Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum. Artık matematik dersinde eğleniyorum. Artık matematiği ezberlemiyorum. Artık matematik sorularını çözüyorum. Artık daha fazla matematik etkinliği yapıyorum.
Bu kitabın her hakkı Arı Defter ve Dağıtım a aittir. İçindeki şekil, yazı, resim ve grafiklerin yayınevinin izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. YAZAR Mehmet Ali VARIŞLI KAPAK TASARIM İhsan SONDOĞAN GRAFİK-TASARIM Ebru PEKÜN BASIM YERİ Aykut Basım (0212 428 52 74) Arı Defter ve Dağıtım İnternet Bilişim Hizmetleri Güneşli Yolu Cad. İkebana Evleri H Blok D:26 Bahçelievler/İSTANBUL Tel: 0212 879 20 60 - Faks: 0212 879 20 70 www.ariyayin.com - info@ariyayin.com /ariyayin /ariyayin 2 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! Merhabalar; Hazırlamış olduğumuz bu akıllı matematik defterleri ile siz saygıdeğer öğretmenlerimizin işlerini biraz daha kolaylaştırırken sevgili öğrencilerimizin de matematiği daha da sevmelerini sağlamak istedik. Akıllı defterlerin amacı, not tutma sıkıntısı yaşayan öğrencilerin ve konu yetiştirme telaşına giren öğretmenlerimizin işlerini kolaylaştırmaktır. Akıllı matematik defteri ek bir kaynak olarak algılanmasını istemeyiz. Çünkü bu defter ile öğrenciye ek kaynak aldırmıyoruz, DEFTER İHTİYACINI karşılıyoruz. Bu defteri alan bir öğrencinin başka bir defter almasına gerek yoktur. Akıllı matematik defterlerinde konu anlatım yerleri boş bırakılmıştır. Çünkü her öğretmenin konuyu anlatımı farklı olabilmektedir. Konuyu pekiştirici sorular ise, hazır yazılmış olarak verildiği için hem daha fazla soru çözülebilecek hem de bolca etkinlik yapılarak konu daha kolay ve daha zevkli öğretilecektir. Geometri bölümünde; bazen şekillerin öğrenciler tarafından çizmeleri istenmekte, bazen de hazır şekiller verilmektedir. Her konunun sonunda yer verilen kareli kağıt bölümüne ise, eksik kalındığını düşündüğünüz bölümleri yazabileceğiniz gibi etkinlikler için de kullanabilirsiniz. Herkese başarılar dileriz. Mehmet Ali VARIŞLI Bu defterin hazırlanma aşamasında desteğini ve sabrını esirgemeyen eşim Zeynep e ve biricik oğlum Fatih e teşekkür ederim. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 3
İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE 1.1. Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma...7 1.2. Faktöriyel (Çarpansal)...17 1.3. Permütasyon...27 1.4. Kombinasyon...41 1.5. Pascal Üçgeni ve Binom Açılım...55 2. ÜNİTE 2.1. Olasılık...65 3. ÜNİTE 3.1. y = f(x) = x n Biçimindeki Fonksiyon Grafiklerinin Dönüşümleri...81 3.2. Fonksiyonlarla İşlemler...91 3.3. Fonksiyonun Tersi...97 3.4. Bileşke Fonksiyon...103 4. ÜNİTE 4.1. Analitik düzlem...111 4.2. İki Nokta Arasındaki Uzaklık...117 4.3. Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme...121 4.4. Doğrunun Eğimi...133 4.5. Doğrunun Denklemi...143 4.6. Denklemi Verilen Doğrunun Grafiğini Çizme...151 4.7. İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları...157 4.8. Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı...163 5. ÜNİTE 5.1. Dörtgenler ve Özellikleri...171 5.2. Yamuk...183 5.3. Paralelkenar...199 5.4. Eşkenar Dörtgen...213 5.5. Dikdörtgen...221 5.6. Kare...233 5.7. Deltoid...245 5.8. Çokgenler...249 4 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
1. ÜNİTE KAZANIMLARI Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini örneklerle açıklar. n elemanlı r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini hesaplar. Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur. Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 5
6 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Toplama ve çarpma yoluyla sayma kurallarını tanımlayalım. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 7
