 268.258 veya daha az kazanır. 279.06 veya daha az kazanır. % 75 i 290.75 veya daha az kazanır. ÖRNEK: Aşağıda verilen gruplanmış serilerin kartillerini bulalım. A B X i N i X i N i 0-2 den az 3 0-2 den az 2 2-4 den az 7 2-4 den az 1 4-6 dan az 4 4-6 dan az 8 6-8 den az 2 6-8 den az 5 17

Q i i s in Na i 4 Nqi Q i = i. kartil değeri, Na i = i. kartil sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansı, Nq i = i. kartil sınıfının frekansı, = i. kartil sınıfının alt sınırı, s = kartil sınıfının aralığı Q 1 =2.29 Q 2 =2.71 Q 3 = 5 N.terim Q 1 = 4,25 4 2N.terim Q 2 = 5.875 4 3N.terim Q 3 = 6.4 4 KAF A = (Q 3 -Q 1 ) A =5-2.29=2.7 > KAF B =(Q 3 -Q 1 ) B =6.4-4.25=2.15. 1.3. Ortalama ve Kartillerin Serilerle İlişkilendirilmesi Serilerin ortasını ölçmek için kullanılan aritmetik ortalama, mod ve medyan arasındaki ilişki serinin simetri durumu hakkında bir ipucu verir. Aynı şekilde birinci, ikinci ve üçüncü kartil arasındaki ilişkide serinin simetri durumunu belirlemede yardımcı olur. 1.3.5. Aritmetik ortalama, Mod ve Medyan Karşılaştırılması ve Serinin Asimetrisi Serinin dağılımı simetrik olduğunda, serinin küçük ve büyük uç değerleri birbirine simetrik olacağından aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşit olacaktır. Serinin dağılımı simetriden uzaklaştıkça bu üç ortalama arasındaki farkta artacaktır. Asimetrik olan bu seriler sağa ya da sola çarpık (eğik) olacaktır. Üç ortalama arasındaki ilişkiden yola çıkarak serilerin asimetri durumunu aşağıdaki gibi özetleyebiliriz. Simetrik serilerde Sağa çarpık serilerde Sola çarpık serilerde X=Medyan = Mod Mod < Medyan < X X < Medyan < Mod 18

Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı ve dolayısıyla kendisi simetriktir. Aritmetik ortalama, medyan ve mod birbirine eşittir ve tepe noktasındadır. Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı pozitif yöne eğimlidir ve sağa çarpıktır. Sağa çarpık serilerde küçük değerlerde yığılma olduğundan gözlem değerlerinin çoğu aritmetik ortalamadan küçük, Mod da Medyan ve aritmetik ortalamadan küçüktür. Mod en yüksek frekansa sahip değer olduğu için serinin tepe noktasına karşılık gelen değer Modu verir. Sağa çarpık serilerde aritmetik ortalama Medyanın sağında, Medyan da Mod un sağındadır. Mod en tepe noktada iken aritmetik ortalama yatıklaşan tarafa (sağa) yakındır. Yukarıda grafiği çizilen serinin sıklık dağılımı negatif yöne eğimlidir ve sola çarpıktır. Sola çarpık serilerde büyük değerlerde yığılma olduğundan mod en tepe noktada iken aritmetik ortalama yatıklaşan tarafa yakındır. Serinin asimetri durumu ve ortalamalar arasındaki ilişkiler yukarıdaki grafikler 19

