POLNOMLAR ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNT ÇARPANLARA AYIRMA Çrpnlr Ayrm. Kznm: Gerçek kt syl polinomun sl çrpn kvrmn çklr, verilen bir polinomun sl çrpnlrn bulur, indirgenemeyen ve sl polinomlr örneklerle çklr.. Kznm: Verilen bir polinomu ortk çrpn prntezine lm yoluyl çrpnlrn yrr.. Kznm: + b +c ve + b + c biçimindeki polinomlr çrpnlrn yrr. 4. Kznm: Tm kre ( ( ± b), ( + b + c) ), iki kre frk ( b ), iki terimin toplmnn ve frknn küpü ( ± b), iki terimin küplerinin toplm ve frkn ( ± b ) it özdelikleri kullnrk çrpnlr yrm uygulmlr ypr. 5. Kznm: Verilen bir polinom terim ekleyerek vey çkrrk çrpnlr yrm uygulmlr ypr. 6. Kznm: n ± y n biçimindeki polinomlr çrpnlrn yrr. 7. Kznm: Deiken deitirme yöntemi ile çrpnlr yrm uygulmlr ypr. 8. Kznm: ki vey dh çok polinomun OBEB ve OKEK ini bulur. Rsyonel fdeler ve Denklemler. Kznm: Rsyonel ifde kvrmn örneklerle çklr ve rsyonel ifdelerin sdeletirilmesi ile ilgili uygulmlr ypr.. Kznm: Polinom ( P() = 0 ) ve rsyonel denklemlerin ypr. d P ( ) = 0 n çözümü ile ilgili uygulmlr Q ( ). Kznm: Rsyonel ifdeyi ) k k k,,,... + b ( + b) ( + b) kümesinin elemnlrnn toplm biçiminde yzr.
ÇARPANLARA AYIRMA Bir Polinomun Çrpnlr Bir polinomu iki y d dh çok polinomun çrpm biçiminde yzmk bu polinomu çrpnlrn yrmk demektir. P() = ( + ) polinomun göre, ve + polinomlr, P() polinomunun birer çrpndr. ndirgenemeyen Polinomlr Sbit olmyn ve birden fzl polinomun çrpm biçiminde yzlmyn polinomlr indirgenemeyen polinomlr denir. P() = +, Q() =, R() = 4 + 4 polinomlr birer indirgenemeyen polinomdur. Asl Polinom B kt sys oln, indirgenemeyen polinomlr sl polinom denir. P() = + ve Q() = + polinomlr birer sl polinomdur. P() = Q().R() biçiminde yzldnd Q() ve R() sl polinomlr ise, Q() ve R() e P() polinomunun sl çrpnlr denir. Q() ve R() polinomlr sl y d indirgenemeyen polinomlr ise, Q() ve P() polinomlrn P() polinomunun çrpnlr denir..( ) polinomunun sl çrpnlr ve dir. ( ).( + ) polinomunun sl çrpnlr ve + tür..( 4 + ) polinomunun sl çrpnlr ve 4 + dir. ( + ).( ).( + ) polinomunun sl çrpnlr +, ve + dir. ÖRNEK P() = 4 polinomunun sl çrpnlrn bullm. ÖRNEK P() = 4 6 polinomunun çrpnlrn bullm. 65
Çrpnlr Ayrm ORTAK ÇARPAN PARANTEZNE ALMA Verilen ifdelerin her teriminde ortk bir çrpn vrs, ifde bu çrpn prntezine lnr. P().Q() ± P().R() = P().[ Q() ± R() ] Ortk Çrpn Prntezine Almnn Geometrik Yorumu I. ekildeki kre ile dikdörtgenin lnlr toplm + b dir. I. ekildeki lnlrn toplmn ifde eden II. ekildeki dikdörtgenin ln ( + b) dir. O hlde, + b = ( + b) olur. ÖRNEK Adki ifdeler ortk çrpn prntezine lnrk çrpnlrn yrlmtr. nceleyiniz. y + 4 yz = y(y + z) 6y + 9z = ( y + z) ( + )y ( + )z = ( + )(y z) ( y) + (y ) = ( y) ( y) = ( y)( y ) GRUPLANDIRMA Verilen ifdelerde ortk çrpn oln terimler bir ry getirilerek gruplnr ve ortk çrpn prntezine lnr. Gruplndrrk Çrpnlr Ayrmnn Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi + y + b + by ifdesine krlk gelen lnlr yr ekilde birletirilebilir. I. + y + b + by = ( + y) + b( + y) = ( + b).( + y) II. + y + b + by = ( + b) + ( + b)y = ( + b).( + y) 66