Örnek 1 Bir sınıfta 13 kız ve 7 erkek öğrenci vardır. Buna göre, sınıftan bir kız veya 1 erkek öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım. Örnek 2 Bir şirkette 5 bayan ve 8 bay temizlik personeli çalışmaktadır. Buna göre, bu şirketten 1 bay ve 1 bayan temizlik personelin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım. Örnek 3 Arzu'nun 4 farklı gömleği, 2 farklı eteği ve 5 farklı pantolonu vardır. Buna göre, Arzu'nun 1 gömleği veya 1 eteği veya 1 pantolunu kaç farklı şekilde giyebileceğini bulalım. Örnek 4 Bir kantinde 4 farklı tost ve 3 farklı içecek vardır. Buna göre, kantinden 1 tost ve 1 içeceği kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulalım. Örnek 5 Bir okulda 25 sınıf, her sınıfta da 18 sıra her sırada 2 öğrenci vardır. Her sıra dolu olduğuna göre, okuldaki öğrenci sayısını bulalım. Örnek 6 18 kişilik bir sınıftan; başkan, başkan yardımcısı ve nöbetçinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım. 8 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Örnek 7 A şehrinden B şehrine 6 ve B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre A şehrinden C şehrine, B şehrine uğramak şartıyla kaç farklı yoldan gidilebileceğini bulalım. Örnek 8 Aşağıdaki şekil A, B ve C kentleri arasındaki farklı yolları göstermektedir. Buna göre, soruları cevaplayalım. A B C a) A'dan B'ye uğramak şartıyla C'ye kaç farklı şekilde gidilebilir? b) A'dan B'ye uğramak şartıyla C'ye kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir? c) A'dan B'ye uğramak şartıyla C'ye gidilip dönülecektir. Gidilen yolları dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde yol güzergahı oluşturulabilir? Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 9
Örnek 9 12 kişinin katıldığı bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncünün sıralanışının kaç farklı şekilde olabileceğini bulalım. Örnek 10 5 seçenekli 20 soruluk bir deneme sınavının doğru cevap anahtarı hazırlanacaktır. Buna göre, cevap anahtarının kaç değişik şekilde hazırlanabileceğini bulalım. Örnek 11 3 mektubun 4 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabileceğini bulalım. Örnek 12 4 farklı kalem, 5 öğrenciye aynı kişiye birden çok kalem vermemek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini bulalım. 10 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Örnek 13 3 kişinin, 5 futbol takımından birer tane seçimini kaç farklı yolla yapabileceğini bulalım. Örnek 14 Bir toplantı salonunda herkes birbiriyle tokalaşmıştır. Toplam 28 tokalaşma olduğuna göre, toplantı salonundaki kişi sayısını bulalım. Örnek 15 A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak sayılar oluşturulacaktır. Buna göre, soruları cevaplayalım. a) Üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? b) Üç basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? c) Üç basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? d) Üç basamaklı rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazılabilir? Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 11
Örnek 16 A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullanarak sayılar oluşturulacaktır. Buna göre, soruları cevaplayalım. a) Dört basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? b) Dört basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? c) Dört basamaklı kaç tek doğal sayı yazılabilir? d) Dört basamaklı rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazılabilir? e) Dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? f) Dört basamaklı rakamları farklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? 12 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Örnek 17 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak sayılar oluşturulacaktır. Buna göre, soruları cevaplayalım. a) 200'den büyük 300'den küçük rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? b) 400'den küçük rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? c) Üç basamaklı 5'in katı olan kaç farklı doğal sayı yazılabilir? d) Üç basamaklı 5'in katı olan rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? e) 300'den büyük üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? f) 4 basamaklı ve rakamlarından biri 3 olan kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 13
