c

XIV. Ulusal (LİSE) Matemat ık Ol ımp ıyatı 2009 Sorular ve Çözümler ı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Tübitak Bilim Adamı Yetiştirme grubu tarafından her yıl Lise öğrencilerinin katılımı ile Bilim Olimpiyatları kapsamında gerçekleşen Matematik Olimpiyatları soru ve çözümleri ilerleyen sayfalarda verilmiştir. Çözümler mümkün olabildiğince elementer teknikler kullanılarak yapılmıştır. Çözümlerin yapılmasında ve L A TEX 2ε ile yazılmasında emeği geçen arkadaşlarımıza 1 teşekkür ederiz. Tüm çözümlerin yayın hakkı sadece Tubitak a ve yayın hakkı almış yayınevlerine 2 aittir. Sizde tüm yılların çözümleri için bu yayınevlerinin kitaplarını edinebilirsiniz. Kolay gelsin. 1 Alparslan Kargın, Fatih Kürşat Cansu, Sibel Kılıçarslan Cansu 2 Altın Nokta Yayınları, www.nokta2000.com.tr 1

Soru 1. ABCD karesinin [BC] kenarı üstünde bir E noktası ve [ED] üstünde bir F noktası için, DF = BF ve EF = BE ise, m( DF A) nedir? (a)45 (b)60 (c)75 (d)80 (e)85 Çözüm. Sorunun çözümünü aşağıdaki şekilden takip etmeye çalışalım. Şekilden, m( F BE) = m(êf B) = a olarak alırsak, olacağı açıktır. Buradan, m( F DB) = m( F BD) = a/2 m( DBE) = m(âdb) = 3a/2 = 45 olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Buna göre, a = 30 olacaktır. Buradan sonra, ADF B dörtgenini incelememiz çözüme gitmemize yardımcı olacaktır. Bu dörtgenin verilen kenar eşitlikleri incelendiğinde bir deltoid olduğu kolaylıkla görülecektir. Bir deltoidte köşegenler dik kesiştiğine göre, m( F QD) = 90 olacaktır. Buna göre, DQF üçgeninin iç açıları hesaplandığında, soruda istenilen açı, m( DF A) = 75 bulunacaktır. D b C 3a/2 a/2? Q F a 2a E A a/2 45 o a B Şekil 1: Soru 1 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 2 www.sbelianwordpress.com c

Soru 2. a 2 + b 4 = 5 n eşitliğini sağlayan kaç (a, b, n) pozitif tamsayı üçlüsü vardır? (a)1 (b)2 (c)3 (d)4 (e)sonsuz çoklukta Çözüm. Önce soruda verilen denklemi düzenleyelim, a 2 + b 4 = 5 n (a) 2 + (b 2 ) 2 = 5 n Buna göre yukarıdaki denklemi sağlayan kaç (a, b) ikilisi olduğunu bulursak çözüme ulaşacağız. Buna göre, a = 3 b = 2 n = 2 a = 3 5 b = 5 2 2 n = 4 a = 3 5 2 b = 5 2 2 2 n = 6 a = 3 5 3 b = 5 3 2 2 n = 8 a = 3 5 4 b = 5 4 2 2 n = 10.. Eşitliklerinden de açıkça görülmektedir ki, soruda verilen denklemi sağlayan sonsuz sayıda (a, b) ikilisi bulmak mümkündür. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 3 www.sbelianwordpress.com c

Soru 3. x = 3 11 + 337 + 3 11 337 olduğuna göre, x 3 + 18x kaçtır? (a)24 (b)22 (c)20 (d)11 (e)10 Çözüm. Eğer x = a + b ise, x 3 = (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) olacaktır. Buna göre, x 3 = 11 + 337 + 11 337 + 3 3 121 337 x = 22 + 3 3 121 337 x = 22 + 3 ( 6) x eşitliğinden x 3 + 18x = 22 olarak bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 4 www.sbelianwordpress.com c

Soru 4. Biri 5 diğeri 7 ile bölünebilen iki bileşik pozitif tamsayının toplamı şeklinde yazılamayan en büyük tamsayı kaçtır? (a)82 (b)47 (c)45 (d)42 (e)hiçbiri Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 5 www.sbelianwordpress.com c

Soru 5. Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait dış teğet çemberin yarıçapı 30 ise bu üçgenin çevresinin uzunluğu nedir? (a)40 (b)45 (c)50 (d)60 (e)75 Çözüm. Çözümü şekilden takip edelim. Bir çembere aynı noktadan çizilen teğet uzun- E x 30 O A x 30 30-x T y B 30-y C y D Şekil 2: Soru 5 lukları eşit olduğundan, AE = AT = x ve CT = CD = y olacaktır. Buna göre, sırasıyla BC ve AB uzunlukları 30 y ve 30 x birim uzunluğunda olacağından, ABC üçgeninin çevresi, olacaktır. 30 x + 30 y + x + y = 60 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 6 www.sbelianwordpress.com c

Soru 6. a 2 b + ab 2 = 2009201020092010 eşitliğini sağlayan kaç (a, b) tamsayı ikilisi vardır? (a)4 (b)2 (c)1 (d)0 (e)hiçbiri Çözüm. Eğer soruda verilen eşitliği sırasıyla (mod3) ve (mod9) altında incelersek, ab(a + b) 1(mod3) ve ab(a + b) 1(mod9) denkliklerini elde ederiz. Burada, ifademiz eğer (mod3) altında 1 e denkse, a 0, 1, 2(mod3) veya b 0, 1, 2(mod3) olacağından olmalıdır. Buradan da, a 2(mod3) ve b (mod3) a 2, 5, 8(mod9) ve aynı şeklide b 2, 5, 8(mod9) olur. Şimdi burada ki ikililere (mod9) altında bakalım. Buna göre incelememiz gereken ikililer, (2, 2); (2, 5); (5, 5); (5, 8); (8, 8); (2, 8) olacaktır. Bu ikililer sırasıyla (a, b) değişkeni olarak alınırsa, hiç birinin (mod9) altında 1 e eşit olmadığını görmek zor değildir. Buna göre, soruda verilen eşitliği sağlayan bir (a, b) tamsayı ikilisi yoktur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 7 www.sbelianwordpress.com c

Soru 7. x 4 + 2x 3 8x 2 6x + 15 ve x 3 + 4x 2 x 10 polinomlarının ortak olmayan gerçel köklerinin çarpımı kaçtır? (a) 4 (b)4 (c) 6 (d)6 (e)hiçbiri Çözüm. Soruda verilen iki polinomuda çarpanlarına ayırarak çözüme gitmeye çalışalım. Bına göre, x 4 + 4x 2 x 10 = (x + 2)(x 2 + 2x 5) ve x 4 + 2x3 8x 2 6x + 15 = (x 2 3)(x 2 + 2x 5) eşitliklerinden birinci ve ikinci polinomun ortak olmayan kökleri sırasıyla, olcaktır. Buna göre soruda istenilen çarpım olarak bulunur. x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 2 3 6 = 6 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 8 www.sbelianwordpress.com c

Soru 8. {1, 2,..., n} kümesi iki alt kümeye nasıl ayrılırsa ayrılsın, altkümelerden en az birindeki iki farklı elemanın toplamı bir tamkare oluyorsa, n en az kaçtır? (a)13 (b)14 (c)15 (d)16 (e)17 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 9 www.sbelianwordpress.com c

Soru 9. Dışbükey bir ABCD dötgeninin köşelerinin kesişim noktası E olmak üzere AEB, BEC, CED ve DEA üçgenlerinin çevre uzunlukları birbirine eşittir. AEB, BEC ve CED üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla 3, 4 ve 6 ise DEA üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır? (a) 9 2 (b) 7 2 (c) 13 3 (d)5 (e)hiçbiri Çözüm. Şekildeki ABCD dörtgeninde, C D r=? r=6 r=3 r=4 B A Şekil 3: Soru 9 A(DEC) A(EAB) = A(DEA) A(CEB) eşitliğini kullanalım. Oluşan dört üçgeninde çevreleri eşit uzunlukta olduğuna göre yarıçevreleri yani u değerleri de eşit olacaktır. Buna göre, ise A(DEC) = u r A(EAB) = 4 u A(DEA) = 3 u A(CEB) = 6 u u r 4 u = 3 u 6 u (1) 4 r = 18 (2) r = 9 2 (3) bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 10 www.sbelianwordpress.com c

