İÇERİK 1. Bölüm : Tanımlar....sayfa 3-9 2. Bölüm : Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin İncelenmesi sayfa 10-31 3. Bölüm: Sonuç... sayfa 32 4. Bölüm: Kaynaklar..sayfa 33-34 1
MÜZİĞİN MATEMATİĞİ 1. BÖLÜM: Tanımlar Projenin iyi olarak anlaşılması için öncelikle müziğin tanımı yapılmalıdır; fakat her insan müziğe farklı bir şekilde yaklaştığı için kesin bir tanım yapmak mümkün değildir. Müziği seslerin ritim, melodi ve harmoniyle anlamlı bir şekilde sıralanması olarak tanımlayabiliriz. Müziğin tanımını anlayabilmek için de sesin ne olduğuna bakmamız lazım. Ses; atmosferde kulağımız tarafından algılanan basınç değişimleridir ve dalga halinde yayılır. Sesin bir frekansı, boyu, periyodu ve hızı vardır. Sesin frekansı bir saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz(Hz)dir (Hertz, 19. yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim adamının adıdır.). Ritim; bir dizede, bir notada vurgu, uzunluk veya ses özelliklerinin, durakların düzenli bir biçimde tekrarlanmasından doğan ses uyumudur. 2
Ritim Çeşitleri: 2/4 lük ritim: Her ölçüde 2 tane 4 lük nota vardır. 4/4 lük ritim: Her ölçüde 4 tane 4 lük nota vardır. 3/4 lük ritim: Her ölçüde 3 tane 4 lük nota vardır. 3
5/8 lik ritim: Her ölçüde 5 tane 8 lik nota vardır. 6/8 lik ritim: Her ölçüde 6 tane 8 lik nota vardır. Tam Ses Aralık / Yarım Aralık: İki nota arasındaki mesafeye aralık denir. Klasik batı müziğindeki kullanılan sisteme eşit tamperaman (tampere) sistemi denir. Bu sitemde, bir tam ses (örneğin, Do-Re) iki eşit parçaya ayrılır. Elde edilen her bir parçaya bir yarım aralık adı verilir. Aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi Do majör gamında Mi-Fa ve Si-Do notaları arasında yarım aralık vardır. Diğer notaların arası ise tam aralıktır. Do------------------1/2------------------Do# = Re -------------------1/2---------------- Re Batı Müziği Ses Sistemi "Tampere Sistem" Bu müzik sisteminde bir tam ses aralığı eşit iki parçaya bölünmektedir. Nedir bu tam ses? Yanyana duran iki sesin birbiri arasındaki frekans uzaklığı bize, o aralığın uzak yani tam veya yakın yani yarım aralık olduğunu gösterir. Bundan yola çıkarak seslerin gerçek frekans değerlerini vermek yerine şöyle bir örnekleme yapacağım. İlk örnek ses aralığımız DO-RE aralığı olsun. Tam seslik aralığı 100, Yarım seslik aralığı da 50 birim farklılık olarak varsayarsak; DO sesinin frekans değerini 100 RE sesinin frekans değerinide 200 olarak kabul edelim. 4
Bu yaklaşım ile görülmektedir ki; DO-RE ses aralığı TAM aralıktır. Tampere Sistemdeki Doğal Aralıklar şu şekilde sıralanırlar: DO-RE = TAM (geniş-uzak aralık) RE-Mi = TAM (geniş-uzak aralık) Mi-FA = YARIM (dar-yakın aralık) FA-SOL = TAM (geniş-uzak aralık) SOL-LA = TAM (geniş-uzak aralık) LA-Si = TAM (geniş-uzak aralık) Si-DO = YARIM (dar-yakın aralık) Aralıkların uzaklıklarını başka bir grafikle böyle anlatabiliriz. Bunlara ek olarak Ses Değiştiriciler diye adlandırdığımız işaretlerden bahsetmemiz gerekecek. Diyez (#) : Diyez, uyguladığımız sesi yarım ses tizleştiren (incelten) işarettir. Notanın sol tarafına yerleştirilir. Bemol ( ) : Bemol, uyguladığımız sesi yarım ses pesleştiren (kalın) işarettir. Notanın sol tarafına yerleştirilir. 5
Armonide karşımıza çıkan dizilerden en bilinenleri Majör ve Minör dizilerdir. Majör Dizi: 3Tam + 1Yarım + 2Tam + 1Yarım aralıktan meydana gelen dizidir. Minör Dizi: 2Tam + 1Yarım + 3Tam + 1Yarım + 2Tam aralıktan meydana gelen dizidir. Not: Tam aralıklar ayrı ayrı hesaplanmalıdırlar. Örn: 3Tam=1T+1T+1T gibi Akor: Belirli kurallar çerçevesinde tınlatılan en az 3 sesin oluşturduğu kümeye verilen isimdir. Temel Akorlar (1-3-5): 3 sesten meydana gelirler. İlk ses dizinin 1. sesi, ikinci ses dizinin 3. sesi, üçüncü ses ise dizinin 5. sesidir. Örnek : Birinci Çevirim Akorlar (1-3-6) : İlk ses dizinin 3. sesi, ikinci ses dizinin 5. sesi, üçüncü ses dizinin 8. sesidir. Örnek: Mi SOL DO İkinci Çevirim Akorlar (1-4-6) : İlk ses dizinin 5. sesi, ikinci ses dizinin 8. sesi, üçüncü ses dizinin 3. sesidir. 6
