Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 8 Sürtünme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
8. Sürtünme Önceki bölümlerde iki cisim arasındaki değme yüzeyinin tamamen pürüzsüz olduğu düşünüldü. Bundan dolayı cisimler arasındaki etkileşme, değme noktalarında daima yüzeye dik olmaktadır. Ancak, gerçekte, bütün yüzeyler pürüzlüdür ve cisim, değme yüzeyinde normal kuvvetle birlikte teğet kuvveti de taşıma yeteneğine sahip olmalıdır. Teğet kuvvete sürtünme neden olur. Uygulamalar vida, yatak, disk ve kayışları içermektedir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Sürtünme, bir cisim üzerine etkiyen ve cismin temasta olduğu ikinci cisim veya yüzeye göre kaymasını engelleyen veya yavaşlatan direnç kuvveti olarak tanımlanabilir. Bu kuvvet, değme noktalarında daima yüzeye teğettir ve cismin bu noktalara göre olası veya var olan hareketinin tersi yönde etkir. Yüzeyler arasında genelde akışkan sürtünmesi ve kuru sürtünme ortaya çıkar. Bu derste yalnızca kuru sürtünme ele alınacaktır. Özellikleri 1781 de C. A. Coulomb tarafından belirlendiğinden bu tip sürtünmeye Coulomb Sürtünmesi denmektedir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Kuru Sürtünme Teorisi. Normal kuvvet Normal kuvvet Sürtünme teorisinin açıklanabilmesi için değme yüzeyinin rijit olmadığı, şekil değiştirebilir olduğu varsayılır. Zemin, değme yüzeyi boyunca ΔN n normal kuvveti ve ΔF n sürtünme kuvveti dağılımı uygular. Denge durumunda normal kuvvetler bloğun ağırlığını dengelemek için yukarı doğru, sürtünme kuvvetleri ise hareketi önlemek için sola doğru etkir.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Kuru Sürtünme Teorisi. Normal kuvvet Normal kuvvet Cisim ile temas yüzeyi arasında çok sayıda mikroskobik düzensizlikler olduğu görülür. Bundan dolayı, kabarıklıkların her birinde ΔR n tepki kuvvetleri ortaya çıkar. Her bir tepki kuvveti, ΔN n normal kuvvet bileşeni ve ΔF n sürtünme kuvveti bileşenine katkı sağlar.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Denge. Basitlik amacıyla, yayılı normal ve sürtünme yükleri N ve F bileşkeleri ile gösterilir. Bileşke Normal ve Sürtünme Kuvvetleri F daima değme yüzeyine teğet doğrultuda ve P ninkine zıt yönde etki eder. N nin x kadar sağdaki konumu, P nin devirme etkisini dengelemek içindir (Wx=Ph) ve normal yük dağılımının ağırlık merkezi ile çakışır. Özel olarak, N bloğun sağ köşesinde (x=a/2) etki ederse, blok devrilme sınırında olacaktır.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Hareket Başlangıcı. h nin küçük veya değme yüzeylerinin oldukça kaygan olduğu durumlarda, blok devrilmeden önce kaymaya meyillidir. Diğer bir ifadeyle, P nin büyüklüğü arttırılırken, F nin büyüklüğü de, limit statik sürtünme kuvveti denilen belirli bir maksimum F s değerine ulaşıncaya kadar artar. Denge Hareket Başlangıcı Deneysel olarak, F s nin büyüklüğünün N bileşke normal kuvvetinin büyüklüğü ile doğru orantılı olduğu belirlenmiştir. μ s : statik sürtünme katsayısı
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Hareket Başlangıcı.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Hareket. Hareket Blok üzerine etkiyen P nin büyüklüğü F s den daha büyük olacak şekilde arttırılırsa, sürtünme kuvveti daha küçük bir F k değerine düşer. Buna kinetik sürtünme kuvveti adı verilir. Bu durumda, blok dengede kalamaz (P>F k ). Hareket başladığında blok çıkıntıların tepeleri üzerinde sürüklenme başlar, ΔR n bileşke değme kuvvetleri öncekine göre düşeyde biraz daha düzene girer ve sürtünme katsayısı düşer.
