SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6

AÇIKLAMA Bu sununun hazırlanmasında, izleyen kitaplardaki örneklerden faydalanılmıştır: Wayne L. Winston, OPERATIONS RESEARCH Applications and Algorithms Chapter 4, The Simple Algorithm and Goal Programming, 4th edition, 4, Brooks/Cole-Thomson Learning. Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J. ve Sherali, H.D., Linear Programming and Network Flows, 3rd Edition, Wiley- Interscience, 5. Rastlayabileceğiniz hataların sorumluluğu tarafıma ait olup, beni haberdar etmenizden memnun olacağımı ifade ederim. Doç. Dr. Nil Aras, 6

Simpleks tablosu z X B X N STS z C B B - N C N C B B - b X B I B - N B - b Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

Simpleks tablosu ENİYİLİK KOŞULLARI Z X B X N STS Z C B B - N C N C B B - b X B I B - N B - b UYGUNLUK KOŞULLARI B - b OLMALIDIR Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

Simpleks tablosunda önemli koşul:. Uygunluk Koşulu B - b olmalıdır.. Eniyilik Koşulu Amaç ENB ise: (C B B - N C N ) Amaç ENK ise: (C B B - N C N ) Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

Başlangıç temel uygun çözüm bulma zorluğu Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

Başlangıç temel uygun çözüm bulma zorluğu Verilen doğrusal karar modelinin simpleks algoritması ile çözülebilmesi için, modele bir başlangıç temel uygun çözüm bulunması gerekmektedir. Modelin kısıtları eşitlik haline getirildiğinde A katsayılar matrisi içerisinde I m varsa, bu işlem birim matrise karşı gelen değişkenler temele alınarak kolaylıkla yapılabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

I ya karşı gelen değişkenler X B olarak ele alınır. B=I=B - olduğundan, simpleks tablosu doğrudan yazılabilir. Z + (C B B - N C N ) X N X B + B - NX N = B - b = C B B - b.z +.X B + (C B B - N C N ).X N = C B B - b.z + I.X B + B - N.X N = B - b Z X B X N STS Z C B N C N C B b X B I N b Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

Örneğin, Modelin tüm kısıtları tipinde ise ve sağ taraf sabitleri de negatif olmayan değerde ise, bir başlangıç temel uygun çözüm bulmak çok kolaydır. Her kısıta eklenen aylak değişkenlerle A içerisinde birim matris oluştuğundan, başlangıç temel uygun çözümde aylak değişkenler temel değişkenler olarak ele alınır ve değerleri de sağ taraf sabitlerine eşit olur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

A matrisinde I yoksa!!!! Herhangi m adet değişken X B olarak ele alınıp, B - hesaplanır ve simpleks tablosu düzenlenir. Ancak uygunluk veya eniyilik koşulunun sağlanması garanti edilemez ve sistematik bir yol değildir. YAPAY DEĞİŞKEN TEKNİKLERİ kullanılır. Modelin uygun olan kısıtlarına A da I oluşturacak şekilde yeterince yeni değişken eklenir. Büyük M İki evreli Tek yapay değişken Doç. Dr. Nil Aras, 6

Yapay değişken eklentisi Katsayılar matrisi içerisinde birim matris oluşturacak şekilde, uygun kısıtlara eksi değer almayan yapay değişkenler eklenir. X a : Yapay değişkenler vektörü olsun. AX b AX X a b X X, X a Doç. Dr. Nil Aras, 6

Yapay değişken eklentisi Böylece katsayılar matrisi A, içerisinde bir birim matris oluşacak şekilde genişletilmiş olur. Birim matrise karşı gelen değişkenler temel değişken takımı olarak ele alınıp başlangıç temel uygun çözüm bulunabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6