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 4 Adki ifdeler gruplndrlrk çrpnlrn yrlmtr. nceleyiniz. + + + = + b y by = ( + b) y( + b) = ( + b)( y) m(n + ) n(m + ) = ÖZDELKLER çindeki deikenlere verilen her deer için doru oln eitliklere özdelik denir. Bu bölümde kullncmz özdelikler, iki kre frk, tm kre ve iki küp toplm vey frk gibi özdeliklerdir. K KARE FARKI ÖZDEL y = ( y)( + y) y = ( y)( + y) Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi, kenr uzunluu birim oln bir krenin bir köesinden, kenr uzunluu y birim oln bir kre çkrlmtr. Geriye kln eklin ln, I, II ve III numrl lnlrn toplmn eit olcndn y = I + II + III = ( y)y + ( y)( y) + ( y)y = ( y) (y + y + y) = ( y)( + y) bulunur. ÖRNEK 5 Adki ifdeler iki kre frk özdeliinden yrrlnlrk çrpnlrn yrlmtr. nceleyiniz. = = ( )( + ) 9 = = ( )( + ) 4y = (y) = ( y)( + y) 4 9b = () (b) = ( b)( + b) 8b = ( 4b ) = ( b)( + b) 54 46 = (54 46)(54 + 46) = 8.00 = 800 67
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 6 Adki ifdeler iki kre frk özdeliinden yrrlnlrk çrpnlrn yrlmtr. nceleyiniz. = c m c m = c mc + m y y y y 6 b 4 = ( ) (b ) = ( b )( + b ) 4 y 4 = ( ) (y ) = ( y )( + y ) = ( y)( + y)( + y ) ÖRNEK 7 Adki çrpm ilemlerini inceleyiniz. ( y)( + y) = (y) = 9y ( b )( + b ) = ( ) (b ) = 4 b 6 ( )( + ) = = ( b)( + b) = () (b) = 4 9b ( 4 b )( 4 + b ) = ( 4 ) (b ) = 8 b 6 TAM KARE ÖZDEL ( + y) = + y + y ( y) = y + y ( + y + z) = + y + z + (y + z + yz) ( + y) = + y + y Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi, kenr uzunluu birim oln bir krenin iki kenr y birim uztlmtr. Olun krenin ln, üzerinde bulunn prçlrn lnlr toplmn eit olcndn ( + y) = + y + y + y ( + y) = + y + y elde edilir. ( y) = y + y Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi, kenr uzunluu birim oln krenin bir köesinden kenr uzunluu y birim oln bir kre çizilmitir. Büyük krenin ln, üzerindeki prçlrn lnlr toplmn eit olcndn ( y) + y( y) + y( y) + y = ( y) + y y + y y + y = ( y) = y + y bulunur. 68
Çrpnlr Ayrm ( + b + c) = + b + c + (b + c + bc) Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi kenr uzunluu + b + c oln krenin ln üzerindeki prçlrn lnlr toplmn eit olcndn ( + b + c) = + b + c + b + b + bc + c + cb + c = + b + c + b + c + bc = + b + c + (b + c + bc) olur. ÖRNEK 8 Ad çlm ypln ifdeleri inceleyiniz. ( + ) = +.. + = + + ( + y) = () +..y + y = 4 + 4y + y ( b) = ()..b + (b) = 4 b + 9b ( b) = ( ) +.( )( b) + ( b) = + b + b c m =.. + c m 9 = 6 + ( + y z) = + y + ( z) + (.y + ( z) + y( z)) = + y + z + (y z yz) ÖRNEK 9 Ad çrpnlrn yrlm oln ifdeleri inceleyiniz. 4 + 4 =.. + = ( ) + 4b + 4b = +..b + (b) = ( + b) 9 6y + y = ( y) m + 8m 6 = (m 8m + 6) = (m 4) 7 6 4 + 9 = ( 6 6 + 9) = ( ) y + y = (y y + ) = (y ) = [ (y )].[ + (y )] = ( y + )( + y ) ÖRNEK 0 4 + 4 ifdesini çrpnlrn yrnz. ( b + ) = + ( b) + + (.( b) +. + ( b).) = + b + 9 + (.b + b) ( ) =( ) +( ) +( ) +[ ( )+ ( )+( )( )] 69
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 4 + üç terimlisi bir tm kre olduun göre kçtr? ÖRNEK + b + 4b + 5 = 0 eitliini slyn + b kçtr? K KÜP TOPLAMI VEYA FARKI + y = ( + y)( y + y ) y = ( y)( + y + y ) y = ( y)( + y + y ) Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi bir yrtnn uzunluu birim oln bir küpün köesinden, bir yrtnn uzunluu y birim oln küp çkrlmtr. Geriye kln kt cismin hcmi I, II ve III numrl cisimlerin hcimleri toplmn eit olcndn y = I + II + III = ( y) + ( y)y + ( y)y = ( y)( + y + y ) bulunur. ÖRNEK Adki ifdeler iki küp frk vey toplmndn yrrlnlrk çrpnlrn yrlmtr. nceleyiniz. + = + = (+)(.+ ) = (+)( +) = = ( )( +.+ ) = ( )( ++) +8= + = (+)(.+ ) = (+)( +4) 7b = (b) = ( b)( + b + 9b ) + = + c m = c + md. + c m n = c + m + c m 70
