Boolean Cebiri 1 Boolean cebiri elektronik devre tasarımının temel matematiğidir. Tüm elektronik çipler, -ki buna bilgisayardaki CPU (mikroişlemcisi) de dahildir- boolean matematiğine dayanmaktadır. Boolean matematiğini anlaşılırsa sonra bilgisayarınızın ve ciplerin nasıl çalıştığı hakkında ciddi anlamda fikir sahibi olunabilir, yeterli elektronik bilgisi varsa devre tasarlanabilir. Matematik kuralları sayısal miktarların tanımlanması ve sınırlanması üzerine kurulmuştur. 1 + 1 = 2 veya 3 + 4 = 7 dediğimiz zaman tamsayı miktarların kullanımını örneklemiş oluruz: aynı tipte sayılar ve sayımları, bu ilkokulda öğrendiğimiz temel matematiktir. İnsanların çoğu matematik kurallarının her durum ve zamanda geçerli olduğunu düşünür. Aslında rakamlarla ifade ettiğimiz şeye göre değişir Yunanlı filozof Aristotales önerilerin sadece iki durumdan birisini göstermesi üzerine kurulu bir mantıksal (lojik) sistem keşfetti: doğru ya da yanlış. Onun bu ikili önerme sistemi mantıkbilimin 4 temel kuramının gelişmesini sağladı: Özdeşlik Yasası (A, A dır), Zıtlıkların Eşitsizliği Yasası (A, A olmayana eşit değildir), Hariç Tutulunabilirlik (A ya da A olmayan), Makul Çıkarım (A = B ve B = C ise A = C dir). Bu temel mantık kuralları değişkenlerin sadece doğru ya da yanlış değerlerinden birini içermeleri halinde geçerlidir, ara değerlerin var olabilmesi durumunda geçerli değillerdir. Yine de deyimlerin bir dereceye kadar doğru ya da yanlış olabileceği birden çok değerli ya da bulanık mantıkbilim üzerine birçok ciddi çalışma yapılmıştır ve yapılmaktadır. Değişkenlerin alabileceği değerlerin sınırlanması onlarla ilgili kuram ve teoremlerin de değişmesine -doğal olarak- sebep olmaktadır. İngiliz matematikçi George Boole (1815-1864) Aristo nun mantıkbilimine sembolik bir şekil vermeye soyundu. Boole 1854 te bu konuyla ilgili bir tez yazdı. Tezin adı Düşünce Bilimi Üzerine, Olasılıklar ve Mantığın Matematiksel Teorileri Hakkında Bir Araştırma idi. Matematiksel bazı kuralları olabilecek iki değerle sınırlayarak (1 ve 0 - doğru ya da yanlış) yeniden kodladı. İşte onun sistemi Boolean Algebra (Boolean Matematiği - Cebiri) olarak anılır. Boolean işlemlerde tüm miktarlar 0 ya da 1 değerlerinden birini alabilir. 2, -1, 0,5 gibi değerlere Boolean Cebirinde yer yoktur. Boolean Cebiri 0 ve 1 dışındaki ihtimallerin kabul edilmediği bir dünyadır. George Boole den sonra Claude Shannon ise tüm elektriksel sinyallerin 1 (high-yüksek) ve 0 (low-alçak) şeklinde ifade edilerek boolean cebirinin açık ve kapalı devrelere nasıl uygulanacağını işledi. Shannon un 1938 de yazdığı Röle ve Anahtar Devrelerin Sembolik Analizi adlı tezi Boole un teorik çalışmasının kullanılabilir olmasını sağladı. Boolean cebirinin kullanabileceği rakamlar sadece iki tanedir: 1 ve 0. Bu nedenle Boolean cebirinin kuralları ile normal matematiğin kuralları da birbirinden farklıdır, Boolean cebirindeki 1 + 1 = 1 ifadesinin normal matematikte saçma olması gibi. Boolean matematiğindeki tüm rakamların sadece 0 ve 1 den ibaret oluşunun dayanak noktasını kavradığınız zaman boolean cebirinin anlaşılmazlığı sizin için ortadan kaybolacaktır. 1 www.nexyazilim.com/blog
