Kaynaklar: Makina Dinamiği Yıldız Teknik Üniversitesi Yayını, Prof.Necati Tahralı Prof.Dr.Faris Kaya Y.Doç.Dr.İsmail Yüksek Y.Doç.Dr.Rahmi Güçlü. Mekanik Titreşimler Ders Notları, Prof.Dr.Özgür Turhan. Mekanik Titreşimler Birsen Kitabevi Yayınları, Prof.Dr.Tuncer Toprak. Vibration Engineering West Publishing Co., Andrew D. Dimarogonas. Theory Of Vibration With Application Chapman &Hall, William T. Thomson. 1
Genel Bilgiler Giriş Titreşimlerin Sebepleri Titreşimlerin Sonuçları Sistemlerin Titreşim Analizi Titreşim ve İnsan
Titreşimle İlgili Terimler Titreşim nedir? Bir sistemin denge konumu civarında yapmış olduğu salınım hareketine titreşim denir. Eğer yapılan salınım hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa böyle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adını alır. x(t)=x(t+nt) x=yerdeğiştirme m, rad t=zaman s T=Peryod s n=peryod sayısı adet 3
Titreşim Sistemlerinin Elemanları Kütle x Yay Sönüm Kuvvet x 4
Serbestlik Derecesi Hareket halindeki bir sistemin elemanlarının durum ve konumlarını belirleyen parametrelere koordinat denir. Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamanda konumlarının tamamen belirli olması için gerekli birbirinden bağımsız minimum koordinat sayısına serbestlik derecesi denir. 5
Tek Serbestlik Dereceli Sistemler x x θ x θ 6
İki Serbestlik Dereceli Sistemler x θ 1 x 1 θ θ x θ θ 1 7
Ayrık ve Sürekli Sistemler Sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistem denir. Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistem denir. Sürekli sistem 8
SI Birim Sistemi İsim Birim Sembol Uzunluk Metre m Kütle Kilogram kg Zaman Saniye s Kuvvet Newton N (kg.m/s ) Gerilme Pascal Pa (N/m ) İş Joule J (N.m) Güç Watt W (J/s) Frekans Hertz Hz (1/s) Moment M N.m Kütlesel Atalet Momenti J kg.m Kesit Atalet Momenti I m 4 9
Harmonik Hareket x=yerdeğiştirme (m,rad) A=Genlik (m,rad) t=zaman (s) T=Peryot (s) t x=a sin π T x A t T 10
Daire Üzerinde Hareketli Bir Noktanın Harmonik Gösterimi O A P x π A Asin ωt ωt π ω= = π f T x=a sin ωt x=ω A cos ωt=ω A sin(ωt-π/) x=-ω Asinωt=ω Asin(ωt+π) 11
Harmonik Harekette Yerdeğiştirme Hız ve İvme Vektörlerinin Gösterimi Aω x x Aω A t 180 90 ωt x x 1
Euler Denklemi Yardımı ile Döner Bir Vektörün Gösterimi Euler Denklemi i θ e =cosθ +i sin θ z=a e i ω t =A e i θ z=a cos ωt + i A sin ωt z=x + iy θ=ω t A= x +y θ=tan -1 y x A θ i ω t z=a e 13
Vuru Titreşim Parametreleri ω m=ω1-ω ω 1+ω ω= π T m = ω -ω 1 vuru frekansı veya modülasyon frekansı taşıyıcı frekans vuru peryodu 4π T= ω +ω taşıyıcı peryodu 1 Tm ω 1+ω n = T (ω -ω ) 1 T m vuru peryodunda gerçekleşecek titreşim sayısı 14
Vuru Olayı x T m T X ~ (t) x(t) x(t)=100 e 1 x (t)=50 e x(t)=? i π t i.π t X 1 +X X 1 +X X 1 -X X 1 -X t clear t=0:0.01:30; x1=100*exp(i**pi*t); x=50*exp(i*.*pi*t); x=x1+x; plot(t,x) 15
Yay Elemanları Helisel Yaylar 16
Yaprak Yaylar 17
Yay Karakteristikleri F (N) F (N) α Lineer (doğrusal) yay karakteristiği X (m) X (m) Non-Lineer (doğrusal olmayan) yay karakteristiği 18
Yay Katsayısı Kuvvet F k=tan α= (N/m) x Yerdeğiştirme 19
Yay Katsayısı Tablosu E I k= L E A k= L G I p k= L 4 G d k= 64 n R 3 3EI k= L 3 0
k= 48 E I L 3 L/ 19 E I k= 3 L L/ 768 E I k= 7 L 3 L/ 1
x a b 3 E I L P b x ab 6 E I L k= y y x = ( L -x -b ) δ EI L 1E I k= L 3
3E I k= L+a a ( ) L a 4E I k= a 3L+8 a ( ) L a 3
Yayların Paralel Bağlanması m x k 1 k m k eş x k =k +k +k +...+k = eş 1 3 n n i=1 n k 4
Yayların Seri Bağlanması m x m x k 1 k eş k n 1 1 1 1 1 1 = + + +...+ = k k k k k k eş 1 3 n i=1 i 5
ÖDEV 6: k 1 k m x Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız. k 3 k 4 6
ÖDEV 7: k ç1 k ç k 1 Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız. k m x 7
Sönüm Elemanları Viskoz sönüm Coulumb (kuru sürtünme) sönümü Malzeme (histeresiz) sönüm Sıkıştırılmış yağ (squeeze-film) damperi Elekro-manyetik damper Elektro-viskoz damper Piezo-elektrik damper 8
Sönümsüz Serbest Titreşim Düşey konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi: L 0 k k δ st k x t x Statik denge konumu 9
k δ st Serbest cisim diyagramı G= m.g Statik denge konumu: Burada, ωn ΣF y =0 sistemin tabii frekansıdır. G=m.g=k.δ k g = =ω m δ st k ω n = = m n st g δ st 30
Newton un. kanunu uygularsak, k( δ st + x) x m x G= m.g ( δ ) Σ F = m.a m x = -k + x + G st G=m.g=k.δst olduğundan, m x+k x=0 bulunur. 31
Yatay konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi: x x k m k x m m x Newton un. kanunu uygularsak, ΣF=m.a m x = -k x m x + k x = 0 bulunur. 3
Sönümsüz Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması m x + k x = 0 Bu diferansiyel denklemin çözümünün x = A e s t biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek, x = x= s A e s A e s t s t Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine konursa, 33
( ) st m s + k A e = 0 Burada, s t A, e 0 dır. m s + k = 0 Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kökleri, s k = = m i ω 1, n dir. 34
Bu durumda, hareket denklemi: x(t) = Ae + Ae = Ae + Ae st 1 st iωnt iωnt 1 1 A 1 ve A başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır. iθt e = cos θ.t i.sin θ.t eşitliği kullanılırsa, ( ω ω ) ( ω ω ) x(t) = A cos t i sin t + A cos t + i sin t 1 n n n n ( ) ω ( ) x(t) = A + A cos t i A A sin ω t 1 n 1 n = ( + ) ve B ( A A ) B A A 1 1 = olmak üzere, 1 35
x(t)=b1cos ωnt+bsin ωnt olur. Başlangıç şartları Bu durumda, x(0) = x t= 0 = B=x 1 0, 0 olsun. x(0) x 0 x B= ω 0 n bulunur. Buradan başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki şekilde bulunur. x(t)=x cos ω t+ x sin ω t 0 0 n n ωn 36
Problem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız. Tabii frekansını ve periyodunu hesaplayınız. L uzunluğunda ağırlıksız bir ipin ucuna m kütlesi asılmıştır. Çözüm: ϕ L J ϕ m g 37