Soru 10. n tam sayısının kaç farklı değeri için n 4 + 4n 3 + 3n 2 2n + 7 sayısı asaldır? (a)1 (b)2 (c)3 (d)4 (e)sonsuz çoklukta Çözüm. n 4 + 4n 3 + 3n 2 2n + 7 = (n + 1) 4 3(n + 1) 2 + 9 = ( (n + 1) 2 + 3 ) 2 9(n + 1) 2 = (n 2 + 2n + 4) 2 9(n + 1) 2 = (n 2 + 2n + 4 3n 3)(n 2 + 2n + 4 + 3n + 3) = (n 2 n + 1)(n 2 + 5n + 7) çarpmı asal sayı olacaktır. Burada, n 2 n + 1 = 1 ve n 2 + 5n + 7 = p olarak alınırsa, olacaktır. Buradanda, n = 0 veya n = 1 p 1 = 7 ve p 2 = 13 asallları elde edilir. Benzer biçimde, n 2 + 5n + 7 = 1 ve n 2 n + 1 = p olarak alınırsa bulunur. Buradan da, elde edilir. Buna göre, n = 2 veya n = 3 p 3 = 7 ve p 4 = 13 n {0, 1, 2, 3} değerleri için ifade asaldır. Alternatif Yöntem: n 4 + 4n 3 + 3n 2 2n + 7 = (n 2 + an + b)(n 2 + cn + d) eşitliği kullanılarak soruda verilen polinom kolaylıkla son eşitlikte polinom eşitliğinden katsayılar bulunarak çarpanlarına ayırılabilirdi. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 11 www.sbelianwordpress.com c

Soru 11. Her n pozitif tamsayısı için, a n 0 ve a n a n+3 = a n+2 a n+5 koşullarını sağlayan bir (a n ) n=1 gerçel sayı dizisinde a 1a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 = 6 ise a 1 a 2 + a 3 a 4 + + a 41 a 42 =? (a)21 (b)42 (c)63 (d)882 (e)hiçbiri Çözüm. Buradan da, a n a n+3 = a n+2 a n+5 = a n+4 a n+7 ise, (4) a n+1 a n+4 = a n+3 a n+6 olur. (5) a n a n+3 = a n+4 a n+7 (6) a n+1 a n+4 = a n+3 a n+6 (7) olacaktır. Eğer (6) ve (7) eşitliklerini taraf tarafa çarparsak, eşitliği elde edilir. Buna göre, olduğuna göre, soruda istenilen toplam olacaktır. a n a n+1 = a n+6 a n+7 (8) a 1 a 2 = a 7 a 8 = a 13 a 14 = = a 37 a 38 (9) a 3 a 4 = a 9 a 10 = a 15 a 16 = = a 39 a 40 (10) a 5 a 6 = a 11 a 12 = a 17 a 18 = = a 41 a 42 (11) 7(a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 ) = 7 6 = 42 Alternatif Yöntem: Soruyu daha kısa bir biçimde genelliği bozmadan, a i = 2 olarak alırsak, soruda istenilen şartları sağladığı için a 1 a 2 + a 3 a 4 + + a 41 a 42 = ( 2 2 + + 2 2 }{{} ) = 21 2 = 42 21 tane ikili çarpım olarak sonuca ulaşılabilirdi. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 12 www.sbelianwordpress.com c

Soru 12. Tam olarak yedi farklı rakamın kullanıldığı kaç tane sekiz basamaklı sayı vardır? (a) ( 9 3) 2 6! 3 (b) ( 8 3) 2 7! (c) ( 8 3) 2 7! 3 (d) ( 7 3) 2 7! (e) ( 9 4) 2 6! 8 Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 13 www.sbelianwordpress.com c

Soru 13. AB CD ve m(ĉab) < 90 olan ABCD yamuğunda, AB = 5, CD = 3 ve AC = 15 ise, BD nin alabileceği farklı tamsayı değerlerin toplamı nedir? (a)101 (b)108 (c)115 (d)125 (e)hiçbiri Çözüm. D 3 C 3x L 3/2 15/8 M 1 x N 3/2 K 4x A a<90 o 5 B Şekil 4: Soru 13 Çözümü şekilden takip etmeye çalışalım. Eğer yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını başlangıç ve bitiş noktası olarak kabul eden LK doğru parçasını çizersek, oluşacak üçgenlerin benzerliğinden ve kenarların paralelliğinden şekil üzerindeki uzunlukları elde edebiliriz. Buna göre, P M N üçgeninde, üçgen eşitsizliğini kullanarak, eşitsizliğine ulaşırız. Buradan, 7 8 < x < 23 8 7 < 8x = BD < 23 olacaktır. Ancak, m(dab) = 90 olduğuna göre, 8x = BD = 8, 9, 10,..., 16 değerlerini alabilir. Soruda istenen ise, BD uzunluğunun alabileceği değerler toplamı olacağına göre, 8 + 9 + 10 + + 16 = 108 istenen cevap olacaktır. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 14 www.sbelianwordpress.com c

