MODERN MANTIK DERS NOTLARI

1 ERZURUM TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EDEBİYAT FAKÜLTESİ FELSEFE BÖLÜMÜ DERS NOTLARI ERZURUM-2015

2 I. MODERN MANTIĞA GİRİŞ 1. Modern Mantık ve Semiyotik Nedir? Modern Mantık (Sembolik Mantık): Önermeleri ve çıkarımları sembolik dile çevirerek, kesin olarak denetlenmelerini sağlayan mantık sistemidir. Semiyotik (İşaretler Bilgisi): İletişim amacıyla canlıların kullandıkları her türlü işaret sisteminin yaısını ve işleyişini inceleyen bilim dalıdır. 2. Modern Mantığın Amacı Klasik mantık gibi modern mantığın da amacı öncelikle geçerli önermelere ve çıkarımlara ulaşmaktır. Ayrıca akla uygun bir şekilde düşünen ve davranan bireyler yetiştirmektir. Sağlam bir mantık bilgisi günlük ratik sorunların çözümünde, davranışlarımızın bağlı olduğu birtakım inanç ve varsayımların eleştiri yoluyla aydınlatılmasında etkin bir araçtır. Mantık kişiye açık-seçik düşünme, düşünce ve duyguları belirli ve çılak bir dille anlatma yollarını göstermekle bir sürü yanlış anlamaları, gereksiz tartışmaları önlemeye yardım eder. Ayrıca mantık kişiye bir inanç veya yargıyı doğru saymanın ne tür koşullara bağlı olduğunu gösterir. Mantıklı dediğimiz kişi her şeyden önce şu iki gereğe sımsıkı bağlıdır: 1. Tutarlı olmak, başka bir deyişle birbirleriyle çelişen veya bağdaşmayan düşünce, inanç veya tezlere yer vermemek. 2. Yeterince ve güvenilir yoldan belgelenmemiş hiçbir tez, hiotez veya kuramı doğru kabul etmemek; aynı şekilde yeterince belgelenmemiş yargı veya tezler karşısında şu ya da bu nedenle ayak dirememek. Demek ki, tutarlılık ve olgusal kanıtlara saygı mantıklı olmanın başta gelen iki koşuludur. Mantık bu gerekleri açıklıkla ortaya koymakla kişisel ve sosyal sayısız sorunların çözümüne imkân sağlamaktadır. 3. Mantığın Uygulama Alanları a) Pratik Yaşayış: Mantığın ratik yaşayışta en büyük faydası insana eleştirel düşünme, akılcı tartışma, sorular sorma ile varolan bilgileri ve işleri ratik-sezgisel bir şekilde öğrenmeyi sağlar. b) Bilim Alanı: Mantık her çeşit bilimin, matematik gibi a riori (formel) bilimlerin olduğu kadar, fizik gibi emirik bilimlerin, doğa bilimlerinin ve mühendislik bilimlerinin olduğu kadar sosyal bilimlerinin de temellendirilmesinde gittikçe artan bir ölçüde kullanılmaktadır. c) Teknik Alanı: Özellikle modern mantık her türlü elektrik devrelerinin, elektronik beyinlerin (bilgisayar, hesa makinesi ve akıllı telefonlar gibi) teorisine uygulanmaktadır.

3 d) Felsefe: Felsefe mantığın en önemli uygulama alanlarından birisidir. Mantığın felsefedeki en büyük görevi kavram analizidir. Bunun dışında mantık felsefede bilgi kuramından metafiziğe, ahlaktan siyasete kadar tüm alanlarda kullanılmaktadır. 3. Modern Mantığın Tarihçesi Modern mantığın ilk habercisi olarak Raymond Lulle (1235 1315) görülür. O, mantığı mekanik bir sanat olarak kabul ederek onu tamamen biçime ait görüyordu. Lulle in bu görüşünü kendisinden sonra geliştirecek olan kişi Leibniz (1646 1716) dir. Lulle in Leibniz üzerinde büyük bir etkisi vardır. Leibniz bir yandan yeni bir mantık kurma denemeleri yaarken bir yandan da mantıkta akıl yürütmenin, önermelerin içeriğinden tamamen bağımsız bir şekilde işlenilmesini istiyordu. Öyle ki, akıl yürütmelerin kuralları matematik kuralları gibi olsun der. Bu ise ancak yeni semboller sistemi oluşturmakla olabilir. Asıl modern mantık çalışmaları 19. Yüzyılda A. De Morgan (1806 1871), G. Boole (1815 1864) ve S. Jevons (1835 1882) ile başlar. Bu çalışmalar sonucunda Boole Cebiri adı verilen ve mantığı matematiğe dayandıran bir sistem kurulmuştur. Önermeler mantığı ile niceleme mantığından oluşan İki Değerli Mantık ilk olarak G. Frege (1845 1945) tarafından kurulmuştur. Bu mantık daha sonra B. Russell ve A. N. Whitehead tarafından Matematiğin İlkeleri adlı eserde geliştirilmiştir. Çok Değerli Mantık sistemleri ilk olarak J. Lukasiewicz (1920) ve E. L. Post (1921) tarafından kurulmuştur. Kilik Mantığı sistemleri, C. İ. Lewis tarafından 1918 de ortaya konulmuş, 1950 yılların sonlarında da S. Kanger, J. Hintikka ve S. Krike tarafından geliştirilmiştir. Özdeşlik Mantığı D. Hilbert ve W. Ackermann n 1928 yılında birlikte yayınladıkları Teorik Mantığın Temel Çizelgeleri adlı kitata ortaya konulmuştur. Varlık Mantığı ilk olarak 1959 yılında J. Hintikka tarafından geliştirilmiştir. Bu mantık yine 1959 yılında H. Leblanc ve T. Heilerin taraflarından geliştirilmiştir. Mantığı matematiğe uygulayanların en önemli temsilcileri G. Frege, G. Peano, B. Russell, D. Hilbert, P. Bernays ve K. Gödel dir. Mantığı doğa bilimlerine uyarlayanların başlıcalları ise B. Russell, R. Carna, H. Reichenbach, K. R. Poer ve J. Von Neumann dır. Mantığı eleştirel düşünme ve akılcı tartışmaya, uygulayanların başlıca temsilcisi ise J. Hintikka dır.