Yapay değişken eklentisi Yapay değişkenli algoritmaları kullanabilmek için öncelikle izleyen adım yerine getirilir : Tüm kısıtlar sağ taraf sabitleri (STS) negatif olmayacak şekilde, standart biçime dönüştürülür. Eğer veya = tipindeki i. kısıtta, A da birim sütun vektörü (i.elemanı, diğer elemanları olan vektör) oluşturan bir değişken yoksa, i. kısıta bir yapay değişken ( olan) eklenir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

BEVCO Örneği (Winston, 7.sh): Asıl model Standart biçime dönüştürülmüş model Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

A da birim matris yok! A / / 4 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

Doç. Dr. Nil Aras, 6 6 A da birim matris oluşturmak için, ikinci ve üçüncü kısıtlara a ve a 3 yapay değişkenleri eklenir.,a,a,e,s, a a e 3 4 S 4 3 3 3 4 / / A

Başlangıç temel uygun çözüm 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 Temel değişkenler: S, a, a 3 S =4, a =, a 3 = Temel dışı değişkenler:,,e = =e = Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

Yapay başlangıç çözümün grafikteki gösterimi Başlangıç temel uygun çözüm: S =4, a =, a 3 = = =e = Bu nokta, grafik üzerinde [,] noktasına karşı gelmekte olup, görüldüğü gibi orijinal problemin uygun çözüm alanı içinde değildir. Başlangıç temel uygun çözüm S X = 4 = e a a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

AX X a b Önemli!!! X, X Yapay değişkenlerin temelde yer aldığı başlangıç temel uygun çözüm, orijinal model için bir TUÇ değildir. İzleyen ardıştırmalarda bu yapay değişkenlerin sıfır değerini alması istenir. X a = olduğunda AX=b orijinal denklem sistemi için de bir TUÇ bulunmuş olacaktır. Yapay değişkenleri elemek için kullanılan yöntemlerden üçü: Büyük M yöntemi İki evreli yöntem Tek yapay değişken tekniği a Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

BÜYÜK M YÖNTEMİ

M katsayısı Yöntem adını, amaç fonksiyonunda yapay değişkenlere verilen birim katkılardan almıştır. Yapay değişkenler aslında modele sonradan giren yabancı değişkenler olduklarından, simpleks algoritmasının sonraki yinelemelerinde sıfır değerini alarak temel dışına çıkmalarını sağlamak üzere bu değişkenlere amaç fonksiyonunda bir ceza katsayısı verilir. M, verilen bu ceza katsayısı olup, yeterince büyük, pozitif değerli bir sayı olarak tanımlanır. Doç. Dr. Nil Aras, 6

Simpleks algoritması ile modelin çözümünü bulabilmek için, yapay değişkenlerden bir an önce kurtulmak için gerekli önlemler alınmalıdır. Bu amaçla yapay değişkenlere M çok büyük bir sayı olmak üzere, amaç fonksiyonunu ters yönde etkileyen birim katkılar verilir. Amaç ENB ise, c i = - M, a i Amaç ENK ise, c i = + M, a i Doç. Dr. Nil Aras, 6

Modelin amaç fonksiyonu izleyen şekilde değişir: ENB Z c j j j i Ma i ENK Z c j j j i Ma i Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

Orijinal model AX = b X ³ k.a. ENKZ=CX (ENBZ=CX) Yapay değişkenli model AX + X a = b X, X a ³ k.a. ENKZ=CX +M å i Xai (ENBZ=CX - Må Xai ) i Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

Bevco örneğinde amaç fonksiyonu izleyen şekilde değiştirilir: 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

Bu eklentilerle başlangıç tablo düzenlenerek, normal simpleks algoritmasının adımları uygulanır. Büyük M yöntemi uygulanırken, başlangıç tablonun sıfır satırına dikkat edilmelidir. Yapay değişkenler başlangıç TUÇ de yer alacağından sıfır satırından bunların elenmesi gerekir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

ENİYİ ÇÖZÜM Tüm yapay değişkenler sıfırdır Herhangi bir yapay değişken temelde ve sıfırdan büyük bir değer almıştır. Yapay değişken temel dışıdır. Yapay değişken temelde fakat sıfır değerini almıştır. Orijinal problemin ENİYİ ÇÖZÜMÜ bulunmuştur. Orijinal problemin uygun bir çözümü yoktur. UÇA= Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

