OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 9. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - KOCAELİ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 KASIM 010 SORULAR 1. x + 5x 7x 6 = 0 ve x 4 x x 1 = 0 denklemlerinin ikişer köklerinin ortak olduğu ilinmektedir. Bu ortak kökleri ulunuz.. AB = 6, AC = 10 olan ir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin [AC] kenarı üzerinde AP = 8 olacak şekilde ir P noktası alınıyor. Bu noktadan AC kenarına çizilen dik, üçgenin çevrel çemerinin A noktasını içermeyen BC yayını R noktasında kesiyor. AR doğrusu ile BC kenarı S noktasında kesişiyorlarsa BS oranını ulunuz. SC. a 4 +a 4 = 5 eşitliğini sağlayan tüm a, tam sayılarını ulunuz. 4. 8 oyutlarında ir dikdörtgen oluşturacak şekilde dizilen 16 irim kareden her iri eyaz, mavi, yeşil veya kırmızı renklerinden irisi ile oyanacaktır. Ortak ir kenara sahip irim karelerin aynı renkte olmaması koşulu ile yapılacak kaç farklı oyama şeklinde her renk en az ir kez kullanılmış olur? Süre saattir. Her soru 10 puan değerindedir.
ÇÖZÜMLER 1. Öklit algoritması kullanarak x 4 x x 1 ve x +5x 7x 6 polinomlarının en üyük ortak ölenini ulalım; x 4 x x 1 polinomunu x +5x 7x 6 polinomu ile ölerek eşitliğini, x 4 x x 1 = (x +5x 7x 6)(x 6)+7(x x 1) x +5x 7x 6 polinomunu x x 1 polinomu ile ölerek de x +5x 7x 6 = (x x 1)x+6(x x 1) = (x x 1)(x+6) eşitliğini elde ederiz. Bu durumda soruda verilen iki polinomun en üyük ortak ölenlerinin x x 1 olduğu görülür. Bu ortak ölenin kökleri de 1+ 5 dir. İkinci Çözüm: İki denklemin ortak olan iki kökünü sağlayan denklem x +ax+ olsun. Bu durumda ) 0 = x +5x 7x 6 = ( x +ax+ )( x 6 ) 0 = x 4 x x 1 = ( x +ax+ )( x +cx 1 denklemlerinden, katsayıları eşitliyerek, 5 = 6 +a 7 = 6a + 1 = c+a 0 = 1 +ac+ 1 = a +c denklem sistemini elde ederiz. Gerekli işlemler yapılarak, a = = 1, c = 0 elde edilir. Bu durumda ortak çarpan x x 1 ir aşka deyişle ortak kökler 1+ 5 dir. Üçüncü Çözüm: x +5x 7x 6 = 0 denkleminin kökleri α,β,a, x 4 x x 1 = 0 denkleminin kökleri de α,β,,c olsun. Vieta formülüne göre; α+β +a = 5 αβ +βa+aα = 7 αβa = 6
ve α+β ++c = 1 αβ +α+αc+β+βc+c = 0 αβ+αβc+αc+βc = 1 αβc = 1 denklem sistemi elde edilir. Gerekli işlemler yapılarak ortak kökler α = 1+ 5 olarak ulunur. ve β = 1 5 Dördüncü Çözüm: x 4 x x 1 ifadesine x terimini çıkarıp eklersek, x 4 x x +x x 1 = x (x x 1)+(x x 1) = (x +1)(x x 1) = 0 uluruz. Bu denklemin kökleri x 1 = 1+ 5, x = 1 5, x = i ve x 4 = i dir. i +5i 7i 6 = i 5 7i 6 = 11 8i 0 olduğundan i (ve i ) karmaşık sayıları x +5x 7x 6 = 0 denkleminin kökü değildir ve u yüzden ortak kök olamazlar. Bu durumda ortak kökler 1+ 5, ir aşka deyişle ortak çarpan x x 1 dir.. Çevrel çemerde aynı yayı gördükleri için m( BAR) = m( BCR) ve m(âcb) = m(ârb) eşitlikleri geçerlidir. [AC] kenarı üzerinde AT = 6 olacak şekilde elirlenen T noktası için TP = PC = ve RP TC dolayısıyla da TRC üçgeni ir ikizkenar üçgendir. m( RTC) = m( RAT)+m(ÂRT), m(âcr) = m(âcb)+m( BCR) = m(ârb)+m( BAR) eşitliklerinden m( RAT) + m(ârt) = m(ârb) + m( BAR), ir aşka deyişle m(âtr) = m(âbr) ulunur. ABRT dörtgeninde m(âbt) = m(âtb) olduğu için m( RBT) = m( RTB) ve BR = RT eşitlikleri geçerlidir. Buradan ABR ve ATR üçgenlerinin eş olduğu ve BAC açısının açıortayının AS olduğu sonucuna varılır. Açıortay teoremi kullanılarak BS SC = AB AC = sonucuna varılır. 5