Konuya başlarken şu durum net bir şekilde anlaşılmış olmalıdır: Boolean sayılar ile binary (ikili sistemdeki) sayılar aynı şey değildir. Boolean numaralar matematikten tamamen farklı bir sistem sunarken binary ise reel sayıların alternatif bir yazım biçiminden başka bir şey değildir. Bu iki kavram sıklıkla karıştırılmaktadır, çünkü ikisi de aynı sayıları kullanır: 1 ve 0. Farkı şöyle ifade edersek daha iyi anlarsınız. Boolean sayılar tek bitle ifade edilir: 0 veya 1. Binary sayılarda ise 0 ve 1 in yanyana farklı şekillerde yazılışlarıyla sonsuz tane sayı elde edebilirsiniz. Örneğin Binary (ikili) sistemdeki 1001 sayısı onluk (bizim kullandığımız decimal) sistemde 9 a ya da 11 sayısı 3 e karşılık gelir. Boolean Aritmetiği Boolean cebirinde toplama: 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 İlk üç eşitlik parmakla saymayı bilen herkesin anlayabileceği gibi temel matematik kurallarına uygundur. Ancak 4. eşitlikte temel matematik kurallarına aykırı ve kafa karıştırıcı bir farklılık göze çarpmaktadır. Evet 4. eşitlik gerçek sayıların toplanmasıyla ilgili kuralları ihlal etmektedir ama boolean sayıların değil!. Boolean cebrinde sadece iki rakam kullanabilir: 1 + 1 ifadesinin kesinlikle 0 a eşit olmadığını görüyoruz, bu ilk elememiz olabilir! Bu durum kaç tane terimi birbirine eklememize bağlı olarak değişmez: 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1 1 + 1 + 1 = 1 1 + 0 + 1 + 1 + 1= 1.. İlk eşitlik demetimizdeki ilk iki eşitliğe bakıldığında, bu iki eşitlik bir OR (YA DA) kapısının doğruluk tablosundan alınmadır. Aşağıdaki şekilleri de inceleyerek Boolean toplama işleminin birbirine paralel bağlanmış iki anahtarı ifade eden mantıksal OR (YA DA) kapısına işaret ettiği görülebilir. Gördüğünüz gibi anahtarların herhangi biri açıksa devre tamamlanmakta, ampul yanmaktadır. 1 inci YADA (OR) ikinci açık anahtar olursa sonuç 1 (lamba açık), her ikisi de kapalı olursa sonuç 0 (lamba kapalı) dır. OR Kapısı :
şekliyle ifade edilmektedir. Boolean cebirinde çıkarma işleminin karşılığı yoktur. Çünkü çıkarma işlemi negatif sayılarla ilgili işlemler yapmaktadır. Örneğin 5-3 ifadesi aslında 5 + (-3) anlamına gelmektedir. Boolean cebirinde ise negatif sayılara yer yoktur, sadece 1 ve 0 vardır. Bölme işlemi ile çıkarma işlemi arasında bağlantıyı düşünürseniz (bölme sayının kendisinden bölüm x sonuç miktarında çıkarma yapmaktır) bölmenin de boolean cebirinde yeri olmadığını anlarsınız. Çarpma işlemini ise birleştirilmiş toplama gibi düşünebileceğimizden Boolean Cebirinde yeri vardır diyebiliriz. Boolean cebirindeki Çarpma işlemi reel matematikle aynıdır: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Bu eşitlikler de AND (VE) kapısının doğruluk tablosunu göstermektedir. Aşağıdaki basit elektriksel düzenekleri incelerseniz AND işleminin ne anlama geldiği kafanızda daha iyi canlanır: Gördüğünüz gibi 1. anahtar VE (AND) 2. anahtar açık değilse lamba kapalı kalmaktadır - 0! AND Kapısı; şekliyle ifade edilmektedir. Normal cebir gibi Boolean Cebiri de değişkenleri ifade etmek için harfleri kullanmaktadır. Yalnız önemli bir farkla, boolean cebirinde normal cebirden farklı olarak BÜYÜK HARFLER kullanılmaktadır. Boolean Cebirinde tüm değişkenlerin bir de tümleyeni vardır. Örneğin A = 0 ise A nın tümleyeni 1 dir. A nın tümleyeni A (A yanında tek tırnak) ya da A üzerine bir çizgi çizilerek ifade edilmektedir. Genellikle A üzerine bir çizgi (şekildeki gibi) şeklinde ifade edilmektedir. Burada A nın tümleyeni Not A, A değil, değil A, A nın tersi şekillerinde ifade edilebilmektedir.
