. BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,, 3), (3,, ) (, 3, ), (, 3, ), (3,, ) SD. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı frklı tüm mümkü sırlmlrıı syısı (Permütsyo syısı): ( )! = K. Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı her hgi bir permütsyou geel olrk: ( j j K j ),,,. Permütsyo Tım: Bir ( j, j, K, j ) permütsyoudki ters döüşüm (iversio) syısı bu permütsyodki büyük bir syıyı tkip ede küçük syılrı syısıdır:. ( j, j, K, j ) permütsyoud j syısıı tkip ede küçük syılrı syısıı belirle,. ( j, j, K, j ) permütsyoud j syısıı tkip ede küçük syılrı syısıı belirle 3. Bu işlemi j - syısı kdr sürdür, 4. Bulduğu syılrı topl. Elde edile toplm syı ( j, j, K, j ) permütsyouu ters döüşüm syısıdır.
Permütsyo Tım: Bir permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı çift bir syı ise çift permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı tek ise tek permütsyo olrk dldırılır. Örek: şğıdki permütsyolrı ters döüşüm syılrıı buluuz. (6,, 3, 4, 5, )=5+0+++=8 (, 4,, 3) =++0 =3 (,, 3, 4) =0+0+0 =0 Permütsyo Örek: {,, 3} tm syılr kümesii tüm mümkü permütsyolrıı tek y d çift olrk belirleyiiz. Permütsyo Ters Döüşüm Sııflm Syısı (,, 3) 0 Çift (, 3, ) Tek (,, 3) Tek (, 3, ) Çift (3,, ) Çift (3,, ) 3 Tek Determit boyutlu, v r = M = M v r = v r M r r r te vektörü, v v v foksiyoel gösterimidir. (,,, ) SD 7 Determit Tım: Determit, x te elemı, şeklideki sırlışıdır. SD 8
Determitı Köşege Elemlrı Tım: Bir determitıdki ij (i=,,) elemlrı sl köşege y d sdece köşege elemlrı deir. Elemter Çrpım İşretli Elemter Çrpım Determit Foksiyou SD 0 Elemter Çrpım Tım: Bir boyutlu determitıı, yı sır ve sütud gelmeye det elemıı çrpımı elemter çrpım deir. Örek: boyutlu determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. = Çözüm: Stırlr bz lıdığıd.. Noktlr sütulrı temsil etmektedir. İki sütu olduğud {, } Permütsyolr (, ) ve (, ) Noktlrı yerie permütsyolr kork elemter çrpımlr: ve Elemter Çrpım Örek: 3 3 boyutlu determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. = 3 3 3 3 33 Çözüm: Stırlr bz lıdığıd.. 3. Noktlr sütulrı temsil etmektedir. Üç sütu olduğud {,, 3} Permütsyolr (,, 3), (, 3, ), (,, 3), (, 3, ), (3,, ), (3,, ) Noktlrı yerie kork elemter çrpımlr: 33, 3 3, 33, 3 3, 3 3, 3 3
Elemter Çrpım Tım: Bir boyutlu determitıı, işretli elemter çrpımı K elemter çrpımı j j j - y d + ile çrpımıdır. Eğer ( j j K j ) permütsyou çift permütsyo ise,,, K j j j Eğer ( j j K j ) permütsyou tek permütsyo ise,,, K j j j Elemter Çrpım Örek: boyutlu determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. = Çözüm: Elemter Çrpım Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşret İşretli Çrpım (, ) 0 Çift (, ) Tek Elemter Elemter Çrpım Örek: 3 3 boyutlu determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. = 3 3 3 3 33 Çözüm: Elemter Çrpım Elemter Çrpım Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşret İşretli Çrpım 33 (,, 3) 0 Çift 33 3 3 (, 3, ) Tek 33 Elemter 33 (,, 3) Tek 33 3 3 (, 3, ) Çift 3 3 3 3 (3,, ) Çift 3 3 3 3 (3,, ) 3 Tek 33
Determit Foksiyou Tım: boyutu ol bir determit olsu. Determit foksiyou det( ) y d ile gösterilir. det( ) determitı tüm işretli elemter çrpımlrıı toplmıdır: det ( ) = ± K j j j det() syısı ı determitı olrk dldırılır. Örek: boyutlu determitıı = Determit Foksiyou değerii buluuz. det = Çözüm: ( ) Örek: 3 3 boyutlu determitıı = değerii buluuz. Çözüm: Determit Foksiyou 3 3 3 3 33 ( ) = 33 + 3 3 + 3 3 det 3 3 33 3 3 Determit Foksiyou Determit foksiyou bir sklerdir. Geometrik olrk bu skler büyüklük determitı oluştur vektörleri rsıd kl l, hcim vs. değerie krşılık gelir.
y Determitı Geometrik lmı B(, ) (, ) C( +, + ) ( v, v) = x O B C = içi determit, vektörleri oluşturmuş olduğu prlelkerı lıı verir. = = l Elemter Stır (Sütu) İşlemleri Tım: Bir determitı, mtrisi y d doğrusl deklem sistemii dek determit, mtris y d deklem sistemie döüştüre işlemlere elemter işlemler deir.. İki Stırı (sütuu) değiştirilmesi,. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılmsı, 3. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılıp bir diğer stır (sütu) eklemesi. SD Elemter Stır (Sütu) İşlemleri Elemter işlemler: Geel olrk stır işlemleri içi R, sütu işlemleri içi C kullılır: j-ici stır ile i-ici stırı yer değiştirmesi R ji j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılmsı R j (k) j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılıp i-ici stır ile toplmsı R ji (k) Echelo Determit Bir determit i i i Elemter stır (sütu) işlemleri kullılrk, 0 M 0 0 K M O M Echelo determit döüştürülebilir.