Soru 14. bölünür? Kaç (m, n) pozitif tam sayı ikilisi için, 2008 2009 2010 sayısı mn ile (a)2 3 7 5 (b)2 5 3 5 (c)2 5 3 7 5 (d)2 3 3 5 5 2 (e)hiçbiri Çözüm. 2008 2009 2010 = 2 4 3 5 7 2 41 61 251 = m n p olsun. Buradan sonrası sadece 3 çocuğa 4 elma, 2 muz, 1 patates, 1 domates, 1 marul, 1 çilek, 1 ayva kaç değişik biçimde dağıtılabilir sorusuna dönüştü. Buna göre istenen cevap, olacaktır. ( ) ( ) ( ) 5 4 + 3 1 2 + 3 1 1 + 3 1 = 3 1 3 1 3 1 ( ) 6 2 ( ) 4 2 ( ) 5 3 = 2 3 7 5 2 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 15 www.sbelianwordpress.com c

Soru 15. x + y = 13 eşitliğini sağlayan (x, y) gerçel sayı ikilileri için, x 2 +7x 3y+y 3 ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz? (a)208 (b)15 2 (c) 35 2 (d)37 (e)hiçbiri Çözüm. x ve y değişkenlerinin negatif ve pozitif olma durumlarına göre denklemimizi düzenleyip çözüme ulaşmaya çalışalım. Eğer y > 0 ve x < 0 ise y = 13 + x olacaktır. buradan da, f(x) = x 2 + 7x 3(13 + x) + (13 + x) 2 = 2x 2 + 30x + 130 olacağından, f (x) = 4x + 30 = 0 eşitliğinden x = 15/2 ve y = 11/2 bulunur. f de yerine konulduğunda ise f( 15/2) = 35/2 değerini alır. İkinci durumda y < 0 ve x > 0 alalım. Buradan, x = 13 + y olacağından, f(y) = 2y 2 + 16y + 88 olacağından f (y) = 4y + 16 = 0 eşitliğinden y = 4 ve x = 9 olur. Burada f( 4) = 56 olarak bulunur. Benzer biçimde x ve y değişkenlerinin aynı anda pozitif olma yada negatif olma durumları da incelenirse soruda verilen şıklardaki değerlerin hepsinin bulunabilecek değerler olduğunu görmek zor değildir. Buna göre, doğru yanıt Hiçbiridir. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 16 www.sbelianwordpress.com c

Soru 16. x + 19y 0(mod23) ve x + y < 69 koşullarını sağlayan kaç (x, y) pozitif tamsayı ikilisi vardır? (a)100 (b)102 (c)105 (d)109 (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 17 www.sbelianwordpress.com c

Soru 17. ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir D noktası, AD = 8, BD = 13 ve m(âdc) = 120 koşullarını sağlıyorsa DC kaçtır? (a)12 (b)13 (c)14 (d)15 (e)16 Çözüm. A a 8 K a b 8 8 D 60 120 o o 60 o 13 13 x=? B C Şekil 5: Soru 17 Çözümü şekilden takip etmeye çalışalım. ABC bir eşkenar üçgen olduğuna göre, m( BAD) + m( DAC) = a + b = 60 olacaktır. Eğer, DAB üçgeninin bir eşini bir kenarı AC uzunluğu olacak biçimde taşırsak, m( DAK) = 60 olacaktır. Buna göre, ADK üçgeni bir eşkenar üçgen ve m( KDC) = 60 olacaktır.buradan, KDC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak, olacaktır. DC = x = 15 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 18 www.sbelianwordpress.com c

Soru 18. 1 n 455 ve n 3 1(mod455) koşullarını sağlayan kaç n tamsayısı vardır? (a)9 (b)6 (c)3 (d)1 (e)hiçbiri Çözüm. 455 = 13 7 5 olduğuna göre, n 3 1(mod5) n 1(mod5) n 3 1(mod7) n 1, 2, 4(mod7) n 3 1(mod13) n 1, 3, 9(mod13) olacağından, 1 3 3 = 9 tane n tamsayısı bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 19 www.sbelianwordpress.com c

Soru 19. a bir gerçel sayı; x 1 ve x 2, x 2 + ax + 2 = x denkleminin farklı iki kökü; x 3 ve x 4 de, (x a) 2 + a(x a) + 2 = x denkleminin farklı iki kökü olmak üzere, x 3 x 1 = 3(x 4 x 2 ) ise, x 4 x 2 nedir? (a)a/2 (b)a/3 (c)2a/3 (d)3a/2 (e)hiçbiri Çözüm. x 2 + ax + 2 = x ise bu denklemi düzenlediğimizde elde edeceğimiz x 2 + x(a 1) + 2 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. İkinci denklemimizi düzenlediğimizde de x 2 + x( a 1) + 2 = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin kökleride x 3 ve x 4 tür. Viete teoreminden, x 1 + x 2 = 1 a ve x 3 + x 4 = 1 + a olduğunu görmek zor değildir. Bu iki eşitliğin farkı alınırsa, (x 3 x 1 ) + (x 4 x 2 ) = 2a olarak bulunur. Burada x 3 x 1 = 3(x 4 x 2 ) eşitliği kullanılırsa, 3(x 4 x 2 ) + (x 4 x 2 ) = 2a 4(x 4 x 2 ) = 2a x 4 x 2 = a/2 olarak bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 20 www.sbelianwordpress.com c

Soru 20. İlk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tamsayıların sayısı A ve ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı B ise, A B kaçtır? (a)5000 (b)4640 (c)3200 (d)0 (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 21 www.sbelianwordpress.com c

Soru 21. ABC üçgeninde AB = AC ve m( BAC) = 80 dir. ABC üçgeninin iç bölgesindeki bir E noktası, AE = EC ve m(êac) = 10 koşullarını sağlıyorsa, m(êbc) nedir? (a)10 (b)15 (c)20 (d)25 (e)30 Çözüm. 10 o A 60 o 10 o 160 o 60 o 60o 140 o E C 10 o 20 o 20 o 10 o 40 o C Şekil 6: Soru 21 Çözümü şekilden takip etmeye çalışalım. Eğer, AEC üçgeninin bir eşini, AEB üçgeni içerisine taşırsak, ortada şekilde de görüldüğü üzere bir AER eşkenar üçgeni oluşacaktır. BR uzunluda RE uzunluğuna eşit olduğuna göre, istenilen, m(êbc) = 20 olduğunu görmek zor değildir. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 22 www.sbelianwordpress.com c

Soru 22. Her n 0 için, a n+1 = a 3 n + a 2 n koşulunu sağlayan bir (a n ) n=0 tam sayı dizisinin terimlerinin 11 e bölümünden kalanların oluşturduğu kümenin en çok kaç elemanı vardır? (a)2 (b)3 (c)4 (d)5 (e)6 Çözüm. Dizimizin ilk terimi önemlidir. Çünkü diğer elemanların hepsi bu ilk elemana bağlıdır. Buna göre, ilk elemanımıza (mod11) altında değerler atayıp çözüme gidebiliriz. Şimdi aşağıda ki tabloyu inceleyelim, a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 a 2 1 1 4 9 5 3 3 5 4 4 1 0 a 3 1 1 8 5 9 4 7 2 10 3 10 0 a 2 2 1 3 3 7 10 7 3 7 0 0 Buna göre oluşturabileceğimiz en uzun zinciri bulmaya çalışalım. Örneğin, {8, 3, 3,, 3} kümemizde iki farklı kalan varken, {6, 10, 0, 0,, 0} dizimizde üç farklı kalan olacaktır. Zaten yukarıdaki tablodanda açıkça görülmektedir ki dört farklı kalan içeren bir dizilim elde etmemiz imkansızdır. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 23 www.sbelianwordpress.com c

Soru 23. x bir gerçel sayı olmak üzere, x(x + 4)(x + 8)(x + 12) çarpımının alabileceği en küçük değer nedir? (a) 240 (b) 252 (c) 256 (d) 260 (e) 280 Çözüm. f(x) = x(x + 12)(x + 4)(x + 8) = (x 2 + 12x)(x 2 + 12x + 32) eşitliğinde A = x 2 + 12x olarak alırsak yeni denklemimiz, f(a) = A(A + 32) olacaktır. Bu fonksiyonun alabileceği en küçük değeri ister parabolden isterse türev alarak kolayca bulabiliriz. Buna göre, f (A) = 2A + 32 = 0 ise A = 16 olacağından f in alabileceği en küçük değer 256 olarak bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 24 www.sbelianwordpress.com c

Soru 24. xy düzlemine, m mavi ve k kırmızı dikdörtgen, kenarları eksenlere paralel olacak, eksenlerden herhangi birine paralel olan hiçbir doğru aynı renkte birden fazla dikdörtgeni kesmeyecek ve farklı renkte hangi iki dikdörtgen alınırsa alınsın, yalnızca bunları kesen ve eksenlerden birine paralel olan bir doğru bulunacak biçimde yerleştirilmişse, (m, k) tam sayı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz? (a)(1, 7) (b)(2, 6) (c)(3, 4) (d)(3, 3) (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 25 www.sbelianwordpress.com c