Tümleyen ifadesi elektronik devre tasarımındaki NOT kapısına, kapalı bir anahtara veya röleye karşılık gelmektedir. Boolean Özdeşlikleri Matematikte bir eşitlik bir deyim içinde bulunan değişkenlerin değerleri ne olursa olsun sonucun doğru olması anlamına gelmektedir. Cebirsel x + 0 = x ifadesi bize 0 a hangi x değerini eklersek ekleyelim x sonucunu elde edeceğimizi söyler, bu x in alacağı değerlere göre değişmeyen bir eşitliktir. Normal cebir gibi boolean cebirinin de kendine has, boolean değerlerle ilgili eşitlikleri vardır. A+0=A 0 ile hangi sayıyı (geriye sadece 1 kaldı zaten) toplarsanız toplayın (OR işlemi) sonuç sayının kendisidir. Bu eşitlik normal cebirdekiyle aynıdır. Şimdi daha iyi anlamak için elektriksel olarak şekille ifade edelim: İkinci özdeşliğimize normal cebirde pek alışık olmadığımız bir ifade: A + 1 = 1 hangi sayıyla (1 veya 0 dan başka sayı yok!) 1 i toplarsanız (Veya - OR işlemi uygularsanız) toplayın, sonuç 1 dir. Aşağıdaki basit devre şemasında görüldüğü gibi ( A anahtarı açık da olsa kapalı da sonuçta lamba yanacaktır, sonuç 1 dir): Üçüncü özdeşlik yine OR (toplama) işlemiyle ilgili: A + A = A Boolean cebirindeki toplama ve tamamlama işlemlerini biraz kurcaladığımızda ilginç bir şey farkediyoruz. Bir sayının kendisi ile tümleyeninin toplanması hep 1 sonucunu veriyor. Görüldüğü gibi A = 1 olursa yani A anahtarı kapalı olursa lamba yanacaktır yani sonuç 1 olacaktır. A = 0 yani A anahtarı açık olursa ise yanmayacaktır (sonuç 0). 0 anahtarı sürekli açık olduğundan lambanın yanıp sönmesini asıl A değişken anahtarı belirlemektedir. A + A = 1 A = 1 olsun, bu durumda A nın tümleyeni 0 olacak ve A ile tümleyenini topladığımızda 1 + 0 = 1 sonucu elde edilecektir. A nın değeri 0 olduğunda da aynı sonucu elde etmekteyiz.
Boolean toplama (OR) işleminde 4 özdeşlik olduğu gibi çarpma (AND) işleminde de vardır ve bunların ilk ikisinin normal cebirdekinden bir farkı yoktur, Boolean çarpma (AND) işlemindeki 3. özdeşlik ise her sayının kendisiyle çarpımının kendisini vermesidir. (Normal matematikte karesini verir!). Çarpma işleminin 4. kuralı ise her sayının kendi tümleyeni ile çarpımının sonucunun 0 olacağıdır. Örneğin sayı 1 ise tümleyeni 0, 0 ise tümleyeni 1 olacak ve her iki durumda da çarpım sonucu 0 olacaktır. Özetleyecek olursak: A + 0 = A 0A = 0 A + 1 = 1 1A = A A + A = A AA = A A + A = 1 AA = 0 Bir diğer kural da Çifte Tümleyen kuralıdır. Bir sayının iki kez tümleyenini alırsanız kendisini elde edersiniz. Bunu normal cebirdeki bir sayıyı iki kez (-1) ile çarpmaya benzetebiliriz. Bunu A = A şeklinde ifade edebiliriz. Yer Değiştirme (commutative) olarak ifade edilen cebir kuralı boolean cebirinde de geçerlidir. Bu kural bir eşitliğin iki yanındaki birbirlerine eklenen ya da birbirleriyle çarpılan değerlerin sırasını değiştirmenin eşitliği bozmayacağını ifade eder.
Boolean cebirinde hem toplama hem de çarpma işlemine uygulanabilen bir diğer kural da Birleşme (Associative) kuralıdır. Bu kural da parantez içindeki ifadelerde parantezin içeriğinin değişmesiyle ilgilidir: Toplama ve Çarpma işlemine uygulanabilecek son özellik ise Dağılma (Distributive) özelliğidir. Bu kural parantez içindeki ifade ile çarpılan değerin parantez içindeki değerler üzerine nasıl dağılabileceğini ifade eder: Yer Değiştirme, Birleşme ve Dağılma kuralları kısaca : Boolean Sadeleştirme Kuralları Boolean cebiri lojik devre tasarımlarının basitleştirilmesinde ciddi anlamda pratizm sağlamıştır. Eğer bir lojik devreyi Boolean cebiri formülleriyle ifade edersek cebirsel kuralları uygulayarak terimlerin sayısını oldukça azaltabilir, elde ettiğimiz sadeleştirilmiş sonuçları lojik devreye tekrar uygulayarak daha az malzeme kullanımıyla aynı devreyi elde edebiliriz. Eğer sadeleştirilmiş ve daha az terim kullanan fonksiyon ilk haliyle aynı sonucu üretiyorsa bu lojik devrede üretim maliyetini düşürmemiz anlamına gelir. Bu bölümde fonksiyonları en basit hallerine sadeleştirme işlevini sağlayan boolean cebiri kurallarını öğreneceğiz. Şu ana kadar öğrendiğiniz kurallar ve özellikler bu bölümde de oldukça işinize yarayacaktır. Eğer normal matematikte fonksiyonların sadeleştirilmesi ile ilgili kuralları biliyorsanız boolean cebirindeki sadeleştirme işlemlerinin normal matematiktekine benzediğini göreceksiniz.
A+AB=A Bu formülü lojik devreden çıkarabileceğimiz gibi ıspatını da daha önce öğrendiğimiz kurallardan yapabiliriz: A + AB = A ( 1 + B) // (1 +B) ifadesinin her durumda 1 e eşit olduğunu hatırlayın = A ( 1 ) = A Burada herhangi bir boolean ifadesinin 1 ile toplanmasıyla elde edilecek sonucun her durumda 1 e eşit olduğunu iyice anlamış olmalısınız. Örneğin A + 1 = 1 ABC + 1 = 1 (AB + C + D + AC) + 1 = 1 A+A B=A+B 2. Kural da 1. kurala benziyor ancak tam olarak anlamak için üzerinde biraz daha düşünmek gerekiyor: Şimdi bu kuralı 1. kuralla ispatlayalım: A + A B = A + B A + AB + A B = A + B // A yerine A + AB yazabileceğimizi hatırlayın A + B (A + A ) = A + B // (A + A ) yerine 1 yazabiliriz = A + B ( 1 ) = A + B Diğer bir kuralımız toplamada sadeleştirme ile ilgili
Ispatı: (A + B) (A + C) = AA + AC + BA + BC // AA = A olduğunu hatırlayın = A + AC + BA + BC // A + AC = A olduğundan = A + AB + BC // yine A + AB = A olduğundan = A + BC Şimdi öğrendiğimiz 3 kuralı özetleyelim: Lojik Devre sadeleştirme örnekleri: A, B, C sinyal girişlerinden gelen değerler ne olursa olsun Q adlı çıkışta elde edeceğimiz sonuç aynı olacak şekilde üretim maliyetini ve kullanılan malzeme miktarını düşürelim! Bir devreyi sadeleştirmek için öncelikle devreyi ifade eden fonksiyonu bulmalıyız. Bu işlem adım adım her kapı (lojik işlem) için işlemleri yazdığımızda oldukça kolaylaşmaktadır. OR kapılarının lojik (+), AND kapılarının da (x) işlemini ifade ettiğini hatırlayın. Bu durumda yukarıdaki şekilde görülen kapıları formülize edecek olursak: şeklini elde ederiz. Bir sonraki kapı için ise:
Formülü oluşur. Bu durumda Q fonksiyonumuz şekillenmiş oldu. Q = AB + BC (B+C) Şimdi formülümüzü sadeleştirelim: AB + BC (B+C) = AB + BCB + BCC // BB ve CC nin B ve C ye eşit olduğunu hatırlayın = AB + BC + BC // BC + BC her durumda BC ye eşittir = AB + BC = B (A + C) Şimdi çok daha basit bir formül elde etmiş olduk. İsterseniz Q Fonksiyonu için bir doğrulama tablosu hazırlayarak her iki formülün de aynı sonuçları elde ettiğini görebilirsiniz. Şimdi yeni formülümüzü lojik devremize uygulayalım, ilk olarak A + C devresini kuracak olursak: Bu durumda B sinyali ile A + C sinyali arasında bir AND (VE) kapısı (çarpma işlemi) kurarsak formülümüzü tamamen şematize etmiş olacağız: Gördüğünüz gibi bu devre ilkinden çok daha basit ve 5 yerine sadece iki lojik kapı kullanıyor. Her bileşen eksilmesi devrenin çalışma hızını arttırmakla (giriş sinyalinin verilmesi ile çıkış sinyalinin elde edilmesi arasında geçen zaman azalır) kalmaz, daha az maliyet ve daha az güç tüketimiyle daha anlaşılabilir bir devre oluşmasını sağlar. Elektromekanik röle devreleri yarı iletken devrelere göre daha yavaştır, daha çok enerji harcar ve ömrü de daha kısadır. Hadi bir örnek devre tasarlayalım: Bu devreyi de sadeleştirmeden önce dikkatli bir şekilde formülize etmeliyiz. Bu sadeleştirmelerde benim uyguladığım en basit yöntem bir seri-paralel direnç demetini tek ve toplamı ifade edecek bir dirence indirgemektir. Örneğin aşağıdaki şekli inceleyin:
Şimdi kendi devremizi sadeleştirmeye başlayalım, öncelikle formülize edelim: Q = A + B (A +C) + AC = A + AB + BC + AC // A + AB = A dır = A + BC + AC // A + AC = A dır = A + BC Şimdi de elde ettiğimiz bu basit formülü şematize edelim. Örnek: AB + A(B + C) + B(B + C) = AB + AB + AC + BB + BC = AB + AC + B + BC = AB + AC + B + BC = AB + AC + B AC + B A B C A C B AC
