SOYUT CEBİR SORULAR. tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös-

Transkript

1 SOYUT CEBİR SORULAR 1. S = { a b Q (a, b) = 1 ve 6 b} kümesini ele alalım. Rasyonel sayılar halkasıüzerinde tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığını 2. K = { a Q (a, b) = 1 ve 5 b} kümesini ele alalım. Rasyonel sayılar kümesi üzerinde tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös- b teriniz. Olmuyor ise nedenini açıklayınız. 3. R kümesi halka olma koşullarından her a, b R için a + b = b + a koşulu hariç diğer koşullarısağlayan bir sistem olsun. Eğer R birimli ise R nin bir halka olduğunu 4. R sıfır bölensiz bir halka, a, b R ve a 0 olsun. Bu taktirde ax = b denkleminin R halkasında en fazla bir çözümünün var 5. g : R R R R, g(x, y, z) = x 2y + 3z ile tanımlanan fonksiyonun örten olup olmadığını 6. m Z n sıfır bölen elemandır (m, n) 1 dir. Gösteriniz. 7. R birimli bir halka, her x R {0} için, x 2 = 1 R olsun. R halkasının bir cisim olup olmadığını 8. R, çift tamsayılar kümesi 2Z olsun. Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlıbulunan adi toplama ve çarpma işlemlerine göre R = 2Z kümesinin bir halka 9. A tamlık bölgesi, chara = 0 olsun. 0 n Z için na = 0 a = 0 olduğunu gösterin. 10. R bir halka olsun. M(R) = {a R x R için ax = xa} R kümesinin R halkasındaki işlemlere göre bir halka 11. R bir halka ve a R keyfi sabit bir elemanıolsun. R a = {x R ax = 0} altkümesini tanımlayalım. R a kümesinin R halkasındaki işlemler ile bir halka olup olmadığını 12. R bir halka ve b R olsun. C R (b) = {x R xb = bx} kümesinin bir althalka olup olmadığını 13. Bilinen adi toplama ve çarpma işlemlerine göre Z(2) = { a + b 2 a, b Z } kümesinin bir halka 14. KatsayılarıR halkasında olan bütün polinomların R [X] kümesinin polinomların toplama ve çarpma işlemleri ile bir halka 15. i = 1 olmak üzere Z [i] = {a + bi a, b Z} kümesinin bir tamlık bölgesi olduğunu fakat bir cisim olmadığını 16. R bir tamlık bölgesi ve 0 a R olsun. T : R R, T (x) = ax ile tanımlanan dönüşümün bire bir fonksiyon olduğunu ve eğer R sonlu elemanlı ise bu dönüşümün örten 1

2 17. (Z, +, ) halkasıve 2Z = {2x x Z} kümesi verilsin. 2Z kümesinin bir alt halka fakat 1 / 2Z 18. İki elemanlıbütün halkalarıbelirleyiniz. 19. Bir R halkasında x 2 = x oluyorsa x elemanına idempotent eleman denir. Z 30 halkasının bütün idempotent elemanlarınıbelirleyiniz. 20. Bir R halkasında x n = 0 olacak şekilde bir n Z tamsayısı var ise x elemanına nilpotent eleman denir. Z 30 halkasının bütün nilpotent elemanlarınıbulunuz. 21. Z n halkasıbir tamlık bölgesidir n bir asal tamsayıdır. 22. Bir cisimde birimi bulunduran her althalkanın bir tamlık bölgesi 23. A bir sonlu tamlık bölgesi olsun. (a) 0 a A olsun. 0 n ve na = 0 ise n tamsayısının A halkasının karakteristiğinin bir katı (b) A halkasının karakteristiği 0 ve 0 n için na = 0 ise a = 0 (c) chara = 3 ve 5a = 0 ise a = 0 (d) A halkasında (a + b) 2 = a 2 + b 2 olacak şekilde sıfırdan farklıa ve b elemanlarıvar ise A nın karakteristiğinin A sonlu, birimli ve değişmeli bir halka olsun. (a) A nın sıfırdan farklıher elemanının ya sıfır bölen veya tersinir (b) 0 a ve sıfır bölen değil ise a m = 1 olacak şekilde bir pozitif m tamsayısının varlĭgını (Y.G: a, a 2, a 3,... ele alıp, A sonlu olduğundan a n = a m olacak şekilde n < m pozitif tamsayısının bulunmasıgerekliliğini kullanınız.) 25. A bir tamlık bölgesi, a A, chara = p ve na = 0 olsun. Eğer n, p tamsayısının bir katıdeğilse a = R bir halka ve bir a R için, a 2 = 0 olsun. a elemanının her x R için, ax + xa elemanıile değişmeli 27. Aşağıdakileri (a) R bir bölüm halkasıolmak üzere ab = 0 a = 0 veya b = 0 (b) Bir cisminde,a 2 = b 2 a = b veya a = b 28. Z tamsayılar halkasında tersinir elemanların sadece 1 ve Z 5 halkasının tersinir (birimsel) elemanlarınıbulunuz. 2