yardımıyla daha iyi görebiliriz. Dikkat edilmesi gereken husus medyan her zaman aritmetik ortalama ve modun arasında bir değere sahiptir. Asimetrisi hafif ya da simetriğe yakın dağılıma sahip serilerde yaklaşık olarak Mo 3Me 2X ilişkisi görülür. Her iki taraftan - X çıkartılıp, Her iki taraf (-1) ile çarpılırsa, serinin asimetrisi hafif ise 3 ortalama arasında şu ilişki vardır: X Mo 3 X Me Her iki taraf serinin standart sapması ile bölünürse Pearson asimetri ölçüsüne ulaşılır. ASp I X Mo veya ASp II 3 X Me Pearson asimetri ölçüsü teorik olarak 3 sınırları arasında bulunması gereken bu ölçü çoğu zaman 1 sınırları arasında gerçekleşir (-1 AS p 1) 1.3.6. Kartillerin Karşılaştırılması ve Serinin Asimetrisi Kartiller arasındaki ilişkiden yola çıkarak serilerin asimetri durumunu aşağıdaki gibi özetleyebiliriz. Simetrik serilerde Q 3 - Q 2 = Q 2 - Q 1 Sağa çarpık serilerde Q 3 - Q 2 > Q 2 - Q 1 Sola çarpık serilerde Q 3 - Q 2 < Q 2 - Q 1 2. ORTALAMA TİPİNİN SEÇİMİ 1. Kıyaslama amacıyla aritmetik ortalamalar seçilir. Bunun sebebi aritmetik ortalamanın bütün serilerde en duyarlı olmasıdır. 2. Kıyaslamak yerine seriyi temsil amaç edildiğinde mod veya medyan kullanılır. 3. Terimlerin orijinal değerleri yerine oranları ile ilgileniyorsak serinin geometrik ortalamasına başvurulur. 4. Serinin terimlerinin tersleri ile ilgileniyorsak harmonik ortalamaya başvurulur. 5. Seri terimleri arasında önemli farklılıklar varsa tartılı ortalama tercih edilir. 6. Diğer yandan harmonik ve geometrik ortalamalar sıfır ve negatif değerlere sahip serilere uygulanamaz. 7. Sınıf aralıkları eşit olmayan serilere medyan uygulanır. Diğer yandan meydan da gruplanmış serinin medyan hesabının sınıf genişliklerinin tamamının eşit olması gerekmez. 20

8. U serilerde medyanın kullanılması uygun değildir. 9. Anormal serilerde aritmetik ortalama iyi bir temsile sahip olmaz. 10. J ve ters j serilerinde de mod tercih edilmez, elverişsizdir. ÖRNEK: Aşağıdaki gruplanmış seriye hangi ortalama uygundur? Niçin? Ayrıca bu ortalamayı hesaplayınız. Sınıflar N i N i 2-6'dan az 6-10'dan az 10-14'dan az 14-18'den az 18-22'den az 22 ve + 3 4 8 14 3 1 3 7 15 29 32 33 33 Seride açık sınıf vardır. Bu açıdan, medyan hesabının yapılması gerekir. 33/2= 16,5.terim medyandır. Dolayısıyla 14-18 den az sınıfı medyan sınıfıdır. ÖRNEK: Aşağıdaki gruplandırılmış seriye uygun ortalama hangisidir? Sınıflar N i N i 2-7'den az 7-12'den az 12-17'den az 17-25'den az 25-33'den az 3 5 20 7 2 3 8 28 35 37 37 Sınıf aralıkları farklı olduğundan medyan uygulanır. Buna karşılık gelen medyan sınıfı 12-17 den az sınıfıdır. 37/2=18,5.terim medyandır. 21

ÖRNEK: Aşağıdaki seriye harmonik ortalama uygulamak doğrumudur? X i 0 5 7 9 Bu seri 0 terimine sahip olduğundan harmonik ortalama uygulanamaz. Çünkü, harmonik ortalama sıfıra eşit çıkar. 3. DÜZELTİLMİŞ ORTALAMA Aykırı ve uç değerleri hesaba katmayan ortalamadır. Bu tip değerlerin bulunduğu serilere düzeltilmiş ortalama uygulanabilir. D Q +2 M + Q 4 1 e 3 ÖRNEK: Birinci kartil değeri 7, üçüncü kartil değeri 37, medyanı 8 olan bir serinin düzeltilmiş ortalaması; Q1+2 Me+ Q3 7+2*8+37 D 15 dir. 4 4 4. DESİL (ONDALIK) VE YÜZDE HESAPLARI 4.1. Desil Hesabı Desil seriyi on eşit parçaya bölen değerlerden biridir. D j j;alt jn Nd s 10 Ndj j-1 D j = j. Desil, S =Desil sınıfının genişliği, N =Toplam frekans, Ndj -1 = Desil sınıfından jn bir önceki sınıfın kümülatif frekansı, Nd j = Desil sınıfının frekansı. =j. ondanın 10 bulunduğu sınıf. ÖRNEK: P&R şirketlerinde çalışan işçilerin haftalık ücret dağılımlarının 5. Ve 7. desillerini bulunuz ve yorumlayınız? Ücretler N i N i 250-260 dan az 8 8 260-270 den az 10 18 22

270-280 den az 16 34 280-290 dan az 14 48 290-300 den az 10 58 300-310 dan az 5 63 310-320 den az 2 65 ΣN i =65 Önce 5. Desilin ve 7. Desilin sınıf aralıkları bulunur. jn 5*65 = =32.5 inci terim 5. desilin sınıf aralığını verir.32.5 cu terim sınıfların 10 10 kümülatif frekansı alındığında 270-280 den az sınıfına düştüğü görülür. Buradan da D jn Nd j-1 10 j j;alt s ; D5 j Nd 5*65 18 10 14.5 270 10 270 10 279.05 16 16 Yorum: İşçilerin onda beşi (%50 si) 279 dolar ya da daha az kazanmaktadır. 7. Desilin düştüğü sınıf aralığı; jn 7*65 = =45.5 inci terim 7. desilin sınıf aralığını verir. 45.5 ci terim sınıfların 10 10 kümülatif frekansı alındığında 280-290 dan az sınıfına düştüğü görülür. Buradan da D jn Nd j-1 10 j j;alt s ; D7 j Nd 7*65 34 10 11.5 280 10 280 10 288.2 14 14 Yorum: İşçilerin onda yedisi (%70 si) 288 dolar ya da daha az kazanmaktadır Basit ve sınıflanmış serilerde j. desil; j N +5. inci terimdir. 10 4.2. Yüzde Hesabı Yüzde seriyi yüz eşit parçaya bölen değerlerden biridir. P j j;alt jn Np s100 Npj j-1 P j = j. yüzde, S =Yüzde sınıfının genişliği, N =Toplam frekans, Npj -1 sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansı, Nd j = Yüzde sınıfının frekansı. jn =j. Yüzdenin bulunduğu sınıf. 100 =Yüzde 23

ÖRNEK: P&R şirketlerinde çalışan işçilerin haftalık ücret dağılımlarının 35. ve 60. yüzdelerini bulunuz ve yorumlayınız? Önce 35. ve 60. yüzdelerinin düştüğü sınıf aralıkları bulunur. jn 35*65 = =22.75 inci terim 35. yüzdenin sınıf aralığını verir. 22.75. terim sınıfların 100 100 kümülatif frekansı alındığında 270-280 den az sınıfına düştüğü görülür. Buradan da P jn Np j-1 100 j j;alt s ; P35 j Np 35*65 18 100 4.75 270 10 270 10 272.97 16 16 Yorum: İşçilerin %35 i 272.97 dolar ya da daha az kazanmaktadır 60. yüzde için de önce 60. Yüdenin düştüğü sınıf aralığı bulunur; jn 60*65 = =39 inci terim 60. yüzdenin sınıf aralığını verir. 39cu terim sınıfların 100 100 kümülatif frekansı alındığında 280-290 dan az sınıfına düştüğü görülür. Buradan da P jn Np j-1 100 j j;alt s ; P60 j Np 60*65 34 100 5 280 10 280 10 283.125 16 16 Yorum: İşçilerin %60 ı 283.125 dolar ya da daha az kazanmaktadır Basit ve sınıflanmış serilerde j. Yüzde; j N +50. inci terimdir. 100 KAYNAKLAR: 1. Yılmaz Özkan, Uygulamalı İstatistik 1, Sakarya Kitapevi, 2008. 2. Özer Serper, Uygulamalı İstatistik 1, Filiz Kitapevi, 1996. 3. Meriç Öztürkcan, İstatistik Ders notları, YTÜ. 4. Andım Oben Balce ve Serdar Demir, İstatistik Ders Notları, Pamukkale Üniversitesi, 2007. 5. Ayşe Canan Yazıcı, Biyoistatistik Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 6. Zehra Muluk ve Yavuz Eren Ataman, Biyoistatistik ve Araştırma Teknikleri Ders Notları, Başkent Üniversitesi. 24