D.E.Ü.İ.İ.B.F.Degisi il:3 Sayı:II Yıl:998 ss:73-84 LANLI BAKIM SİSTEMLERİ İÇİN BAZI STOKASTİK YENİLEME MODELLERİ Abdullah EROĞLU ( ÖZET Bi sisem ve sisemi oluşuan elemanlaın aızalanmalaı assaldı. Dolayısıyla sisemi meydana geien elemanlaın ömülei assal değişkenledi. Aızalala doğudan ilgisi nedeniyle bakım da assal nielik aşı. Bu nedenle bakım lanlamasında sokasik yenileme modelleinin önemli bi yei vadı. Bu çalışmada sokasik yenileme modelleinden yaş yenileme (age alacemen blok yenileme (block elacemen ve küçük amili yenileme (elacemen wih minimal eai a ailue modelleinin anıılması amaçlanmışı. Aıza veileinin aan aıza oanına sahi süekli ekdüze ve Weibull dağılımına uygun olması duumunda söz konusu modelle için çözüm sonuçlaı veilmişi.. GİRİŞ Üeimin lanlandığı gibi geçekleşiilebilmesi makine ve esisleden oluşan üeim siseminin düzenli bi biçimde çalışmasına bağlıdı. Öe yandan sisemin düzenli çalışması ise lanlı bakımla mümkündü. Bi sisem veya sisemi oluşuan elemanla kullanımla yıanmaka ve zamanla onksiyonunu am olaak yeine geiememekedile. Bunun yanı sıa beklenmedik zamanladaki aızalanmala sisemin diğe elemanlaına zaa vemeke ve daha köü sonuçlaın oaya çıkmasına neden olmakadı. Bundan dolayı sisemi aızalanıncaya kada kullanmak ekonomik olmamakadı. Bazı duumlada sisemin veya elamanlaının aızalanmadan önce yenilenmesi daha uygun olmakadı. Bi sisemin aızalanmadan önce yenilenmesine kouyucu yenileme adı veili. Kouyucu yenilemenin yaılması aşağıdaki koşullada uygundu. a Bi sisemin kouyucu yenileme maliyei aızalandıkan sona yenilenmesi maliyeinden daha az olmalıdı. b Sisemin aızalanma oanı (ailue ae aan olmalıdı. (Jadine A.K.S. 973 Sokasik yenileme modelleinde sisemin aızalanma davanışının belili bi dağılıma uyduğu vasayılı. Aızalanma dağılımı aıza veileinden elde edili. En çok kullanılan aıza dağılımlaı; weibull nomal ve gamma dağılımlaıdı. Yenileme modelleinde amaç olam yenileme maliyeini veya olam duuş süesini minimum yaan yenileme zamanının belilenmesidi. Bu ( Yd. Doç. D. S.D.Ü. İ.İ.B.F. İşleme Bölümü 73
Sokasik Yenileme Modellei çalışmada yalnızca olam yenileme maliyeleini minimum yamayı amaçlayan bazı sokasik yenileme modellei anıılacakı. Noasyonla : Sisemi aızalandıkan sona yenileme maliyei : Kouyucu yenileme maliyei : Küçük ami maliyei ( : Sisemin aıza olasılık yoğunluk onksiyonu F ( : o ( d : Biikimli aıza dağılım onksiyonu (Sisemin den önce aızalanma olasılığı F( - F ( : Güvenililik onksiyonu (sisemin en az zamanına kada aızalanmama olasılığı ( : ( F ( : Aızalanma oanı onksiyonu µ : o ( d : Sisemin oalama ömü N ( : ( aalığındaki aızalanma sayısı S n : n ane aızanın meydana gelmesi için geçen zaman F n ( : {S } : n S n nin biikimli dağılım onksiyonu M ( E N ( F n ( : ( aalığındaki beklenen aıza sayısı n ( (s M (s: : s M ( nin Lalace dönüşümü (s ( (: s ( nin Lalace dönüşümü m ( : dm( : Yenileme yoğunluğu onksiyonu d (enewal densiy uncion 74
. Yaş Yenileme Modeli Abdullah Eoğlu Bu modelde sisem ya aızalandığında ya da zamanında (hangisi önce olusa değişiili (yenileni. ( ; biim zamanda olam beklenen yenileme maliyei; ( Tolam beklenen yenileme maliyei Beklenen yenileme çevimi u zunluğu F( + F( (d + F( o şeklindedi (Özkaya G. 977 Balow R.E. ve diğelei 965. Amaç ( yi minimum yaan yenileme zamanının belilenmesidi. Bunun için ( denkleminin ye göe üevi alını sııa eşilenise ( d d ( - / [ ( + F( - ( ][ F( + F( ]} (d +.F( {[ ( ( ] (d +.F( olu. Buadan; ( ( (d + F( F( [( F ( + ] ( ( ( (d + (d + F( F( F ( F( F( F ( / F( F( - ( ( / F( olduğundan geekli düzenlemele yaılısa 75