Echelo Determit Örek: şğıd verile determitı elemter işlemler ile Echelo determit döüştürüp değerii buluuz. 0 5 = 3 6 9 6 Çözüm: Echelo Determit 0 5 3 6 9 det = 3 6 9 R = 0 5 3R 6 6 3 3 ( ) R ( ) = 3 0 5 R = 3 0 5 0 3 3 6 0 0 5 3 3 3 ( )( ) = 3 0 5 55R = 3 55 0 5 0 0 55 0 0 = ( 3)( 55)( ) = 65 Miör İşretli Miör Determitı Bir Sıry Göre çılımı Miör Tım: Boyutu ol bir determitıd i-ici stır ve j-ici sütud yer l ij elemıı buluduğu stır ve sütu siliir. - boyutlu yei bir determit elde edilir. Bu determit M ij ile gösterilir ve bu ij elemıı miörü deir. SD 7
İşretli Miör Tım: Miör determitı kullılrk, ij=(-)i+j Mij yei bir determit tımlırs, bu ij elemıı işretli miörü (kofktörü, eş çrpı) deir. SD 9 Determitı Bir Sıry Göre çılımı Tım: Bir determıtıı, bir sır (sütu) elemlrıı tümü içi işretli miörler oluşturulur. İşretli miörler kedilerie it elemlrl çrpılrk determitı çılımı elde edilir. = + + + i i i i i i i i i Determitı Bir Sıry Göre çılımı Determitı Bir Sıry Göre çılımı Öemli: Determitı her hgi bir stırıı (sütuu) elem ile frklı her hgi bir stırıı (sütuu) işretli miorlerii çrpımlrıd elde edile toplm sıfırdır. i k + i k + + i k = 0 i k içi Öemli: Bir determitı.stır,.stır,.stır,.sütu,. sütu,,.sütu göre çılımlrıı tümü birbirie eşittir. SD 3
Determitı Bir Sıry Göre çılımı Örek: determitıı değerii ikici sütu göre çrk buluuz. + = M = = 7 3 Çözüm: ( ) ( ) + 3 = M = = 7 3 ( ) + 3 3 3 = M 3 = = 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Srrus Kurlı Üç boyutlu bir determitı prtik yold hesplmsı : det = 7 + 0 + 5 7 = 8 SD 34 (-) (-) (-) 3 3 3 3 33 (+) = + + ( + + ) 33 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 (+) (+) Öemli: Sdece 3 boyutlu determitlrd kullılır. Temel Determit Hesplm Yötemleri İşretli elemter çrpım Echelo determit (elemter stır /sütu işlemleri) Determitı bir stır (sütu) göre çılmsı Determitı Özellikleri SD 36
Determitı Özellikleri. determitıd stırlr ile sütulr yer değiştirilirse T determitıı trspozu (evriği) det det T T elde edilir. Determitı Özellikleri. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs i i i i ( ) R k % = k k k i i i det % = k det Determitı Özellikleri 3. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs ( ) i i i R, K, k k k k % = k k k i i i k k k det % = k det Determitı Özellikleri 4. Determitı herhgi iki stırı (sütuu) yer değiştirirse R i i i i % = i i i det % = det
Determitı Özellikleri 5. Determitı herhgi bir stırıı (sütuuu) ktlrı bir diğer stır (sütu) ile toplırs i i i i ( ) R k % = i i i + k + k + k i i i det % = det Determitı Özellikleri 6. Bir determitt herhgi iki stır (vey sütu) ortılı ise determitı değeri sıfır eşittir. i i i k k k i i i det 0 SD 4 7. Bir determitı herhgi bir stır (vey sütu) elemlrıı tümü sıfır ise determitı değeri sıfır eşittir. Determitı Özellikleri 0 0 0 det 0 8. Bir determitı köşegeii ltıdki (y d üstüdeki) tüm elemlr sıfır eşit ise eşlo (echelo) determitır: 0 M K 0 0 Determitı Özellikleri M O M y d M det 0 0 K 0 M O M K SD 43
Sıfır Determit Koşullrı Tüm stır (sütu) elemlrı sıfır ise İki stır (sütu) elemlrı eşit ise Bir stır (sütu) bir diğer stır (sütu) elemlrıı ktı ise Özel Determitlr Ek Determıt : Bir determıtıd her elemı yerie, bu elemı işretli miörlerii yzrk elde edile determıt Ek Determıt deir. Ek ile gösterilir. Ek Özellik :, boyutlu bir determıt ise Ek = - dır. SD 46 Özel Determitlr Simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, T y d ij = ji ( i, j =,,, ) bğıtısı vrs determit simetrik determit deir. Özel Determitlr Yrı simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, T = y d = ( i, j =,,, ) ij bğıtısı vrs determit yrı simetrik determit deir. ji SD 47
SD 49 Vder Mode Determitı : şeklideki determıtlr deir. Özel Determitlr SD 50 İKİNCİ BÖÜM BİTTİİİİİİİ