1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

Transkript

1 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ Bölüm: BİLEŞKE FONKSİYON Bölüm: FONKSİYONUN TERSİ Bölüm: FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR Bölüm: ANALİTİK GEOMETRİ Bölüm: DÖRTGENLER Bölüm: YAMUK Bölüm: PARALELKENAR VE EŞKENAR DÖRTGEN Bölüm: DİKDÖRTGEN, KARE VE DELTOİD Bölüm: ÇOKGENLER NOT SAYFASI DİĞER BÖLÜMLER İKİNCİ DEFTERDE

2 1. Bölüm Sıralama (Permütasyon) A Sayma Kuralları 1 8 pembe bilye ve... yeşil bilye arasından 1 pembe bilye veya 1 yeşil bilyenin kaç farklı biçimde seçilebileceğini bulalım: 2 20 kız ve... erkek öğrenci arasından 1 öğrencinin kaç farklı yolla seçilebileceğini bulalım: 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 5

3 1. Bölüm Sıralama (Permütasyon) 3 Aşağıda verilen soruların cevaplarını bulalım: a. 3 bay, 5 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir? b. 8 farklı tatlı, 6 farklı içecek arasından 1 tatlı ve 1 içecek kaç yolla seçilebilir? c. 3 tişörtü, 4 pantolonu ve 5 çift çorabı olan Orhan bu giyecekler arasından 1 tişörtü, 1 pantolonu ve 1 çift çorabı kaç yolla seçebilir? 4 A şehrinden B şehrine... farklı yol, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre, A şehrinden C şehrine B şehrinden geçmek koşulu ile kaç farklı şekilde gidilebileceğini bulalım: 5... kümesinin elemanları ile üç basamaklı; a. Kaç doğal sayı yazılabileceğini bulalım: b. Kaç çift sayı yazılabileceğini bulalım: c. Yüzler basamağında 3 olan kaç sayı yazılabileceğini bulalım: 6 Kolay Öğrenme Kılavuzu

4 Sıralama (Permütasyon) 1. Bölüm 6... kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları farklı; a. Kaç doğal sayı yazılabileceğini bulalım: b. Kaç tek sayı yazılabileceğini bulalım: c. Birler basamağında 2, onlar basamağında 3 olan kaç sayı yazılabileceğini bulalım: 7... kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları farklı; a. Kaç doğal sayı yazılabileceğini bulalım: b. Kaç çift sayı yazılabileceğini bulalım: c. 5 ile tam bölünen kaç sayı yazılabileceğini bulalım: d. 300 den küçük kaç sayı yazılabileceğini bulalım: Ödev 8. x tane kız öğrenci ile (x + 2) tane erkek öğrenci arasından 1 öğrenci 8 farklı yolla seçilebildiğine göre, x kaçtır? 9. A = {a, b, c} kümesinin elemanları kullanılarak dört harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir? 10. B = {a, b, c, d, e, f} kümesinin elemanlarıyla harfleri farklı üç harfli kaç farklı kelime yazılabilir? 11. D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? 12. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı 500 den büyük kaç doğal sayı yazılabilir? öğrenciden her biri 4 farklı şehirden yalnızca birine gidecektir. Bu işlem kaç farklı şekilde gerçekleşir? 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 7

5 1. Bölüm Sıralama (Permütasyon) B Faktöriyel n fakn! olduğuna göre, 6! in x türünden eşitini bulalım: Buna Dikkat Her n N + için... dir olduğuna göre, 7! - 6! in x türünden eşitini bulalım: 16 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: 6! a. b. 4! 5! + 4! 4! n! n! + ( n 1)! c. d. ( n 1)! ( n 2)! 17 8! = a ve 2! = b olduğuna göre,... çarpımının a ve b türünden eşitini bulalım: 8 Kolay Öğrenme Kılavuzu

6 Sıralama (Permütasyon) 1. Bölüm Ödev 18. 7! = x olduğuna göre, 6! in x türünden eşitini bulunuz. 19. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. 10! a. b. 9! 8! 7! 7! ( n + 1)! c. d. n! n! ( n 2)! n! 20. 8! = 9 olduğuna göre, n kaçtır? 21. ( n + 1)! = 24 olduğuna göre, n kaçtır? 0! 22. ( n 1)! 8 = olduğuna göre, n kaçtır? 7! n C Sıralama (Permütasyon) 23 Ali, Can ve Eda üç kardeştir. Bu üç kardeş yan yana durup fotoğraf çektirecektir. Bu üç kardeşin farklı dizilişlerini yazalım: 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 9