Soru 25. ABC üçgeninin iç teğet çemberi, BC, AC ve AB kenarlarına sırasıyla, A 1, B 1 ve C 1 noktalarında teğettir. AA 1 doğrusu, içteğet çemberi ikinci kez Q noktasında kesiyor. A 1 C 1 ve A 1 B 1 doğruları, A noktasından geçen ve BC ye paralel olan doğruyu sırasıyla, P ve R noktalarında kesiyor. m( P QC 1 ) = 45 ve m( RQB 1 ) = 65 ise, m( P QR) nedir? (a)110 (b)115 (c)120 (d)125 (e)130 Çözüm. P a b+c A a+d b R C 1 d 45 o a b c d+c d c Q 65 o b a d c B 1 B a b d A 1 c C Şekil 7: Soru 25 Sorunun çözümünü şekilden takip edelim. Çember üzerindeki açılar yerleştirilir ve paralellikler kulanılırsa, a + b + c + d = 180 olacaktır. Benzer biçimde P QR üçgeninde m( P QR) = m(ĉ 1 QB 1 ) olacağından üçgenin iç açıları toplamından d + c = m( P QR) = 125 olarak bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 26 www.sbelianwordpress.com c

Soru 26. Her 0 i 17 için, a i sayısı, 1, 0 veya 1 olmak üzere, a 0 + 2a 1 + 2 2 a 2 + + 2 17 a 17 = 2 10 eşitliğini sağlayan kaç (a 0, a 1,, a 17 ) on sekizlisi vardır? (a)9 (b)8 (c)7 (d)4 (e)1 Çözüm. Sorunun çözümü için 2 10 eşitini veren toplamları kontrol etmemiz yeterlidir. Buna göre, 2 10 = 2 10 (12) 2 11 2 10 = 2 10 (13) 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (14) 2 13 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (15) 2 14 2 13 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (16) 2 15 2 14 2 13 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (17) 2 16 2 15 2 14 2 13 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (18) 2 17 2 16 2 15 2 14 2 13 2 12 2 11 2 10 = 2 10 (19) olacaktır. Yukarıdaki eşitliklerden açıkça görülmektedir ki, toplam 8 tane sekizli vardır. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 27 www.sbelianwordpress.com c

Soru 27. f(x) = x 5 5x 4 10x 3 + 10x 2 5x + 1 ve, 1 i 2009 için, x i = ise, f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x 2009 ) toplamı kaçtır? i 2009 (a)1000 (b)1005 (c)1010 (d)2009 (e)2010 Çözüm. f(x) = x 5 x 5 +(1 x) 5 ve f(1 x) = (1 x)5 (1 x) 5 +x 5 olduğuna göre, f(x) + f(1 x) = x5 + (1 x) 5 x 5 + (1 x) 5 = 1 olacaktır. Buna göre, ise soruda istenilen toplam olur. ( ) ( ) 1 2008 f + f 2009 2009 ( ) ( ) 2 2007 f + f 2009 2009 ( ) ( ) 3 2006 f + f 2009 2009 = 1 = 1 = 1 ( ). =. 2009 f = 1 2009 1004 + 1 = 1005 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 28 www.sbelianwordpress.com c

Soru 28. Tüm tamsayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı alt kümeye düşmeyecek biçimde, n altkümeye aırılabiliyorsa, n en az kaçtır? (a)6 (b)5 (c)4 (d)3 (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 29 www.sbelianwordpress.com c

Soru 29. ABCD kirişler dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenleri, P noktasında kesişiyor. AP B ve CP D üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri, ABCD dörtgeninin çevrel çemberi üstünde ve AC + BD = 18 ise, ABCD dörtgeninin alanı nedir? (a)36 (b)81/2 (c)36 3/2 (d)81 3/4 (e)hiçbiri Çözüm. R O 1 A t t T 9/2 9/2 B P D C Şekil 8: Soru 29 Genelliği bozmadan, varsayalım ABCD bir dikdörtgen olsun. Buna göre, AP = P B = 81 9/2 olacaktır. Benzer biçimde AT = T B = t ise T P = 4 t2 ve O 1 T = 9 2 81 4 t2 olacaktır. Çemberde kuvvet özeliğinden, ise olduğuna göre, bulunur. t 2 = RT T B = AT T B 81 81 4 t2 (9 4 t2 ), ve t 2 = x x = 3 81 16 AT AB ve t = 9 3 4 = T B BC = 1 2 olduğuna göre, BC = 9/2 olacaktır. Buradan da, olarak bulunur. A(ABCD) = AB BC = 2 9 3 4 9 2 = 81 3 4 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 30 www.sbelianwordpress.com c

Soru 30. 11 2 +13 2 +17 2, 24 2 +25 2 +26 2, 12 2 +24 2 +36 2, 11 2 +12 2 +132 2 sayılarından kaçı bir tam sayının karesine eşittir? (a)4 (b)3 (c)2 (d)1 (e)0 Çözüm. 11 2 + 13 2 + 17 2 (20) 24 2 + 25 2 + 26 2 (21) 12 2 + 24 2 + 36 2 (22) 11 2 + 12 2 + 132 2 (23) Sorunun her ne kadar başka çözümleride olsa, modüler teknikle çözmek daha olimpiyadik olacağından bu yöntem izlenmiştir. Her hangi bir tam sayının karesi (mod3) te 0 veya 1 kalanı verir. Ancak (21) (mod3) altında 2 kalanı verdiğinden tam kare olamaz. Benzer biçimde bir tam sayının karesi (mod7) altında 0, 1, 2, 4 kalanları verir. Ancak (20) ifadesi 5 kalanı verdiğine göre tam kare olmasına imkan yoktur. (22) ifadesi 12 2 (1 + 2 2 + 3 2 ) = 12 2 14 olduğuna göre, bu ifadenin de tam kare olmasına imkan yoktur. Şimdi de (23)ifadesinin bir tam kare olup olmadığını inceleyelim. Eğer ifade tam kare ise, 11 2 + 12 2 + 132 2 = x 2 11 2 + 12 2 + 132 2 + 1 = x 2 + 1 (11 2 + 1)(12 2 + 1) = x 2 + 1 122 145 = x 2 + 1 122 145 145 = x 2 + 1 145 145 121 = x 2 144 = (x 12)(x + 12) ise x = 133 bulunur. Buna göre sadece, (23) tam karedir. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 31 www.sbelianwordpress.com c

Soru 31. x 3 + 3x 2 33x 3 2x 2 eşitsizliğini, x n koşulunu sağlayan her x gerçel sayısı için doğru kılan n tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir? (a)9 (b)8 (c)7 (d)6 (e)5 Çözüm. f(x) = x 3 + 3x 2 33x 3 ve g(x) = 2x 2 ise soruda bizden f(x) g(x) durumunu incelememiz istenmiştir. Sorunun çözümüne şıkları kullanarak gitmeye çalışalım. Eğer, x 5 ise x 5 veya x 5 olmalıdır. Yani, f(5) = 32 32 2 25 (24) f(6) = 123 123 2 36 (25) f(7) = 256 256 2 49 (26) f(8) = 437 437 2 64 (27) f(9) = 672 672 2 81 (28) ise (24) durumunun imkansız olduğu açıktır. Şimdi diğerleri için negatif değerleri kontrol edelim, f( 6) = 87 87 2 36 (29) f( 7) = 32 32 2 49 (30) f( 8) = 59 59 2 64 (31) f( 9) = 192 192 2 81 (32) buna göre, (29) ve (32) doğrulanmaktadır. Ancak, eğer (29) doğru ise, x 6 yani x 6 için dolayısıyla da x = 7 için doğru olmalıdır. Ancak yanlıştır. Buna göre sadece x 9 durumu doğru olarak bulunur. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 32 www.sbelianwordpress.com c

Soru 32. Her biri 4 elemanlı n kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, başlangıçtaki n kümeden birine eşitse, n en çok kaçtır? (a)3 (b)5 (c)7 (d)15 (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 33 www.sbelianwordpress.com c

Soru 33. ABC üçgeninin [AL] ve [BM] kenarortayları K noktasında kesişiyor. C, K, L, M noktaları çembersel ve AB = 3 ise, [CN] kenarortayının uzunluğu nedir? (a)1 (b) 3 (c)3 3/2 (d)3 (e)hiçbiri Çözüm. A M N M K 2k K k R 3k R B L C L C Şekil 9: Soru 33 Çözümü şekilden takip etmeye çalışalım. Bir üçgende kenarortaylar bir noktada kesiştiklerine göre, CN doğrusuda aynı noktadan geçecek ve AB kenarını, 3 AN = BN = 2 olacak şekilde ikiye ayıracaktır. LM doğrusu ise kenarların orta noktalarını birleştirdiği için orta tabandır ve benzerlikten dolayı R orta noktası olmak üzere, 3 MR = RL = 4 olacaktır. Soruda verildiğine göre, KLCM dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. Buna göre, KR RC = RM RL olacaktır. k değeri bu eşitlikten 1 4 olarak bulunur. Buna göre, olarak bulunur. CN = 6k = 6 1 4 = 3 2 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 34 www.sbelianwordpress.com c