Örnek: SOL DO Mi Yukarıda bahsettiğimiz Temel ve Çevirim akorlar Minör Akorlar için de aynen geçerlidir. Ben sadece örnek teşkil etmesi bakımından Majör bir dizi üzerinde çalıştım. Tam Aralıklar: 4 aralığı tam aralık olarak adlandırıyoruz: Unison: 2 farklı ses kaynağının verdiği aynı frekanstaki sestir. Örneğin gitar ve keman unison çalsın dendiğinde iki enstrüman aynı frekanstaki notayı çalar. Tam 4 lü (T4): 5 yarım sesten oluşur. Tam 5 li (T5): 7 yarım sesten oluşur. Oktav (Tam 8 li): 12 yarım sesten oluşur. Herhangi bir gamın ilk ve son sesi arasındaki aralıktır. Bir diğer değişle, bir notanın 7 nota inceltilerek elde edilen ince sesine kadar olan bölüme bir oktav denir. Mesela; kalın do dan ince do ya kadar olan 8 notalık ses dizisi bir oktav sayılmaktadır. (Oktav denilebilmesi için nota değil ses aralığı önemlidir.) *T : tam ses Bizim sesleri ince veya kalın olarak algılamamızın sebebi seslerin titreşimindeki farklılıklardır. Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz) 7
algılarız. Sesin kalınlığına (ya da inceliğine) ''perde" denir. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Ton: Müzikte diatonik (doğal major) gamda bir tam aralık olarak tanımlanan ton belli bir frekansta ve perdede üretilen saf ses anlamında kullanılır. Örneğin bir ses çatalı (diyapozon) titreştirildiğinde ortaya çıkan 440 Hz frekansındaki Do (C) notası saf bir tondur. Saf tonlar doğal ortamda fazla karşılaşılmayan ve genellikle müzik aletleri veya ses üreteçleri aracılığıyla üretilen seslerdir. Yüksek frekanslı (yüksek perdeden) sesler tiz düşük frekanslı (düşük perdeden) sesler pes (bas) olarak algılanır. Müzikle matematik arasındaki en önemli ilişkilerden ikisinin de altın oran ve Fibonacci sayıları olduğu ileride açıklanacaktır. Altın oranı açıklayacak olursak: Bir doğru parçasının (AB), altın orana uygun bir şekilde C noktasından bölündüğünü düşünelim. Bu nokta öyle bir yerdedir ki küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, bütün doğrunun (AB), küçük parçaya (AC) oranına eşittir. a b biçimine dönüştürülebilir. Bu denklemin pozitif kökü altın orandır. Fibonacci sayıları 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765... şeklinde bir sonraki sayının ondan önceki iki sayının toplamına eşit olduğu sayı 8
dizisidir. Fibonacci sayılarının altın oranla arasında ilginç bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran'a yaklaşır. 2. BÖLÜM: Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin İncelenmesi Sanat ve bilim birbirinden ayrı iki dal olarak kabul edilir. Sanat ve bilimin ayrı kabul edilmesi gibi, sanata bağlı müzik ve bir bilim olan matematik arasında bir ilişki düşünülememiştir. Her ne kadar bu iki dal farklı olarak algılansa da aralarında çok sıkı bir ilişki vardır ve bu ilişkinin incelenmesi Eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan da müzik matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pisagor Okulu ndaki programda müzik; aritmetik, geometri ve astronomiyle aynı düzeyde görülüyordu. Matematik (değişmeyenin çalışması) Miktar Büyüklük tek başına alakalı hareketsiz hareket halinde (kesin olan) (göreli olan) (stabil olan) (hareketli olan) Aritmetik Müzik Geometri Astronomi Şekil 1: Pisagor Okulu ndaki program Matematiğin müzik üzerindeki etkisini ilk olarak görebileceğimiz yer müzik parçalarının yazımındadır. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük, 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruşları birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık,... gibi olan notalar bulunur. Fark edildiği 9
gibi bunlar ikinin üsleri biçiminde ifade edilirler. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür. MÖ 6. yy.da yaşamış ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin oturmasına katkı sağlamış olan Pisagor çıkan sesin ve notanın, çekilen teli uzunluğuna bağlı olduğunu gözlemlemiştir. Pisagor 12 birimlik teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik yeni tel (telin ½ si) kesilmeden önceki telin çıkardığı sesin bir oktav tizini çıkarmaktadır. Pisagor 8 birimlik tel (telin 2/3ü) ile 5li aralığı, 9 birimlik tel (telin ¾ ü) ile 4lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktaydı. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir. Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. Pisagor un matematik ve müzikle kurduğu bir diğer ilişkiyi kürelerin müziği (kürelerin armonisi)nde, görebiliyoruz. Kürelerin armonisi Pisagor un, evrenin armoni gösteren sayılarla düzenlendiği fikri üzerine kurulu bir varsayımıdır. Bu varsayıma göre, müzikal oranlara göre dizilmiş gezegenler arasındaki uzaklıklar müzikal aralıklara denk gelmektedir. Notalara paralel olarak sayıların da belirli bir düzene bağlı olduğunu savunan Pisagor un bu varsayımında dokuz gezegenin, hareketleriyle, algılayamadığımız, uyumlu bir ses oluşturduğu öne sürülür. 10