7 1. Bölüm Sıralama (Permütasyon) P(n, n) = n! 24 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. P(2, 2) b. P(4, 4) c. P(n - 1, n - 1) öğrencinin yan yana kaç farklı şekilde poz verebileceğini bulalım: 26 n kişi yan yana duran n tane koltuğa... farklı şekilde oturabildiğine göre, n nin değerini bulalım: D n Elemanlı Bir Kümenin r li Sıralaması 10 Kolay Öğrenme Kılavuzu

8 Sıralama (Permütasyon) 1. Bölüm 27 A = {1, 2, 3} kümesinin 2 li permütasyonlarını yazalım: Kural r, n + olmak üzere, sonlu n elemanlı bir kümenin r li (r n) permütasyonlarının sayısı,... olur. 28 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. P(3, 2) b. P(5, 3) c. P(n, 2) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. A kümesinin ikili permütasyonları sayısını bulalım: b. A kümesinin üçlü permütasyonları sayısını bulalım: 30 P(5, 2) = P(n, 1) olduğuna göre, n nin değerini bulalım: 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 11

9 1. Bölüm Sıralama (Permütasyon) 31 2 öğretmen yan yana duran... farklı koltuktan ikisine kaç farklı şekilde oturabileceğini bulalım: 32 İki kardeşin de aralarında bulunduğu... kişi yan yana sıralanacaktır. Kardeşler birbirinden ayrılmamak üzere bu sıralamanın kaç farklı şekilde olacağını bulalım: 33 2 öğretmen ile 3 öğrencinin, öğrenciler önde öğretmenler arkada olmak üzere kaç farklı şekilde sıralanacağını bulalım: 34 2 öğretmen ile 4 öğrencinin, öğretmenlerden biri bir uçta diğeri bir uçta olmak üzere yan yana kaç farklı şekilde sıralanacağını bulalım: Ödev 35. P(n, n) = 6 olduğuna göre, n nin değerini bulunuz. 36. P(6, 2) - P(4, 3) işleminin sonucunu bulunuz. 37. n tane öğrenci yan yana 24 farklı şekilde poz verebildiğine göre, n kaçtır? 38. İki öğretmenin de aralarında bulunduğu 6 kişi yan yana sıralanacaktır. Öğretmenler birbirinden ayrılmamak üzere bu sıralama kaç farklı şekilde olabilir? öğretmen yan yana duran 6 farklı koltuktan üçüne oturacaktır. Bu durumun kaç farklı şekilde gerçekleşeceğini bulunuz. 12 Kolay Öğrenme Kılavuzu

10 2. Bölüm Seçme (Kombinasyon) A Seçme (Kombinasyon) f n r n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı 1 A = {a, b, c} kümesinin 2 li kombinasyonlarını 2 li permütasyonları ile karşılaştıralım: Uyarı Bir kümenin bir kombinasyonu demek, kısaca o kümenin bir alt kümesi demektir. Elemanların seçimi yapıldıktan sonra, alt kümede elemanların diziliş sırasının değişmesi kümeyi değiştirmeyeceğinden, kombinasyonda sıra kavramı yoktur. Permütasyonda dizilişin önemi vardır, fakat kombinasyonda dizilişin önemi yoktur. Sadece elemanların seçiminin önemi vardır. Permütasyon ile kombinasyon arasındaki temel fark budur. 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 13

11 2. Bölüm Seçme (Kombinasyon) 2 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. C(4, 2) b. C(5, 3) c. C(6, 4) 3... olmak üzere, aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. A kümesinin iki elemanlı kombinasyonları sayısı. b. A kümesinin beş elemanlı kombinasyonları sayısı işleminin sonucunu bulalım: 5 C(0, 0) + C(1, 1) + C(2, 2) + C(3, 3) işleminin sonucunu bulalım: 14 Kolay Öğrenme Kılavuzu

12 Seçme (Kombinasyon) 2. Bölüm 2. 6 Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım: a. C(2, 1) + C(3, 1) b. C(5, 4) + C(6, 5) + C(7, 6) 7 C(n, 1) + C(n, n - 1) =... olduğuna göre, n nin değerini bulalım: Aşağıda verilen eşitlikleri sağlayan n nin alabileceği değerleri bulalım: a. n n f p= f p 3 5 b. 7 7 f p= f p 5 n c f p = f p 2n + 1 n 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 15

13 2. Bölüm Seçme (Kombinasyon) 9 n elemanlı bir kümenin üçlü kombinasyonları sayısı, altılı kombinasyonları sayısına eşit olduğuna göre,... nin değerini bulalım: f p+ f p= f p 2 3 n olduğuna göre,... nin değerini bulalım: 11 n n n + 1 f p+ f p= f p olduğuna göre,... nin değerini bulalım: 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlı n elemanlı n 16 Kolay Öğrenme Kılavuzu