Soru 34. x ve y farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, (x + y 2 )(x 2 y) xy ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri nedir? (a)3 (b)8 (c)14 (d)15 (e)17 Çözüm. Varsayalım m 2 olmak üzere, x = my veya y = mx olsun. Buna göre, çözümümüzü yaptığımız seçime göre şekillendirelim. x > y ise x = my olmalıdır. Buna göre, (my + y 2 )(m 2 y 2 y) my y = y2 (my + 1)(m 2 y 1) y 2 m = m 2 y 1 + y(m2 1) m olacaktır. Burada, m m 2 y 1 ise m y olmalıdır. Varsayalım, y = m t ve t 1 olsun. Buna göre, m 2 y 1 + y(m2 1) m = m 2 mt + mt(m2 1) m = (m 3 t 1) + (m 2 t t) = (t + 1)(m 3 t 1) olacaktır. Bu ifadenin en değeri için t = 1, m = 2 alırsak (2)(8 1) = 14 olacaktır. Şimdi ikinci durumu incelemeye geçelim. y > x ise y = mx olur. Buna göre, (x + m 2 x 2 )(x 2 mx) xmx = x(1 + m2 x)x(x m) xmx = (m2 x + 1)(x m) m = mx 2 1+ x(1 m3 ) m olacaktır. Buna göre, m x xm 3 ise varsayalım, x = mt, t 1 olsun. Öyleyse, m(m 2 t 2 ) 1 + mt(1 m3 ) m = (m 3 t 2 1) + t(1 m 3 ) (33) = m 3 t 2 tm 3 + t 1 (34) = tm 3 (t 1) + (t 1) (35) = (t 1)(tm 3 + 1) t = m = 2 alırsak (36) = (2 1)(2 2 3 + 1) = 17 (37) olacaktır. Demek ki en küçük değer 14 olmalıdır. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 35 www.sbelianwordpress.com c

Soru 35. Her n 2 için, a n = 3 n3 + n 2 n 1 ise, a 2 a 3 a k > 3 eşitsizliğinin sağlanması için k pozitif tam sayısının en az kaç olması gerekir? (a)100 (b)102 (c)104 (d)106 (e)hiçbiri n Çözüm. a n = 3 n 3 + n 2 n 1/n = 3 n 2 (n + 1) (n + 1)/n = 3 (n + 1)(n 2 1)/n = 3 (n + 1) 2 (n 1)/n şeklinde soruda verilen dizimizi düzenleyelim. Eğer ilk k elemanın çarpımını kontrol edersek, eşitliklerinden, a 2 = 3 1 3/2 a 3 = 3 2 4 2 /3. =. a k = 3 (k 1)(k + 1) 2 /k (a 1 a 2 a 3 a k ) 3 = 1 2 3 (k 1) 32 4 2 (k + 1) 2 (1 2 3 k) 3 = olduğundan, (k 1)![ (k+1)! 2 ] 2 (k!) 3 > 27 P (k) = (k 1)![ (k+1)! 2 ] 2 (k!) 3 = (k 1)!(k + 1)!(k + 1)! 4 k! k! k! = (k + 1)2 4k > 27 eşitsizliğinden, k 2 + 2k + 1 > 81 k + 1 k k olacağından, k değeri en az 106 olur. > 106 k 106 Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 36 www.sbelianwordpress.com c

Soru 36. Yüz kenti olan bir ülkedeki bazı kentler arasında yapılan tek yönlü uçak seferleri, başkentten başlayıp, ülkedeki her kentten en az bi kez geçerek, yeniden başkente dönmeyi mümkün kılan en az bir sefer dizisi bulunacak biçimde düzenlenmiştir. Böyle bir düzenlemede, bu şekildeki uçak seferi dizilerden sefer sayısı en az olanın sefer sayısı, bütün bu tür düzenlemeler arasında en çok kaç olabilir? (a)1850 (b)2100 (c)2550 (d)3060 (e)hiçbiri Çözüm. Bu belge sbelianwordpress.com a aittir. 37 www.sbelianwordpress.com c