8.1 Kuru Sürtünmenin Özellikleri Hareket. Kayan bloklarla yapılan deneyler, F k bileşke sürtünme kuvvetinin N bileşke normal kuvveti ile doğru orantılı olduğunu gösterir. μ k : kinetik sürtünme katsayısı Hareket yok Hareket μ k nın tipik değerleri μ s için verilen değerlerden yaklaşık %25 daha küçüktür. P nin çok büyük değerleri ya da yüksek hızlar için, aerodinamik etkilerden dolayı, F k ve μ k azalmaya başlar.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Bir rijit cisim sürtünme etkisini içeren kuvvetler sistemine maruz kaldığında dengede kalıyorsa, kuvvet sistemi sadece denge denklemlerini değil, aynı zamanda ilgili sürtünme kanunlarını da sağlamalıdır. Genel olarak, kuru sürtünme içeren üç tip mekanik problemi vardır. Denge, Bütün Noktalarda Hareket Başlangıcı, Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı. Bunlar, serbest cisim diyagramları çizildikten ve toplam bilinmeyen sayısı belirlenip kullanılabilen denge denklemi sayısı ile karşılaştırıldıktan sonra, kolayca sınıflandırılabilirler.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Denge. Bu tip problemler, toplam bilinmeyen sayısının toplam kullanılabilir denge denklemi sayısına eşit olmasını gerektiren, tam denge problemleridir. Örnekte denge konumunu incelemek için A ve C deki sürtünme kuvvetleri belirlenmelidir. Altı bilinmeyen, altı denge denkleminden belirlenebilir ve eşitlikler kontrol edilir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Bütün Noktalarda Hareket Başlangıcı. Bu durumda, toplam bilinmeyen sayısı, denge denklemleri ile F = μn sürtünme denklemlerinin toplamına eşit olur. Değme noktalarında hareket başlangıcı söz konusu ise, F s = μ s N dir, cisim kayıyor ise, F k = μ k N olur. Örnekte beş bilinmeyen vardır. Üç denge denklemi ve değme noktalarındaki statik sürtünme denklemleri uygulanır.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı. Burada, toplam bilinmeyen sayısı denge denklemleri ile sürtünme denklemleri veya devrilme koşulu denklemlerinin toplamından daha azdır. Örnekte çerçevenin hareketi için gerekli P yi bulmak istiyoruz. Burada yedi bilinmeyen vardır. Tek çözüm için, 6 denge denkleminin ve mümkün 2 statik denkleminden sadece birinin sağlanması gerekir. P kuvveti artarken, yandaki eşitliklerde ifade edildiği gibi A da veya C de kaymaya sebep olabilir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Devrilme veya Bazı Noktalarda Hareket Başlangıcı. Örnekte dört bilinmeyen vardır: P, F, N ve x. Tek çözüm için üç denge denklemi ve bir statik sürtünme denklemini veya bloğun devrilmemesi için gerekli olan bir denge koşulunu sağlatmalıyız. Buna göre, iki hareket olasılığı vardır. Blok kayar veya devrilir. P nin en küçük değerini veren çözüm bloğun hareketini tanımlar. F = μ s N F μ s N
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Analizde İzlenecek Yol. Serbest Cisim Diyagramı. Gerekli SCD çizilir ve tam çözüm için gerekli bilinmeyen veya denklem sayısı belirlenir. Aksi belirtilmedikçe, sürtünme kuvvetleri daima bilinmeyen olarak gösterilir, yani F = μn olduğu varsayılmaz. Her bir cisim için sadece üç düzlemsel denge denklemi yazılabildiği hatırlanmalıdır. Bu yüzden, denge denklemlerinden daha fazla bilinmeyen varsa, tam çözüm için gerekli ek denklemleri elde etmek için, hepsinde değilse bile bazı değme noktalarında sürtünme denklemlerini uygulamak gerekir.
8.2 Kuru Sürtünme İçeren Problemler Analizde İzlenecek Yol. Sürtünme ve Denge Denklemleri. Denge denklemleri ve gerekli sürtünme denklemleri (devrilme söz konusu ise koşul denklemleri) uygulanır ve bilinmeyenler elde edilir. Kuvvet bileşenlerinin veya gerekli moment kollarının bulunmasında güçlük ortaya çıkan üç boyutlu problemlerde, denge denklemleri kartezyen vektörler kullanılarak uygulanır.
Örnek 8-1 Şekilde gösterilen düzgün sandığın kütlesi 20 kg dır. Sandığa P = 80 N kuvveti uygulandığına göre, sandığın dengede kalıp kalamayacağını belirleyiniz. Statik sürtünme katsayısı μ s = 0.3 tür.
Örnek 8-1 x in negatif olması, bileşke normal kuvvetin sandık merkezinin solunda olduğunu gösterir. Devrilme gerçekleşmez. Maksimum sürtünme kuvveti F max, F kuvvetinden büyük olduğundan, sandık kaymaz.
Örnek Damper kasa tabanının yatayla yaptığı açı θ=25 olduğunda üzerindeki otomatik satış makineleri kaymaya başlamıştır. Makine ile kasa tabanı arasındaki statik sürtünme katsayısını belirleyiniz.
Örnek
Örnek 10 kg lık üniform merdiven şekilde görüldüğü gibi B de pürüzsüz duvara, A da sürtünme katsayısı μ s = 0.3 olan pürüzlü yatay düzleme yaslanmıştır. Merdiven kayma sınırında ise, θ açısını ve B deki normal tepkiyi hesaplayınız.
Örnek
Örnek AB kirişi, 200 N/m lik bir düzgün yüke maruzdur ve BC kazığı ile B de tutulmaktadır. B ve C deki statik sürtünme katsayıları μ B = 0.2 ve μ C = 0.5 olduğuna göre, kazığı çubuğun altından çekmek için gerekli P kuvvetini belirleyiniz. Elemanların ve kazığın ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek Denge Denklemleri. Kazığın B de kayıp C etrafında dönmesi. Bu durumda, C de kayma meydana gelir. Diğer hareket durumu incelenmelidir.
Örnek Denge Denklemleri. Kazığın C de kayıp B etrafında dönmesi. Daha az P kuvveti gerektirdiğinden, önce bu durum meydana gelir.
8.3 Kamalar Hareket başlangıcı Kama, uygulanan bir kuvveti, bu kuvvetle yaklaşık olarak dik açı yapan doğrultuda, çok daha büyük kuvvetlere dönüştürmek için kullanılan basit bir makinedir. Kamalar ağır yüklere küçük yer değiştirmeler veya düzeltmeler vermek için de kullanılabilir. P kaldırılırsa veya P = 0 ise ve sürtünme kuvvetleri bloğu yerinde tutuyorsa, kamaya kendini kilitleyen kama denir.
8.3 Kamalar Hareket başlangıcı Kamanın ağırlığı, bloğun ağırlığına göre küçük olduğundan hesaba katılmaz. F 1, F 2 ve F 3 sürtünme kuvvetleri hareket yönüne zıttır. Bloğun ve kamanın devrilmesi söz konusu olmadığından, kuvvet analizinde bileşke normal kuvvetlerin konumları önemli değildir. P yükü ile birlikte toplam yedi bilinmeyen vardır. Çözüm için kamaya ve bloğa uygulanan iki kuvvet denge denklemi (toplam dört denklem) ile her değme yüzeyinde uygulanan F = μn sürtünme denklemleri (üç adet) kullanılabilir.
Örnek 8-7 Düzgün taş 500 kg lık kütleye sahiptir ve şekilde gösterildiği gibi, B de bir kama kullanılarak yatay konumda tutulmaktadır. Kama ile temas yüzeyindeki statik sürtünme katsayısı μ s = 0.3 olduğuna göre, kamayı çıkarmak için gerekli P kuvvetini belirleyiniz. Kama, kendini kilitleyen kama mıdır? Taşın A da kaymadığını varsayınız.
Örnek 8-7 Hareket başlangıcı Kama kaldırılacağından, değme yüzeylerinde kayma oluşmak üzeredir. Dolayısıyla, kama üzerinde F = μ s N dir. A da kayma oluşmadığından, F A μn A olur. F A, N A, N B, N C ve P olmak üzere beş bilinmeyen vardır. Taşın SCD si
Örnek 8-7 Hareket başlangıcı Kamanın SCD si P pozitif olduğundan, kamanın çekilmesi gerektiği anlaşılır.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Vidalar çoğunlukla bağlayıcı olarak kullanılır. Bununla beraber, birçok makine tipinde gücün veya hareketin iletilmesinde de kullanılırlar. Kare dişli vida, özellikle ekseni boyunca büyük kuvvetler uygulandığında, bu amaçla kullanılır. Bu kesimde kare dişli vidalar üzerine etkiyen kuvvetleri analiz edeceğiz. V dişli gibi diğer vida tiplerinin analizi de aynı ilkelere dayanır.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Vida, bir silindir etrafına sarılı eğik düzlem ya da kama olarak düşünülebilir. Başlangıçta A konumunda bulunan bir somun, vida etrafında 360 döndüğü zaman B ye çıkar. Bu dönme, somunun l yüksekliğinde ve 2πr uzunluğundaki eğik düzlemde yukarıya doğru ötelenmesine eşdeğerdir. Burada r dişin ortalama yarıçapıdır. l: vida adımı. Adım açısı:
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. Vida büyük eksenel yükler taşıdığında, vidayı döndürmek için gerekli M momentinin belirlenmesinde, diş üzerinde ortaya çıkan sürtünme kuvvetleri önem kazanır. Kare dişli kriko vidasında W yüküne karşı krikonun tepki kuvvetleri, h bölgesinde vida boşluğu ile temas eden vida dişi çevresi üzerinde yayılıdır. Basitlik için, dişin bu kısmı vidadan açılıyormuş gibi düşünülebilir ve θ adım açılı eğik düzlem üzerinde durmakta olan basit bir blok olarak gösterilebilir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. Basitlik için, dişin bu kısmı vidadan açılıyormuş gibi düşünülebilir ve θ adım açılı eğik düzlem üzerinde durmakta olan basit bir blok olarak gösterilebilir. Buradaki eğik düzlem, kriko tabanının iç taşıyıcı dişini gösterir. = S W vidaya uygulanan toplam eksenel yüktür. S yatay kuvvetine M momenti sebep olur. r ortalama vida yarıçapı olmak üzere, M = Sr olması gerekir. W ve S nin sonucu olarak, eğik düzlem blok üzerine N ve F bileşkelerine sahip R bileşke kuvvetini uygular.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Yukarıya Vida Hareketi. M yeterince büyük olmak üzere, vida yukarı doğru hareket sınırına getirilebilir veya hareket oluşabilir. Bu koşullar altında R, düşeyle (θ+φ s ) açısı yapacak şekilde etkir. M, vidanın yukarı doğru hareketinin başlaması için gereken momenttir. φ s yerine φ k konulursa, yukarıya doğru düzgün hareketin korunması için daha küçük bir M değeri verecektir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Aşağıya Vida Hareketi (θ > φ). Vidanın yüzeyi çok kayıcı ise ve momentin büyüklüğü azalırsa (doğrultusu değil) (örneğin M'<M), vidanın aşağıya doğru dönmesi mümkün olabilir. Sürtünme kuvveti harekete ters yönde olacağından, R bileşkesinin doğrultusu değişir. Bu durumda, uygulanan momenti veren ifade aşağıdaki gibidir.
*8.4 Vidalardaki Sürtünme Kuvvetleri Kendini Kilitleyen Vida. φ θ koşulu ile, M momenti kaldırılırsa, vida kendini kilitlemiş olacak; yani, W yükü sadece sürtünme kuvvetleri tarafından taşınacaktır. Burada R düşey olup W kuvvetini dengelemektedir. Aşağıya Vida Hareketi (θ < φ). Vidanın yüzeyi çok pürüzlü olduğu zaman, vida aşağıya doğru dönmeyecektir. Burada, harekete neden olması için uygulanan momentin yönü ters çevrilmiş olmalıdır.
Örnek 8-8 Şekilde gösterilen germe donanımı ortalama 5 mm yarıçaplı bir kare diş ve 2 mm lik bir adıma sahiptir. Vida ve donanım arasındaki statik sürtünme katsayısı μ s = 0.25 olduğuna göre, uç vidaları daha yakına çekmek için uygulanması gereken M momentini belirleyiniz. Donanım kendini kilitleyen midir?
Örnek 8-8 Moment kaldırıldığı zaman, donanım kendini kilitleyen olur. Çünkü φ s > θ dır.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri Kayışla hareket ve bant frenleri tasarımında, kayış ve temas yüzeyi arasında oluşan sürtünme kuvvetlerini belirlemek gerekir. Bu bölümde, düz kayışlar üzerine etki eden sürtünme kuvvetlerini analiz edeceğiz. Kayış, temas yüzeyindeki toplam açısı radyan cinsinden ϐ olmak üzere sabit yüzey üzerinden geçmektedir ve sürtünme katsayısı μ dür. Kayışı saatin tersi yönünde çekmek ve böylece temas yüzeyindeki sürtünme kuvvetlerini ve bilinen T 1 çekme kuvvetini yenmek için gerekli T 2 çekme kuvvetini belirleyeceğiz. T 2 >T 1 olduğu açıktır. Kayışın yüzeye göre hareketi veya hareket başlangıcı
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. Kayışın yüzeye göre hareketi veya hareket başlangıcı N normal ve F sürtünme kuvvetlerinin hem büyüklüğü hem de yönü kayış boyunca farklı noktalarda değişecektir. Bu bilinmeyen kuvvet dağılımından dolayı, kayışın analizi, kayışın diferansiyel elemanı üzerine etkiyen kuvvetlerin incelenmesiyle başlar.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. dθ sonsuz küçük olduğundan, sin(dθ/2) ve cos(dθ/2) yerine sırasıyla dθ/2 ve 1 yazılabilir. Ayrıca, dt ve dθ/2 sonsuz küçüklerinin çarpımı, birinci mertebeden sonsuz küçüklere oranla ihmal edilebilir. Buna göre yukarıdaki iki denklem aşağıdaki gibi yazılabilir.
*8.5 Düz Kayışlarda Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. dn yok edilerek: Bu denklem, θ=0 da T=T 1 ve θ=ϐ da T=T 2 olacak şekilde kayışın tambura temas ettiği bütün noktalar arasında integre edilir. Denklem, tamburun yarıçapından bağımsız olup kayışın ϐ temas yüzey açısına bağlıdır ve sadece hareket başlangıcı için geçerlidir.
Örnek 8-9 Şekilde gösterilen kayışta oluşabilen maksimum çekme kuvveti 500 N dur. A daki makara serbestçe dönebildiğine ve sabit B ve C tamburlarındaki sürtünme katsayısı μ s = 0.25 olduğuna göre, kayışla kaldırılabilen silindirin en büyük kütlesi ne olur? Kayış ucunda uygulanan T kuvvetinin, gösterildiği gibi, düşey olarak aşağıya doğru yönlendiğini varsayınız.
Örnek 8-9
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki Sürtünme Kuvvetleri Mil yatakları ve bilezikli yataklar, genellikle, makinelerde dönen bir şaft üzerindeki bir eksenel yükü taşımak için kullanılırlar. Yataklar yağlı değilse veya kısmen yağlı ise, şaft P eksenel yüküne maruz kaldığında, şaftı döndürmek için gerekli M momentini belirlemede kuru sürtünme kanunları uygulanabilir. Mil yatağı Bilezikli yatak
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. Şekildeki şaft üzerindeki bilezikli yatak, P eksenel yüküne maruzdur ve lik toplam yatağa veya temas alanına sahiptir. Analizde, p normal basıncının bu alan üzerinde düzgün olarak yayılı olduğu düşünülecektir. Toplam F z sıfır olduğundan, olur. Şaftın dönme başlangıcı için gerekli moment, yatak yüzeyinde oluşan df sürtünme kuvvetlerinin moment dengesinden belirlenebilir. dn=pda normal kuvveti şaftın z eksenine göre moment üretmez fakat sürtünme kuvveti dm=rdf momenti üretir.
*8.6 Bilezikli Yataklar, Mil Yatakları ve Diskler Üzerindeki Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme başlangıcı için, Sürtünme Analizi. olur. df ve da yı yerine yazar ve tüm yatak alanı üzerinden integral alırsak, veya elde edilir. Mil yataklı durumda, R 2 = R ve R 1 = 0 olduğundan, ifadesi elde edilir.
Örnek 8-10 Şekildeki düzgün çubuğun ağırlığı 4 lb. dur. Temas yüzeyinde etkiyen normal basıncın çubuğun uzunluğu boyunca lineer olarak değiştiği varsayıldığına göre, çubuğu döndürmek için gerekli M momentini belirleyiniz. a genişliğinin l uzunluğuna göre ihmal edilebileceğini varsayınız. Statik sürtünme katsayısı μ s =0.3 tür.
Örnek 8-10 Yayılı yükün merkezindeki (x=0) w 0 şiddeti düşey kuvvet dengesinden belirlenebilir. x=2 de w=0 olduğundan, yayılı yük x in fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Buradan,
Örnek 8-10 Çubuğun z eksenine göre momentler toplamı integrasyonla belirlenir.
*8.7 Kayma Yataklarda Sürtünme Kuvvetleri Şaftlar ve miller yanal yüklere maruz kaldığında, mesnet olarak genellikle bir kayma yatak kullanılır. Yatak yağlanmamış veya kısmen yağlanmış ise, sürtünme direnci analizi kuru sürtünme kanunları üzerine kurulabilir. Sürtünme Analizi. Dönme Şaft şekilde gösterilen yönde dönerken, yatak duvarı üzerindeki bir A noktasında kayma meydana gelir. Şaftın ucunda etkiyen yanal yük P ise, A da etkiyen R yatak tepki kuvvetinin P ye eşit ve ona ters olması gerekir.
*8.7 Kayma Yataklarda Sürtünme Kuvvetleri Sürtünme Analizi. Şaftın sabit dönmesinin sürmesi için gerekli moment, şaftın z eksenine göre momentler toplanarak bulunabilir. Alttaki şekilde olduğu görülmektedir. r f yarıçaplı çembere sürtünme çemberi denir. Şaft dönerken, R tepkisi daima bu çembere teğet kalır. Yatak kısmen yağlı ise, μ k küçüktür ve olur. Bu koşullar altında, sürtünme direncini yenmek için gerekli moment için uygun bir yaklaşım aşağıda verilmektedir.
Örnek 8-11 Şekildeki 100 mm çaplı kasnak, statik sürtünme katsayısı μ s =0.4 olan 10 mm çaplı şaft üzerine gevşek olarak yerleştirilmiştir. 100 kg lık bloğu: (a) yükseltmek, (b) alçaltmak için kayıştaki minimum T çekme kuvveti ne olmalıdır? Kayış ve kasnak arasında bir kayma olmadığını varsayınız ve kasnağın ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek 8-11 (a) Kasnak, her biri 981 N olan çekme kuvvetlerine maruz kaldığında, şafta P 1 noktasında değer. T çekme kuvveti arttırılırken, kasnak hareket başlangıcından önce şaft etrafında P 2 noktasına kadar döner. Sürtünme çemberinin yarıçapı r f = rsinφ olduğu görülür. P 2 noktasına göre momentler toplamından, Daha kesin bir analiz,
Örnek 8-11 (b) Blok alçalırken, şaft üzerine etkiyen R bileşke kuvveti şekilde gösterildiği gibi, P 3 noktasından geçer. Bu noktaya göre momentler toplamı aşağıdaki sonucu verir.
*8.8 Yuvarlanma Direnci W ağırlığındaki rijit bir silindir, sabit bir hızla bir rijit yüzey üzerinde yuvarlanırken, yüzeyin silindire uyguladığı normal kuvvet değme noktasında etkir. Ancak hiçbir malzeme tam rijit değildir ve bu yüzden yüzeyin silindir üzerindeki tepkisi bir normal basınç dağılımı şeklinde oluşur. Çok sert malzemeden yapılmış bir silindir yumuşak bir yüzeyde yuvarlanırken, ön taraftaki yüzey malzemesi şekil değiştirmekte olduğundan hareketi yavaşlatır; buna karşın, arkadaki malzeme eski haline dönmektedir ve silindiri öne itmeye çalışır.
*8.8 Yuvarlanma Direnci Bu şekilde ortaya çıkan, silindir üzerine etkiyen normal basınçlar, N d ve N r bileşke kuvvetleri ile gösterilir. Şekil değiştirme kuvvetinin büyüklüğü ve yatay bileşeni geri dönme kuvvetinden daima daha büyüktür. Bu nedenle, hareketini sürdürmesi için silindire bir P yatay kuvveti uygulanmalıdır. Yüzey adezyonu ve temas yüzeyleri arasındaki bağıl mikro kayma da yuvarlanma direncinde etkili olsa da birincil etki yukarıda açıklandığı gibi meydana gelir. Bu etkileri yenmek için gerekli gerçek P kuvvetini belirlemek güç olduğundan, burada basitleştirilmiş bir yöntem geliştirilecektir.
*8.8 Yuvarlanma Direnci Silindir üzerine etkiyen tüm normal basıncın N = N d + N f bileşkesini ele alalım. Bu kuvvet düşeyle θ açısı yapar. Silindirin dengede kalması yani sabit hızla yuvarlanması için N nin, P ve W nin ortak noktasından geçmesi gerekir. A ya göre momentler toplamı olur. Deformasyonlar genellikle küçük olduğundan, alınabilir. Dolayısıyla, veya a: yuvarlanma direnci katsayısı
Örnek 8-12 Şekildeki 10 kg lık çelik tekerlek, 100 mm yarıçaplıdır ve ağaçtan yapılmış bir eğik düzlemde durmaktadır. θ arttırılırken, tekerlek θ=1.2 olduğunda aşağıya doğru yuvarlanmaya başladığına göre, yuvarlanma direnci katsayısını belirleyiniz.
Örnek 8-12 Tekerleğin hareket başlangıcında, N normal tepkisi a mesafesi ile tanımlı A noktasında etkir.