İkinci Çözüm: İlk çözüme enzer şekilde [AC] kenarı üzerinde AT = 6 olacak şekilde ir T noktası alalım. BT doğrusu üçgenin çevrel çemerini B ve U noktalarında kessin. m(âbt) = m(âtb) = m(ûtc) ve aynı yayı gördüklerinden m(âbt) = m( TCU) olur. Buradan UTC üçgeninin ikizkenar üçgen ve UP TC olduğu ulunur. Dolayısıyla U, P ve R doğrusaldır. m( BAR) = m( BUR) = m( RUC) = m( RAC)olduğundanBAC açısınınaçıortayınınas olduğu ulunur. Açıortay teoremi kullanılarak BS SC = AB AC = sonucuna varılır. 5. < 0 durumunda eşitliğin sağ tarafı tam sayı olmadığı için, = 0 durumunda ise a 4 +a 4 = 5 yani (a +1) = 10 ve 10 ir tam kare olmadığı için çözüm yoktur. > 0 durumunda 5 sayısı ir çift sayıdır. Buna göre a 4 +a 4 de çift olacağından a 4 ve dolayısıyla a sayısının da çift olması gerekir. a = k alınarak soruda verilen eşitlik 16k 4 +8k 4 = 5 veya 4k 4 +k 1 = 5 şeklinde yazılailir. Son eşitlikte sol taraf tek sayı olduğundan sağ tarafın da tek sayı olması gerekir ve u ancak = durumunda mümkündür. = için (a +1) = 5 olur ve uradan a +1 = 5 veya a +1 = 5 denklemleri elde edilir. Bir tam kare negatif olamayacağından a = 4 ve uradan a = veya a = ulunur. Sonuç olarak u eşitliği sağlayan (a,) tam sayı çiftleri (,) ve (,) olur. İkinci çözüm: Eşitliği(a +1) = 5 +5şeklindeyazalım. için sayısı8ileölündüğünden(a +1) 5 (mod 8) olur. Ancak (mod 8) de ir tam sayının karesi sadece 0, 1 veya 4 e denk olailir. Yani durumunda çözüm yoktur. = 0, = 1, = durumları incelenerek çözüm kümesi ulunur. 4. Sorunun çözümünde ilk olarak, her rengin en az ir kere kullanılma şartını göz ardı ettiğimizde oluşan oyamaların sayısını ulacağız. Dört renk kullanıldığında ilk sütun için 1 seçenek olduğu açıktır. Herhangi ir sütun için ir oyama şekli elirlendiğinde yanındaki sütun için 7 seçenek m olur. Sözgelimi, sütununu takip eden sütun m, y, k, y m, y k, k m veya k y olailir. Birinci sütundan aşlayıp sütunları sırayla oyadığımızı kaul edersek, ilk sütun için 1, diğer yedi sütunun her iri için 7 seçeneğimiz olacağından dört renkli oyama şekillerinin sayısı 1 7 7 dir. Şimdi en çok üç renk kullanarak dikdörtgeni kaç farklı şekilde oyayaileceğimizi hesaplayalım. Üç renk, diyelim ki, m ve y, elirlediğimizde, ilk sütun için 6 seçeneğimiz ulunur. Herhangi ir sütun için ir oyama şekli elirlendiğinde yanındaki sütun için seçenek olur. Sözgelimi, m sütunundan sonra m, m veya y yer alailir. İlk duruma enzer şekilde, ilk sütun y için 6, diğer 7 sütunun her iri için seçeneğimiz olacağından toplam olarak 6 7 farklı oyama
şekli olduğunu görürüz. Öte yandan, dört renk arasından üçü O halde ulduğumuz sayıyı 4 ile çarpmamız gerekmektedir. = 4 farklı şekilde seçileilir. Ancak sadece iki renkten oluşan oyamalara dikkat edilmesi gerekmektedir. İki renk, diyelim ki ve m kullanarak dikdörtgeni iki farklı şekilde oyayailiriz. Fakat u durumu (, m, y) ve (, m, k) üç renkli( durumlarında ) saydığımız için iki kere saymış oluruz. Dolayısıyla sadece iki 4 rengin kullanıldığı = 1 durumu çıkarmamız gerekmektedir. Sonuç olarak en çok üç rengin kullanıldığı oyamaların sayısı 4 6 7 1 olarak ulunur. Tüm durumlardan en çok üç rengin kullanıldığı durumları çıkartırsak istenen oyamaların sayısı 1 7 7 4 7 +1 olarak ulunur. İkinci çözüm: Soruyu içerme-dışarma prensiini kullanarak çözeceğiz. Tüm durumların sayısını N 0, rengin kullanıldığı durumların sayısını N 1 ve rengin kullanıldığı durumların sayısını N ile gösterelim (tek rengin kullanıldığı durum yoktur). Soruda istenen oyamaların sayısı içerme-dışarma prensiinden N 0 N 1 +N olur. N 0 = N 1 = N = 4 7 7 4 7 1 1 7 olduğundan istenen oyamaların sayısı 1 7 7 4 7 +1 olarak ulunur.