ALIŞTIRMALAR. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz. c. 8 y. y 6 y d. ( b) (b + ) b. ( y) b(y ) e. ( + b c) ( b + c) c. ( + )( ) + b( ) f. 4 8 d. 9 + 9 e. b( + y ) y( + b ) b c h. 4 9 f. bc bd c + d. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz.. 7 g. 4 + b. 64 + 7. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz.. 9 4 c. 5 8 b. 6 b c 4 d. ( + ) + 8 7
Çrpnlr Ayrm + b + c BÇMNDEK FADELER ÇARPANLARINA AYIRMA = olms durumund d ifde edildii gibi çrpnlrn yrrz. + b + c = ( + m)( + n) (m + n = b, m.n = c oluyors) olms durumund d ifde edildii gibi çrpnlrn yrrz. + b + c = (m + d)(n + e) Yukrdki çklmlr dorultusund dki tblolr doldurulmutur. nceleyiniz. ÖRNEK 4 + 0 + ifdesini çrpnlrn yrnz. ÖRNEK 5 Ad çrpnlrn yrln ifdeleri inceleyiniz. 7
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 6 + ifdesini çrpnlrn yrnz. ÖRNEK 8 6y 7y 0 ifdesini çrpnlrn yrnz. ÖRNEK 7 5 + 9 ifdesini çrpnlrn yrnz. ÖRNEK 9 6 b b 0 ifdesini çrpnlrn yrnz. ( + y) n FADESNN AÇILIMI ( + y) n ifdesinin çlmnd kt sylr, Pskl üçgeni denilen sy tblosu ile bulunur. Pskl üçgeninde her strn ilk ve son sylr dir. Bir strdki rdk iki synn toplm, lt strd bu iki synn rsnd yzln syy verir. ( + y) n çlmnd: n + tne terim vrdr. Her terimin derecesi n dir ve in üsleri birer zlrken y nin üsleri birer rtmktdr. ( y) n çlmndki kt sylrn iretleri +,, +,,... eklindedir. 7
Çrpnlr Ayrm ( + y) = + y + y + y Özdeliinin Geometrik Yorumu ekilde görüldüü gibi bir yrtnn uzunluu birim oln bir küpün bütün yrtlr y birim uztlrk, bir yrtnn uzunluu + y birim oln yeni bir küp oluturulmutur. Olun yeni küpün hcmi, içinde bulunn prçlrn hcimleri toplmn eit olcndn ( + y) = + y + y +y + y + y + y +y = + y + y + y bulunur. ÖRNEK 0 Ad çlm ypln ifdeleri inceleyiniz. ( + y) =. +..y +.y = + y + y ÖRNEK + y = 5 ve + y = 9 olduun göre,.y kçtr? ( + y) =. +..y +..y +.y = + y + y + y ( y) = y + y y ( + y) 4 =. 4 + 4. y + 6. y + 4. y +.y 4 = 4 + 4 y + 6 y + 4y + y 4 ( ) 5 = 5 5 4 + 0 0 + 5 ÖRNEK ÖRNEK ( y) 6 ifdesi in zln kuvvetlerine göre düzenlenerek çlrs btn. terimin kt sys kç olur? y = ve.y = 0 olduun göre, + y kçtr? 74
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 4 = 4 olduun göre, 4 + kçtr? ÖRNEK 7 = 4 olduun göre, kçtr? ÖRNEK 5 + y = 6 ve.y = olduun göre, + y kçtr? ÖRNEK 8 5 = 0 olduun göre, 5 + kçtr? ÖRNEK 6 + y = 4 ve + y = 6 olduun göre, + y kçtr? 75
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 9 b c = 6 ve + b + c = 0 olduun göre, b + c bc ifdesinin eiti kçtr? ÖRNEK 0.0 +.0 ileminin sonucu kçtr? ÖRNEK 0 + y = 80 ve y( + y) = 5 olduun göre,.y kçtr? ÖRNEK + y + 4 6y + = 0 olduun göre, + y kçtr? ÖRNEK 00. 004 + ileminin sonucu nedir? ÖRNEK 4 9 + 4 ifdesini çrpnlrn yrlm. 76