Örnek: ABC + A BC + ABC + ABC + ABC = BC(A + A ) + ABC + ABC + ABC = BC + AB (C + C ) + ABC = BC + AB + ABC = BC + B(A + AC) = BC + B(A + C) = BC + BA + BC = BC+BA = B(A+C) İlk devre, sadeleştirilmiş devreye göre; Daha az karmaşıktır. Daha az malzeme kullanılır. Daha kolay kurulur. Daha ucuzdur. Daha hızlıdır. Exclusive OR (Özel Veya) işlemi Daha önce öğrendiğiniz gibi boolean cebirinde AND işlemi çarpmayı, OR işlemi toplamayı, NOT işlemi ise bir değerin tersini ifade eder. XOR ifadesi ise böyle direk bir karşılık bulamamaktadır. Ancak bunu bir kısaltma olarak düşünebilirsiniz, bu yüzden lojik tasarımcılar sıklıkla bu işlemi kullanmaktadır. Yuvarlak içindeki artı işareti XOR işlemini ifade etmektedir. Bu işlemin açılımı ise: AB' + A'B dir. Yani: Bu durumda AB' + A'B ifadesini gördüğümüz yerlerde kolaylıkla A XOR B şeklinde kısaltabiliriz. De Morgan Teoremleri De Morgan adlı bir matematikçi Boolean Cebirinde iki önemli teorem geliştirmiştir. Önceki bölümlerden hatırlayacağınız gibi lojik (mantıksal) kapılar giriş sinyallerine göre çeşitli çıktılar üretirler. Bir OR kapısının çıktılarının tersini üreten bir kapı tasarlarsak NOR (Not Or) kapısı ve bir AND kapısının çıktıların tersine çeviren bir kapıya da NAND (Not And) kapısı diyebiliriz. De Morganın 1. Teoremini (AB) = A + B şeklinde ifade edebiliriz.
Burada (AB) ifadesinin A B ifadesine eşit olmadığına dikkat edin. 1. teorem üzerinde biraz çalışalım. (A + (BC) ) ifadesini şematize edip sonra da sadeleştirelim: (A + (BC) ) = (A + (B + C )) = A + (B ) + (C ) // teoreme göre sadeleştirme yapalım, (AB) = A + B // ifadesinde A yerine A, B yerine de (B + C ) diyebiliriz. // bu durumda = A (B ) (C ) // bir ifadenin iki kez tümleyenini alırsak kendisini elde // ederiz kuralını hatırlayın = A BC olacaktır. De Morgan ın ikinci teoremi ise (A + B) = A B şeklinde ifade edilir. Örnek: AB + A(B + C) + B(B + C) A B B C A 1INVERTER 1 2 girisli NOR 3 2 girisli AND 1 3 girisli OR 6 gate B AB + A(B + C) + B(B + C) = AB + AB C + BB C 1 INVERTER = AB (1 + C ) 1 adet 2 girişli AND = AB 2 gate
ÖRNEKLER 2 : 1. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştirmek için Boole cebrini kullanın ve daha sonra sadeleştirilmiş ifade için bir mantık geçit devresi çizin. 7. Aşağıdaki röle (merdiven mantık) devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. A(B + AB) + AC 2. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştirmek için Boole cebrini kullanın ve daha sonra sadeleştirilmiş ifade için bir mantık geçit devresi çizin. 8. Aşağıdaki röle (merdiven mantık) devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. (A + B)( A +B ) 3. Aşağıdaki mantık geçit devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 4. Aşağıdaki mantık geçit devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 9. Aşağıdaki röle (merdiven mantık) devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 5. Aşağıdaki mantık geçit devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 10. Aşağıdaki geçitler için doğruluk tablolarını tamamlayın ayrıca her bir geçit için Boole ifadesini yazın. 6. Aşağıdaki röle (merdiven mantık) devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 11. Aşağıdaki mantık geçit devresini basitleştirmek için Boole cebrini kullanın. 2 http://www.cizgi-tagem.org/e-kampus/lesson _base. aspx? id=5&lesson=159&page=158
Doğruluk Tablosu Kullanımı ve Lojik Devre Örnekleri Yarım Toplayıcı İki tane birer bitlik sayının toplamasını yapan devrelere yarım toplayıcı denir. Yarım toplayıcının 2 giriş ve 2 çıkışı vardır. Aşağıdaki şekilde yarım toplayıcının blok şeması görülmektedir. Şekil 1. Yarım toplayıcı blok şeması Girişler, A ve B olarak isimlendirilmiştir ve sayı girişleridir. Çıkışlardan biri S (Sum) yani toplam çıkışıdır. Çıkışlardan diğeri Cout (Carry Out) yani elde çıkışıdır. Şekil 2. Yarım toplayıcı doğruluk tablosu ve Lojik devresi Tam Toplayıcı Birer bitlik 3 sayıyı toplayabilen dijital devrelere tam toplayıcı denir. Dolayısıyla tam toplayıcının üç girişi bulunur. Girişlerden ikisi yarım toplayıcıda olduğu gibi sayı girişi iken üçüncü giriş Cin (Carry in) yani elde girişidir. Cin girişi eğer tam toplayıcı başka bir toplayıcının çıkışına bağlandıysa kendinden önceki toplama işlemindeki elde değerini girmek için kullanılır. Böylece tam toplayıcılar art arda bağlanarak çok basamaklı ikilik (binary) sayılar birbirleriyle toplanabilir. Tam toplayıcı blok şemasını incelerseniz çıkışın yarım toplayıcıdan farklı olmadığını göreceksiniz. Yine S (Toplam) ve Cout (elde) olmak üzere iki çıkış ucu mevcuttur ve ikisi beraber toplamanın sonucunu gösterir. Burada S çıkışı A+B+Cin toplamını verir. Aşağıda verilen doğruluk tablosuna göre çıkış ifadeleri sadeleştirildiğinde, S= A BCin+AB Cin+ABCin +ABCin ve Cout= ACin+AB+BCin olarak bulunabilir. Şekil 3. Tam Toplayıcı Blok Şeması Tablo 1. Tam toplayıcı doğruluk tablosu
Şekil 4. Tam toplayıcı lojik devresi Dört Bitlik Paralel Toplayıcı Dörder bitlik iki sayıyı toplayan devredir ve aşağıdaki blok Şemada görüldüğü gibi 4 adet tam toplayıcının art arda bağlanmasıyla elde edilir. Şekil 5. Paralel toplayıcı blok şeması ve lojik devresi Yarım Çıkarıcı İki tane birer bitlik ikilik (binary) sayıyı çıkaran devrelere yarım çıkarıcı denir. Yarım çıkarıcının 2 girişi, 2 çıkışı bulunur. Girişlere birbirinden çıkarılacak iki sayı (A-B) uygulanır. Çıkışların biri iki sayının farkını (D-Difference) diğeri borç bilgisini (Bout-Borrow out) gösterir. İki çıkış birlikte sonucu gösterir. Bout çıkışı borç alındıysa 1 alınmadıysa 0 olur. Şekil 6. Yarım çıkarıcı blok şeması Şekil 7. Yarım çıkarıcı doğruluk tablosu ve lojik devresi Tam Çıkarıcı Tam çıkarıcının üç girişi iki çıkışı bulunur. Bin adlı üçüncü giriş ucu (Borrow In) borç girişi ucudur. Kendinden önceki basamakta bir borç alma olduysa bin girişi 1 olur. Diğer giriş ve çıkışlar blok Şemada da görüldüğü gibi yarım çıkarıcıyla aynıdır. Şekil 8. Tam çıkarıcı blok şeması