4 II. İKİ DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantık, doğruluk değeri olarak yalnızca doğru (D) ve yanlış (Y) değerlerini kabul eden mantıktır. İki değerli mantık sistemleri, klasik mantık, önermeler mantığı ve niceleme mantığıdır. A. ÖNERMELER MANTIĞI 1. Önermeler Mantığıyla İlgili Bazı Kavramlar a) Önerme, Basit Önerme ve Bileşik Önerme Önerme, bir yargı bildiren, doğru veya yanlış olabilen cümlelerdir. Önerme basit olabileceği gibi bileşik de olabilir. Örneğin, Bugün hava yağışlıdır. Günlük dile ait bir önermedir. 3 + 5 = 8 Matematik diline ait bir önermedir. H + CI HCI Kimya diline ait bir önermedir. H 2 + O 2 H 2 O Kimya diline ait bir önermedir. Su deniz seviyesinde 100 Cº de kaynar Bir bilimsel yasa önermesidir. Basit Önerme: Hiçbir bileşeni olmayan önermedir. Örneğin, Sokrates insandır (P). Bileşik Önerme: İçinde bir veya daha çok bileşeni olan önermedir. Örneğin, İnsan dört ayaklı değildir ( P). Ahmet ve Ali İstanbul a gidecek ( ). b) Açık Önerme ve Kaalı Önerme Açık Önerme: İçinde en az bir değişken bulunan önermelerdir. Örnek: x, y nin 2 katıdır. Kaalı Önerme: İçinde değişken geçmeyen önermelerdir. Örnek: 2 kere 2, 4 eder ya da 2 + 2 = 4 c) Önerme Eklemleri ve Sembolleştirilmesi İki değerli mantıkta belli başlı önerme eklemleri ve sembolleştirilmesi şöyledir:

5 DİL Konuşma Dili Sembolik Dili Değilleme değil, ma, me, dığı yanlıştır. Tümel Evetleme ve, hem... hem de, da... da, de de ÖNERME EKLEMLERİ Tikel Evetleme veya, ya da, ya... ya, yahut Koşul (Şart) ise, sa, se, için ki, yeter ki Karşılıklı Koşul ancak ve ancak... ise d) Ana Eklem ve Ana Bileşen Ana Eklem: Önermenin tümünü etkileyen eklemdir. Başka bir deyişle önermelerin kurulmasını sağlayan mantıksal değişmezlerdir (,,,, ). Ana Bileşen: Herhangi bir bileşik önermede ana eklemin ayırmış olduğu arçalardır. Örnek 1) A.B A.E A.B Örnek 2) ( ) A.E A.B Örnek 3) [ ( )] r A.B A.E A.B e) Mantık Değişmezleri Değişmez: Dilin, varlıkların adlarını, özelliklerini ve ilişkilerini belirleyen sözcüklerin dışında kalan, anlamlı en küçük birimlerine denir. İkiye ayrılır: 1. Mantık Değişmezleri:,,,, gibi bağlaçlarla, hiçbir, her ( ), birçok, bazı ( ) gibi niceleyici nitelikteki sözcükler, zorunlu ( ), mümkün ( ), özdeş ( ), eşit (=), var (E!) gibi deyimler mantık değişmezleridir. 2. Özel Değişmezler: Adları gösteren ad değişmezleri, basit terimlerden karmaşık terimler oluşturan işlem değişmezleri, yüklemleri gösteren yüklem değişmezleri gibi değişmezlerdir. Örnek: Zeyne in babası akıllıdır. Ad Değişmezleri İşlem Değişmezi Yüklem Değişmezi

6 Değişkenler: x, y, z gibi bilinmeyen farklı nesneleri gösteren sembollerdir. Örnek: 2x + 4 = 0 Deyim: Değişmezler, değişkenler ve bunların oluşturduğu dizilerdir. Örnek: 2x + 4 = 0 2. Sembolleştirme ve Yorumlama a) Sembolleştirme Günlük dilde ifade edilmiş olan önermeleri, sembolik mantık diline çevirmektir. Sembolleştirme işlemi üç aşamada gerçekleşir: 1. Önerme Sembolleri: Basit önermeler,, r, s, t, y, z gibi harflerle sembolleştirilir. 2. Önerme Eklemleri: Bir veya birden fazla önerme eklemiyle oluşan bileşik önerme, önerme eklemleri,,,, işaretleriyle sembolleştirilir. 3. Parantezler: Bir veya birden fazla bileşik önermeden bir önerme eklemi ile yeni bir bileşik önerme meydana getirirken, önceki önermeler aranteze alınır. Önerme ya da önerme grularını birbirinden ayırmak için ( ), [ ], { } türünden arantezler kullanılır. Elimizdeki önerme toluluğu bir çıkarım ise, yukarıdaki işlemler yaıldıktan sonra, önermeler birbirinden virgül (,) ile ayrılır. Öncüllerle sonuç önermesini ise üçgen görünümündeki üç nokta işareti ile birbirinden ayrılır. Bu işaret günlük dildeki o halde nin karşılığıdır. Bu üç aşamalı işleme sembolleştirme denir. Bu yolla elde edilen önermeler ise sembolik önerme (önerme kalıbı, önerme şeması, önerme formu) denir. Örnek 1) Ece düzenli çalışır ve düzenli yaşar ise başarılı olur. r ( ) r Örnek 2) Çok çalışır isen başarılı olursun. P Başarılı oldun. O halde, çok çalıştın.,

7 Örnek 3) Felsefe, bilgelik sevgisidir. Bilgelik ise zor ve uzun uğraştır. r s O halde, felsefe zor ve uzun uğraştır. r s, (r s) r s b) Yorumlama Sembolleştirme işleminden sonra, önerme ya da önermelerde geçen önerme sembollerine belli doğruluk değerleri verilmesidir. gibi bir önerme sembolünün doğru (D) ve yanlış (Y) olmak üzere iki yorumlaması vardır. Doğruluk tablosunda önermelerin alacağı doğru sayısı 2ⁿ formülü ile bulunur. Örneğin verilen önermede ve gibi iki önerme geçiyorsa formülümüz gereği tablomuz 2 2 = 4 olur. Böylece tablomuz 4 değerli olmuş olur. Aynı şekilde verilen önerme; 1 önerme ise 2 1 = 2 olur. 3 önerme ise 2 2 = 8 olur. 4 önerme ise 4 4 = 16 olur. 5 önerme ise 4 5 = 32 olur. 3. Doğruluk Tablosu (Doğruluk Çizelgesi) a) Doğruluk Tablosunun Tanımı, Amacı ve Doğruluk Yorumları Önerme ya da önermelerin her yorumlamada aldığı doğruluk değerini belirten çizelgeye yorumlama tablosu (doğruluk çizelgesi) denir. Doğruluk tablosu önerme eklemleriyle kurulmuş bileşik önermelerin tutarlılığını, eşdeğerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini denetleyen bir yöntemdir. Doğruluk tablosunda denetlemenin amacı, her bir bileşik önermenin doğruluk değeri için ana eklemin doğruluk değerini ortaya koyarak önerme hakkında yorum yamaktır. Doğru değer için D, yanlış değer için Y sembolü kullanılır. Beş eklemin doğruluk analizi ve çizelgesi şunlardır: 1. Değilleme Değilleme, olumlu veya olumsuz bir basit önermenin bildirdiğinin inkar edilmesidir. Günlük dilde değil sözcüğüyle sembolik dilde ise sembolü ile ifade edilir.

8 Örneğin, Bal acıdır. önermesinin değili, Bal acı değildir. önermesidir. Bu önerme doğruluk tablosunda ise şöyle gösterilir: D Y Y D D Y Y D Verilen önermenin değillemesi değillendiğinde meydana gelen önermenin doğruluk değeri, ilk önermenin doğruluk değeri olur. Çünkü iki değil birbirini götürür. Buna çifte değilleme kuralı denir. Örneğin, Sude, İstanbul a gitmemiş değildir. ( ) önermesinin değillemesinin değillemesi sonucunda oluşmuş olan önerme Sude, İstanbul a gitmiştir. () önermesidir. Aynı durum Bilimin faydalı olmadığı doğru değildir. önermesi gibi tüm önermeler için de geçerlidir. D Y D Y D Y 2. Birlikte Evetleme (Tümel Evetleme) İki önermeyi ve ( ) önerme eklemi ile bağlayarak yaılan yeni önermeye tümel evetleme önermesi denir. Tümel evetleme önermesinde bileşenlerin tümünün doğru olması halinde önerme doğru, diğer durumların hesinde yanlış olur. Örnek: Mevsim yazdır ve güneş yakıcıdır. D D D D Y Y Y D Y Y Y Y D D D D Y Y Y D Y Y Y Y 3. Tikel Evetleme (Ayrıklılık Seçeneklik) Veya ( ) eklemiyle kurulan bileşik önermelere tikel evetleme önermesi denir. Tikel evetleme önermesinde, bileşenlerin her ikisinin aynı anda yanlış olması halinde önerme yanlış, diğer durumların hesinde doğru olur. Örnek: Bugün sinemaya veya tiyatroya giderim.

9 D D D D Y Y Y D Y Y Y Y D D D D Y D Y D D Y Y Y 4. Koşul (Şart) İse ( ) eklemiyle kurulan bileşik önermelere koşul önermesi denir. Koşul önermesinde ön bileşenin doğru, art bileşenin yanlış oldukları durumda önerme yanlış, diğer durumların hesinde doğrudur. Örnek: Yemek yer isem çay içerim. D D D D Y Y Y D D Y Y D D D D D Y Y Y D D Y Y D 5. Karşılıklı Koşul Ancak ve ancak ise ( ) eklemiyle kurulan bileşik önermelere karşılıklı koşul önermesi denir. Karşılıklı koşul önermesinde, bileşenlerin her ikisi aynı anda doğru veya yanlış ise önerme doğru diğer durumların hesi yanlıştır. Örnek: Su deniz seviyesinde ancak ve ancak yüz derecede ısıtılırsa kaynar. D D D D Y Y Y D Y Y Y D D D D D Y Y Y D Y Y Y D Her Biri 2 li Olmak Üzere Tanıdığımız Beş Eklemin Doğruluk Çizelgesi (Doğruluk Tablosu) Λ V D D Y Y D D D D D D D Y Y D D Y Y D Y Y Y D D Y Y D Y D D Y Y Y D D Y Y Y Y D D

10 b) Bileşik Önermelerin Doğruluk Değeri Analizi Beş temel bileşik önerme türünün doğruluk fonksiyonları tablosu, aynı zamanda bileşik önermeler kalkülünün (işlem çizelgesi, hesa cetveli) tabanı (bazı) durumundadır. Bu tabandan hareketle ve 2 n formülü kullanılarak, ikiden fazla bileşeni olan tüm bileşik önermelerin doğruluk tabloları elde edilebilir. Böyle bir kalkül elde edildikten sonra, günlük dilde ifade edilmiş önermelerin doğruluk değerlerini bu kalküle göre hesalamak mümkün olur. Örnek 1) Altın sarıdır ve gümüş siyahtır tümel evetleme önermesini sembolleştirerek doğruluk değerini kalküle göre hesalayınız? Önce önermemizi Λ formunda sembolleştiririz. Daha sonra bileşenlerin doğruluk değerini tek tek satarız. Altın sarıdır. ön bileşeni doğru (D), Gümüş siyahtır. art bileşeni ise yanlış (Y) tır. Sonra Λ tümel evetleme kalıbına bileşenlerin doğruluk değerlerini koyarak D Λ Y konumuna getiririz. Daha sonra da tümel evetleme doğruluk değeri kuralını uygulayarak hesalarız. Altın sarıdır ve gümüş siyahtır. Λ D Λ Y Y Yukarıdaki örneğin doğruluk tablosu yoluyla analizi ise şöyledir: D D D D Y Y Y D Y Y Y Y Örnek 2) Nisan ayında yağmur yağar ve don olmazsa ürün bol olur. önermesini sembolleştirerek doğruluk tablosuna göre analiz ediniz? Nisan ayında yağmur yağar ve don olmaz ise ürün bol olur. P Λ r ( Λ ) r

11 r Λ ( Λ ) D D D D D D D Y D Y D Y D Y D D Y Y Y D Y D D Y D Y D Y Y D Y Y D Y D Y Y Y Y D ALIŞTIRMALAR A) Aşağıdaki önermeleri doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1. ( V ) ( Λ ) V Λ ( V ) ( Λ ) D D Y Y Y D D D Y Y D D Y Y Y D D Y Y D Y Y Y D D D D D 2. ( V r) [( ) Λ r] r V r ( ) Λ r ( V r) [( ) Λ r] D D D D D D D D D Y D D Y Y D Y D D Y Y Y D Y Y D Y Y Y Y D D D D D D Y D Y Y D Y D Y Y D D D D D Y Y Y Y D Y D 3. [( Λ ) ] V ( ) B) Aşağıdaki bileşik önermeleri sembolleştirerek kalküle göre hesalayınız? 1. Platoncu isen idealar dünyası vardır ancak ve ancak Aristocu isen idealar dünyası yoktur.

12 Platoncu isen idealar dünyası vardır ancak ve ancak Aristocu isen idealar dünyası yoktur. P r ( ) (r ) (D D) (D D) D D D 2. Fakülteyi başarıyla bitirsem hem mastır yaacağım hem de çalışacağım ancak ve ancak öğretmenlik yamayacağım. Fakülteyi başarıyla bitir isem hem mastır yaacağım hem de çalışacağım ancak ve ancak r öğretmenlik yamayacağım. s Λ [ ( Λ r)] s 3. Bir sorcu zeki ve çevik ise başarılı olur. r Aslı, Çağrı zeki ve çeviktir. O halde, Aslı, Çağrı başarılı olur. ( ) r, r r 4. Hafta sonu ya geziye ya da ikniğe gideceğim ancak ve ancak hem ödevim hem de randevum olmazsa. C) Aşağıdaki sembolik önermeleri verilen değerlere göre bulunuz? 1. [ ( r)] Λ ( V ) sembolik önermesini doğruluk değerini (: Y, : D, r: D) değerlerine göre bulunuz?

13 [ ( r)] Λ ( V ) [ Y ( D D)] Λ (Y V D) [D (Y D)] Λ (Y V D) [D Y] Λ D Y Λ D Y 2. {[ ( r)] V } Λ [(r V ) ] sembolik önermesini doğruluk değerini (: D, : Y, r: Y) değerlerine göre bulunuz? {[ ( r)] V } Λ [(r V ) ] {[ Y (Y Y)] V D} Λ [(Y V Y) D] {[D (Y D)] V D} Λ [(Y V Y) D] {[D D] V D} Λ [Y D] {D V D} Λ D D Λ D D 3. [ Λ ( )] V [( V ) ] sembolik önermesini doğruluk değerini (: Y, : D) değerlerine göre bulunuz? 4. {[ ( r)] Λ } V [( r V ) ] sembolik önermesini doğruluk değerini (: Y, : D, r: D) değerlerine göre bulunuz? D) D doğru bir önerme Y ise yanlış bir önerme olsun. Buna göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunuz? 1. (D V Y) (Y Λ D) D Y D Y Y Y D 2. [(D V Y] Y] [D Λ (Y Y)] [D Y] [D Λ D] Y D Y

14 3. [(Y V D] (D Λ Y)] V [ Y (D V Y)] 4. {[D V (D Y)] D} Λ [( D V Y) Y] c) Doğruluk Tablosu Yoluyla Denetleme Doğruluk tablosu, yalnızca doğruluk değeri analizi yamakta kullanılmaz. Bu tablonun en önemli işlevi önermelerin tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerliliği ile çıkarımların geçerliliğini denetlemekte de kullanılmasıdır. 1. Tek Bir Önermenin Tutarlılığı Doğruluk tablosu ile bir önermenin tutarlılığını araştırmak için önerme önce bileşenlerine ayrılır. Bileşenlerinin doğruluk değeri tek tek hesalanarak sonuçta önermenin doğruluk değeri yeniden kurulur. Bu sonuca göre en az bir doğrulayıcı yorumu bulunan önerme tutarlı, hiçbir doğrulayıcı yorumu bulunmayan önerme tutarsızdır. Tutarlı önermeler geçersiz olabilirken, geçersiz önermeler tutarlı olabilir. Örnek 1) ( V ) ( Λ ) önermesinin tutarlılığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? V Λ ( V ) ( Λ ) D D D D D D Y D Y Y Y D D Y Y Y Y Y Y D En az bir tane doğrulayıcı yorumu bulunduğundan önerme TUTARLI dır. Örnek 2) [ V ( )] Λ [( V ) ] V ( ) V ( V ) [...] Λ [...] D D Y Y Y D Y Y D Y D Y D D D D Y D Y D D D Y Y Y Y D Y D Y D D En az bir tane doğrulayıcı yorumu bulunduğundan önerme TUTARLI dır.

15 2. Birden Fazla Önermenin Tutarlılığı Birden fazla önermenin tutarlılığını denetleyebilmek için önermeler önce bileşenlerine ayrılır, sonra bileşenlerin ve bu bileşenlere göre önermelerin doğruluk değeri bulunur. Sonuçta verilen önermeleri aynı anda doğru yaan en az bir ortak doğrulayıcı yorum bulunursa verilen önermeler birbirleriyle tutarlıdır. Eğer önermeleri aynı anda doğrulayıcı ortak bir yorumu yoksa tutarlı değildir. Önermelerin birbirleriyle tutarlılığında doğruluk tablosunda aynı doğruluk değerlerini gösteren yatay dizilişe bakılır. Örnek 1),, V önermelerinin birbirleriyle tutarlı olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? V D D Y Y Y D D D Y Y D D D D Y D D Y D D D Y Y D D Y Y Y Önermeleri aynı anda doğru kılan birden çok doğrulayıcı yorum bulunduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 2) (r V ), (r Λ ) önermelerinin birbirleriyle tutarlı olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? r r V (r V ) r Λ (r Λ ) D D D D D D D D D Y D D Y Y D Y D D Y Y Y D Y Y D Y Y Y Y D D D D D D Y D Y Y Y Y D Y Y D D Y Y D Y Y Y Y D Y D Önermeleri aynı anda doğru kılan birden çok doğrulayıcı yorum bulunduğundan önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. 3. Önermelerin Geçerliliği Önermelerin geçerliliği iki yolla denetlenir:

16 I. Yol: Bir önermenin geçerliliğini denetlemek için, önerme önce bileşenlerine ayrılır ve bileşenlerine göre önermenin kendisinin doğruluk değeri satanır. Eğer önerme tüm yollarda doğru değerini alıyorsa hem tutarlı hem de geçerli, en az bir yorumunda yanlış ise geçersizdir. Örnek 1) ( ) önermesinin geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? ( ) D D D D D Y D D Y D Y D Y Y D D Tüm satırlarda doğru değeri aldığı için önerme hem TUTARLI hem de GEÇERLİ dir. Örnek 2) [( ) Λ ( Λ )] ( V ) önermesinin geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Λ ( ) Λ ( Λ ) V [...] (...) D D Y D D D D D D Y Y D Y Y Y D Y D D D Y Y D D Y Y D Y Y Y D D Tüm satırlarda doğru değeri aldığı için önerme hem TUTARLI hem de GEÇERLİ dir. II. Yol: Önce verilen önermenin tümünün değili alınır. Sonra önerme bileşenlerine ayrılarak ve en sonda da önermenin kendisinin doğruluk değeri hesalanır. Değil önermenin tüm yorumlamaları yanlışlayıcı ise önerme tutarsız fakat geçerlidir. En az bir doğrulayıcı değeri olursa önerme o zaman tutarlı fakat geçersizdir. Örnek 1) ( ) ( V ) önermesinin geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz?

17 V ( ) ( V ) [( ) ( V )] D D D D D Y D Y Y D D Y Y D D D D Y Y Y D Y Y D Önermenin değili tutarlı olduğu için önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 2) [( ) Λ ( )] önermesinin geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? [( ) Λ ( ) [...] {[...] } D D Y D D D D Y D Y Y Y D Y D Y Y D D D D D D Y Y Y D D Y Y D Y Önermenin değili tutarsız olduğu için önerme GEÇERLİ dir. 4. Çıkarımların Geçerliliği Çıkarımların geçerliliği iki yolla denetlenir: I. Yol: Bir çıkarımın geçerliliğini denetlemek için, önce öncüllerin hesini birbirine tümel evetleme eklemiyle (Λ) birleştirerek bir tümel evetleme önermesi elde edilir. Sonra bu tümel evetleme önermesi sonuç önermesine koşul eklemiyle ( ) bağlanır. Bu işlemler ve yorumlamalardan sonra elde edilen koşul önermesinin geçerliliği araştırılır. Koşul önermesi geçerli ise çıkarım da geçerli olur. Yani elde edilen önerme tüm satırlarda doğru değerini alıyorsa önerme hem tutarlı hem de geçerlidir. En az bir satır yanlış değeri alırsa önerme tutarlı olabilir, fakat geçerli değildir. Örnek 1), çıkarımının geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Çıkarımı önce bir koşul önermesine dönüştürülür: [( ) Λ ] Sonra elde edilen bu koşul önermesinin geçerliliği doğruluk tablosu yoluyla denetlenir:

18 [( ) Λ [( ) Λ ] D D Y D D D Y Y D Y Y D D D Y Y Y D Y Y Koşul önermesi tüm satırlarda doğru değeri aldığı için hem tutarlı hem de geçerlidir. Bu yüzden çıkarım GEÇERLİ dir. Örnek 2) Λ, çıkarımının geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Çıkarımı önce bir koşul önermesine dönüştürülür: [( Λ ) Λ ( )] ( ) Sonra elde edilen bu koşul önermesinin geçerliliği doğruluk tablosu yoluyla denetlenir: Λ [( Λ ) Λ ( )] [...] ( ) D D Y D D D Y Y D Y D Y Y Y D D Y D Y Y D Y D D Y Y D Y D Y D D Koşul önermesi en az bir doğru değeri aldığı için tutarlı ancak geçersizdir. Bu yüzden çıkarım GEÇERSİZ dir. II. Yol: Çıkarımın sonucunun değili alınarak öncüllerle birlikte yorumlanır. Eğer öncül önermelerle sonuç önerme birbirleriyle tutarsız ise çıkarım geçerlidir, tutarlı ise çıkarım geçersizdir. Bu durumda bir çıkarımın geçerli olması bu çıkarımın öncülleri ile çıkarımın sonucunun değillemesinden oluşan önermeler kümesinin tutarsız olması demektir. Örnek 1) Λ, çıkarımının geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Λ ( ) D D Y D D Y D D Y D Y Y D Y Y D Y Y D D Y Y Y D Y D D Y

19 Öncüllerle sonucun değillemesi bir arada tutarlı olduğundan çıkarım GEÇERSİZ dir. Örnek 2) V, V çıkarımının geçerli olu olmadığını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? V V ( V ) D D Y D D D Y D Y D D D D Y Y D Y Y Y Y D Y Y D D D D Y Öncüllerle sonucun değillemesi bir arada tutarsız olduğundan çıkarım GEÇERLİ dir. 5. Önermelerin Eşdeğerliliği Önermelerin eşdeğerliliği iki yolla denetlenir: I. Yol: İki önermenin eşdeğerliliğini denetlemek için, her iki önerme önce bileşenlerine ayrılır Daha sonra bileşenlerine göre önermelerin kendilerinin doğruluk değeri bulunur. Sonuçta her iki önerme tüm değerler bakımından aynı anda he aynı değerleri alırlarsa bu iki önerme eşdeğerdir. Yani her iki önerme aynı anda aynı değeri alıyorlarsa, bir doğru iken diğeri de doğru, bir yanlış iken diğeri de yanlış ise bu iki önerme birbirine denk olacağı için eşdeğerdirler. Örnek 1) Λ, ( V ) önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Λ V ( V ) D D Y Y Y D Y D Y Y D Y D Y Y D D Y D Y D Y Y D D Y D Y Her iki önermede aynı anda aynı değerleri aldıkları için EŞDEĞER dir. Örnek 2), önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz?

20 D D Y D Y D Y D Y D Y D Y D D Y Y D D D Her iki önermede aynı anda he aynı değerleri almadıkları için EŞDEĞER DEĞİL dir. II. Yol: İki önermenin eşdeğerliliğini denetlemek için ikinci bir yol ise şudur: Verilen iki önerme birbirlerine karşılıklı koşul eklemiyle ( ) bağlanarak bir karşılıklı koşul önermesi oluşturulur. Sonra oluşturulan bu önermenin doğruluk değeri bulunur. Analiz sonucunda sonuç geçerli çıkar ise iki önerme eşdeğerdir, geçersiz çıkarsa önermeler eşdeğer değildir. Örnek 1), önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? Önermeler önce karşılıklı koşul eklemiyle ( ) birbirine bağlanır. Sonra bu karşılıklı koşul önermesi doğruluk tablosu yoluyla denetlenir. ( ) ( ) ( ) ( ) D D D D D D Y Y Y D Y D Y Y D Y Y D D D Karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan dolayı önermeler EŞDEĞER dir. Örnek 2) ( r), ( Λ ) r önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? [ ( r)] [( Λ ) r]

21 r r ( r) Λ ( Λ ) r [ ] [( Λ ) r] D D Y D D D D D D D D Y Y D Y D D Y Y D D Y D D D Y D D D Y D D Y D Y D D Y D D Y D D Y D Y D D Y Y Y D D Y D D Y Y D D D Y D D Karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan dolayı önermeler EŞDEĞER dir. Örnek 3) ( ) r, ( V ) r önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? [( ) r] [( V ) r] r ( ) r V ( V ) r [ ] [( V ) r] D D Y D Y D Y D D D D D D D D D D Y Y Y D D Y Y D Y D Y D D D D Y D Y D Y D Y D Y D D D D D D D Y Y Y D Y Y D Y Y Y D D D Y D D Karşılıklı koşul önermesi geçerli olmadığından önermeler EŞDEĞER DEĞİL dir. ALIŞTIRMALAR A) Aşağıdaki önermelerin tutarlı olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1. [( ) Λ ( Λ )] ( )

22 Λ ) Λ ( Λ ) [...] D D Y D D D D D D Y Y D Y Y Y D Y D D D Y Y D D Y Y D Y Y Y D D Tüm yorumlar doğru olduğu için önerme TUTARLI dır. 2. [ V ( )] Λ V ( ) [ V ( )] Λ D D Y D D Y D Y D Y D D Y D Y Y Y Y Y Y D D D D En az bir doğru yorumlayıcısı olduğu için önerme TUTARLI dır. 3. [( ) V ] [( Λ ( )] 4. ( Λ ) Λ ( Λ ) B) Aşağıdaki önermelerin birbirleriyle tutarlı olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1.,, V V D D Y D Y D D Y Y Y D D Y D D D D D Y Y D D Y Y Önermeleri aynı anda doğru kılan en az bir doğrulayıcı yorum bulunduğu için önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. 2. V,,

23 V D D Y Y D D Y D Y Y D D D D Y D D Y D D D Y Y D D Y Y Y Önermeleri aynı anda doğru kılan en az bir doğrulayıcı yorum bulunduğu için önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. 3. V,, Λ, 4. ( ) V, ( Λ ) C) Aşağıdaki önermelerin geçerliliğini doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1. [( ) Λ ] [( ) Λ [( ) Λ ] D D Y Y D Y D D Y Y D Y Y D Y D D Y D Y D Y Y D D D D D Önerme tüm yorumlarında doğru değeri aldığı için hem tutarlıdır, hem de GEÇERLİ dir. 2. ( r) r r ( r) ( r) D D D Y Y D D D D Y Y D Y D D Y D D D Y D D Y Y D Y D D Y D D Y Y D Y Y D Y Y D Y D Y Y D D D Y D Y Y Y D Y D Y

24 Önerme yorumlamalarında doğru değeri almadığı için GEÇERSİZ dir, ancak yorumlamalarında birden çok doğru değeri aldığından tutarlıdır. 3. [( Λ ) ] [( V ) ] 4. ( Λ ) D) Aşağıdaki çıkarımların geçerliliğini doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1., Çıkarım önce bir koşul önermesine dönüştürülür, sonra elde edilen koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. [( ) Λ ] ( ) Λ [( ) Λ ] D D Y Y D Y D D Y Y D Y Y D Y D D Y D D D Y Y D D D D D Koşul önermesi tüm yorumlamalarında doğru değeri aldığı için hem tutarlı hem de GEÇERLİ dir. 2., V Çıkarım önce bir koşul önermesine dönüştürülür, sonra elde edilen koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. [( ) Λ ( V )] ( ) V [( ) Λ ( V )] [ ] ( ) D D D D D D D D Y Y D Y Y D Y D D D D Y Y Y Y Y Y Y D D Koşul önermesi tüm yorumlamalarında doğru değeri almadığı için GEÇERSİZ, fakat yorumlamalarında birden çok doğru değeri aldığı için tutarlıdır.

25 3. Λ, Λ 4. V, E) Aşağıdaki önermelerin eşdeğer olu olmadıklarını doğruluk tablosu yoluyla denetleyiniz? 1. ( ), Λ Önermeler önce karşılıklı koşul önermesine dönüştürülür, sonra elde edilen karşılıklı koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. ( ) ( Λ ) ( ) Λ ( ) ( Λ ) D D Y D Y Y D D Y D Y D D D Y D Y D Y Y D Y Y D D Y Y D Karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER dir. 2. ( V ) V ( ), V Önermeler önce karşılıklı koşul önermesine dönüştürülür, sonra elde edilen karşılıklı koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. [( V ) V ( )] ( V ) V [( V ) V ( )] V [...] ( V) D D Y D D D D D D Y D D D D D D Y D Y Y Y Y Y D Y Y D D D D D D Karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER dir. 3., ( Λ ) V ( Λ ) 4., [( Λ ) V ( Λ )] 4. Çözümleyici Çizelge Doğruluk tablosu bir tür denetleme yöntemi idi. Bu yöntemde önermenin veya çıkarımın bileşen sayısı ve eklem sembolleri arttıkça, doğruluk tablosu ile denetleme zorlaşmaktadır.

26 Bundan dolayı doğruluk tablosu ile denetleme, uygulamada uzun ve zahmetli bir yol olarak kendini gösterir. İşte bu nedenle sembolik mantıkta çözümleyici çizelge adı verilen daha kolay bir denetleme yöntemi geliştirilmiştir. Çözümleyici çizelge ile denetleme yöntemi, bir veya birden fazla önermenin doğrulayıcı ve yanlışlayıcı yorumlarını bir çizelge üzerinde belirlemeye yarar. Doğruluk çizelgesi, yalnızca önermelerin iç yaısını göz önüne almayan önermeler mantığında kullanılabilir. Oysa çözümleyici çizelge önermelerin iç yaısını denetlemede kullanılır. Çözümleyici çizelge ile bileşik önermeleri bileşenlerinin en küçük bileşenine kadar ayırarak denetlemek mümkündür. Doğruluk tablosunda olduğu gibi çözümleyici çizelgeyle de önermelerin veya çıkarımların tutarlılık, geçerlilik ve eşdeğerlilik denetlemesi yaılır. a) Çözümleyici Çizelge Kuralları 1. Tümel evetleme çözümleme kuralı Λ 2. Tümel evetlemenin değillemesinin çözümleme kuralı ( Λ ) 3. Tikel evetlemenin çözümleme kuralı V 4. Tikel evetlemenin değillemesinin çözümleme kuralı ( V ) 5. Koşul önermesinin çözümleme kuralı

27 6. Koşulun değillemesinin kuralı ( ) 7. Karşılıklı koşulun çözümleme kuralı 8. Karşılıklı koşulun değillemesinin çözümleme kuralı ( ) b) Çözümleyici Çizelgenin Kullanımı İçin Kurallar Çözümleyici çizelgede her türlü çözümleme işlemi, tümel ve tikel çözümleme kuralına göre yaılır. Tutarlılığı denetlenecek önermeler çizelgenin başına art arda yazılı her birinin sağına önerme anlamında Ö işareti konularak denetlenecek önermeler oldukları belirtilir. Çizelgenin bu ilk satırı veya satırlarına başlangıç önermeleri denir. Sonra tümel evetleme önermeleri ana bileşenleri alt alta (çengel açma), tikel evetleme önermeleri ana bileşenleri de yanyana (çatal açma) yazılarak çözümlenirler. Bu iki türlü çözümleme işleminde öncelik sırası her zaman alt alta yazma kuralına verilir. Çözümleyici çizelge yöntemi ile çözümlenen önermeler numaralanır. Önermenin önüne konan bu sayı adım sayısıdır. Adım sayısının aynısı önermenin çözümünü de konur. Böylece çözüm önermelerinin nereden geldiği belirlenmiş olur. Çözüme verilen bu sayı, kaynağı belirlediği için o, aynı zamanda kaynak sayısıdır. Alt alta yazılan önermeler dizisine yol denir. Çatal açma kuralı uygulandığında iki ayrı yol oluşur. Çözümlemede aynı yol üzerinde, bir önermeyle o önermenin değillemesinden oluşan ve gibi bir önerme çifti varsa, çelişki olacağından yol kaanır. Yolun kaandığı işareti ile gösterilir. Çözümleyici çizelgede kaalı olan yollar Yanlış, açık olan yollar Doğru yorumları gösterir. Bu açıklamalara göre; 1. Ana eklem ve bileşenler belirlenir. 2. Her çözümlemede alt alta yazma kuralına öncelik verilir.

28 3. Aynı kural ile çözümlenecek önerme varsa çözümlemeye en üsttekinden başlanır. 4. Çatal açmadan sonra işlem devam ediyorsa çatalın sol tarafından işleme devam edilir. 5. Her çözümlemeden sonra yol üzerinde çelişki olu olmadığına bakılır. Çelişki, aynı yol üzerinde hem değilinin hem kendisinin birlikte bulunmasıdır. Eğer çelişki varsa o yol işareti ile kaatılır. 6. Çözümlenen önermelere sıraya göre adım numarası verilir. Aynı numara çözümlenmiş önermeye kaynak numarası olarak yazılır. Örnek 1) Λ,, V önermelerini çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? Adım sayısı (kaynak sayısı) işareti yolun açık olduğu anlamına gelir. Burada önermesi aynı yol üzerinde bir başka önermeyle çelişmemektedir. Λ,, V 1. Λ (Ö) (Ö) 2. V r (Ö) (2) Başlangıç önermeleri Kaynak sayısı (adım sayısı) işareti yolun kaalı olduğunu gösterir. Burada ile önermeleri aynı yol üzerinde çeliştiğinden yol kaalıdır. Örnek 2) [( V ) V ( Λ )] ( r V s) önermesini çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [( V ) V ( Λ )] ( r V s) (Ö) 2. [( V ) V ( Λ )] 5. r V s 3. ( V ) (5) (2) r s 4. ( Λ ) (3) P (4)

29 Örnek 3) [( V ) V ] önermesini çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [( V ) V ] (Ö) 2. ( V ) (2) c) Çözümleyici Çizelge ile Denetleme 1. Tek Bir Önermenin Tutarlılığı Çözümleyici çizelge ile verilen bir önermenin tutarlı olu olmadığını denetleyebilmek için önce önermenin ögelerinden oluşan çözümleyici çizelgeyi kurarız. Çizelgeyi tamamladıktan sonra eğer bu çizelgenin en az bir yolu açıksa önerme tutarlı, bütün yolları kaalı ise önerme tutarsızdır. Örnek 1) ( V ) Λ ( Λ ) önermesinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. ( V ) Λ ( Λ ) (Ö) 3. V 2. Λ (2) (3) Önermenin en az bir yolu açık (doğru yorumu) olduğu için önerme TUTARLI dır. Örnek 2) ( ) önermesinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?

30 1. ( ) (Ö) 2. (2) Tüm yollar açık olduğu, yani tüm yollar doğru yorumu aldığı için önerme TUTARLI dır. Örnek 3) ( V ) Λ ( ) önermesinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. ( V ) Λ ( ) (Ö) 2. ( V ) 3. ( ) (2) (3) Tüm yollar kaalı olduğu yani hiçbir doğru yorumlaması olmadığı için önerme TUTARSIZ dır. 2. Birden Fazla Önermenin Tutarlılığı Çözümleyici çizelge ile birden fazla önermenin birbiriyle tutarlılığını denetlemek için, verilen önermeler önce alt alta yazılır ve herbirinin ardına önerme anlamında Ö yazılır. Sonra önermeler önce çengel (anahtar), sonra çatal sırası izlenerek tek tek çözümlenir. Çözümleme sonunda, tek bir açık yol bile varsa, önermelerin ortak doğrulayıcı yorumlaması olmadığı için önermeler birbirleriyle tutarlıdır. Hiçbir açık yol yoksa, önermeler birbirleriyle tutarsızdır. Örnek 1), V, Λ önermelerinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?

31 2. (Ö) 3. V (Ö) 1. Λ (Ö) P (2) (3) En az bir yol açık olduğu için önermeler TUTARLI dır. Örnek 2) V, Λ, V r önermelerinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 2. V (Ö) 1. Λ (Ö) V r (Ö) (2) (3) r Birden çok yol açık olduğu için önermeler birbirleriyle TUTARLI dır. Örnek 3), ( V ), ( Λ ) önermelerinin tutarlı olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? (Ö) 1. ( V ) (Ö) 2. ( Λ ) (Ö) (2)

32 Yol kaalı olduğu için önermeler birbirleriyle TUTARSIZ dır. 3. Önermenin Geçerliliği Bir önermenin geçerliliğini çözümleyici çizelge ile denetlerken önce önermenin değillemesi alınır ve sonuna ( Ö) yazılır. Sonra çözümleyici çizelge kuralları uygulanarak önerme çözümlenir. Çözümleme sonunda açık yol varsa önerme geçersiz fakat tutarlı, bütün yollar kaalı ise önerme geçerli ancak tutarsızdır. Örnek 1) ( Λ ) önermesinin geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [( Λ ) ] ( Ö) 2. Λ 3. ( Λ ) (3) (2) Bütün yollar kaalı olmadığı için önerme GEÇERSİZ dir. Örnek 2) [( V ) Λ ( Λ )] ( r V s) önermesinin geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. {[( V ) Λ ( Λ )] ( r V s)} ( Ö) 2. ( V ) Λ ( Λ )] 3. ( r V s) 5. V (2) 4. Λ r (3) s (4) (5) Bütün yollar kaalı (tutarsız) olduğu için önerme GEÇERLİ dir.

33 Örnek 3) ( ) önermesinin geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [ ( )] ( Ö) P 2. ( ) (2) Bütün yollar kaalı olduğu (tutarsız) olduğu için önerme GEÇERLİ dir. 4. Çıkarımların Geçerliliği Bir çıkarımın geçerliliğinin denetlemek için, çıkarımın öncülleriyle sonucunun değillemesinin birlikte tutarlı olu olmadığını araştırmak gerekir. Bu amaçla, çıkarımın öncülleri ve sonucunun değillemesi alt alta yazılır. Öncüllerin ardına öncül anlamında Ön., sonucun değillemesinin ardına Sn. işaretleri konur. Sonra çözümleyici kuralları uygulanarak öncüller ve sonuç önermeleri çözümlenir. Çözümleme sonunda açık yol var ise çıkarım geçersizdir; bütün yollar kaalı ise çıkarım geçerlidir. Geçerli olan çıkarım tutarsız iken, geçersiz her çıkarım da tutarlıdır. Örnek 1) ( V ) r, r ( V ) çıkarımının geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? ( V ) r, r ( V ) 1. ( V ) r Ön. r Ön. 3. ( V ) ( Sn.) 2. ( V ) r (2) (3) Tüm yollar kaalı olduğu için çıkarım tutarsız, fakat GEÇERLİ dir.

34 Örnek 2), Λ çıkarımının geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?, Λ (Ön.) 1. Λ (Ön.) ( Sn.) Yol kaalı olduğu için çıkarım tutarsız fakat GEÇERLİ dir. Örnek 3), çıkarımının geçerli olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?, 1. Ön. 2. Ön. Sn. (2) (2) Birden çok açık yol olduğu için çıkarım tutarlı, fakat GEÇERSİZ dir. 5. Önermelerin Eşdeğerliliği İki önermenin eşdeğer olu olmadığını çözümleyici çizelge ile denetlemek için, bu iki önerme önce karşılıklı koşul ( ) eklemiyle birbirine bağlanır, daha sonra elde adilen karşılıklı koşul önermesinin geçerliliği denetlenir. Bu aşamadan sonra denetleme yaılırken çıkarımların geçerliliği kuralı uygulanır. Yani elde edilen karşılıklı koşul önermesinin değillemesi alını çözümleyici çizelge kurallarıyla çözümlenir. Çözümleme sonunda tüm yollar kaalı ise iki önerme eşdeğerdir; en az bir yol bile açıksa iki önerme eşdeğer değildir. Eşdeğer olan önermeler aynı zamanda geçerli olan önermelerdir. Örnek 1) Λ ve önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?

35 1. [( Λ ) ] ( Ö) 2. Λ 3. ( Λ ) P (3) (2) Önermelerden oluşturulan karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER dir. Örnek 2) V ve önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [( V ) ( )] ( Ö) 3. V 4. ( V ) 2. ( ) 5. P (2) (4) (3) (5) Önermelerden oluşturulan karşılıklı koşul önermesi geçersiz olduğundan önermeler EŞDEĞER DEĞİL dir. Örnek 3) ( ) ve Λ önermelerinin eşdeğer olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? 1. [ ( ) ( Λ )] ( Ö) 2. ( ) 5. 3. ( ) 4. Λ P (2) (4) (3) (5) Önermelerden oluşturulan karşılıklı koşul önermesi geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER dir.

36 ALIŞTIRMALAR 1. Aşağıdaki önermelerin tutarlı olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? a) ( Λ [( ) V ( Λ )] 1. ( Λ [( ) V ( Λ )] (Ö) P 2. ( ) V ( Λ ) (2) 3. 4. Λ (3) (4) Tüm yollar kaalı olduğu için önerme TUTARSIZ dır. b) [( Λ ) r] V [( r) Λ )] 1. [( Λ ) r] V [( r) Λ )] (Ö) 2. [( Λ ) r] 4. [( r) Λ )] 3. Λ (2) r (3) (4) 5. ( r) (5) r En az bir yol açık olduğu için önerme TUTARLI dır. c) ( ) V ( ) d) [( Λ ) V ] [( ) Λ )] 2. Aşağıdaki önermelerin birbirleriyle tutarlı olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz?

37 a), V 1. (Ö) 2. V (Ö) (2) (2) P En az bir yol açık olduğu için önermeler TUTRALI dır. b) Λ,, 1. Λ (Ö) 2. (Ö) (Ö) (2) Tüm yollar kaalı olduğu için önermeler TUTARSIZ dır. c) ( ), ( Λ ) r, ( Λ r) d) Λ, ( ) Λ ) 3. Aşağıdaki önermelerin geçerli olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? a) ( Λ ) Λ 1. [( Λ ) Λ ] ( Ö) 2. ( Λ ) (2) Tutarlı olduğu (tüm yollar açık olduğu için önermeler TUTALI dır.

38 b) [( ) V ( r)] Λ r 1. {[( ) V ( r)] Λ r} ( Ö) 2. [( ) V ( r)] r 3. ( ) (2) 4. ( r) (3) (4) (4) r r r r Tutarlı olduğu (birden çok yol açık olduğu) için önerme GEÇERSİZ dir. c) [ ( Λ ) ( V )] 1. {[ ( Λ ) ( V )] } ( Ö) 2. ( Λ ) ( V ) (2) 3. Λ 4. V (4) (3) Tutarsız olduğu için (bütün yollar kaalı olduğu) için önerme GEÇERLİ dir. d) ( ) V ( Λ ) e) ( V ) [( ) Λ ] 4. Aşağıdaki çıkarımların geçerli olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? a), r r

39 1. (Ön.) 2. r (Ön.) 3. ( r) ( Sn.) (2) (2) r r r r (3) (3) r r r r Tüm yollar kaalı olduğu için tutarsız fakat GEÇERLİ dir. b) V, V r, r Λ s ( Λ s) 3. V (Ön.) 4. V r (Ön.) 1. r Λ s (Ön.) 2. ( Λ s) ( Sn.) r s (2) s (3) (4) r En az bir yol açık olduğu için çıkarım tutarlı fakat GEÇERSİZ dir. c), r r d) ( ) e) V, Λ r r 5. Aşağıdaki önermelerin eşdeğer olu olmadıklarını çözümleyici çizelge ile denetleyiniz? a), V

40 1. [( ) ( V )] ( Ö) 3. 4. ( ) 2. ( V ) 5. V P (2) (4) (3) (5) Karşılıklı koşul önermesinin değili geçerli olduğundan önermeler EŞDEĞER dir. b), V 1. [( ) ( V )] ( Ö) 4. 2. ( ) 3. ( V ) 5. V P (3) (2) (4) (5) Karşılıklı koşul önermesinin değili geçersiz olduğundan önermeler EŞDEĞER DEĞİL dir c) ( Λ ), V d), V