BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2. n k=1 (3k 1)(3k + 2) = 3n3 + 6n 2 + n 3. 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = n2 (n+1) 2 4. 1 + 1 + + 1 = 1.2 2.3 n(n+1) n n+1 5. 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n(n+1)(n+2) 6. n k=1 a 1 a k = 1 1 a n (a 0) 4 7. (1 + a) n 1 + na (a > 1) (Bernoulli E³itsizli i ) 8. (a + b) n = a n + ( ) n 1 a n 1 b + ( ) n 2 a n 2 b 2 + + ( ) n n 1 ab n 1 + b n = n (a, b R 0) (Binom Formülü) 3 p=0 ( n p ) a n p b p 9. (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + + b 2 n) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 = n i,j=1 (a i b j a j b i ) 2 i<j (Lagrange Teoremi ) 10. 1 + 3 n a > (1 + a) n (0 < a < 1) 11. cos nπ = ( 1) n 12. 1 + x + x 2 + + x n = 1 xn+1 1 x (x 1) 13. 2 n > n 14. n! > 2 n (n 4) 15. 3 n 1 < n! (n 5) n 1 ( ) 16. k=1 1 + 1 k k = n n 1 (n 1)! 17. n tek say olmak üzere 2 n + 3 n says 5'in bir katdr, ispatlaynz. 18. x n y n ifadesinin x y gibi bir çarpan oldu unu gösteriniz. 19. 3 2n+2 2 n+1 saysnn 7 ile bölünebilece ini ispatlaynz.
BÖLÜM 1 Cümlelerde Sralama 20. Birden fazla eleman olan bir A cümlesinin P(A) parçalarnn cümlesinin (içinde olma) ba ntsna göre tam-sralanm³ bir cümle olup olmad n ara³trnz. 21. X = {(m, n) : m, n N} olsun. X cümlesi üzerinde bir sralama ba nts a³a daki gibi tanmlansn: (m, n) (m, n ) m m ve n n. Bu sralamaya göre X cümlesinin tam-sralanm³ olup olmad n ara³trnz. 22. X = {(m, n) : m, n N} olsun. X cümlesi üzerinde bir sralama ba nts a³a daki gibi tanmlansn: (m, n) (m, n ) m < m yada m = m ve n n. Bu ³ekilde tanmlanan sralamaya sözlük sralamas (lexicographic order) denir. Gösteriniz ki sözlük sralamasna göre X cümlesi tam sralanm³ bir cümledir. 23. Sralanm³ bir cismin en büyük eleman olamayaca n gösteriniz. Say Sistemleri 24. Her ε > 0 says için 0 a < ε e³itsizli ini sa layan a R says 0'dr. 25. a says rasyonel, b says irrasyonel ise a + b irrasyoneldir. 26. a 0 says rasyonel ve b says irrasyonel ise ab irrasyoneldir. 27. 6 ve 2 ± 3 saylar irrasyoneldir. Tanm: S reel saylarn bir cümlesi olsun. Her x S için x c olacak ³ekilde bir c says varsa S cümlesine üstten snrldr denir. Benzer ³ekilde her x S için x d olacak ³ekilde bir d says varsa S cümlesine alttan snrldr denir. Alttan ve üsten snrl bir cümle snrl olarak adlandrlr. 28. N cümlesi üstten snrl de ildir (ispat daha sonra verilecek ). 29. Her r R için n r olacak ³ekilde bir n N says vardr. 30. Her ε R + := {r R : r > 0} saysna kar³lk 1 n < ε olacak ³ekilde bir n N says vardr. 31. A say cümlesinin minimal eleman varsa tektir. 32. a < b ise a < x < b olacak ³eklikde bir irrasyonel x saysnn varl n gösteriniz. 33. 0 0 ve a (a Z, a 0) ifadelerinin sras ile belirsiz ve tanmsz olduklarn gösteriniz. 0
BÖLÜM 2 Reel Say Cümlelerinin Ba³lca Özellikleri 34. a, b R olmak üzere a b = max{a, b} ve a b = min{a, b} ise a b = 1 (a + b + a b ) 2 ve a b = 1 (a + b a b ) oldu unu gösteriniz. 2 35. Her a, b R için a b a + b a + b ve a b a + b oldu unu ispatlaynz. 36. ε > 0 ve b R olsun. Gösteriniz ki bir x saysnn x b < ε e³itsizli ini sa lanmas için gerek ve yeter ³art b ε < x < b + ε ifadesinin gerçeklenmesidir. 37. Soru 36 daki notasyon gözönüne alnsn. Gösteriniz ki x b = ε e³itli ini sa layan iki x says vardr. 