DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI PROJENİN ADI: EULERİN PEDAL ÜÇGEN FORMÜLÜNÜ KULLANARAK PEDAL DÖRTGENLER İÇİN YENİ BİR FORMÜL GELİŞTİRME MEVKOLEJİ ÖZEL BASINKÖY ANADOLU LİSESİ DANIŞMAN:ELİF GÜLER İSTANBUL-014 İçindekiler 1
Giriş... 3 Amaç... 3 Yöntem... 3 Sonuç... 9 Kaynakça... 9
GİRİŞ: Pedal Çokgen: P noktasından bir çokgenin kenarlarına inilen dikme ayaklarının oluşturduğu yeni çokgene P merkezli pedal çokgen diyelim. AMAÇ: Bu projede, bir kirişler dörtgenin P merkezli pedal dörtgenin alanı araştırılmıştır. Pedal dörtgen için bulunan teoremin ispatında Eulerin pedal üçgen için bulduğu teorem kullanılmıştır. YÖNTEM: Bu projedeki teorem Eulerin pedal üçgen için bulduğu alan teoreminden esinlenerek düşünülmüştür. Bu proje diğer pedal çokgenler için de benzer araştırmalar yapılmasına zemin hazırlamıştır. Bir kirişler dörtgenin P merkezli pedal dörtgeninin alanı Giriş: İlk olarak Eulerin pedal üçgen için bulduğu teoremi ispatlayalım. 3
Teorem: A( Pedal üçgen) A( A BC ) R OP İspat: P den A B C nin kenarlarına inilen dikme ayakları D,E,F olsun. P EC PFC 90 olduğundan PECF çemberseldir. Bu çemberden P E F PCF bulunur. Benzer şekilde ADPE de çemberseldir. Buradan DE P DAP, çevrel çemberden de BAK BCK bulunur. DE F PCK olduğu görülür. Çevrel çemberden A BC A KC bulunur. 4
PCK da sinüs teoreminden; PK.sin( AK C) PC.sin( PC K) veya PK. sin B PC.sin( D E F) ADPE çemberinde AP çap olduğundan; AP.sin A = DE Benzer şekilde; PC. sinc EF A B C DE EF D E F Çarparsak; AP. PK.sin.sin.sin..sin( ) Kuvvetten AP. PK = ve R OP A(A BC) R sin A. sin B. sin C dir. Bu durumda; 1 1 A( D E F). DE. EF.sin( D E F) ( R OP ).sin A. sin B. sin C 1 ( R OP ) sin A. sin B. sin C R OP A( D E F) A( A BC) R.sin A.sin B. sin C 5
Bu paralel üçgenle aynı alana sahip diğer pedal üçgenlerin merkezlerinin geometrik yeri O merkezli OP yarıçaplı bir çemberdir. Pedal dörtgen için bulduğumuz teorem; P den kenarlara inilen dikme ayakları, E,F,G,H köşegenlerin kesişim noktası K, çevrel çember merkezi O ve P den OK ya inilen dikme ayağı M ise; R OM. OK A( EFGH ) A( ABCD) R İspat: P den BD ye inilen dikme ayağı Z olsun. Eulerin tereminden; R A (ZHG) A(BCD). DP A (E ZF) = A(A DB ). Toplarsak; A (ZHG) 6 R OP +A (E ZF) =A(ABCD). R OP
D EP DZP DHP 90 olduğundan DEZPH çemberseldir. Bu çemberden ZHE ZDE BCA ve ZE H ZDH BAC bulunur. Yani A BC E ZH Öyle ki ise PD dir. A B C nin çevrel çember çapı R, ZH E dır. ın ki Bu durumda; Benzer şekilde; Toplarsak; AE Z H A( F Z G) A( A BC). PD A( A DC). PB A( ABC). PD A( ADC). PB A( E Z H) A( F Z G) BP D de steawarddan; BK. PD DK. PB BD DK. KB KP BK A( ABC) DK A( ADC) ve BD A( ABCD) BD A( ABCD) olduğundan A( ABC). PD A( ADC). PB A( ABCD) KP DK. KB Kuvvetten DK. KB R OK A( ABC). PD A( ADC). PB = A( ABCD).( KP R OK ) 7
A( ABC). PD A( ADC). PB ( KP R OK ) A( E Z H) A( F Z G) A( ABCD). R A( Z H G) A( E Z F) A( ABCD) OP Toplarsak ; A( E F GH ) A( ABCD). R KP OP OK Pisagordan; KP KM OP OM KP OP KM OM ( KM OM )( KM OM ) KP OP OK ( KM OM ) OK OK KP OP OK OK ( KM OM OK ) KP OP OK OM. OK OM OK A( EFGH ) R KP OP OK R OM. OK R OM. OK A( ABCD) R Buradan EFGH ile aynı alana sahip diğer pedal dörtgenlerin merkezlerinin geometrik yerinin OK ya dik olan bir doğru olduğu görülür. 8
SONUÇ: Kirişler dörtgeni olmayan herhangi bir dörtgende, alanları aynı olan pedal dörtgenlerin merkezlerinin geometrik yerinin bir çember olduğunu kanıtladık. Diğer pedal çokgenler için çalışmalarımız devam ediyor. Kirişler beşgenindeki pedal beşgen için aynı alana sahip diğer pedal beşgen merkezlerinin çember çizdiğini de fark ettik. Alanları eşit pedal n+1 genlerin merkezlerinin çember, pedal n genlerin de doğru veya çember çizdiğini düşünüyoruz. Gelecekte pedal n ve n+1 genlerin alanları için genel teoremler bulunabilir. TEŞEKKÜR: Çalışmalarımızda bize yardımcı olan Matematik Öğretmenimiz ELİF GÜLER e, okul yöneticilerimize, öğretmenlerimize, tüm arkadaşlarımıza ve okul çalışanlarına teşekkürü bir borç biliriz. KAYNAKÇA: 1. H.S.M. Coxeter And S.L. Greitzer, Geometry Revisited. Meraklısına Geometri, Ömer Gürlü, Zambak Yayınları 3. 100 Yılın Geometri Olimpiyat Soruları, Altın Nokta Yayınları 4. Challenging Problem in Geometry 9
10