14 Seçme (Kombinasyon) 2. Bölüm f p+ f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucunu bulalım: f p+ f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucunu bulalım: elemanlı bir kümenin en fazla dört elemanlı alt kümeleri sayısını bulalım: Ödev elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. 16. C(0, 0) + C(4, 1) + C(7, 6) işleminin sonucunu bulunuz. 17. P(7, 2) = n C(7, 2) olduğuna göre, n nin değerini bulunuz. 18. n elemanlı bir kümenin dörtlü kombinasyonları sayısı, üçlü kombinasyonları sayısına eşit olduğuna göre, bu kümenin ikili kombinasyonları sayısını bulunuz f p= f p 2n+ 1 n+ 2 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin toplamını bulunuz. 20. n n 3n 9 f p+ f p= f p olduğuna göre, n nin alabileceği değeri bulunuz elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 17

15 2. Bölüm Seçme (Kombinasyon) öğrenci arasından 2 öğrencinin kaç farklı şekilde seçileceğini bulalım: voleybolcu arasından 6 voleybolcunun kaç farklı şekilde seçileceğini bulalım: doktor arasından 3 doktor seçilecektir. Seçilecek 1 doktor belli olduğuna göre, bu seçimin kaç farklı şekilde olacağını bulalım: kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, a. c bulunur? b. c bulunmaz? kız öğrenci, 8 erkek öğrenci arasından... kız öğrenci veya 2 erkek öğrencinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım: 27 4 mimar,... mühendis arasından 2 mimar ve 2 mühendisin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulalım: 18 Kolay Öğrenme Kılavuzu

16 Seçme (Kombinasyon) 2. Bölüm Uyarı Son verdiğimiz 2 örnekten birincinin çözümünde, 2 kız öğrenci veya 2 erkek öğrenci seçileceği için toplama yolu ile sayma kuralı uygulandı. İkinci örneğin çözümünde ise 2 mimar ve 2 mühendis seçileceği için çarpma yolu ile sayma kuralı uygulandı farklı matematik, 4 farklı fizik kitabı arasından... kitap seçilecektir. İki kitabın aynı branştan olduğu kaç seçim yapılabileceğini bulalım: 29 Birbirinden farklı 4 mavi bilye ve 5 yeşil bilye arasından... bilye seçilecektir. Seçilenler arasında en az iki mavi bilye bulunmak koşuluyla kaç farklı seçim yapılabileceğini bulalım: 30 Birbirinden farklı 4 mavi bilye, 3 sarı bilye ve 2 yeşil bilye arasından 4 bilye seçilecektir. Seçilenler arasında 2 mavi, 1 sarı ve 1 yeşil bilye bulunmak koşuluyla kaç farklı seçim yapılabileceğini bulalım: farklı çikolatanın 3 ü Canan a, 3 ü Funda ya olmak üzere kaç farklı şekilde dağıtılabileceğini bulalım: 32 6 öğrenci, kendi aralarında oyun oynamak üzere, 3 er kişilik iki takıma kaç değişik biçimde ayrılabileceğini bulalım: 10. Sınıf Matematik Kolay Öğrenme Kılavuzu 19

17 2. Bölüm Seçme (Kombinasyon) Ödev farklı tişört ile 3 gömlek arasından 2 giysinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulunuz. 34. Yeşim in de aralarında bulunduğu 7 kişi arasından 3 kişi seçilecektir. Yeşim in seçilenler arasında olması koşulu ile kaç farklı seçim yapılabileceğini bulunuz elma, 5 armutun bulunduğu bir sepetten, 2 elma ve 1 armutun olduğu üç meyvenin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulunuz farklı mavi bilye ile 6 farklı sarı bilye arasından çekilen iki bilyenin aynı renk olduğu kaç farklı durum olabileceğini bulunuz. 37 Aşağıda bir çember üzerinde 6 nokta verilmiştir. A F B E C D Buna göre, aşağıdaki soruların cevaplarını bulalım: a. Bu 6 noktanın herhangi ikisinden geçen kaç... çizilebilir? b. Bu 6 noktanın herhangi üçünü köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir? 38 d 1 d 2 A B G C D E F A, B, G d 1 C, D, E, F d 2 olmak üzere, şekilde, d 1 // d 2 olduğuna göre, köşeleri bu 7 noktadan (A, B, C, D, E, F, G) herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebileceğini bulalım: 20 Kolay Öğrenme Kılavuzu