38. x, y R, ε > 0 ve x y < ε ise a³a daki ifadelerin do ru oldu unu gösteriniz. x < y + ε, y < x + ε, x > y ε, y > x ε. 39. R R üzerinde her (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 için d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 } olarak tanmlanan d fonksiyonunun bir metrik oldu unu gösteriniz. 40. d : R n R n R fonksiyonu her x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n için d(x, y) = max{ x i y i : 1 i n} ³eklinde tanmlanrsa R n üzerinde bir metrik belirtir, ispatlaynz. 41. Reel saylarn bo³tan farkl bir X alt-cümlesi verilsin. d : X X R fonksiyonu her 0, x = y, x, y X için d(x, y) := ³eklinde tanmlansn. Bu durumda d fonksiyonu X 1, x y, cümlesi üzerinde bir metrik belirtir. Bu metri e diskret (trivial) metrik ad verilir. 42. Her x, y R için d(x, y) = x y fonksiyonu R üzerinde bir metrik belirtir. 43. d : R n R n R fonksiyonu her x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n için d(x, y) = n x i y i ³eklinde tanmlanrsa R n üzerinde bir metrik elde edilir. 44. R 2 R 2 'den R'ye her (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 için d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ile tanmlanan d fonksiyonu R 2 üzerinde bir metrik midir? 45. R 2 R 2 'den R'ye her (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2 için d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 ile tanmlanan d fonksiyonu R 2 üzerinde bir metrik midir? 46. Bir X reel say cümlesi üzerinde ρ(x, y) ve σ(x, y) birer metrik ise gösteriniz ki ν(x, y) = ρ(x, y) + σ(x, y), X üzerinde bir metrik belirler.
BÖLÜM 3 : n N} cümlesinin snrl oldu unu gösterip inmum ve supremumunu be- 47. A = { 2+n n lirleyiniz. Supremum ve nfimum Kavram 48. B = { 1 2, 3 4, 7 8} ³eklinde tanml, noktalardan olu³an B cümlesinin supremumunun varl n ara³trnz, var ise buldu unuz de erin verilen cümlenin supremumu oldu unu ispatlaynz. 49. A³a daki aralklarn e er varsa inmum ve supremumlarn belirleyiniz. a) [0, 1] b) (0, 1) c) [0, ) 50. A³a daki cümlelerin e er varsa inmum ve supremumlarn belirleyiniz. a) A = { } 1 n N : 2 n b) B = {n N : 1 ( 1) n } c) C = {x R, 2 < x < 2 : x 2 } 51. Bo³tan farkl ve alttan snrl her reel say cümlesinin sadece bir inmumu vardr. 52. D pozitif reel saylarn bir cümlesi ve E = { 1 x : x D} olsun. a) E'nin üsten snrl olmas için gerek ve yeter ³art inf D > 0 olmasdr. b) sup E = 1 inf D 'dir. 53. F ve G bo³tan farkl reel saylarn iki alt-cümlesi olsun. a) sup(f G) = max{sup F, sup G} oldu unu gösteriniz. b) E er F G ise sup(f G) = min{sup F, sup G} e³itli inin her zaman sa lanmad n ispatlaynz. 54. H R bo³tan farkl ve alttan snrl bir cümle olsun. Bir ω R saysnn H cümlesinin inmumu olabilmesi için gerek ve yeter ³art (i) h ω her h H için sa lanr; (ii) her ε > 0 says için h < ω + ε olacak ³ekilde bir h H vardr. 55. I R bo³tan farkl ve üstten snrl bir cümle olsun ve c + I = {c + a : a I} olarak tanmlansn. sup(c + I) = c + sup I oldu unu gösteriniz. 56. J R cümlesi snrl olsun. J = { a : a J } olarak tanmlanrsa inf J = sup( J ) oldu unu gösteriniz. 57. A ve B reel saylar cümlesinin bo³tan farkl iki alt-cümlesi ise a³a dakilerin sa land n gösteriniz. a) A ve B üstten snrl ise sup(a + B) = sup A + sup B. b) A ve B üstten snrl ise sup(a B) = sup A sup B.
c) Herhangi bo³tan farkl iki cümle için yukardaki ifade her zaman gerçeklenmez.
BÖLÜM 4 Açk Cümle, Kapal Cümle ve Y lma Noktas Kavram 58. A³a daki cümlelerin açk olup olmadklarn tespit ediniz. a) R reel saylar cümlesi b) G = {x R : 0 < x < 1} c) F = {x R : 0 x 1} d) H = {x R : 0 x < 1} 59. ( 3, 3), [4, 7], [ 4, 5), (0, ), [0, ) cümlelerinin açk, kapal veya ne açk ne kapal olduklarn belirleyiniz. 60. Bo³ cümlenin açk veya kapal oldu unu ara³trnz. 61. Bir S R cümlesinin iç noktalarndan olu³an Int(S) (yada S notasyonu ile gösterilir) cümlesinin açk oldu unu gösteriniz 62. i N olmak üzere {U i } açk cümlelerin sonsuz bir ailesi ve {H i } kapal cümlelerin sonsuz bir ailesi olsun. Bu durumda a³a dakilerin do rulu unu gösteriniz: i) U i açktr. ii) iii) n U i açktr. iv) v) vi) U i açk olmak zorunda de ildir. n H i kapaldr. H i kapal olmak zorunda de ildir. H i kapaldr. 63. E reel saylarn herhangi bir (açk, kapal veya ne açk ne kapal) alt-cümlesi olsun. Gösteriniz ki E cümlesinin y lma (limit) noktalarndan olu³an E cümlesi kapaldr.
BÖLÜM 5 Limit ve Süreklilik - A 64. A³a daki limitlerin varl n ara³trnz. Burada [x], x'in tamde er fonksiyonunu göstermektedir. i) lim x 0 sin x x ii) lim x 3 ([x] [2x 1]) iii) lim x 2 ([x] x 2 ) iv) lim x 1 x 1 +1 x+ x+1 65. A³a daki limitlerin varl n limit tanmn kullanarak gösteriniz. a) lim x 1 (x 2 + 6x + 5) = 12 b) lim x 0 x 2 cos 1 x = 0 c) lim x 0 x sin 1 x = 0 d) lim x 3 1 x = 1 3 66. f : (a, b) R olsun ve x (a, b) için f : (a, b) R fonksiyonu f (x) = f(x) olarak tanmlansn. c (a, b) için lim x c f(x) limiti var ve L ise gösteriniz ki lim x c f (x) limiti vardr ve L saysna e³ittir. Fakat bunun tersi do ru de ildir. 67. Limit tanmn kullanarak lim x a x 3 = a 3 oldu unu gösteriniz. 68. A³a daki fonksiyonlarn verilen noktada sa dan ve soldan limitlerini hesaplaynz. a) f(x) = 1+x 1 e 1/x, x = 0 b) f(x) = 2+101/(x 1) 3+10 1/(x 1), x = 1 c) f(x) = arctan 1 3 x, x = 3 69. lim x a f(x) = L ve lim x a g(x) = M olsun. a) a saynna yeterince yakn her x R için g(x) f(x) ise gösteriniz ki M L sa lanr. b) L = M ve a saynna yeterince yakn her x R için g(x) h(x) f(x) ise x a için h(x) fonksiyonunun limit vardr ve L(= M) saysna e³ittir. Bu teorem Sk³trma (veya Sandviç) Teoremi olarak bilinir. 70. h(1, 2) R fonksiyonu her x (1, 2) için 16 sin 2 (x 2) < h(x) < x2 4x 8 e³itsizli ini x 2 sa lasn. x 2 limitinin varl n ara³trnz. E er varsa de erini bulunuz. x sin 1 71. f(x) =, x 0, x fonksiyonunun x = 0'da süreklili ini ara³trnz. 5, x = 0 x 3 27 72. f(x) =, x 0, x 2 9 fonksiyonunun x = 3'de süreklili ini ara³trnz. 9, x = 3 2 73. E, R reel saylar uzaynn bir alt-cümlesi, f bu E cümlesi üzerinde sürekli bir fonksiyon
ise gösteriniz ki f fonksiyonu da E üzerinde süreklidir. 74. f : R R fonksiyonu f(x) = s ³eklinde tanmlanrsa gösteriniz ki f reel saylar uzay üzerinde süreklidir. 75. f : R R fonksiyonu f(x) = x ³eklinde tanmlanrsa gösteriniz ki f reel saylar uzay üzerinde süreklidir.
BÖLÜM 5 Limit ve Süreklilik - B 76. S, T say cümleleri, f : S T ve g : T R olsun. lim x a f(x) = b ve lim y b g(y) = L ise gösteriniz ki lim x a g(f(x)) = L'dir. 77. d > 1 olsun. Her B > 1 saysna kar³lk bir N N says bulunabilir, öyle ki n > N ³artn sa layan n do al saylar için d n > B ifadesi gerçeklenir, ispatlaynz. 78. 0 < c < 1 ise lim n c n = 0 oldu unu gösteriniz. 1 < c 0 halinde bu limiti hesaplaynz. 79. Her x 1 için 1 + x + + x n = xn+1 1 x 1 oldu unu ispatlaynz. oldu unu gösterin. E er c < 1 ise lim (1 + c + + n cn ) = 1/(1 c) 80. x > 0 ve n kök x 1/n her z Z + için mevcut olsun. lim n x 1/n limitini hesaplaynz. 81. f(x) = lim n 1/(1 + n 2 x) ³eklinde tanmlanan fonksiyon gösteriniz ki {0} cümlesinin karakteristik fonksiyonudur. Yani, x = 0 için f(0) = 1 ve x 0 için f(0) = 0'dr. 82. a > 1, a R olsun. lim n a n /n = oldu unu gösteriniz. 83. A³a daki ifadeleri gerçekleyen iki {x n }, {y n } (n N) dizisi örne i veriniz. lim x n = 0, n lim y n =, n lim (x n y n ) = 1 n 84. A³a daki ifadeleri gerçekleyen iki {x n }, {y n } (n N) dizisi örne i veriniz. lim x n = 0, n lim y n = n ve x n y n snrl iken (yani, n N, C > 0 x n y n < C) lim n (x n y n ) limiti olmasn. 85. A³a daki fonksiyonlarn n için limitlerini hesaplayn. a) (1+n)/n 2 b) n n + 1 c) n/ n + 1 d) x 0, 1/(1+nx) e) n n + 10 86. S ve T iki say cümlesi f : S T ve g : T R iki fonksiyon, a S ve b = f(a) olsun. f fonksiyonu a noktasnda ve g fonksiyonu b noktasnda sürekli ise gösteriniz ki g f bile³ke fonksiyonu da a noktasnda süreklidir. Yani, sürekli fonksiyonlarn bile³keleri de süreklidir. 87. x'den küçük en büyük tam sayy veren fonksiyon f(x) = x olsun ve g(x) = x x olarak tanmlansn. Bu durumda f ve g'nin sürekli oldu u tüm noktalar belirleyiniz ve fonksiyonlarn graklerini çiziniz.
88. x 1 olmak üzere f(x) = lim n ((x n 1)/(x n +1)) 2 limitinin var oldu unu gösteriniz. a) f(1), f(1/2), f(2) de erlerini bulunuz. b) lim x 1 f(x) =? c) lim x 1 f(x) =? d) f fonksiyonunu sürekli yapan x de erlerini bulunuz. 1 noktasnda f sürekli olacak ³ekilde f( 1) tanmlamak mümkün mü? 89. f(x) = lim n x n /(1 + x n ) olsun. a) f'nin tanm bölgesini, yani limitin mevcut oldu u yerleri belirleyiniz. b) f'nin tanm bölgesindeki x'ler için f(x) de erlerini hesaplaynz. c) f'nin sürekli oldu u yerleri tespit ediniz. 90. Bir S say cümlesi üzerinde tanml ve sürekli f ve g fonksiyonlar gözönüne alnsn. Gösteriniz ki, h(x) = min(f(x), g(x)) ve H(x) = max(f(x), g(x)) ³eklinde tanmlanan fonksiyonlar da S'de süreklidir. 91. Süreklili in tanmn kullanarak a³a daki fonksiyonlarn süreklili ini ispatlayn. x/(1 + e 1/x ), x 0, a) f(x) = x 2 b) f(x) = sin x c) f(x) = 0, x = 0. Tanm. f fonksiyonu [a, b] kapal aral nda tanml bir reel nümerik fonksiyon olsun ve p [a, b] noktas gözönüne alnsn: i) f fonksiyonu p'de süreksiz fakat p noktasnda sa dan ve soldan limitleri var ise p noktasna f'nin birinci cinsten (basit veya sonlu) süreksizlik noktas denir. ii) p noktasnda limit mevcut fakat p noktasnda fonksiyon tanmsz veya fonksiyon tanml iken lim x p f(x) f(p) ise p noktasnda f'nin kaldrlabilir süreksizlik noktas denir. iii) p noktasnda sa dan ve soldan limitlerden enaz biri yok veya ± ise p noktasnda f'nin ikinci cinsten süreksizlik noktas denir. 92. A³a daki fonksiyonlarn süreksizlik noktalarn bulunuz, süreksizlik cinslerini belirleyiniz. x 3, x 0, a) f(x) = x2 4 b) f(x) = c) f(x) = 1 x + x 1 d) f(x) = 1 x x x+2 x 1 3 2, x = 0. x/(x 1) 1