Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı
Sonucu ikili olarak gözlenebilen örneğin erkek-kız, hasta-sağlam, sağ-ölü, başarı-başarısız, tedavi var, tedavi yok gibi olayların birden çok kez örneğin 2, 5, 8 kez gibi tekrarlanması sonucunda elde edilen ikili sonuçlardan ilgilenilen sonucun toplam sayısının uyduğu teorik dağılıma Binom dağılımı adı verilir.
Örneğin radikal prostatektomi operasyonu geçiren bir kişide operasyon sonrası lokal nüks gelişmesi ya da gelişmemesi ikili bir sonuçtur. Bu kişide ya lokal nüks gelişecektir ya da gelişmeyecektir.
Yapılan çalışmalarda operasyon sonrası lokal nüks gelişme olasılığı %40 olduğu saptanmış olsun. Bu durumda lokal nüks gelişmeme olasılığı ise %60 olarak belirlenir.
Bu operasyonu aynı özellikte tümör yapısında olan birden çok kişide örneğin 10 kişide uygulamayı planlayalım. 10 kişinin 6 sında lokal nüks gelişme olasılığı nedir?
Bir kişide lokal nüks gelişme olasılığı 0.40 (%40) olduğuna göre 6 kişide lokal nüks gelişme olasılığı 0.40x0.40x0.40x0.40x0.40x0.40=(0.40) 6 =0.004096 Kalan 4 kişide ise lokal nüks gelişmeme olasılığı ise 0.60x0.60x0.60x0.60=(0.60) 4 =0.1296 olarak bulunur.
Bu iki durumun yani 6 kişide lokal nüks gelişiminin ve 4 kişide ise lokal nüks gelişmemesinin aynı anda olma olasılığı ise (0.40) 6 x (0.60) 4 = 0.004096 x 0.1296 = 0.0005308 olarak bulunur. Peki bu olasılık 10 kişinin 6 ında lokal nüks gelişme olasılığının yanıtı mıdır?
(0.40) 6 x (0.60) 4 = 0.004096 x 0.1296 = 0.0005308 değerini 10 nun 6 lı kombinasyon sayısı ile çarpmamız gerekmektedir. Çünkü 10 kişi içinde lokal nüks gelişen kesin 6 kişiyi ya da diğer 4 kişiyi bilemeyiz.
Sonuç olarak 10 kişinin 6 sında lokal nüks gelişme olasılığı C(10,6) x (0.40) 6 x (0.60) 4 = 210 x 0.004096 x 0.1296 = 0.111476 olarak elde edilir.
Bu durumda binom dağılımına ilişkin olasılıkların hesaplanması aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile elde edilir. B(x,n,p)=c(n,x) p x q n-x
B(x,n,p)=c(n,x) p x q n-x C(n,x): Binom katsayılarını belirten kombinasyon katsayısı. x: Binom değişkeni ve x=0, 1, 2,,n. n: Deneme sayısı (X in en fazla gözlem sayısı) p: Tanımlanan olayın gözlenme olasılığıdır. q=1-p.
Örnek: 0-1 yaş arası çocuklarda kronik bronşit gelişme insidansı %5 olarak bilinmektedir. Bu amaçla yapılan bir araştırmada belli bir bölgede tarama yapılmakta ve 0-1 yaş 20 çocuk çalışmaya dahil edilmiştir. Acaba 3 çocukta kronik bronşit gözlenme olasılığı nedir?
Bu örnekte incelenen olay 0-1 yaş arası çocuklarda kronik bronşit gelişmesi olayıdır. Bu olay iki sonuçlu bir olaydır, 0-1 yaş arası çocuklarda ya kroik bronşit gelişir ya da gelişmez. Kronik bronşit gelişme olasılığı ise %5 (0.05) olarak belirlenmiş. Bu durumda yapılan araştırmada kronik bronşitli çocuk sayısı binom dağılımına uymaktadır.
Örnekte, 20 çocuk içinde 3 çocukta kronik bronşit görülme olasılığı sorulmaktadır. B(x,n,p)=c(n,x) p x q n-x B(3,20,0.05)=c(20,3)(0.05) 3 (0.95) 17 =0.05958=%5.95 olarak hesaplanır.
Aynı örnekte, en az 3 çocukta kronik bronşit gözlenme olasılığı nedir? Bu durumda en az 3 çocukta kronik bronşit gözlenme olasılığını hesaplamak için 3 ya da 3 den daha fazla sayıda örneğin 3, 4, 5, 6,,20 çocukta gözlenme olasılıklarını bulup toplamamız gerekir.
Bu işlem daha çok hesaplama gerektirdiğinden daha kolay bir yaklaşım ile en az 3 çocukta kronik bronşit gelişme olasılığını hesaplayabiliriz. Bu yaklaşım tüm olasılıkların toplamı 1 e eşittir kuralını içermektedir.
3, 4, 5,, 20 çocukta kronik bronşit gözlenme olasılığını hesaplayıp toplamak yerine 0, 1 ve 2 çocukta kronik bronşit gelişme olasılığını bulup, bu olasılıkları toplayıp 1 den çıkardığımız zaman en az 3 çocukta kronik bronşit gelişme olasılığını bulmuş oluruz.
20 çocuk içinde 0, 1 ve 2 çocukta kronik bronşit görülme olasılıkları; B(0,20,0.05)=c(20,0) (0.05) 0 (0.95) 20 = 0.358486 B(1,20,0.05)=c(20,1) (0.05) 1 (0.95) 19 = 0.377354 B(2,20,0.05)=c(20,2) (0.05) 2 (0.95) 18 = 0.188677 olarak hesaplanır.
Bu olasılıkların toplamı; 0.358486 + 0.377354 + 0.188677= 0.924517 olarak elde edilir. Bu değeri 1 den çıkardığımızda 1-0.924517=0.075483 yaklaşık olarak %7.5 elde edilir. Bu değer en az 3 çocukta kronik bronşit gözlenme olasılığını vermektedir.
Kronik bronşit örneğine ait Binom dağılımının grafiksel gösterimi aşağıdaki grafikte görülmektedir.
Olasılık değerini 0.05 den 0.20 ye çıkardığımız zamanki Binom dağılımı.
Olasılık değerini 0.05 den 0.50 ye çıkardığımız zamanki Binom dağılımı.
Olasılık değerini 0.05 den 0.95 ye çıkardığımız zamanki Binom dağılımı.
Olasılık değeri %50 olduğunda Binom dağılımı simetrik bir dağılım şekline dönüşüyor. Bu simetrik yapı Normal dağılıma yakınsama olarak adlandırılmaktadır. Eğer olasılık değeri %50 den büyük ya da küçük değerler aldığında Binom dağılımı çarpık bir dağılım şeklini almaktadır.