Sokasik Yenileme Modellei ( ( d + ( F( / ( - ( denklemi elde edili. Aıza oanı onksiyonunun [ (]; süekli ve aan olduğu vasayılısa ( denkleminin ya gibi ek bi çözümü vadı ya da çözümü yoku. Çözümü olmaması olması anlamına geli bu da sisem aızalandığında değişiileceki demeki (Glasse G.J. 967. ( nin gibi ek bi çözümü olması halinde minimum maliyei bulmak için (denkleminden ( ( ( - nin eşii ( denkleminde yeine yazılısa. F( + ( - ( (d + ( ( - ( ( ( ( - ( - ( (d + - ( (d + (d + ( (d + F ( (d + F ( (d + F ( (d + ( F ( F ( F ( - F( (3 76
Abdullah Eoğlu bulunu. olması duumunda söz konusu maliye; F( F ( (d µ ve lim F( olduğundan ( elde edili. µ (4.. Aıza Veileinin Süekli Tekdüze Dağılıma Uyması Duumu Dağılımın olasılık yoğunluk onksiyonu; (Law A.M. and Kelon W.D. 98 ( b a a b d.d. biikimli dağılım onksiyonu - a F( b a a b b < ve aıza oanı onksiyonu ( b biçimindedi. k - ve m b - a olaak alınısa ( denklemi ( (k / m + [ / (m] + [ ( / m ] ve ( denklemi 77
Sokasik Yenileme Modellei m(b - + a m k olu. Buadan m m m a + a + m + b k k k elde edili. (3 denkleminden minimum maliye; ( olu. k b b.. Aıza Veileinin Weibull Dağılımına Uyması Duumu Dağılımın olasılık yoğunluk onksiyonu β ( - - -(/β > e d.d. biikimli dağılım onksiyonu F( -(/β - e > ve aıza oanı onksiyonu ( β - - dı. d.d. Söz konusu dağılım için ( denklemi β - ( - + β - e -(/β - -( /β d + ( β ( + e (5 78
Olu. (5 denkleminin Abdullah Eoğlu için analiik çözümü bulunmadığından nümeik meolala çözüm elde edilebili. Minimum maliye ise (3 denklemine göe - ( ( β ( olu. 3. Blok Yenileme Modeli Bu modelde sisem eiyodik k (k... zamanlaında değişiili. Bu aada sisem zamanından önceki aızalanmalada da değişiili. ( aalığındaki aızalanmala bi yenileme süeci (enewal ocess oluşuu (Ross S.M. 989. ( ; biim zamanda beklenen olam yenileme maliyei olsun. ( ( aalığındaki aızaladan dolayı beklenen yenileme maliyei eiyod Süesi zamanındaki yenileme maliyei M( + şeklinde iade edili (Kelle. ve diğelei 994. Amaç (6 yi minimum yaan yenileme eiyodunun ( bulunmasıdı. (6 denkleminin ye göe üevi alını sııa eşilenise; ( d d ( [ m( ( M( + ] / m( - M( / (7 elde edili. (7 denkleminden minimum maliye; ( bulunu. m( nin eşii (6 denkleminde yeine yazılısa (8 79
Sokasik Yenileme Modellei M( M( ; kesikli yaklaşım olaak bilinen M( olmak üzee [ + M( i ] i+ ( i i d denkleminden nümeik olaak elde edilebili (Jadine A.K.S. 973. 4. Küçük Tamili Yenileme Modeli Sisem eiyodik k (k... zamanlaında değişiili ve bu aada meydana gelen aızalanmala küçük amile gideili. Sisem ami edilmek sueiyle onksiyonunu yeine geiiyo ve aızalanma oanı değişmiyosa bu amie küçük ami adı veilmekedi (Beichel F. Fische K. 98 Jayabalan V. haudhui D. 995. Biim zamanda olam beklenen maliye 3 ( ( aalığındaki aızaladan dolayı beklenen yenileme maliyei eiyod Süesi zamanındaki yenileme maliyei ( (d + / (9 şeklindedi (Balow R.E. oschan F. 965. Minimum maliyei bulmak için (9 denkleminin ye göe üevi alını sııa eşilenise ( ( (. ( (d (d + / elde edili. Minimum maliye ise 3 ( olu. ( / ( ( 8
Abdullah Eoğlu 4.. Aıza Veileinin Süekli Tekdüze Dağılıma Uyması Duumu İlgili dağılım için ( denkleminden + ln ( /b / b - eşiliği elde edili. değei nümeik yönemle bulunaak minimum maliye ( 3 ( /(b (3 eşiliğinden bulunu. 4.. Aıza Veileinin Weibull Dağılımına Uyması Duumu İlgili dağılım için (9 denkleminden 3 ( β β - - - + d + / / (4 elde edili. (4 denkleminin ye göe üevi alını sııa eşilenise d3 ( - - - ( β - β - / d β > ( - (5 bulunu. Minimum maliye ; ( denkleminden 3 ( β elde edili. 5. Önek - ( - β( - ( - 8
Sokasik Yenileme Modellei 4 7 5 b 9 a β 6 veilei için daha önce anlaılan modellein çözüm sonuçlaı aşağıda veilmişi. Tekdüze 47 ( 79 Tekdüze M(.4648 538 ( 879 Tekdüze 8389 3 ( 4556 Weibull 6. SONUÇ 856 3( 46 Sokasik yenileme modelleinden yaş yenileme modelinde ( yenileme maliyeini minimum yaan ( ( d ( F ( / ( + eşiliğinin analiik çözümü çoğu dağılımla için yoku. Ancak nümeik çözümle elde edilebilmekedi. Model için en iyi yenileme zamanı dağılımın aameelei veildiğinde / ( oanının bi onksiyonu olmakadı. sabi uulu aııldığında azalmakadı. Bunun anlamı aızalanma sonucu yenilemenin maliyei aıkça kouyucu yenileme eiyodu azalmakadı. Blok yenileme modelinde yenileme maliyei ( yi minimum yaan m ( M ( / eşiliğinden nin analiik çözümü güç haa imkansızdı. Bu nedenle M( ; kesikli yaklaşım olaak bilinen nümeik yönemle bulunabili ve belilenebili. Küçük amili yenileme modelinde yenileme maliyei 3 ( yi minimum yaan ( ( d / eşiliğinden Weibull dağılımı ( > için analiik çözümü 8
Abdullah Eoğlu β ( / dı. Süekli ekdüze dağılım için nümeik yönemle bulunabili. Modellein uygulanabililiği büyük ölçüde aızalanmalaa ilişkin güvenili isaisik veilein bulunmasına bağlıdı. Güvenili isaisik veilei ise düzenli kayılaın uulması ile elde edilebili. Söz konusu aıza kayılaından aıza olasılık yoğunluk onksiyonlaı belilenebildiğinde yaş yenileme blok yenileme ve küçük amili yenileme modellei kuulabili ve çözüm sonuçlaı elde edilebili. ABSTRAT Since he ailue o he comonens which esablish a sysem is andom he lie o hese comonens is a andom vaiable. Since he mainenance has a diec connecion wih ailue i also has andom chaaceisics. Fo ha eason sochasic elacemen models have an imoan lace in mainenance lanning. The aim o his sudy is o inoduce sochasic elacemen models which ae age elacemen block elacemen and elacemen wih minimal eai a ailue. KAYNAKÇA BARLOW R.E. ROSHAN ve F. HUNTER L..( 965; Mahemaical Theoy o Reliabiliy John Wiley and Sons. New Yok. BEİHELT F. ve FİSHER K.( 98; Geneal Failue Model Alied o evenive Mainenance olicies IEEE Tansacion on Reliabiliy R-9 No:. GLASSER G.J.( 967; The Age Relacemen oblem Technomeics Vol. 9 No:. JARDİNE A.K.S. (973; Mainenance Relacemene and Reliabiliy John Wiley and Sons. New Yok. JAYABALAN V. ve HAUDHURİ D. (995; Relacemen olicies: a nea oimal algoihm IEE Tansacion 7 784-788. KELLE. SİLVER E.A. ve MURHY G.F. (994; os Analysis and Exension o a Simle Mainenence Scheduling Heuisic Naval Reseach Logisics Vol.4.945-958 83
Sokasik Yenileme Modellei LAW A.M. ve KELTON W.D. (98; Simulaion Modelling and Analysis McGaw Hill Inc.. ÖZKAYA G. (977; Kaniai Bakım lanlaması ve Dinamik Bi Sisem Yenileme Modeli Doçenlik Tezi İTÜ İsanbul. ROSS S.M. (989; obabiliy Models Academic ess Inc. 4.baskı. 84