Newton un. kanunu uygulanırsa, Σ M= JTopϕ J ϕ = -m g.l sin ϕ J = m L 0 sin ϕ<< ϕ ϕalınabilir. m L ϕ + m g L ϕ= 0 ϕ + ϕ= 0buradan, L ω = k g n m = π 1 L rad/s T = = s ω f g n n 38
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız. m,l M k 39
Çözüm: Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve oluşan kuvvetleri gösterelim. ϕ Jmϕ m.g k.x JMϕ M.g 40
Newton un. kanunu uygulanırsa, Σ M= JTopϕ L Jmϕ + JMϕ = m g. sin ϕ-m g.l sin ϕ-k x.l cos ϕ ϕ<< 0 sin ϕ ϕ cos ϕ 1alınabilir. Yaydaki sıkışma miktarı x= L.sin ϕ= L ϕ 1 1 3 m L + M L ϕ+ m g.l+ M g.l+ k L ϕ= 0 41
1 Jm = m L, JM = M L dir. 3 sadeleştirme yapılırsa, 1 1 m + M L ϕ+ m g+ M g+ k L ϕ= 0 3 ω n 1 k m g + M g + k L = = m 1 m+ M L 3 4
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız m,r k M x 43
Çözüm: Jmϕ ϕ k x M x M x 44
Newton un. kanunu uygulanırsa, Σ M= JTopϕ J ϕ + M x.r = -k x.r m ϕ<< 0 sin ϕ ϕ cos ϕ 1 J m = 1 m r x= r.sin ϕ= r x = r x= r ϕ ϕ ϕ yazılabilir. 45
düzenleme yapılırsa, 1 m r ϕ + M x.r = -k x.r 1 m r M r k r + ϕ + ϕ= 0 1 m + M ϕ + k ϕ= 0 k k k ω n = = = m 1 m+ M m+ M rad/s 46
Lineerleştirme Yapısal nonlineerlik (Malzeme nonlineerliği) Geometrik nonlineerlik -Ağırlık kuvveti - Merkezkaç kuvveti - Sürtünme kuvveti 47
Tek serbestlik dereceli bir sistemin diferansiyel denklemi aşağıdaki gibidir. m x+ f( x) = 0 Burada f( x) yay fonksiyonudur. f( x) lineer olmayan bir formda ortaya çıkmış olsun. Koordinat başlangıcını, x= 0 denge konumunda seçelim, yani; f( 0) = 0 ( ) f x x= 0 olsun bu durumda fonksiyonunu civarında kuvvet serisine açalım. 3 k ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) df 0 d f 0 d f 0 d f 0 f ( x) = f( 0) + x+ x + x + = x dx! dx 3! dx k! dx 3 k 3 k k= 0 48
f(x) 3 x << x, x ihmal edilirse; Elde edilen lineerleştirilmiş yay fonksiyonu dif. denklemde yerine konulursa, lineerleştirilmiş dif. denklem elde edilir. 0 1 k = df ( 0) dx x ( ) f x m x + k x = 0 k x ( ) f x k df ( 0) ( ) df 0 dx x olur. = eşitliğinden. f( x) dx k x bulunur. 49
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız y m 1 L 1 L m x k 50
Çözüm: y ϕ Lsinϕ 1 m 1 g J1ϕ Jϕ ϕ L cosϕ L sinϕ x k L sinϕ 51
Newton un. kanunu uygulanırsa, Σ M= J α T J ϕ + J ϕ = m g L sinϕ-k L sin ϕ L cosϕ 1 1 1 ( ) ( ) m L + m L ϕ+ k L cosϕ m g L sinϕ= 0 1 1 1 1 Burada, ( ) ( = ) f ϕ k L cosϕ m g L sinϕ 1 1 dir. f(x) fonksiyonunu lineerleştirmek amacıyla seriye açarsak ( ϕ) df k = = k L sin ϕ+ ( k L cosϕ m g L ) cos ϕ d 1 1 ϕ ϕ= 0 ϕ= 0 k= k L mg L 1 1 5
Küçük titreşimler için lineerleştirilmiş diferansiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir. ( ) ( ϕ ) ml + ml + k L mg L ϕ= 0 1 1 1 1 ω k k L mg L 1 1 n = = m m1l1+ ml rad/s 53
Sönümlü Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması m x + c x + k x = 0 Bu diferansiyel denklemin çözümünün x = A e s t biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek, x = x= s A e s A e s t s t Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine konurda, 54
( ) st m s + c s + k A e = 0 Burada, s t A, e 0 dır. m s + c s + k = 0 s Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kökleri, 1, dir. c c 4mk c c k ± = = ± m m m m 55
Sistemin birbirinden bağımsız iki gerçek kökü vardır. Bu durumda, hareket denklemi: x(t) = A e + A e st 1 s t 1 A 1 ve A başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır. 56
Kritik Sönüm Katsayısı ve Sönüm Oranı Kritik sönüm katsayısı c kr aşağıdaki gibi tanımlanır. c kr k = m m 0 k ckr = m = k m = mω m n Sönüm oranı ise, ξ = c c kr olarak tanımlanır. 57
Eğer karakteristik denklem, m s + c s+ k = 0 ξ ve ω n cinsinden yazılırsa, c k s + s + = 0 s + ξωns + ωn = 0 m m ξω n ω n denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur. ( ) ( + ) ( ) n ξ ξ 1 ω t ξ ξ 1 ω t x t = A e + A e 1 n 58
1.Durum: Zayıf Sönümlü Sistem c ξ < 1, c kr > c, < m ( ξ 1) Kritik altı sönümlü sistemlerde negatif olur. Bu durumda, ( ) s = + ξ i 1 ξ ω 1 n ( ) s = ξ i 1 ξ ω n olur. Sistemin bir çift eşlenik kompleks kökü olduğundan, () k m ( + ) ( ) n ξ i 1 ξ ω t ξ i 1 ξ ω t x t = A e + A e 1 n () ( ) ξωt i 1 ξ ω t i 1 ξ ω t = 1 + n n x t e A e A e n 59
= + + ( A ) cos 1 ξωnt i sin 1-ξωnt ξωt () ( ) 1 ξωn ξωn n x t e A cos 1 t i sin 1- t ξωnt x() t = e ( A1+ A ) cos 1-ξωnt+ i ( A1 A ) sin 1- ξ ωnt B1 B - ξωt () ( = ξω ) n + φ n x t X e sin 1 t () = ξω - ξωnt x t X e cos 1 ( t φ ) n 60
= 1 + 1 B = tan B1 X B B φ Başlangıç şartları, olarak yazılabilir. x = x t= 0 0 x = x ise, t= 0 0 B B 1 0 = = x x + ξωx 0 n 0 ω n 1 ξ olarak bulunur. Bu durumda, x( t) 61
x x x t e + ξω x cos 1 t sin 1 t ωn 1 ξ ξω () ( ) ( ) n = t 0 n 0 0 ξωn + ξωn ω d = 1 dir. ξ ωn x x x t e + ξω x0cos dt sin dt ωn 1 ξ ξωn () t 0 n 0 = ( ω ) + ( ω ) olarak bulunur. 6
x() t α = 1 tan x 0 π Td = ω d X X e ξω n t x 0 t φ sin ( ω t + φ) d X e ξω n t 63
.Durum: Kritik Sönümlü Sistem Katlı kök olduğundan, c k ξ = 1, ckr = c, = m m ckr s = s = = ω m 1 n m x+ c x + k x = 0 denklemin çözümü: ( ) ( ) n x t A A t e ω - t = 1+ formunda olacaktır. Başlangıç şartları, A = x 1 0 A = x + ω x 0 n 0 x = x t= 0 0 x = x ise, t= 0 0 olarak bulunur ve çözüm: 64
n ( ) = + ( + ω ) x t x0 x0 nx 0 e ω bulunur. Dikkat edilirse, x( t) x > 0 0 x = 0 0 - t -ωnt t e 0 x < 0 0 t 65
3.Durum: Aşırı Sönümlü Sistem c ξ > > > m x+ c x + k x = 0 1, c c kr, m m Diferansiyel denkleminin karakteristik denklemi, m s + cs+ k = 0 in kökleri: ( ) s = ± ξ ξ 1 ω dir. 1, n ξ> 1 ξ 1 > 0 eğer, olur. Bu durumda, kökler reel ve ayrık olacaktır. Denklemin çözümü: ( ) ( ) ( + ) n ξ ξ 1 ω t ξ ξ 1 ω t x t = A e + A e 1 k n 66
Başlangıç şartları, x = x t= 0 0 x = x ise, t= 0 0 A A 1 = = ( ) x ω ξ+ ξ 1 + x 0 n 0 ω ξ n 1 ( ) x ω ξ ξ 1 x 0 n 0 ωn ξ 1 67
() x t A 1 1 ( + ) 1 t A e ξ ξ ω n t ( ) 1 t A e ξ ξ ω n A 68
Logaritmik Azalma x() t x 1 x t 69