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 5 4 5 + 4 ifdesini çrpnlrn yrlm. ÖRNEK 6 ( ) 8( ) + ifdesini çrpnlrn yrlm. n ± y n 5 y 5 BÇMNDEK POLNOMLARI ÇARPANLARINA AYIRMA polinomunu y polinomun bölüp sonucu yorumlylm. + + + + + 5 5 4 4 Bölme ilemine göre, y = ( y )( + y+ y + y + y ) Z 444444444444 Bu eitlii incelediimizde,. çrpn. çrpn eitliini yzbiliriz.. çrpnn ilk terimi () ile. çrpnn ilk teriminin ( 4 ) çrpm, ifdenin ilk terimi oln 5 i verir.. çrpnn. terimi ( y) ile. çrpnn son teriminin (y 4 ) çrpm, ifdenin ikinci terimi oln y 5 i verir.. çrpnn terimlerinde lerin üsleri birer zlrken ( 4,,,, 0 ) y lerin üsleri birer rtr (y 0, y, y, y, y 4 ). çrpnn tüm terimleri pozitif iretlidir. Bu çklmlr göre, genel olrk n tek sy olmk üzere, n y n = ( y)( n + y n + y n +... + y n ) eitliini oluturbiliriz. Benzer ekilde; n tek sy olmk üzere, n + y n = ( + y)( n y n + y n... + y n ) eitlii de yzlbilir. 77
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 7 5 + ifdesini çrpnlrn yrlm. ÖRNEK 9 6 + y 6 ifdesini çrpnlrn yrlm. ÖRNEK 8 6 64 ifdesini çrpnlrn yrlm. ÖRNEK 40 5 ifdesini çrpnlrn yrlm. ETKNLK Dikdörtgen biçimindeki bir çerçeveye, ekildeki gibi fotorflr yerletirilmitir. Fotorflrdn B kre; B, B ve B 4 dikdörtgen biçimindedir. A, A, A, A 4 ve A 5 çerçevedeki bo lnlrdr. B in ks kenr ( + ) br, B nin bir kenr br, B 4 ün uzun kenr ( + ) br dir. A in ln A 5 in lnn eit, A nin ln A in lnnn + ktdr. A = k.b 4 ve A = t.(b + A 5 ) ise k + t nin cinsinden deeri nedir? 78
ALIŞTIRMALAR. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz. 5. = + kçtr?. 4 + 9 b. b + 6b c. 4 4 + y 6. = 4 + kçtr? 4 d. ( ) ( ) + e. 9 6 + y 7. + = 0 + kçtr? f. y + 4y. + b = ve.b = olduun göre, + b kçtr? 8. Adki eitliklerden doru olnlr için bo kutulr D ynl olnlr için Y yznz. + y = ( + y) y ( + y) = ( y) + 4y + y = ( y) y. b = ve.b = 4 olduun göre, + b kçtr? 4 + y 4 = ( + y ) + y ( + b ) = + b + 4 (b b) 4. b = ve.b = 5 olduun göre, + b nin lbilecei deerleri bulunuz. 9. + b c = ve b c bc = olduun göre, + b + c kçtr? 79
Çrpnlr Ayrm 0. + b = 7 ve.b = olduun göre, + b kçtr? g. 4 8 b + 4b 4 h. 6 4 + 4 y + y 4. b = 0 ve b = olduun göre, b kçtr?. 4 + 4 4. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz.. 5. + = + kçtr? b. 7 +. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz.. 5 6 c. 6 d. 0 + b. + c. 6 7 5. Adki ifdeleri çrpnlrn yrnz. d.. + 5 e. b b b. 6 9 + 8 f. 6 b b c. ( ) ( ) + 4 80
Çrpnlr Ayrm POLNOMLARDA OKEK - OBEB P() ve Q() polinomlrnn ikisini de bölen en büyük dereceli polinom, P() ve Q() polinomlrnn OBEB i dir. OBEB[P(), Q()] biçiminde gösterilir. P() ve Q() polinomlrnn ikisine de tm bölünen en küçük dereceli polinom, P() ve Q() polinomlrnn OKEK i dir. OKEK[P(), Q()] biçiminde gösterilir. ÖRNEK 4 ÖRNEK 4 P() = ve Q() = + polinomlrnn OKEK ve OBEB ini bulunuz. b ( b) c m : + b ( + b ) rsyonel ifdesinin sdelemi biçimi nedir? RASYONEL FADELERN SADELETRLMES A ( ) B() 0 olmk üzere, eklindeki ifdelere rsyonel ifdeler denir. A() ve B() çrpnlrn yrlp B ( ) A ( ) ortk çrpnlr sdeletirilerek rsyonel ifdesinin sdelemi biçimi B ( ) bulunur. ÖRNEK 44 + 5+ 6 : 0 + 4 6+ 5 rsyonel ifdesinin sdelemi biçimi nedir? ÖRNEK 4 b b : c + c rsyonel ifdesinin sdelemi biçimi nedir? 8