Örnek 18 M, A, T, E, M, İ, T, O kelimesinin harflerini birer kez kullanarak anlamlı veya anlamsiz kelimeler yazılacaktır. Buna göre, soruları cevaplayalım. a) 3 harfli kelimelerden kaç tanesinde İ harfi yoktur? b) 5 harfli kaç kelime yazılabilir? c) 3 harfli kelimelerin kaç tanesinde E harfi vardır? d) 4 harfli kaç kelime yazılabilir? Örnek 19 {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile en az iki rakamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabileceğini bulalım. Örnek 20 {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan rakamları birbirinden farklı üç basamaklı doğal sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, 14. sıradaki sayıyı bulalım. 14 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 15
16 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Faktöriyel (Çarpansal) Faktöriyeli ve özelliklerini tanımlayalım. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 17
Örnek 1 Aşağıda verilen ifadeleri sadeleştirelim. a) 8! 7! = b) 6! + 7! = 6! c) 6! + 7! 6! 5! = d) (3!)!.7 = 7! e) n! (n 1)! = f) (n + 2)! = n! g) (n + 1)! (n 1)! = h) (2n + 2)! = (2n)! 18 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
ı) 5!.10! 4!.9! = i) 11! 8!.3! = j) (2n + 1)! (2n + 1).(2n 1)! = k) 6! + 7! + 8! = 6! Örnek 2 8! sayısının 7! sayısından ne kadar fazla olduğunu bulalım. Örnek 3 10! sayısının 8! sayısının kaç katı olduğunu bulalım. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 19
Örnek 4 Aşağıda verilen eşitliklerde, n'lerin değerini bulalım. a) n! (n 1)! = 8 b) (n + 2)! = 42 n! c) (2n + 1)!.(n + 1)! = 5 (2n)!.(n + 2)! 3 d) 2.(2n 1)! (2n + 1)! = (4n 2)! (4n 1)! 20 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Örnek 5 100! sayısının sonunda kaç tane 0 rakamı olduğunu bulalım. Örnek 6 50! sayısının sonunda kaç tane 0 rakamı olduğunu bulalım. Örnek 7 26! 25! farkının sonunda kaç tane 0 rakamı olduğunu bulalım. Örnek 8 60! 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı olduğunu bulalım. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 21
Örnek 9 0! + 1! + 2! + 3! +... + 100! toplamının birler basamağındaki rakamını bulalım. Örnek 10 0! + 1! + 2! +... + 10! toplamının 12 ile bölümünden kalanını bulalım. Örnek 11 x ve y birer doğal sayıdır. 30! = 3 x.y olduğuna göre, x'in en büyük değerini bulalım. Örnek 12 x ve y birer doğal sayıdır. 24! = 6 x.y olduğuna göre, x'in en büyük değerini bulalım. 22 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Örnek 13 x ve y birer doğal sayıdır. 48! = 15 x.y olduğuna göre, y'nin en küçük değeri için x'in değerini bulalım. Örnek 14 32! 10 n ifadesini tam sayı yapan kaç farklı n doğal sayısı olduğunu bulalım. Örnek 15 a ve b birer doğal sayıdır. 20! = 8 a.b olduğuna göre, a'nın en büyük değerini bulalım. Örnek 16 a ve b birer doğal sayıdır. 40! = 27 a.b olduğuna göre, a'nın en büyük değerini bulalım. Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 23
Örnek 17 23! 3 x ifadesi bir doğal sayı olduğuna göre, x'in en büyük değerini bulalım. Örnek 18 60! 16 x ifadesi bir doğal sayı olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri olduğunu bulalım. Örnek 19 0! + 1! + 2! + 3! +... + 45! toplamının 24 ile bölümünden kalanını bulalım. Örnek 20 1! + 2! + 3! +... + 20! toplamının 15 ile bölümünden kalanını bulalım. 24 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! 25
26 Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz!