18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90 Dakika. İstediğiniz 5 soruyu cevaplayınız. 1. I = [0, 1] R birim aralık ve S 1 R 2 birim çember olmak üzere f : I S 1, f(t) = e 2πit dönüşümünün homeomorfizma olup olmadığını belirleyiniz. Cevap : f dönüşümünün homeomorfizma olmadığını gösterelim. Bunun için f nin homeomorfizma olduğunu kabul edip çelişki elde edeceğiz. f homeomorfizma olduğundan I { 1 2 } S1 {( 1, 0)} homeomorfizması mevcuttur. Ancak I { 1 2 } uzayı yol bağlantısız iken S1 ( 1, 0) uzayı yol bağlantılı olacağından bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. Kabulümüz yanlıştır. O halde f dönüşümü homeomorfizma olamaz. 2. p : X Y sürekli ve örten bir dönüşüm olsun. Eğer p dönüşümü açık dönüşüm ise p identifikasyon dönüşümdür. İspatlayınız. Cevap : p : X Y örten, sürekli ve açık dönüşüm olsun. p identifikasyon dönüşüm : ( V Y, Y de açık p 1 (V ), X de açıktır.) ( :) p sürekli olduğundan aşikardır. ( :) p 1 (V ), X de açık olsun. p açık dönüşüm olduğundan p(p 1 (V )) = (pp 1 (V )), Y de açıktır. p örten dönüşüm olduğundan pp 1 (V ) = V dir. O halde V, Y de açıktır.
3. Z tamsayılar kümesi üzerinde n Z için {n} n tek B(n) = {n 1, n, n + 1} n çift olmak üzere B = {B(n) : n Z} koleksiyonunu baz kabul eden topolojiyi ele alalım. Y = Z + negatif olmayan tamsayılar kümesi olmak üzere z, z 0 f : Z Y, x f(x) = z, z < 0 dönüşümü verilsin. Bu durumda Y üzerindeki identifikasyon topolojisini belirleyiniz. Cevap : Y üzerindeki identifikasyon topolojisi τ Y = {G Y : f 1 (G) Z açık} şeklinde tanımlanır. Buna göre z Z için z tek ise f 1 ({z}) = { z, z} = B(z) B( z) kümesi Z de açık olduğundan {z} kümesi Y de açıktır. z çift ise f 1 ({z}) = { z, z} kümesi Z de açık değildir ancak f 1 ({z, z 1, z + 1}) = { z, z, z 1, z + 1, z + 1, z 1} = B(z) B( z) olacağından z çift tamsayısını içeren en küçük açık küme {z, z 1, z + 1} dir. 4. Aşağıda şekilde verilen çaydanlığı ve kapağınının bir ekli uzay yapısına sahip olduğunu açıklayınız. Cevap : Çaydanlığı ve kapağını R 3 ün birer alt kümeleri gibi düşünelim. Buna göre X uzayını çaydanlık, A kapalı alt kümesini çaydanlığın ağzı Y uzayını da çaydanlığın kapağı olarak düşünelim. A kapalı alt kümesi çembere ve Y uzayı ise diske homeomorftur. A alt kümesi Y nin sınır çemberine gömüleceğinden f : A Y sürekli dönüşümünü bu şekilde alabiliriz. Buna göre
şekildeki resmi X f Y ekli uzay gibi düşünebiliriz. 5. X kümesi üzerinde aşikar(indiskret) topolojisi tanımlı ve x 0 X olsun. a) x 0 baz noktalı herhangi bir f : I X kapalı yolunun x 0 noktasındaki e x0 : I X sabit dönüşümüne homotop olduğunu ispatlayınız. b) a) şıkkından hareketle Π 1 (X, x 0 ) temel grubunun aşikar grup olduğunu gösteriniz. Cevap : a) f ile e x0 arasında bir homotopi kurmamız gerekiyor. Bunun için x 0, t = 0 H : X I X, (x, t) H(x, t) = f(x), t (0, 1] dönüşümünü ele alalım. X üzerindeki topoloji aşikar olduğundan H dönüşümü süreklidir. Ayrıca H(x, 0) = x 0 = e x0 (x) ve H(x, 1) = f(x) olduğundan H fonksiyonu homotopi fonksiyonudur. b) Keyfi bir f : I X x 0 baz noktalı kapalı yolu x 0 noktasındaki e x0 sabit yoluna homotop olduğundan Π 1 (X, x 0 ) temel grubunda aynı denklik sınıfı içinde yer alacaklardır. Bu nedenle Π 1 (X, x 0 ) tek elemanlıdır, yani aşikar gruptur. 6. X bir topolojik uzay Y = Y 1 Y 2 çarpım uzayı ve f, g : X Y sürekli iki dönüşüm olsun. Eğer f ile g homotop iseler, bu takdirde π 1 : Y Y 1 birinci izdüşüm ve π 2 : Y Y 2 ikinci izdüşüm fonksiyonu olmak üzere k = 1, 2 için π k f ile π k g homotop olduğunu ispatlayınız. Cevap : f g olsun. Bu durumda H(x, 0) = f(x) ve H(x, 1) = g(x) olacak şekilde H : X I Y sürekli dönüşüm vardır. k = 1, 2 için K : X I Y k K(x, t) = π k H(x, t) dönüşümünü tanımlayalım. π k ve H sürekli olduğundan K da süreklidir. Ayrıca
K(x, 0) = π k f(x) ve K(x, 1) = π k g(x) olduğundan π k f π k g dir. 7. R 2 üzerinde çarpım topolojisi tanımlı ve A = {(x, y) : x y } R 2 alt uzayı olmak üzere Π 1 (A, (1, 1)) ile Π 1 (A, ( 1, 1)) gruplarının birbirine izomorf olup olmadığını açıklayınız. Cevap : A alt uzayı R 2 nin yol bağlantılı alt uzayıdır. Gerçekten de orjin noktası A ya ait olduğundan A daki herhangi iki nokta arasında bir yol mevcuttur. Bu nedenle temel grup baz noktasından bağımsız olur. O halde Π 1 (A, (1, 1)) ile Π 1 (A, ( 1, 1)) temel grupları izomorfturlar. 8. f : X Y homeomorfizma ise f nin indirgediği f : Π 1 (X, x) Π 1 (Y, f(x)) homomorfizmasının izomorfizma olduğunu ispatlayınız. Cevap : f sürekli olduğundan indirgediği homomorfizma f : Π 1 (X) Π 1 (Y ) [α] f ([α]) = [f α] şeklinde tanımlanır. f dönüşümü homeomorfizma olduğundan f k = 1 Y şekilde k : Y X sürekli dönüşümü vardır. f k = 1 Y olduğundan (f k) = 1 Π1 (Y ) elde edilir. Buradan ve k f = 1 X olacak f k = 1 Π1 (Y ) olacağından f surjektiftir. Benzer şekilde k f = 1 X olduğundan (k f) = 1 Π1 (X) elde edilir ve k f = 1 Π1 (X) olacağından f injektiftir. O halde f homomorfizması izomorfizmadır.
Teoremin tersi doğru değildir. R üzerinde standart topoloji ve D 2 R 2 diski de Eucilid uzayının alt uzayı olarak düşünülsün. Bu durumda R ve D 2 konveks olduklarından temel grupları aşikardır yani izomorftur. Ancak D 2 kompakt iken R kompakt olmadığından bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. Başarılar Dilerim. Prof. Dr. İsmet KARACA