Müzikte ritimlerin ifadesinde kullanıldığı gibi aralıklarda ve bunların belirlenmesinde de matematik kullanılır: *T: tam ses *M: majör *m: minör 1 M 2 m M 3 m 4T 5T M 6 m M 7 m 8 Unison oktav 2. 3. 4. Ve 5. Aralıklarda majöre tam sayı(1,2, ) karşılık gelirken, minöre kesirli sayı(1.5, 4.5 ) gelir. 6. ve 7. Aralıklarda ise minöre tam sayı karşılık gelirken, majöre kesirli sayı gelir. Örneğin; Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) 2/3 sol notası ¾ fa notası Piyanoda: Fa fa diyez sol Do Re Mi Fa Sol La Si Do ½ ½ ½ + ½ = 1 (tam sayı),majör 11
(5T-4T=2M ) Majör ( fa ve sol )=2 ses Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir. Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M) Esas sesimiz "do" olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir. Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz; 3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m ¾ fa notası 8/9 re notası ¾ : 8/9 =27/32 (4T - 2T = 3m) Fa re 4T - 2T = 3 m minör (1/2+1/2+1/2 ) ( Do ya göre 4 lü aralık = do,re,mi,fa) ( re mi fa ) ( Do ya göre 2 li aralık = do,re) 2:27/32=16/27 6M 2:64/82=81/128 6m 2: 8/9=9/16 7m 12
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir. Daha önceden Pisagor un, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde ettiğini söylemiştik. Fakat bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da "Pisagor koması" olarak adlandırılır. Böyle bir durum ortaya çıktığı zaman Pisagor sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. Bu sistem de bugün klasik batı müziğinde kullanılan tampereman sistem denir. Böylece 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir. Tampere edilmiş 5li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve bu da, Pisagor 5lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pisagor 4lüsünden daha büyüktür. Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pisagor aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995). Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak Pisagor ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Majör 3'lü ve Majör 6'lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid'in Majör 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10). Eski Yunan da fark edilen bir başka şey de akor basılırken notaların birbirine uyumudur. Basılan notayla en iyi uyum sağlayan notaların, o notanın frekansının tamsayı katları olan frekansa sahip olan notalardır. Örneğin 220 Hz.lik bir frekansa sahip bir notayla en iyi uyumu gösterecek 13
notaların frekansları 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz.dir. Her ne kadar günümüzdeki müzik anlayışında buna dayanılmasa da, insan kulağının bunu aradığı bilinmektedir. Doğuşkan Doğanın mucizesi olan doğuşkan sesler doğal olarak akor oluşturur. örneğin do sesinin üst doğuşkanlarına bakacak olursak sırası ile: do, do, sol, do, mi... seslerini buluruz. bu seslerden 1-3-5 inci dereceleri çekecek olursak: do-mi-sol elde ederiz.(oktav farklılıkları gözardı edilir) bu da bize do majör akorunu verir. *İki ucundan tutturulmuş gergin bir tel çekilip bırakıldığında, oluşan dalgalar telin iki ucuna doğru hareket eder ve eşiklerden yansıyarak geri dönerler. Dönüşte karşılaşan bu titreşimler üst üste binişir, sonra ayrılıp eşiklere kadar giderek yeniden yansır. Bu telin titreşimi sönene kadar böylece sürer.* Ayhan Zeren, Müzik fiziği adlı kitabında doğuşkanlar hakkında bu şekilde bahsetmiştir. Bunu tanım olarak alıp matematiksel oranları ile açıklamak ise, matematikle ilişkisine girer. Sözgelimi, bir obua sesi ile bir klarnet sesini bir birinden ayırabilmemizi sağlayan, bu çalgıların çaldıkları sesin üzerinde oluşan doğuşkanların bir birinden farklı güçte duyulmalarıdır. Bir tel titreştiği zaman çıkan ses asla tek başına duyulmaz. Bir cismin titreşimi sonucu çıkan ses her zaman o sesin üstünde ve altında oluşan diğer seslerle birlikte oluşur. Bu üst seslere üst doğuşkanlar, alt seslere ise alt doğuşkanlar denir. Daha sonra elde edilen bilgiler, doğuşkanların sadece teller üstünde değil, aynı zamanda üflemeli çalgılarda da bulunduğunu ortaya koydu. Farklı bir üfleme tekniği sayesinde havanın boru içerisinde yaptığı çarpışmalar buna sebep oluyordu. Aşağıda da bahsedeceğim gibi hiçbir ses doğada tek başına bulunmaz ve doğuşkanlara sahiptir, ancak eğitimli bir kulağa sahip kişi yukarı doğru 4 sese kadar duyabilir. 14
Resimde de görülebildiği üzere, herhangi bir tel üzerinde basılan bir do notası, önce 8li aralık yukarıya ki bize bir üstteki do notasını veriyor-, daha sonra 8li aralığın üstüne 5li bi aralık sol- üstüne 4lü bir aralık daha daha da üstten do- ve yine yukarı 3lü aralık şeklinde gidiyor. Bu sadece ilk dört sestir ve bu aralıklar gittikçe daralırlar. Bu notalar aynı aralık düzeniyle aşağı yönde de karşımıza çıkar. Bu aralıkların belli bir oranları vardır. Eğer bu seslerin kendi arasındaki iliskilere bakarsak, belirli armonik oranların belirli armonik aralıklara denk geldiğini fark ederiz. Örneğin 2:1 armonik oranı bize Oktav, 3:2 armonik oranı ise Tam Besli aralığını verir. İlk bakısta göze çarpan diğer önemli armonik oranları ve aralıkları ise söyledir; 2:1 Oktav 3:2 Tam Besli 4:3 Tam Dörtlü 5:4 Major (Büyük) Üçlü 7:6 Minor (Küçük) Üçlü 9:8 Major (Büyük)İkili Yaylılar için doğuşkanların iki çeşit gösterimi vardır; İlki, doğuşkan çıkması istenen notanın üstüne koyulan bir 0 (sıfır) dır. Bu yöntem size hangi teknikle elde etmenizi söylemez, sadece o notanın doğuşkan çıkmasını ister. Birazdan göreceğimiz gibi bir notanın doğuşkanının çıkması için 4 farklı yol vardır. İkinci gösterim ise doğuşkanı çıkması istenen notayı bir paralel kenar şeklinde yazmaktır. (bkz. Örnek) Bu bestecinin müzisyene sağladığı bir kolaylıktır. Çünkü direkt olarak dokunulacak notayı göstermektedir. 15
5. doğuşkanı elde etmenin 4 farklı yöntemi vardır. Bunlar; - Telin B3lüsüne, yani 7/6 sına dokunmak 16
-Telin B6lısına dokunmak -Telin 5/2 sine, yani B3lünün oktavına dokunmak -Telin 5/4 üne, yani B3lünün 2 üst oktavına dokunmak Müzikle matematik arasındaki bir diğer ilişki ise altın orandır. Pisagor aralıklarından ve tetrakordtan bahsederken 6, 8, 9 ve 12 birimlik tellerden bahsedilmişti. Altın oranla bu aralıklar arasında eşitliği bulunmuştur. Ayrıca çeşitli bestelerde melodik, ritmik ve dinamik unsurların altın oranı içerdiği bilinmektedir. Ayrıca insan kulağına en uyumlu aralığın 8/5 frekansı aralığında Majör 6 lı olduğu bilinmektedir. Bu olguyu şaşırtıcı kılan ise bu oranın altın orana ( 1.618) çok yakın olmasıdır. Müziğin matematikteki altın oranla ilişkisinden sonra Fibonacci sayılarıyla da ilişkili olduğu şaşırtıcı değildir. Béla Bartók, altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartók, Fibonacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma Gönen, 1998: 13). "Music for strings, percussion and celeste" parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998). Debussy nin Reflections in Water adlı eserinde de altın oran ve Fibonacci sayılarının izleri görülmektedir. 17
34, 21, 13 ve 8 sayılarıyla işaretli tuşlar sıralasıyla kullanılmıştır ve eserin geneli de altın orana uymaktadır. Fibonacci sayılarını en çok kullanılan müzik aletlerinden piyanoda da görmekteyiz. Piyanoda bir oktavda 13 tuş vardır. Bunlardan 8 i beyaz, 5 i siyahtır. Siyah tuşlar da 2 tane ve 3 tane olmak üzere ayrılmışlardır. Bu düzen de bize Fibonacci sayılarını hatırlatmaktadır (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ) Birçok müzik aletinin biçimi de matematiksel kavramlarla ilgilidir. Örneğin, aşağıdaki şekilde üstel fonksiyonun grafiği çizilmiştir. Telli ve üflemeli çalgıların biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer. 2 1 Matematikçi J. Fourier, 19. yüzyılda müzikal seslerin niteliğinin incelemiştir ve müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve 18
bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır. Müzik aletleri yapılırken Fourier in ifadesinden yararlanılmaktadır. Yapılan müzik aletinin periyodik ses grafiği, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırılır. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir. Şekil 2: fonksiyonunun grafiği Matematiğin ve müziğin bir diğer ilişkisi de frekanslarda görülebilir. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Müzik, genellikle rasgele seslerden değil, belli frekanslardaki seslerin kullanımıyla yapılır. Bunlar, notalardır. Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, notaların nasıl ortaya çıktığını keşfedebiliriz. Bir çalgının teline, telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan vurduğumuzda çıkan sese armonik denir. Bu, aynı zamanda, tek telli çalgının çıkarabileceği en kalın sestir. Buna ''çalgının temel frekansı''da denir. Çalgının temel frekansının 264 Hz olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun dördüncü oktavındaki "Do" notasının frekansıdır (Buna kısaca Do4 diyelim). Telin rasgele seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp, tele vurarak değişik frekansta sesler elde edebiliriz. Bu seslerin çoğu bize anlamsız gelir. Ancak, parmağımızı telin tam ortasına 19
basarak tele vurursak, kulağımıza daha anlamlı gelen bir ses duyarız. Bu, telin ikinci armoniğidir. Bu ses, bir oktav yukarıdaki Do notasıdır (Do5) ve frekansı telin temel frekansının iki katıdır; yani 528 Hz'dir. Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4'üne basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine Do (Do6) notasıdır, ama bu kez frekans dört katına çıktı. Yani, bir oktav daha inceldi. Böylece, ''oktav'' kavramı önceden tanımlandığı gibi, kendiliğinden de tanımlanmış oldu. Bir notanın bir oktav yukarısı, onun frekansının iki katı hızlı titreşen ses anlamına geliyor. Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit matematiksel bir ilişki var. Beynimiz bir şekilde, bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor. Aslında, telin tam ortasına göz kararı basmak zordur Bunu, çıkan sesi dinleyerek yaparsak telin tam ortasını bulabiliriz. Müzik kulağı iyi olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın, gözümüze göre çok daha duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız. Oktav, bir telin en basit biçimde bölünmesiyle elde edildiğine göre, değişik notalar oluştururken kuşkusuz ona da temel olacak. Bir oktav aralıklı iki Do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa öteki notalar arasında da benzer bir ilişki var. Eğer bir oktavı rasgele değil de belirli oranlarda bölecek olursak farklı notalar elde ederiz. Değişik kültürler, tarihte oktavı değişik oranlarda bölerek notaları elde etmişler. Batı kültüründe, bir oktav 7'ye bölünürken, başka kültürlerde farklı oranlarda ve miktarda bölünmüş. Çin'de bir oktav 5 ' e, Arabistan ' da 17'ye, Hindistan'daysa 22'ye bölünmüş. 20
Günümüzde batı müziğinde genel olarak kullanılan sistem, oktavın 7'ye bölünmesiyle elde edilen 7 notalı sistemdir. Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım. Oktavdan sonraki en önemli aralık ''beşli''dir. Bunun için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli denmesinin nedeni, başlangıç boyundaki telle, boyu onun 2/3'ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş notanın bulunmasıdır. Bu aralık, bir tenor ile bas ya da soprano ile alto arasındaki farktır. Bazı iki sesle söylenen şarkılarda şarkıcılar sesleri arasında bir beşli farkla söylerler. Bir başka aralıksa, dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen sesle orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa çok uyumlu gelir Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir. Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam ortasına basa rak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri, ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz. Bu durumda: 1 (1/1), 1,33: (4/3), 1,5 (3/2) ve 2 (2/1) sayılarını el de ederiz. Do4'ün frekansının 264 olduğunu biliyoruz. Bu frekansı 4/3'le çarptığımızda, Fa4'ün frekans olan 352'yi; 3/2'yle çarptığımızda Sol4'ün frekansı olan 396'yı elde ederiz. 2'yle çarptığımızda zaten bir oktav yukarıdaki Do5'in frekansın bulacağımızı biliyoruz. Bu dört notadan oluşan nota takımının, Orpheus'un çalgısı Lir'in akordu olduğu söylenir. Bugün kullanılan 7 notalı sisteme göre sayısal bölünmeyi sürdürürsek, yedi notaya karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), Re (1,125), Mi (1,250), Fa (1,333), Sol (1,500), La (1,667), Si (1,875) Do4'ün frekansını 264 olarak bildiğimize göre, 264'ü bu sayılarla çarparsak, öteki notaların frekansını elde edebiliriz. Buna göre, Re4 297, Mi4 330, Fa4 352, Sol4 396, La4 440, Si 496, Do5 528 olmaktadır. Görüldüğü üzere, ses ve müzik fizik ve matematikle yakından ilişkilidir. Sesin nasıl oluştuğunu, yayıldığını; notaların nasıl oluşturulduğunu, aralarında nasıl bir ilişki olduğu çok basit fizik ve matematik bilgisiyle anlaşılabilir. 21
Şekil 3, bazı ses sinyallerini göstermektedir. Spektrum kavramını açıklamak için bu diyagramı kullanacağız. Sinyal spektrumları, farklı notaları veya karmaşık ses sinyallerini oluşturan saf sinyalleri gösterir. Eğer bir siren veya ıslık gibi sabit periyodik sinyalleri alırsak, spektrum zamana bağlı olarak sabittir ve sadece bir değeri gösterir (Şekil 6a'daki tek çizgi). Bunun sebebi, her sesi aslında sinüs dalgası olan saf sinyallerin bileşimi olarak düşünebilmemizdir. İleride Fransız matematikçisi Fourier'in 19. yüzyılda ses sinyallerinin sinüs sinyalleri olarak ifade edilebileceğini gösterdiğini göreceğiz. Bu bize müzik işin içine girdiğinde, akorddan bahsetme şansı vermektedir. Şekil 3a: Saf sinüs sinyali (basit ve periyodik) Şekil 3b: İki sinüs sinyalinin birleşimi Şekil 3c: Kare dalga (karmaşık ama periyodik) 22
Şekil 3d: Rastgele sinyal (karmaşık ve periyodik değil) Şekil 3: Ses sinyalleri ve spektrumları Sesi bilgisayar ile işleme, sesi havadaki basınç değişimlerini bilgisayarın anlayabileceği sayılara dönüştürmektir. Bunun için bir mikrofon ile basınçtaki değişimleri elektrik sinyallerine, bir örnekleyici ile elektrik sinyallerini sayılara dönüştürürüz. Örnekleyici genel bir terimdi ve ADC(Analog to Digital Converter - Analog Dijital Dönüştürücü) elektronik anlamındaki adıdır. Bu işlemleri bilgisayarlarda ses kartları yapar. Ses kartının noktaları(numaraları) kaydetme hızına örnekleme frekansı denir. Şekil 4, örnekleme frekansının ses sinyali ve onun Fourier dönüşümü ile hesaplanmış spektrumunu nasıl etkilediğini göstermektedir. Matematiksel formülü aşağıdadır: 23
Şekli 4a: İntegral Dönüşümü Zaman ve frekans alanında sonsuz ve sürekli Şekil 4b: Fourier Serileri. Zaman içinde periyodik ve frekans alanında ayrık Şekil 4c: Örneklenmiş Fonksiyonlar. 24
Zaman içinde ayrık ve frekans alanında periyodik Şekil 4d: Ayrık Fourier Dönüşümü Hem zaman hem frekans alanında periyodik ve ayrık Bu, sürekli dalganın ayrık noktalar serisine dönüşümü spektrumu periyodik yapar. Eğer sinyalde periyodik ise spektrum da ayrık(noktalar serisi) olur ve sadece sonlu sayıdaki frekans için hesaplamak yeterlidir. Şimdi Şekil 4d'deki durumla karşı karşıyayız. Ses sinyali ve spektrumu noktalar serisi olarak biliniyor ve bu noktalar zaman ve frekans alanında 0 Hz'den örnekleme frekansının yarısına kadar değişiyor. Bütün bu şekiller sonunda orijinal ses biraz kayba uğruyor. Bilgisayar sadece önemli zamanlardaki sesi biliyor. Bu kaydın çalınabilir ve yeterince iyi olduğundan emin olabilmek için sesi örneklerken dikkatli olmalıyız. Yapılacak ilk iş, kaydedilecek en büyük frekansın örnekleme frekansının yarısına küçük olmasına dikkat etmektir. Bu şart sağlanmazsa yüksek frekanslar daha düşük frekans gibi kaydedilir ve berbat bir kayıt olur. Bu durum Şekil 5'de gösterilmektedir: 25
Şekil 5a: Aliasing Üstteki: Örnekleme frekansı maksimum frekansa eşittir ve örnekleyici tarafından DC sinyal olarak görünür. Aşağıda: fs frekans örneği değerindeki frekans bileşeni DC sinyal gibi yorumlanır. Şekil 5b: Aliasing. Üstte: (1/N)fs değerindeki frekans Aşağıda: [ (N+1)/N ]fs değerindeki frekans bileşeni (1/N)fs olarak yorumlanır. Örneklenmiş sinyali bu belirli davranışı, en iyi Shannon teoremi olarak bilinir. Shannon, bu olayı açıklayan matematikçidir. Aynı durum genellikle arabaların tekerlerinde de görünür.bu tekerlerin sanki ters tarafa dönüyormuş gibi görünmelerinin sebebi, filmlerdeki stroboskobik etkidir.bunun anlamı örnekleme frekansının yarısından büyük frekansları 26
elemeniz gerekir. Bunu yapmazsanız, orijinal ses yanlış seslere bölünür. CD'lerin örnekleme frekansını(44.1 KHz) ele alalım;22 KHz üzerindeki frekansların yok olması gerekir. İstenmeye frekanslardan kurtulmak için süzgeçler kullanılır. Süzgeçler, sesin bir kısmını ileten veya koruyan cihazlardır. Örneğin alçak geçiren süzgeçler, duyulmaya ancak örneklemeyi bozan yüksek frekansları (yarasaların fısıltıları) geçirmez. Şekil 6: Pratikte süzgeç ve ideal süzgeç I: İdeal süzgeç P: Pratikteki süzgeç R: Ripple B: Etkin bad genişliği Süzgeç, sinyallerin hem zamanını hem de spektrumunu değiştiren cihazdır.200 Hz'de alçak geçiren filtreden geçen 100 Hz'lik kare dalga, sinüz sinyali olur çünkü spektrumunun üst kısmı yok olur. Benzer şekilde, 1000 Hz'lik bir piyano notası 1200 ya da 1500 Hz'lik filtreden geçtiğinde, fısıltı gibi duyulur. Bir sesin en alçak frekansı, temel frekans olarak adlandırılır. Diğerleri bileşendir ve harmonik frekanslar olarak adlandırılırlar. 27
Zaman alanında, süzgeçler, bozulma(distorsiyon) adı verilen değişikliklere neden olurlar. Bunun temel nedeni harmonikler arasındaki zaman farklarıdır. Bir süzgecin bir sinyal üzerindeki etkisini görebilmek için basit bir kare dalgana (şekil 10a), spektrumunun genliğine(şekil 10b), spektrumunun fazına(şekil 10c) bakalım. Bu kare dalga, bir süzgeç gibi t=0'dan t=t anına kadar sesi geçirir.bu darbenin spektrumu, süzgeçin frekans tepkisini gösterir. Gördüğümüz gibi sinyal frekansı ne kadar büyükse frekans bileşenleri arasındaki zaman farkı o kadar büyük olur ve genlik de o kadar küçük olur Şekil 7a: Zaman sinyali. t=0 anındaki dikdörtgensel darbe Şekil 7b: Spektrum (Genlik) 28
Şekil 7c: Spektrum (Faz) Şekil 8, dikdörtgensel süzgecin sinüs sinyali gibi basit bir sinyal üzerindeki etkilerini göstermektedir. Şekil 8a: Dikdörtgensel darbe. t=0 anındaki darbe. Şekil 8b: Ses darbesi 29
Sesi T anında aniden kesme, sinüs dalgasının spektrumunda yeni frekansları oluşturur. Eğer süzülmüş sinyal, fazla karışık(şekil 3c'deki kare dalga gibi) ise frekans bileşenleri, süzgecin çıkışında bozukmuş sinyaller oluşturur. Notalar ve saf frekanslar Bir nota, diğerleri arasında, kendi ses seviyesi olarak tanımların ve bu ses seviyesi notanın temel frekansı olarak düşünülebilir. Bunu bilerek, notaları frekansları, aşağıdaki formülle hesaplanabilir: ( (OKTAV - 4) + ( TON - 10) / 12 ) FREKANS (hertz olarak)= REFERANS 2 B>REFARANS olarak 440 Hz'deki 4. oktavdan A notasını kullanırsak, diğerlerini 1'den 12'ye kadar (C'den B'ye kadar) hesaplayabiliriz: Nota Oktav 1 2 3 4 5 6 7 8 C (do) 32,70 65,41 130,8 261,6 523,3 1047 2093 4186 C # (do diyez) 34,65 69,30 138,6 277,2 554,4 1109 2217 4435 D (re) 36,71 73,42 146,8 293,7 587,3 1175 2349 4699 E b (mi bemol) 38,89 77,78 155,6 311,1 622,3 1245 2489 4978 E (mi) 41,20 82,41 164,8 329,6 659,3 1319 2637 5274 F (fa) 43,65 87,31 174,6 349,2 698,5 1397 2794 5588 F # (fa diyez) 46,25 92,50 185,0 370,0 740,0 1480 2960 5920 30
G (sol) 49,00 98,00 196,0 392,0 784,0 1568 3136 6272 A b (la bemol) 51,91 103,8 207,6 415,3 830,6 1661 3322 6645 A (la) 55,00 110,0 220,0 440,0 880,0 1760 3520 7040 B b (si bemol) 58,27 116,5 233,1 466,2 932,3 1865 3729 7459 B (si) 61,74 123,5 246,9 493,9 987,8 1976 3951 7902 Notaların frekans olduğunu düşünmek, bir notanın bir aletten diğerine nasıl değiştiğini açıklamaktan uzaklaşırız. Aynı zamanda, notanın nasıl çalındığını(pizzicato ya da legato), hangi alette çalındığını, glissando, vibrato gibi efektleri hesaba katmalıyız. Bunun için, notalar, zamana karşı spektrum olan sonogram yardımıyla incelenebilirler. Sonogram, zaman karşı bütün harmonik frekansların görünmesini sağlar. T: Zaman A: Genlik F: Frekans Şekil 9: Bir sonogram Bugünlerde, elektronik ses kayıt ve çalma cihazları, ses oluşturmak için sentezleyiciler veya ses depolayan ve değişik ses seviyelerinde çalan örnekleyiciler gibi tamamen yapay cihazlar kullanmaktadırlar. Örneklenmiş sandalye gıcırtısından bir çello konseri vermek mümkündür. Bunu herkes yapabilir ve bir enstrüman çalabiliyor olmanız gerekmemektedir. Tek bir notanın karakteristiği aşağıdaki şekilde verilmiştir: 31
1: Yükselme A. Pozitif Genlik 2:Durma T: Zaman 3: Kaybolma Şekil 10: Bir notanın karakteristiği Eğri, sesin zamana karşı küresel sesliliğinin evrimini gösterir.bu tip eğrilere zarf denir çünkü sinyal(şeklin gri parçası) tamamen paketleniyor.yükselen kısmına yükselme denir ve enstrümana bağlı olarak birçok değişik şekilde olabilir.ikinci kısım durma denir ve notanın asıl kısmıdır.perküsyon enstrümanları dışındakiler için en uzun süren kısımdır.üçüncü kısım, enstrümana göre şeklini ve uzunluğunu değiştirebilir. Enstrümanlar, müzisyenlerin bu üç kısmı istedikleri gibi değiştirme şansı vermektedir. Piyanonun tuşların farklı hızlarda basmak, notanın yükselme alanını, pedallar ise kaybolma alanını etkiler. Her üç kısım da ses çeşitliliğini sonsuz yapan kendi spektrumuna(rengine) sahiptir. Harmonik frekanslar, yanı seviyede değişmezler. Bas frekanslar daha uzun sürmek isterler ve sesin rengi başlangıcında ve sonunda aynı olmaz. Aralık Tanıma göre, bir cihazı frekans aralığı, enstrümanın frekans aralığıyla ilintilidir. Her iki durumda da terimler, bir enstrümanın çalabileceği frekans veya ses seviyesi aralığını tanımlar. Bununla birlikte, enstrümanın çalabileceği en yüksek frekans, yukarıdaki dizide verilmiş olan temel frekansa eşittir. Yani, eğer sesin bütün renklerini kaydedebilmek için enstrümanın çalabileceği en yüksek frekanstan daha yüksek frekansları kaydedebilen bir cihaz olmalı. Kısa bir frekans aralığı, bir alçak geçiren süzgeç olarak işlev görür ve yüksek frekans harmonilerini kaydetmez. Bu da sesin dolgunluğunu yok eder. Pratikte, insan 32
kulağının duyabildiği frekans aralığına(20hz - 20KHz) sahip cihazlar gerekir. Genellik 20 Khz'in üstüne çıkmalıdır çünkü cihazlar kesme frekansının altında sesi bozarlar. Harmonikler ve Nota Bütünleri Yukarıdaki notaların frekans dizisini analiz edersek, müzisyenler harmonik frekanslar arasında bazı benzerlikler ve nota bütünü oluşturan notaları bulurlar. Harmonik frekanslar, temel frekansların çeşitlerin içerir. Böylece, 32,7 Hz'deki C notası için harmonik frekanslar aşağıdaki gibi olur: Harmonik 1 2 3 4 5 6 7 8 Frekans 32,7 65,4 98,1 130,8 163.5 196,2 228,9 261,6 Nota C C G C E G B b C Burada bir nota bütünün neden mükemmel (C-E-G-C) ya da yedinci (C-E-G-Bb) olarak bilindiğini görüyoruz: Nota bütünü içindeki notaların frekansları, temel (C notasının) frekansının harmonikleri olarak dizilmişlerdir. 33
SONUÇ Müzik ve matematik birbirinden farklı disiplinler olarak algılansa da birbirleriyle müthiş bir uyum ve ilişki içerisindedir. Bu ilişki, antik çağlardan günümüze dek çeşitli matematikçilerin dikkatini çekmiş ve araştırmalarına konu olmuştur. Projemizde, matematik ve müzik arasındaki ilişkiyi akademik seviyemiz ve birikimimiz çerçevesinde olabildiğince detaylandırarak inceledik. Daha geniş bir zaman diliminde, bu derin ve kapsamlı konunun proje bazında geliştirilebilir olduğuna inanıyoruz. 34
KAYNAKLAR: http://oc.eab.org.tr/egtconf/pdfkitap/pdf/177.pdf http://techcenter.davidson.k12.nc.us/group2/music.htm Aralık 2005; Michael Beer; Mathematics and Music: Relating Science to Arts? http://www.muzikfakultesi.com/portal/image-vp175184.html http://matematikvenota.blogcu.com/muzigin-temelindeki-matematik/1899394 http://en.wikipedia.org/wiki/music_and_mathematics http://www.genbilim.com/content/view/682/37/ http://www.mustafasakamuzikatolyesi.com/makale3.php http://tr.wikipedia.org/wiki/pisagor http://mathforum.org/library/drmath/view/52312.html http://library.cu.edu.tr/tezler/7653.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/diatonic_scale http://www.beethovenlives.net/index.asp?id=301 http://tr.wikipedia.org/wiki/k%c3%bcrelerin_m%c3%bczi%c4%9fi http://www.pnas.org/content/87/3/938.full.pdf Taylor, C., Exploring Music, Instıtute of Physics Publishing, 1994 Johnston, I., Measured Tones, Instıtute of Physics Publishing, 1994 Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL Kocaeli Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Başkanı 35
Music and Mathematics From Phythagoras to Fractals Edited by John Fauvel, Raymond Flood and Robin Wilson (OXFORD University) Music and Mathematics (Thomas M. Fiore) 36