Buna göre devrenin yaptığı işlemi matematiksel olarak yazacak olursak (A-B-Bin) olur. Çıkış uçları Bout ve D beraber (A-B-Bin) sonucunu gösterir. Aşağıda tam çıkarıcının doğruluk tablosu görülmektedir. Çıkış fonksiyonları ise, Şekil 9. Tam çıkarıcı doğruluk tablosu ve lojik devresi Üç Bitlik Paralel Çıkarıcı Üç tane tam çıkartıcının art arda bağlanmasıyla 3 bitlik paralel çıkarıcı elde edilir. Aşağıdaki blok şemada da görüldüğü gibi en düşük değerlikli basamaktaki çıkarıcının "Bout" çıkışı bir sonraki basamaktaki çıkarıcının "Bin" girişine gelecek Şekilde çıkarıcılar birbirine bağlanmıştır. Şekil 10. Paralel çıkarıcı blok şeması Yarım Karşılaştırıcı Girişlerine uygulanan birer bitlik iki sayıyı karşılaştırıp sadece eşit olup olmadıklarını gösteren devreye yarım karşılaştırıcı denir. Blok şemada da görüldüğü gibi yarım karşılaştırıcının 2 girişi, 2 çıkışı bulunmaktadır. A ve B girişlere uygulanan birer bitlik iki sayıyı göstermektedir. Çıkışlardan biri girişe uygulanan 2 sayının eşit olduğunda, diğer çıkış ise eşit olmadığında aktif olur. Şekil 11. Yarım karşılaştırıcı blok şeması Sayılardan hangisinin büyük olduğunu görme Şansımız yoktur. Aşağıda yarım karşılaştırıcının doğruluk tablosu ve lojik kapılarla yapılmış karşılaştırıcı devreleri görülebilir. Doğruluk tablosu incelendiğinde A=B çıkışının "özel veya değil" kapısı, A B çıkışının ise "özel veya" kapısı çıkışıyla aynı olduğu görülebilir. Çıkış fonksiyonları; Yani bir "özel veya" kapısı ve bir "değil" kapısı ya da bir "özel veya değil kapısı" ve bir "değil" kapısıyla yarım karşılaştırıcı yapılabilir.
Şekil 12. Yarım karşılaştıcı doğruluk tablosu ve lojik devresi Tam Karşılaştırıcı Giriş uçlarına uygulanan birer bitlik 2 adet ikilik (binary) sayıyı karşılaştıran ve sayıların eşit olup olmadığını, eğer sayılar eşit değilse hangisinin büyük hangisinin küçük olduğunu belirten devrelere tam karşılaştırıcı denir. İki girişi 3 çıkışı bulunur. Girişlere birer bitlik A ve B Şekil 13. Tam Karşılaştırıcı blok şeması sayıları uygulanır. Çıkışlardan biri olan A sayısı B sayısından küçükse (A<B), diğeri A ve B sayıları birbirine eşitse (A=B), üçüncüsü ise A sayısı B sayısından büyükse (A>B) aktif olmaktadır. Böylece aktif olan çıkış ucuna bakarak girişler hakkında bilgi sahibi olabiliriz. Aşağıda tam karşılaştırıcının doğruluk tablosu, çıkış fonksiyonları ve lojik devresini görebilirsiniz. Şekil 14. Tam Karşılaştıcı doğruluk tablosu ve lojik devresi ÖRNEKLER Örnek 1: Üç kapılı bir binada iki ve daha fazla kapının aynı anda açık olması istenmiyor. Bu durumun gerçekleşmesi durumunda ikaz veren bir devreyi tasarlayınız. Örnek 2: Bir eve bir alarm sistemi kurulacaktır. Evde 3 pencere bir de gizli anahtar vardır. Evde ev sahibi yokken gizli anahtar lojik 1 konumunda olmalıdır. Evde ev sahibi yokken (A=1) kapı veya pencerelerden biri açılırsa alarm devresi çalışacaktır. Bunun için gerekli lojik devreyi tasarlayınız. Örnek 3: BCD giriş büyüklüğünü Excess-3 koduna dönüştüren bir lojik devre tasarlayınız. Excess-3 kodu, verilen bir BCD koda +3 ilave edilmiş bir binary (ikili) koddur. Örnek olarak tasarlanacak devre 0001 giriş koduna karşılık 0100 çıkışı üretmelidir. Örnek 4: İkili bir sayıyı kendisi ile çarpan yani karesini alan devreyi tasarlayınız.