Problem: Aşağıda denge konumundaki sistemin verilen değer ve başlangıç şartlarına bağlı olarak 5 s için hareketini inceleyiniz. M,L c k m 70
Çözüm: Mg kx JMϕ y ϕ c y Jmϕ x= L ϕ x = L ϕ x= Lϕ L L L y = ϕ y = ϕ y= ϕ 1 J = ML 3 x mg 71
Newton un. kanunu uygulanırsa, M= Jϕ L Jmϕ + JMϕ = cy kx L mg x Mg y 1 L L ml + ML ϕ+ c ϕ+ kl + mgl + Mg ϕ= 0 3 4 1ϕ + 5ϕ + 1000ϕ= 0 7
3 m = 10 kg M = 6 kg L = 1 m c = 5 Ns/m k = 1 10 N/m 10π x0 = ϕ0 = rad 180 t= 0 5π x0 = ϕ0 = rad/s 180 73
c c 5 ξ = = = = 0.0065 c km 1000 1 ω n kr k 1000 = = = 10.065 π rad/s m 1 ωd = ωn 1 ξ = 10.065π 1 0.0065 10.065π ξω ϕ ξ ω ϕ ϕ + ϕ ω ω () t = e nt cos( t) + 0 n 0 sin( t) 0 d d ωn 1 ξ { } 0.055t ( t) = e 0.1745cos( 10.065 t) + 0.00389sin( 10.065 t) ϕ π π 74
75
Sönümsüz Zorlanmış Titreşim Zorlayıcı kuvvet tipleri: Zorlayıcı dış kuvvetler. Dengelenmemiş kütlelerin oluşturduğu kuvvetler. Zeminden gelen kuvvetler. ( ) Eğer, zorlayıcı kuvvet harmonik ise; ( ωt+ φ) ( ) ( ω φ) ( ) ( ω φ) F t = F e, F t = F cos t +, F t = F sin t + i 0 0 0 formunda olabilir. 76
Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması: ( ω ) F= F cos t 0 m x m x m ( ω ) F= F cos t 0 k k x Newton un. kanununa göre, Σ F = m a m x = k x + F m x + k x = F 77
Sönümsüz Zorlanmış Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması ( ω ) F= F cos t En genel halde harmonik bir dış kuvvet olsun. Hareketin diferansiyel denklemi: 0 ( ω ) mx + kx = F cos t Hareket denkleminin genel çözümü: Homojen çözüm: ( ) = ( ) = ( ) + ( ) x t x t x t x t g h ö ( ) = ( ω ) + ( ω ) x t A cos t A sin t h 1 n n Ft ( ) x () t ω Uyarıcı kuvvet harmonik olduğu için özel çözüm de ö harmonik ve aynı frekansına sahip olacaktır. x t Xcos t ö ( ) = ( ω ) 0 1 4 3 78
ö ö ö ( ) = ( ω ) x t Xcos t () = ω ( ω ) x t Xsin t ( ) = ω ( ω ) x t Xcos t 5 1 in içine konulursa; ( ) ( ) ( ) mω Xcos ωt kcos ωt F0 cos ωt + = F k m X cos t = F cos t X = k-m ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) 5 0 0 Genel çözüm: 6 F0 x() t = A1cos( ωnt) + Asin( ωnt) + cos ( ωt) 7 k mω 79
Başlangıç şartları, A A 0 1 0 F = x k mω x0 = ω n x = x t= 0 0 x = x ise, t= 0 0 olarak bulunur ve genel çözüm: F x F x t x cos t sin t cos t 0 0 0 () = ( ω ) + ( ω ) + ( ω ) 0 n n k mω ωn k mω 80
X in ω ile değişimi ω n F0 F0 F0 F0 X k 1 X = X = k = k = k = k mω m 1- ω ω F0 1 ω ω k k 1 1 ω n ω n m ω n R = X k F 0 Genlik oranı veya büyütme faktörü. 81
0< ω < 1 ω 1.Durum: ise; n ( ) = ( ω ) Ft Fcos t 0 ωt xö ( t ) =Xcos( ωt) ωt 8
ω 1 ω >.Durum: ise; n ( ) = ( ω ) Ft Fcos t 0 ωt x t Xcos t ö ( ) = ( ω ) ωt 83
ω 1 ω = 3.Durum: ise; n ( ) = ( ω ) Ft Fcos t 0 t xt ( ) t 84
Problem: Aşağıda denge konumundaki sistemin verilen değer ve başlangıç şartlarına bağlı olarak s için hareketini inceleyiniz. m,e,ω m cubuk, L M x k 85
Çözüm: x = L ϕ x = L ϕ x = Lϕ 1 J= mcubukl 3 Jϕ ϕ F= me ω cosωt kx F 0 x M x 86
Newton un. kanunu uygulanırsa, M= Jϕ Jϕ + Mx L= kx L+ F L + + = 3 1 m cubuk L ML ϕ kl ϕ me ω Lcos ω t 87
m = 30 kg M = 300 kg m = 0.5 kg cubuk 3 e 1 m n 000 d/d L m k 50 10 N/m = = = = 5π x0 = ϕ0 = 180 t= 0 8π x0 = ϕ0 = 180 88
ω πn π000 = = = 30 30 66.66 π rad/s 140ϕ + 00000ϕ= 43856 cos 66.66πt M 0 k 00000 ωn = = = 4.04 π rad/s m 140 M ϕ M ϕ ϕ ω ω ω 0 0 0 () t = cos( t) + sin( t) + cos( t) 0 n n k mω ωn k mω () ( ) ( ) ( ) - ϕ t = 0.0881cos 4.04πt + 0.011sin 4.04πt 8.0943 10 4 cos 66.66πt 89
Problem: Aşağıdaki sistemin titreşim hareketini 4 s için çiziniz. F = 500sin0πt F1 = 100cos 0πt m x k 90
Çözüm: F = 500sin0πt m F1 = 100cos 0πt x m x kx 91
Newton un. kanunu uygulanırsa, F= ma mx = kx + F + F 1 mx + kx = F + F 1 10x + 5000x = 100cos 0πt + 500sin 0πt 500 φ= φ= 100 1 tan 64.35 = + = F0 100 500 773 N ( π ) 10x + 5000x = 773cos 0 t-64.35 9
m = 10 kg k = 5000 N/m x0 = t= 0 x 0 = 0.01 m 0. m/s k 5000 ωn = = = 4.59 π rad/s ω= 0π m 10 F x F x t x cos t sin t cos t 0 0 0 () = ( ω ) + ( ω ) + ( ω φ) 0 n n k mω ωn k mω ( ) = ( π ) + ( π ) ( π ) x t 0.016cos 4.59 t 0.0139sin 4.59 t 0.006cos 0 t 64.35 93
Sönümlü Zorlanmış Titreşim Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması: ( ω ) F= F cos t 0 m x m x m ( ω ) F= F cos t 0 k c k x c x Newton un. kanununa göre, Σ F = m a m x = -c x-k x + F m x + c x + k x = F 94
Sönümlü Zorlanmış Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması ( ω ) F= F cos t En genel halde harmonik bir dış kuvvet olsun. Hareketin diferansiyel denklemi: Hareket denkleminin genel çözümü: Homojen çözüm: ( ω ) mx + cx + kx = F cos t ( ) = ( ) = ( ) + ( ) x t x t x t x t g h ö ( ) = ( ω ) + ( ω ) x t A cos t A sin t h 1 n n Ft ( ) x () t ω Uyarıcı kuvvet harmonik olduğu için özel çözüm de ö harmonik ve aynı frekansına sahip olacaktır. ( ) = ( ω φ) x t Xcos t ö 0 0 1 4 3 95
ö ö ö () = ( ω φ) x t Xcos t () = ω ( ω φ) x t Xsin t () = ω ( ω φ) x t Xcos t 5 1 in içine konulursa; Aşağıdaki trigonometrik bağıntılar kullanılarak; 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + = mω Xcos ωt φ cωxsin ωt φ k cos ωt φ F0 cos ωt ( k mω ) cos( ωt φ) cωsin( ωt φ) X= F cos( ωt) ( ) cos ωt φ = cosωt cosφ± sin ωt sinφ ( ) sin ωt φ = sin ωt cosφ cosωt sinφ 0 6 7 96
7 nolu eşitlik 6 denklemine konulursa; ( ) ( ) ( ) X k m ω cosωt cosφ sin ωt sinφ cω sin ωt cosφ cosωt sinφ + = F0 cosωt cosωt sinωt ve nin katsayılarını eşitlersek; ( ) X k mω cosφ cωsinφ + = F X ( k mω ) sinφ cωcosφ = 0 Bu iki denklemin karelerini alalım: X ( k mω ) cos φ ( cω) sin φ ( k m ω ) cωcosφsinφ + + = F X ( k mω ) sin φ ( cω) cos φ ( k m ω ) cωcosφsinφ = 0 0 ve taraf tarafa toplayalım; 0 9 8 10 97
X ( k mω ) ( cω ) F X 0 + = 0 = 9 nolu denklemden; = 0 F ( k mω ) + ( cω) c X ω ( k mω ) sinφ cωcosφ 0 φ tan -1 = = k mω 11 1 Genel çözüm: 13 F = ω + ω + ω φ ( ) ( ) ( ) 0 xt Acos 1 nt Asin nt cos t ( k mω ) + ( cω) ( ) 98