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 45 + b b b rsyonel ifdesinin sdelemi biçimi nedir? ÖRNEK 47 + 4 5+ 6 ifdesi sdeleebilir bir kesir ise nn lbilecei deerler toplm kçtr? ÖRNEK 48 A = ve B = + olduun göre, OBEB(A, B) ve OKEK(A, B) nedir? ÖRNEK 46 + ifdesi sdeleebilir bir kesir ise nn lbilecei deerler toplm kçtr? ÖRNEK 49 6 + 4 ifdesinin en küçük deerini lms için kç olmldr? 8
Çrpnlr Ayrm POLNOM DENKLEMLER P() bir polinom olmk üzere, P() = 0 biçimindeki denklemlere polinom denklemler denir. ÖRNEK 5 Ayrtlrndn biri dierinin ktndn cm fzl oln dikdörtgenin ln 0 cm ise çevresi kç cm dir? ÖRNEK 50 4( ) + = ( + ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 ( ) + = 5( ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. RASYONEL DENKLEMLER P() ve Q() birer polinom olmk üzere, P ( ) = 0 denklemine, rsyonel denklem denir. Q ( ) P ( ) = 0 P() = 0 Q() 0 dr. Q ( ) ÖRNEK 5 4( + ) + 5 = 6 + 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 54 ( ) + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 55 4 + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. RASYONEL BR FADEY BAST KESRLERN TOPLAMI BÇMNDE YAZMA 4 ifdesini + biçiminde ( )( ) yzmk, ifdeyi bsit kesirlerin toplm biçimine getirmektir. ÖRNEK 57 4 A B = + ( )( ) eitliini slyn A ve B deerlerini bullm. ÖRNEK 56 4 + + + = + + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 84
Çrpnlr Ayrm ÖRNEK 60 + A B + C = + ( + ) + eitliini slyn A, B ve C deerlerini bullm. ÖRNEK 58 + A B C = + + ( )( ) eitliini slyn A, B, C deerlerini bulunuz. ETKNLK Bir elektrik devresinde R ve R dirençleri prlel blnrs edeer direnç (R P ), ÖRNEK 59 + A B = + ( ) ( ) eitliini slyn A ve B deerlerini bullm. = + R R R P seri blnrs, edeer direnç (R S ) R S = R + R bntlr ile bulunur. > 0 ve R > R olmk üzere R ve R dirençleri prlel blnrs, R P + + = + ohm, seri blnrs, R S = + ohm oluyor. Bun göre R ve R dirençlerini bulunuz. 85
ALIŞTIRMALAR. Adki ifdeleri en sde biçimde yznz... Adki rsyonel ifdeleri bsit kesirlerin toplm biçiminde ifde ediniz. +. 4 b. + b b b + b b. + c. b + b + b b + c. + d. e. 4 4 + + 9 4 + 8 d. e. + ( )( + ) + ( + ) f. 4 + + + g. + 4 + 8 : 4+ 4 4 f. + ( + )( ) h. c : + b + b m b + g. ( )( + ) + +. : + + + + h. ( + )( + + ) 86
TEST. ( + b) (b c) (c b) (b ) ifdesinin çrpnlr yrlm ekli nedir? A) (b c) B) ( + b) (b + c) C) ( c) (b ) D) ( + b) (b c) E) ( + b) ( c) 5. Adkilerden hngisi + ifdesinin bir çrpn deildir? A) + B) C) D) + + E) +. b b + b ifdesinin çrpnlrndn biri dkilerden A) + B) C) b D) b + E) + b 6., y R ve > y ise y = 4 y + y = 5 olduun göre, y kçtr? A) B) C) D) 4 E) 5. 4 + 4 ifdesi dkilerden hngisi ile tm bölünemez? A) + B) C) D) + E) + 7. 4 + + + ifdesinin sdelemi biçimi nedir? A) B) C) + D) E) + 4. = y + ve = y + 4 olduun göre, + y kçtr? 8. y : y y ifdesinin sdelemi biçimi nedir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) A) y B) C) y D) E) y 9
Çrpnlr Ayrm 9. = v + ve b = v olduun göre, b kç eittir? A) 4 B) 0 C) 8 D) 6 E) +. c m: c m ifdesinin eiti dkilerden A) + B) C) + D) E) 0. + y = 8 + = 4 y 5 olduun göre, + y kç eittir? A) 4 B) 0 C) 6 D) E) 0 4. + b = olduun göre, b b ifdesinin eiti kçtr? b 4+ 4 A) 5 B) C) D) 5 6 E). + b = 4 ve c = olduun göre, eittir? + b c bc + b c ifdesi kç 5. y : c m y y A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) ifdesinin eiti dkilerden A) y B) y C) y D) y E) + y. y y y ifdesinin sdelemi biçimi dkilerden A) y D) y y B) + y E) y y C) y y 6. Adkilerden hngisi ( ).( 8) 0 ifdesinin bir çrpn deildir? A) 5 B) C) D) + E) +. D. C. A 4. D 5. E 6. C 7. D 8. B 9. B 0. A. E. B. A 4. D 5. E 6. D 9
TEST 4. + ( + ) + ifdesinin sdelemi biçimi dkilerden 5. y =,.y = 84 + y 5 olduun göre, y kçtr? A) 40 B) 80 C) 6 D) 60 E) 96 A) + B) + C) D) E) dkilerden hngisi-. ( b) = y( + b) + y olduun göre, y dir? 6., b R olmk üzere; + b 4 + 6b + ifdesinin lbilecei en küçük deer kçtr? A) b B) b C) b A) B) 6 C) D) 0 E) D) + b E). = v olmk üzere, ( ) +.( ) +.( ) ifdesinin sonucu kçtr? 7. A = 4 + 9 ve B = y + 6y veriliyor. A nn lbilecei en küçük deer ile B nin lbilecei en büyük deerin toplm kçtr? A) 4 B) C) D) E) 0 A) B) 4 C) 5 D) 0 E) 4. 6 6 + ifdesinin lbilecei en büyük deer kçtr? 8. vb = 4 ve b = 0 ise.b kçtr? A) B) C) D) 4 E) 6 A) B) 8 9 C) D) 4 9 E) 4 5 97
Çrpnlr Ayrm 9. + y + y 4y : y y + y ifdesinin sdelemi biçimi dkilerden. b + 6 = ve + b = 7 ise b kçtr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6 A) y + y D) y y B) + y C) y + y E) + y y + y 4. v = olduun göre, 0 + 5 ifdesinin deeri 0. b + = b kçtr? olduun göre, ifdesinin sonucu kçtr? 4 4 + b b A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. 4 :( + ) 4 ifdesinin sdelemi biçimi nedir? 0 5. = 7 olduun göre, 5v ifdesi dkilerden hngisine eittir? A) B) C) D) E) A) B) C) v5 D) v5 E) 5v5. b b b = 6 ve.b = olduun göre, + b kçtr? 6. + 4b b. = 4 + b olduun göre, b ifdesi kç eittir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) C) D) 4 E) 5. C. A. C 4. B 5. D 6. A 7. A 8. B 9. D 0. E. E. A. C 4. B 5. B 6. D 98
TEST 7. y y y ifdesinin en s de biçimi nedir? 5. = 9 ve y = 7 olmk üzere, ( + y) 4y ifdesinin deeri kçtr? A) 4 B) 49 C) 60 D) 6 E) 64 A) B) C) D) E) y. 6 6 + y 4 4 y + y ifdesinin s de le mi bi çi mi ne dir? A) + y B) y C) y D) + y E) y 6. 6 c m 6 + + 9 = 0 olduun göre, + toplm kçtr? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). y 4+ y+ y ifdesinin s de le mi bi çi mi ne dir? A) + y B) + y C) + y D) + y + E) + y + 7. 0 olmk üzere, + = ise 6 + topl m nn sonucu kçtr? A) B) C) D) 4 E) 5 4. 4 + = 0 olduun göre, + kçtr? 8. + + + ifdesinin sdelemi biçimi nedir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) D) E) 0
Çrpnlr Ayrm 9. 5 + y 4 y + = 0 ise + y kçtr?. y = A) B) C) 0 D) E) olduun göre, ne dir? y y+ y + + ifdesinin ei ti A) B) 4 C) D) 4 5 E) 0. m+ + ifdesi s de le e bi lir bir ke sir ise m nin l bi le ce- i deerlerin toplm kçtr? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 4. = 5 olduun göre + ifdesinin po zi tif de e ri kç tr? A) 5 B) 4 C) D) E). y + 6 8y 7 ifdesinin çrpnlrndn biri dkilerden 5. b = 8 b b = 7 ise nn l bi le ce i po zi tif de er kç tr? A) + y + B) y 7 C) + y D) y E) + y 7 A) 6 5 B) 7 5 C) 8 5 D) 9 5 E) 5. + y ( y) + y 6. + y 9 6 y y ifdesinin sdeletirilmi biçimi nedir? ifdesinin s de le ti ril mi bi çi mi ne dir? A) + y + y B) + y C) + y A) B) y C) + y D) y E) + y D) + y E) + y+ y.d.a.b 4.C 5.E 6.D 7.B 8.E 9.D 0.D.D.C.B 4.C 5.C 6.A 04
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 99 ÖSS ( )(b y) + y (y b) y( ) ifdesinin ksltlm biçimi dkilerden A) b B) y C) y D) E) by 5. 99 ÖYS y = 7 4 + = olduun göre, y dkilerden hngisine eittir? + y y 9 A) B) 4 C) 5 D) 7 E) 8. 99 ÖSS =, b = y olduun göre y b y + ifdesi dki- b lerden hngisine eittir? A) y B) + y C) y D) y E) y 6. 99 ÖSS + b b ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) b B) b C) + b D) E) +. 99 ÖSS = 4, y = olduun göre, 5 5 4 y + 0 y 0 y + 5y 4 y 5 ifdesinin deeri kçtr? 7. 99 ÖSS, b N ve b = olduun göre, + b toplm kçtr? A) 6 B) C) 64 D) 8 E) 56 A) 8 B) C) 5 D) 6 E) 6 4. 99 ÖYS, y birer gerçel sy ve y + = 9 y + y =8 olduun göre + y kçtr? 8. 99 ÖSS + ileminin sonucu kçtr? A) v9 B) v C) v D) E) A) B) C) 0 D) E) 05
Çrpnlr Ayrm 9. 99 ÖYS. 994 ÖYS + = olduun göre, c m nin deeri kçtr? 9 6+ = ( + ) 9 olduun göre, nedir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) A) B) C) D) 4 E) 5 0. 99 ÖYS + 5 0 c m: c + m 5 5 ileminin sonucu kçtr? 4. 994 ÖYS y = 5, 4 4 y y = 6 A) B) C) D) E) olduun göre, + y toplm kçtr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. 99 ÖYS Pozitif iki tm synn frk 5, çrpm 4 ise küpleri frk kçtr? A) 485 B) 460 C) 40 D) 85 E) 60 5. 995 ÖSS = b olduun göre, 8b nin deeri kçtr? 8b b A) B) C) D) 4 E) 6. 994 ÖSS = v6 +, b = v6 olduun göre, toplm kçtr? A) B) C) 4 D) 5 4 E) b + b 9 7 6. 995 ÖSS 4b b + b b ifdesinin ksltlm biçimi dkilerden A) b B) C) b D) b E) b 06
Çrpnlr Ayrm 7. 996 ÖSS 4 + = 8 8 k k + k olduun göre, ileminin sonucu dkilerden. 997 ÖSS 4 + 6 6 : 4 + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 8. 996 ÖSS = + b olduun göre, b ( b) ün b türünden deeri dkilerden. 998 ÖSS b = b c = 5 olduun göre, + c b ileminin sonucu kçtr? A) 50 B) 45 C) 40 D) 5 E) 0 A) b B) + b C) D) b E) b + b 9. 996 ÖSS b b + y y ifdesinin sdelemi biçimi dkilerden A) B) C) b D) y E) y b. 998 ÖSS + + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) E) 4. 998 ÖSS 0. 997 ÖSS + =, + b = 4 b olduun göre.b çrpm dkilerden hngisi olbilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 + b ( b) + b ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) + b B) b C) + b D) b E) + b 07
Çrpnlr Ayrm 5. 999 ÖSS y y + y > H y y ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden 9. 00 ÖSS + b =, + b = 7 6 olduun göre,. b çrpm kçtr? A) B) 6 C) 8 D) E) A) y B) C) y D) E) y 0. 00 ÖSS 6. 999 ÖSS b, + = b + b olduun göre.b çrpm kçtr? + + b + 4 + = + + 8 9 + olduun göre + b toplm kçtr? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) B) C) 7. 999 ÖSS + + D) E) 5 ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) + C) D) E) +. 00 ÖSS bc c b + b ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) b c B) b + c C) + b + c D) b c E) + b + c 8. 999 ÖSS Kreleri frk 6 oln ve b sylrnn her birinden çkrlrs, yeni sylrn kreleri frk 8 olmktdr. Bun göre + b toplm kçtr?. 00 ÖSS > 0 olmk üzere, c 4 + mb l = olduun göre + kçtr? A) 6 B) C) D) E) 6 A) B) C) D) 4 E) 8 08
Çrpnlr Ayrm. 00 ÖSS ( y )( + y + y ) ( y) c + m y ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) y B) + y C) y y D) E) + y + y y 7. 005 ÖSS b b b l + c m b + b + b ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) b C) + b D) E) 4. 004 ÖSS c mc + mc + m= 9 olduun göre, k kçtr? k 8. 005 ÖSS + : + + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) 4 D) 5 E) 6 5. 004 ÖSS 6 c m + + c m ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) E) + 9. 006 ÖSS 4 + 4 0 + = olduun göre, kçtr? A) B) C) D) E) 6 A) B) C) D) E) 6. 005 ÖSS b cb+ m + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden 40. 006 ÖSS pozitif bir gerçel sy ve 4 = 8 olduun göre, kçtr? A) B) b C) + D) + b E) b A) 8 B) 4 C) D) E) 09
Çrpnlr Ayrm 4. 006 ÖSS 0 0 ( 5+ )( 5 ) ileminin sonucu kçtr? 45. 007 ÖSS + y y. + + y ileminin sonucu dkilerden A) B) 9 C) 5 D) 0 E) 5 A) y B) + y C) + y D) +y E) y 4. 006 ÖSS c : + m c + + m ileminin sonucu dkilerden 46. 007 ÖSS + + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) E) + A) D) + B) E) + C) 4. 006 ÖSS y + 7 ( y )( y ) y y y y+ 9 ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden 47. 007 ÖSS + + : + 5 + 5 ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) (y + )(y ) B) (y + )(y ) C) (y + )(y ) D) (y )(y ) E) (y )(y ) A) B) D) E) + C) + 44. 007 ÖSS ve b pozitif tm sylr olmk üzere, b b = 0 olduun göre, + b toplmnn en küçük deeri kçtr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 48. 008 ÖSS, b ve p birer pozitif tm sy ve p sl olmk üzere, b = p olduun göre, nn p türünden eiti dkilerden A) p + D) p B) p + E) p C) p 0
Çrpnlr Ayrm 49. 008 ÖSS = + olduun göre, kçtr? A) B) C) D) E) 5. 009 ÖSS pozitif gerçel sys için v = 0 oldu un göre, ifdesinin deeri kçtr? ( ) A) B) 4 C) 4 D) 6 E) 6 5 50. 008 ÖSS y + y c m: c m + y y ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden 54. 00 YGS ( + ) ( ) ifdesi dkilerden hngisine eittir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) y + y D) E) y 5. 009 ÖSS c + mc m y + y ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) E) + 55. 00 YGS y = 7 4 y = olduun göre, kçtr? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) 5. 009 ÖSS + b + c = A b c = B olduun göre, A B ifdesi dkilerden hngisine eittir? A) 4(b + c) B) 4b( + c) C) c( + b) D) (b c) E) b( c) 56. 00 LYS f() = ( + + + )( ) + olduun göre, f(v) deeri kçtr? A) B) C) D) 4 E) 5
Çrpnlr Ayrm 57. 0 YGS 4 y + y = olduun göre, ( + y) A) B) 4 C) D) ifdesinin deeri kçtr? E) 4 6. 0 LYS y = olduun göre, + 4y 4y y + ifdesinin deeri kçtr? A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 5 58. 0 YGS + + = olduun göre, ifdesi dkilerden hngisine eittir? A) B) D) E) + C) 6. 0 LYS ve y birer gerçel sy olmk üzere, y = y y = eitlikleri veriliyor. Bun göre, y frk kçtr? A) B) C) D) E) 59. 0 YGS Birbirinden frkl ve b sylr için, b = b b b olduun göre, + ifdesinin deeri kçtr? b A) B) C) 0 D) E) 4 6. 0 LYS 4 4+. + ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) B) C) D) + E) + 60. 0 LYS t = 0 olduun göre, t + t+ eiti dkilerden ifdesinin t türünden 64. 0 LYS ( y) y + = y y olduun göre, y frk kçtr? A) t + B) t C) t D) t + E) t + A) B) C) 4 D) 5 E) 4 5
Çrpnlr Ayrm 65. 0 LYS y ( + z) + zy ( ) + y + z + yz ifdesinin sdeletirilmi biçimi dkilerden A) + y y D) + z y B) + y y E) y + z z C) + z 67. 0 LYS ve y birer gerçel sy olmk üzere, 4y = 7 y = olduun göre, + y toplm kçtr? 4 A) B) 4 C) 5 D) E) 5 66. 0 LYS ve y pozitif gerçel sylr için.y = 5 + y = 5 olduun göre, + y ifdesinin deeri kçtr? A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75