2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A P (X için (A 0 dır. (iii n N için (A n, P (X deki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: 1 n N için A n ise A n (A n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere n n 0 için A n, m, n n 0 için A n, A m ve A n A m olsun. A n A n nn 0 +1 olup A n 1 dir. Diğer yandan (A n (A n 1 + 1 +... + nn 0 +1 1
olduğu dikkate alınırsa A n (A n olduğu görülür. Üçüncü duruma bakmaya gerek yoktur. Dolayısıyla fonksiyonu P (X üzerinde bir ölçü değildir. SORU 2: A sınıfıx üzerinde σ cebir, dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçü ve A A sabitlenmiş bir küme olsun. E A için ν (E : (E\A olarak tanımlanan ν dönüşümü A üzerinde ölçü müdür? ÇÖZÜM 2: (i ν ( : ( \A ( 0. (ii, A üzerinde bir ölçü olduğundan ν (E (E\A 0 gerçeklenir. (iii n N için (E n, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Bu durumda m n olmak üzere (E n \A (E m \A olup (E n \A dizisi A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Dolayısıyla dönüşümü 2
A üzerinde ölçü olduğundan ν E n ( E n \A (E n \A (E n \A ν (E n sağlanır. Sonuç olarak ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 3: 1,..., n ; A σ cebiri üzerinde ölçü ve a 1,..., a n negatif olmayan reel sayıise A üzerinde ν (E : n a k k (E k1 ile tanımlıν dönüşümü ölçü müdür? n ÇÖZÜM 3: (i ν ( a k k ( 0. k1 (ii 1,..., n ölçü olduğundan E A için ν (E n a k k (E 0. k1 (iii (E m, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. 1 k n için k dönüşüm- 3
leri ölçü olduğundan ν E m m1 olup istenilen elde edilir. ( n a k k E m k1 m1 [ n ] a k k (E m k1 n k1 m1 m1 a k k (E m ( n a k k (E m m1 k1 m1 ν (E m Dolayısıyla ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 4: (X, A ölçülebilir uzay ve ( n ölçü dizisi için n (X 1 ( n N 2 olsun. A üzerinde tanımlı β (E : dönüşümü ölçü müdür? Ayrıca β (X? ( n 2 3 n (E ÇÖZÜM 4: (i β ( ( 2 n n ( 0. 3 (ii Keyfi E A ve n N için n (E 0 olduğundan gerçeklenir. ( 2 n n (E 0 3 4
(iii (E m A daki ayrık kümelerin dizisi olsun. ( n ölçü dizisi olduğundan β m1 E m ( ( n 2 3 n E m m1 ( ( n 2 3 n (E m m1 ( n 2 3 n (E m β (E m m1 m1 yazılabilir. Burada n (E m n (X 1 2 ve serilerin yerleri değiştirilebilmiştir. tanımlar. Diğer yandan elde edilir. β (X ( 2 n 3 serisi yakınsak olduğundan O halde β dönüşümü A üzerinde bir ölçü ( n 2 3 n (X 1 2 ( n 2 1 3 SORU 5: A sınıfıx üzerinde σ cebir, dönüşümü A üzerinde ölçü olsun. B ve B A olmak üzere K : {A X : A B C, C A} olsun. ν (A : (A B şeklinde tanımlıν dönüşümü K üzerinde ölçü müdür? 5
ÇÖZÜM 5: 2.1 Bazı Küme Sınıfları kesimindeki Soru 8 den K sınıfı X üzerinde σ cebirdir. (i ν ( ( B 0 dır. (ii Keyfi A K için ν (A (A B 0 sağlanır. (iii (A n dizisi K daki ayrık kümelerin dizisi olsun. (A n B dizisini dikkate alalım. m n olmak üzere (A n B (A m B olduğu göz önüne alınırsa (A n B A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Ayrıca dönüşümü A üzerinde ölçü olduğundan (( ν A n A n B (A n B (A n B bulunur. O halde ν dönüşümü K üzerinde ölçüdür. ν (A n SORU 6: (a n negatif olmayan sayıların dizisi olsun. P (N üzerinde tanımlı 0 ; E (E : a n ; E n E 6
biçiminde tanımlanan dönüşümü P (N üzerinde ölçü müdür? a n 1 n(n+1 ise (N? ÇÖZÜM 6: (i ( 0 dır. dır. (ii KeyfiE P (N alalım. E ise (E 0, E ise (E n E a n 0 (iii (E n, P (N deki ayrık kümelerin dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: ( 1 n N için E n olsun. Bu durumda E n olup E n ( 0 dır. Diğer yandan n N için (E n 0 olduğundan E n (E n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere m, n n 0 için E n, E m, E n E m (m n ve 7
n n 0 için E n olsun. Bu durumda E 1,..., E n0 kümeleri ayrık olduğundan istenilen elde edilir. E k k1 ( n0 k1 E k a n n 0 n E k k1 n (E 1... E n0 a n n E 1 a n +... + n E n0 a n (E 1 +... + (E n0 n 0 k1 (E k (E k k1 3 m, n N için E n E m (m n ve E n olsun. E n kümeleri ayrık olduğundan E k k1 a n n E k k1 n (E 1... E n... a n a n +... + a n +... n E 1 n E n (E k k1 olur. 8
Dolayısıyla dönüşümü P (N üzerinde ölçüdür. (N n N bulunur. 1 n (n + 1 lim m m ( 1 n 1 ( lim 1 1 1 n + 1 m m + 1 SORU 7: X bir küme, A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. E 1, E 2 A ve dönüşümü A üzerinde bir ölçü olmak üzere (E 1 E 2 (E 1 + (E 2 (E 1 E 2 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 7: E 1 E 2 ise (E 1 E 2 0 olup ölçü olduğundan (E 1 E 2 (E 1 + (E 2 gerçeklenir. E 1 E 2 olsun. E 1 E 2 E 1 (E 2 \E 1 olduğu dikkate alınırsa (E 1 E 2 (E 1 (E 2 \E 1 (E 1 + (E 2 \E 1 (1 yazılabilir. Ayrıca E 2 (E 1 E 2 (E 2 \E 1 olarak yazılabileceğinden (E 2 (E 1 E 2 + (E 2 \E 1 (2 9
gerçeklenir. (E 1 E 2 < ise (2 ifadesi (1 ifadesinde dikkate alındığında (E 1 E 2 (E 1 + (E 2 (E 1 E 2 elde edilir. SORU 8: (X, A, bir ölçü uzayıolsun. B : {E A : (E 0} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? (a E B, F A ise E F B (b n N için E n B ise olduğunu gösteriniz. E n B ÇÖZÜM 8: üzerinde N {1, 2, 3,...} olmak üzere doğal sayıların kuvvet kümesi (E : n (E ; E sonlu ise + ; E sonlu değil ise dönüşümü tanımlansın. Burada n (E ifadesi E kümesinin eleman sayısıdır. ( dönüşümü P (N üzerinde ölçüdür. O halde N, P (N, ölçü uzayıdır. Şimdi B sınıfını ölçüsü için tanımlayalım: B : { E P (N : } (E 0 10
(N + 0 olduğundan N / B dir. Dolayısıyla B sınıfı σ cebir olmak zorunda değildir. (a E B ise E A dir. A sınıfıσ cebir olduğundan E F A olmalıdır. E F E gerçeğinden 0 (E F (E 0 sağlanıp (E F 0 olur. Yani E F B bulunur. (b F 1 E 1 F n E n \ ( n 1 k1 E k, n > 1 olmak üzere (F n dizisini göz önüne alalım. Bu durumda (F n, A daki ayrık kümelerin dizisi olup gerçeklenir. E n F n E n A olduğu açıktır. ölçü olduğundan ( E n F n (F n (3 yazılabilir. n N için F n E n olduğundan (F n (E n gerçeklenir. n N için E n B olmasından E n A ve (E n 0 sağlanır. Buradan da n N için (F n 0 elde edilir. (3 ifadesi dikkate alınırsa E n 0 olup E n B istenileni bulunur. 11