3 30. Z Q Z halkasının tersinir (birimsel) elemanlarınıbulunuz. 31. Z 6 Z 15 halkasının karakteristiğini bulunuz. 32. Aşağıda tanımlanan bağıntıların bir fonksiyon olup olmadığını, birimi birime götürüp götürmediğini ve f(xy) = f(x)f(y) özelliğini sağlayıp sağlamadığını, sağlamıyor ise bir örnek vererek a) f : Z 3Z, f(x) = 3x ([ a b b) g : M(2, R) R, g c d lik matrisler halkası) c) h : Z Z Z, h(a, b) = ab d) p : Z 5 Z 5, p(x) = x 5 e) q : Z 4 Z 4, q(x) = x 4 ]) = a. (Burada M(2, R), Z cismi üzerindeki A bir sonlu tamlık bölgesi olsun. (a + b) 2 = a 2 + b 2 olacak şekilde sıfırdan farklıa ve b elemanlarıvar ise A nın karakteristiğinin Sıfırdan farlır, s R için, r 2 + s 2 = 0 olan bir halka örneği veriniz. 35. Z 42 halkasının tersinir elemanlarının kümesi U 42 bulunuz. 36. Z 2 Z 3 halkasındaki sıfır bölenleri ve tersinir elemanlarıbulunuz. 37. F bir cisim ise F [X] polinom halkasının bir tamlık bölgesi 38. Z 3 [X] halkasında p(x) = x 2 x 1 polinomunun indirgenemez olup olmadığını 39. R[X] halkasında x 2 x 1 indirgenemez olup olmadığını 40. Z 16 [X] halkasında x 2 6x + 5 polinomunu iki farklıolarak çarpanlarına ayırınız. 41. F bir cisim ve 0 a F olsun. a elemanıbir f(x) F [X] polinomunun bir kökü ise a 1 F elemanınında bir kök 42. x 6 + x 6 = 0 denklemini Z 14 halkasında bütün çözümlerini bulunuz. 43. x 2 + x + 1 Z[X] polinomunun indirgenemez polinom 44. 2x 4 + 3x 3 + x + 1 polinomunun, 3x polinomuna bölümünden kalanınıbuunuz. 45. x 2 + x + 1 polinomunun 2x + 3 polinomuna Z 5 [X] halkasında bölümünden kalanını bulunuz. 46. x polinomu Z 3 [X] halkasında indirgenemez polinomların çarpımı olarak (x 2 + 2) = (x + 1)(x + 2) yazılır. Z 3 [X] halkasında x polinomunun farklıindirgenemez polinomların çarpımıolarak yazınız. 3

4 47. H = Z 2 Z halkasıve A = {(x, 2y) : x Z 2, y Z} olsun. A kümesinin H halkasının bir ideali Ayrıca H A halkasınıbelirleyiniz. 48. R bir değişmeli halka, X R altkümesi olsun. Buna göre olarak tanımlanan altkümesi olsun. (a) Ann(X), R halkasının bir ideali, Ann(X) = {a R : ax = 0, x X} (b) X Y ise Ann(Y ) Ann(X) olduğunu, (c) Ann(X Y ) = Ann(X) Ann(Y ) olduğunu, (d) X Ann(Ann(X)) olduğunu 49. A, R halkasının bir ideali olsun. Buna göre, her S R alt halkasıiçin, A S kümesinin S nin bir ideali 50. I ve J, R halkasının iki ideali olsun. { n } IJ = i k j k k Z + için, i k I, j k J k=1 kümesinin R halkasının bir ideali 51. I, R halkasının bir sol ideali olsun. J = {r R x I için, rx = 0} kümesinin bir ideal olup olmadığını 52. p bir asal sayıve R = { a b a, b Z, b 0 ve p b} kümesi olsun. (a) R kümesinin Q rasyonel sayılar halkasının bir alt halkası (b) R halkasının tersinir elemanlarınıbulunuz. (c) R halkasının tersinir olmayan elemanlarının kümesi M nin bir ideal olduğunu 53. Aşağıdaki kümelerin Z Z halkasının ideali olup olmadığını (a) {(n, n) n Z} (b) {(5n, 0) n Z} (c) {(n, m) n m çift tamsayı} (d) {(n, m) nm çift tamsayı} (e) {(2n, 3m) n, m Z} 4

5 54. Z 12 halkasının bütün ideallerini bulunuz. 55. A bir halka, f : A A halka homomorfizmasıve B = {x R f(x) = x} olsun. B kümesinin A halkasının bir althalkası 56. A bir halka ve J, K iki ideali olsun. (a) J K = {0} ise j J ve k K için jk = 0 (b) A değişmeli bir halka olsun. a A için I a = {ax + j + k x A, j J, k K} kümesinin A nın bir ideali (c) A değişmeli bir halka olsun. a A için K = {x A ax = 0} kümesinin A nın bir ideali 57. Z tamsayılar halkasının bir esas ideal bölgesi 58. R birimli değişmeli bir halka ve M bir ideali olsun. Bir a R ve a / M elemanı için, I = {m + ra r R, m M} kümesini tanımlayalım. I kümesinin, M idealini kapsayan bir ideal 59. R birimli değişmeli bir halka ve I ( R) bir ideali olsun. R/I bir tamlık bölgesidir ab I ise ya a I veya b I olur. Gösteriniz. 60. I, R halkasının bir ideali olsun. R/I halkasındaki her eleman için, x 2 = x denkleminin sağlanmasıiçin gerek ve yeter koşulun her a R için, a 2 a I olmasıdır. Gösteriniz. 61. Q[X] halkasında, f(x) = x 2 x 2 ve g(x) = x 2 + 2x 3 fonksiyonlarıolmak üzere {f, g} ile üretilen ideali ve bu idealin bir esas ideal olup olmadığını 62. Z 8 halkasının S = { 0, 2, 4, 6 } alt kümesini ele alalım. a) S kümesinin bir ideal b) Z 8 /S halkasının elemanlarınıbelirleyiniz. 63. Z tamsayılar halkasında A =< 2 > ve B =< 8 > alt gruplarıveriliyor. a) A/B grubunun Z 4 grubuna izomorfik olduğunu, b) A ve B nin Z halkasının idealleri olduğunu c) A/B halkasının Z 4 halkasına izomorf olmadığını 64. Z 2 [X]/ < x 2 + x + 1 > bölüm halkasının 4 elemanlıbir cisim 65. R birimli değişmeli bir halka olsun. R halkasındaki tersinir olmayan elemanların kümesi N olsun. N nin bir ideal 5

6 66. Z[X] polinomlar halkasında, f(x) = x 3 ve g(x) = 2 polinomları veriliyor. Bu polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmadığını 67. Q[X] polinomlar halkasında, f(x) = x 2 4 ve g(x) = x 2 x 2 polinomlarıveriliyor. Bu polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmadığını 68. R bir tamlık bölgesi ve I, J, R nin sıfırdan farklıiki ideali olsun. O zaman I J {0 R } 69. R bir halka ve A ideali sıfır bölensiz olsun. (a) r R için, ra = 0 olacak şekilde 0 a A var ise ra = (0) (b) B = {r R ra = (0)} kümesinin R halkasının bir ideali (c) R/B halkasının sıfır bölensiz olup olmadığını 70. Q[X] polinomlar halkasında, f(x) = x 2 9 ve g(x) = x 2 2x 3 polinomlarıveriliyor. Bu polinomlar ile üretilen ideali belirleyiniz ve esas ideal olup olmadığını 71. R birimli bir halka, I ideali olsun. J, R halkasının tersinir elemanlarının kümesi olmak üzere, I J ise I = R olduğunu gösterin. 72. R birimli, değişmeli halka, A ve B iki ideali olsun. A + B = R ise A B = AB olduğunu gösterin. 73. Z[x] polinomlar halkasında, 2 ve x tarafından üretilen ideali bulun. Esas ideal olup olmadığınıbelirleyin. 74. R değişmeli bir halka olsun. Bu durumda a, b R için, (a)(b) = (ab) olduğunu 75. Z[x] polinomlar halkasında, 3 ve x 2 polinomlarıtarafından üretilen ideali bulunuz ve bu idealin esas ideal olup olmadığınıbelirleyiniz. 76. Aşağıdaki sorularda verilen kümelerin Z Z halkasının bir ideali olup olmadığınıbelirleyiniz. Nedenini açıklayınız. a) 8Z 11Z b) (8, 11) c) S = {(a, b) a + b = 0} d) T = {(a, b) a b = 0} 77. M(2, R) halkasının iki yanlıideallerinin sadece {0} ve halkanın kendisi 78. I bir R bölüm halkasının sol ideali olsun. I = {0} veya I = R 79. R birimli bir halka, f : R S örten halka homomorfizmi ve bir r R elemanıtersinir olsun. f(r) S tersinirdir r / ker f olduğunu gösterin. 6

7 80. f : R S, sıfırdan farklıbir halka homomorfizmasıolsun. S halkasısıfır bölensiz ve R birimli bir halka ise S halkasının da birimli 81. Reel sayılar cismi [ R üzerinde ] tanımlı2 2 lik matrislerin halkasır 2 olsun. f : C R 2, a b f(a + ib) = ile tanımlanan bağıntının bir halka monomorfizmi olduğunu b a gösterininz. 82. Her a, b Z için, ab = a + b + 1 ve ab = ab + a + b ile tanımlansın. (a) (Z,, ) nın bir halka (b) (Z,, ) halkasının, Z halkasına izomorf 83. R bir halka ve f, g : Q R bir halka homomorfizmi olsun. f(1) = g(1) ise f = g 84. Z 10 halkasınıve I = {0, 5} altkümesini alalım. a) I, Z 10 halkasının ideali midir? b) Z 10 /I kümesinin elemanlarınıbulunuz. c) Z 10 /I halka mıdır? Neden? 85. R bir halka ve I onun sıfırdan farklıbir ideali olsun. (a) R I daki çarpma işleminin iyi tanımlı (b) R I değişmelidir her a, b R için, ab ba I 86. F bir cisim ve a F olsun. F [X] (x a)f [X] = F 87. Her a + b 2 Z[ 2] için, f(a + b 2) = a b 2 ile tanımlı f : Z[ 2] Z[ 2] fonksiyonunun bir izomorfizma 88. R ve S iki halka olmak üzere, R = S ise R halkasının merkezi ile S halkasının merkezinin izomorf 89. R bir birimli halka ve n 2 olmak üzere R halkası üzerinde tanımlanan n n lik matrisler halkasım n (R) olsun. E 11 = matrisi olmak üzere, f : Z M n (R), f(n) = ne 11 ile tanımlanan bağıntının bir halka homomorfizmasıolduğunu ve birimi birime götürmediğini 7

8 90. Aşağıda tanımlanan f : Z 24 Z 4 x x dönüşümün bir halka homomorfizması 91. = S bir küme ve R bir halka olsun. M = {f f : S R, bir fonksiyon} kümesini tanımlayalım. (a) M kümesinin, x S için (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x)g(x) işlemleri ile bir halka (b) s S olmak üzere T : M R f f(s) ile tanımlanan bağıntının bir halka epimorfizması 92. R bir halka ve S = R R olsun. (a) Aşağıda tanımlanan π : S S (x, y) x dönüşümün bir halka epimorfizma (b) Aşağıda tanımlanan ϕ : R S x (x, 0) dönüşümün bir halka monomorfizma 93. R bir halka ve R üzerinde tanımlanan 2 2 lik matrislerin halkasır 2 olsun. f : R ( R 2 ) r 0 r 0 r ile tanımlanan dönüşümün bir halka monomorfizması 94. R birimli bir halka ve a tersinir bir eleman olsun. ile tanımlanan dönüşüm olsun. T a : R R r ara 1 (a) T a dönüşümünün bir otomorfizma (Bu şekilde tanımlanan R halkasının otomorfizmalarına a elemanıile belirlenen iç otomorfizma denir.) 8

9 (b) R üzerinde tanımlanan bütün iç otomorfizmaların kümesi Inn(R) olsun. Inn(R) kümesinin Aut(R) grubunun bir normal altgrubu (c) U(R), R halkasının bütün tersinir elemanlarının oluşturduğu grup olsun. ϕ : U(R) Inn(R) a T a ile tanımlanan dönüşüm için (Burada T a : a elemanıile belirlenen iç otomorfizma) 1. Bir homomorfizma 2. Çekirdeğini bulunuz. {( ) } a b 95. R = a, b R, reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı2 2 lik matrisler 0 a halkasının bir alt kümesi olsun. (a) R kümesinin bir alt halka {( ) } 0 x (b) I = x R kümesinin R nin bir ideali 0 0 (c) Aşağıda tanımlanan F : ( R ) R a b a 0 a dönüşümün bir halka homomorfizması (d) (c) deki F dönüşümünün çekirdeğini bulunuz. 96. Aşağıda tanımlanan dönüşümlerin bir halka homomorfizması ( ) x 0 (a) h : R M 2 (R), h(x) = 0 0 ( ) x 0 (b) h : R R M 2 (R), h(x, y) = 0 y 97. Z 2 den Z 4 e ve Z 3 den Z 6 ya tanımlanan bütün halka homomorfizmalarınıbulunuz. 98. f : A B bir halka homomorfizmasıolsun. (a) f(0) = 0 (b) a A için f( a) = f(a) 99. A bir değişmeli halka olsun. (a) Keyfi bir a A için T a : A A, T a (x) = ax ile tanımlanan dönüşümün bir grup endomorfismasıolduğunu gösteriniz, (b) 0 a A için T a, bire bir dönüşümdür a sıfır bölen değildir. Gösteriniz. (c) A bir birimli halka olsun. T a örtendir a tersinirdir. Gösteriniz. 9

10 (d) M = {T a a A} kümesi, üzerinde tanımlanan (T a + T b ) = (x) = T a (x) + T b (x) (T a T b )(x) = (T a T b )(x) işlemleri ile bir halka (e) ϕ : A M, ϕ(a) = T a ile tanımlanan dönüşümün bir halka homomorfizması (f) Eğer A birimli bir halka ise ϕ bir izomorfizmadır. Gösteriniz. (g) Eğer A sıfır bölensiz halka ise ϕ bir izomorfizmadır. Gösteriniz Q Rasyonel sayılar kümesi olmak üzere Q[X]/ x 2 5 = Q[ 5] 101. Bir F cisiminin her sıfırdan faklı halka epimorfizmasının bir izomorfizma olduğunu 102. Izomorfik iki halkanın aynıkarakteristiğe sahip 103. R ve S iki halka ve f : R S bir halka izomorfizması olsun. a R elemanı sıfır bölendir f(a) S bir sıfır bölen elemandır. Gösteriniz İzomorfik halkaların aynısayıda sıfır bölen bulundurduğunu 105. Z 12 ve Z 6 Z 2 halkalarının izomorfik olup olmadığını 106. c R olmak üzere T c : R[X] R, T c (p(x)) = p(c) ile tanımlanan dönüşümün bir halka homomorfizması 107. R reel sayılar cismi olmak üzere R[X] / < x 2 > = R 108. I ve J, R halkasının idealleri olmak üzere I/I J = (I + J)/J 109. Q rasyonel sayılar cisimi olmak üzere. Q[X] / < x 7 > = Q 110. R bir halka, A B olmak üzere A, B iki ideali olsun. Bu durumda 111. Aşağıdakileri (R/A)/(B/A) = R/B (a) Bir R halkasının sıfır bölensiz olmasıiçin gerek ve yeterli koşul sağ ve sol kısaltma özelliğinin sağlanmasıdır. (b) f : R S bir halka homomorfizmasıolsun. f bire bir dönüşümdür ker f = {0 R } dir. Gösteriniz. 10

11 112. R birimli halka, f : Z R, f(x) = x.1 R olarak tanımlansın. a) f halka homomorfizmasıolup olmadığınıgösterin. b) charr = n ker f = nz olduğunu gösterin Z 6 halkasınıve I = {0, 2, 4} altkümesini alalım. a) I, Z 6 halkasının ideali midir? b) Z 6 /I kümesinin elemanlarınıbulun. c) Z 6 /I halka mıdır, neden? 114. R değişmeli bir halka ve I onun bir ideali olsun. R/I kalan sınıf halkasıbirimlidir Her a R için xa a I olacak bir x R vardır Z Z/ (4, 5) = Z 116. Bir grup olarak Z Z/ (2, 1) = Z 117. Z Z Z/ (2, 1, 3) = Z Z 118. H = { x (5, 3 ) x R } olsun. O zaman R R/H = R 119. Z 5 [X]/ x 2 + x + 1 kesir halkasında (( x ) + x 2 + x + 1 ) ((3x + 4) + x 2 + x + 1 ) denklik sınıflarının çarpımını hesaplayınız. (Cevabınızı a, b Z 5 olmak üzere (ax + b) + x 2 + x + 1 biçiminde yazınız.) 120. ϕ : Z[X] Z[X], ϕ(f(x)) = f(x) 2 ile tanımlanan fonksiyonun bir halka homomorfizmasıolup olmadığını 121. ϕ : Z 2 [X] Z 2 [X], ϕ(f(x)) = f(x) 2 ile tanımlanan fonksiyon olsun. a) Bir halka homomorfizması b) ker ϕ kümesini bulunuz. c) x Im ϕ ϕ örtenmidir? 122. R ve S iki halka, f : R S bir halka homomorfizmi ve I, ker f tarafından kapsanan R nin bir ideali olsun. O zaman g : R/I S, her a R için, g(a + I) = f(a) ile tanımlanan birtek halka homomorfizminin varlığını, Im g = Im f ve ker g = ker f I 123. R bir tamlık bölgesi ve 0 c R olsun. c bir asal elemandır (c) asal idealdir. Gösteriniz R birimli bir halka ve 0 f : R S bir halka epimorfizmasıolsun. S cisim ise ker f, R halkasının bir maksimal idealidir. Gösteriniz.R bir halka olsun. 11

12 (a) R değişmeli bir halka ve a, b R olsun. (a) (b) (ab) (b) Z de (5) idealinin maksimal ideal 125. R birimli değişmeli bir halka ve P bir ideali olsun. P asal idealdir R/P bir tamlık bölgesi 126. Birimli ve sıfırdan farklıbir R halkasıiçinde maksimal idealin varlığını 127. R birimli değişmeli bir halka ve M ( R), R nin bir ideali olsun. Bu durumda, M maksimal idealdir her r R M için, 1 R rx M olacak şekilde bir x R vardır. Gösteriniz R ve S iki halka ve f : R S bir epimorfizma olsun. a) S nin bütün ideallerinin, A, ker f yi kapsayan R nin bir ideali olmak üzere f(a) biçiminde b) A ve B, R nin idealleri olmak üzere f(ab) = f(a)f(b) c) U ve V, S nin idealleri olmak üzere f 1 (U)f 1 (V ) f 1 (UV ) d) P, R nin ker f yi kapsayan bir asal ideali ise f(p ) idalide S de bir asal idealdir R ve S iki birimli halka, f : R S bir halka epimorfizmasıolsun. B, S halkasının bir asal ideali ise A = f 1 (B) kümesinin R halkasının bir asal ideal 130. Z tamsayılar halkasıolmak üzere Z {0} kümesinin Z Z halkasının bir asal ideali 131. R ve S değişmeli iki halka, f : R S bir halka epimorfizmasıve J, S halkasının bir asal ideali olsun. I = {r R f(r) J} kümesini tanımlayalım. I kümesinin, ker f kümesini kapsayan R halkasının bir asal ideali 132. R değişmeli ve birimli (0 R 1 R ) bir halka, ve M, R halkasının bir ideali olsun. Buna göre M maksimal idealdir R/M cisimdir. Gösteriniz c ve d iki indirgenemez eleman ve c d olsun. c ile d elemanlarının ilgili olduğunu 134. R bir esas ideal bölgesi olsun. R halkasında ikisi birden sıfır olmayan her iki elemanı için en büyük ortak bölenin varlığını 135. R birimli, değişmeli bir halka ve d R elemanı a 1, a 2,..., a n R elemanlarının en büyük ortak böleni olsun. Bu durumda d = r 1.a 1 + r 2.a r n.a n, olacak şekilde r i R elemanlarıvardır (d) = (a 1 ) + (a 1 ) + + (a n ) formunda yazılır Z 6 halkasında 3 elemanının, indirgenemez ve asal eleman olup olmadığınıaraştırın. 12

13 137. p i ler farklıasal tamsayılar olmak üzere pozitif n = p 1 p 2 p k tamsayısıiçin, Z/(n) = Z/(p 1 ) Z/(p 2 ) Z/(p k ) 138. F bir cisim olmak üzere F [X] polinomlar halkasıolsun. F [X] polinomlar halkasının, ϕ : F [X]\{0} N, ϕ(f(x)) = deg(f(x)) olarak tanımlanan dönüşüm ile birlikte bir Öklid bölgesi olup olmadığını 139. Her Euclid halkasının, birimli bir esas ideal halkası 140. R birimli ve değişmeli halka, S onun çarpımsal bir altkümesi ve N, R nin bir ideali olsun. O zaman S 1 N = S 1 R S N 141. R birimli değişmeli bir halka ve S onun çarpımsal alt kümesi olmak üzere, P, R halkasının S P = olan bir asal ideali olsun. (a) S 1 P, S 1 R kesir halkasının bir ideali olduğunu, (b) S 1 P, S 1 R kesir halkasının bir asal ideali olduğunu, (c) s S için, ϕ 1 s (S 1 P ) = P 142. R = Z 6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } halkasıve S = { 2, 4 } alt kümesi olmak üzere S 1 R kesir halkasınıbulunuz. 13