Yapay değişkenli modelin çözümü Eniyi çözüm var Sınırsız çözüm var X a = Asılın eniyi çözümüne erişilmiştir. X a Asılın uygun çözümü yoktur. X a = Asılın sınırsız çözümü vardır. X a Asılın uygun çözümü yoktur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

BEVCO Örneği (Winston, 7.sh): Asıl model Büyük M yöntemine göre düzenlenmiş model 4 3 S e a 4 a 3,,S,e,a,a 3 EnkZ 3 Ma Ma 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

Büyük M yöntemine göre düzenlenmiş model Z CX AX b X k.a. Enb(Enk) Z Z 3 Ma Ma 3 4 3 S e a 4 a 3, EnkZ,S,e,a,a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

Simpleks tablosunu oluşturma Z 3 4 3 S e Ma a Ma a 3 3 4,,S,e,a,a 3 EnkZ Z S e a a 3 STS Z - -3 -M -M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Dikkat! a ve a 3 temelde yer alacağından, sıfır satırından bunlar elenmelidir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

Z 3 Ma Ma 3 Sıfır satırının düzenlenmesi 4 3 S e a a 3 4,,S,e,a,a 3 EnkZ a ve a 3 temelde yer alacağından, sıfır satırından bunlar elenmelidir. Sıfır satırını, ikinci satırın M katı ile ve üçüncü satırın M katı ile toplarsak istediğimiz düzeni elde ederiz. + Satır : z - - 3 - Ma - Ma 3 = M.(satır ) : M +3M - Me + Ma = M M.(satır 3) : M + M + Ma 3 = M Yeni satır : z + (M-) + (4M-3) - Me = 3M Doç. Dr. Nil Aras, 6 3

Başlangıç simpleks tablosu Z (M ) (4M 3) 4 3 S Me e a 3M 4 a 3 Z S e a a 3 STS Z (M-) (4M-3) -M 3M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 33

Başlangıç çözüm (,) noktası X = S e a a 3 = 4 Doç. Dr. Nil Aras, 6 34

Başlangıç TUÇ Z S e a a 3 STS Z (M-) (4M-3) -M 3M S ½ ¼ 4 a 3 - a 3 Eniyilik sınaması: temele girer, a temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 35

Birinci ardıştırma sonundaki simpleks tablosu Z S e a a 3 STS Z (/3M-) (/3M-) (-4/3M+) /3M + S 5/ / -/ 7/3 /3 -/3 /3 /3 a 3 /3 /3 -/3 /3 NOT: Yapay değişkenler temelden ayrıldığında, bu değişkenlere ait sütunlar istenirse tablodan çıkarılabilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 36

Birinci ardıştırma sonunda elde edilen çözüm (, /3) noktası X = S e a a 3 = /3 7/3 /3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 37

Birinci ardıştırma: temele girer, a 3 temelden çıkar. Z S e a 3 STS Z (/3M-) (/3M-) /3M + S 5/ / 7/3 /3 -/3 /3 a 3 /3 /3 /3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 38

İkinci ardıştırmadaki simpleks tablosu Z S e STS Z -/ 5 S -/8 /4 -/ 5 / 5 Doç. Dr. Nil Aras, 6 39

İkinci ardıştırma sonunda elde edilen çözüm (5, 5) noktası X = S e a a 3 = 5 5 /4 Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

Eniyi simpleks tablosu Z S e STS Z -/ 5 S -/8 /4 -/ 5 / 5 İkinci ardıştırma sonunda yapay değişkenli modelin eniyi çözümü bulunmuştur. Yapay değişkenlerin her ikisi de sıfır değeriyle çözümde yer aldığından, orijinal modelimizin de ENİYİ ÇÖZÜMÜNÜN bulunduğu söylenir. Eniyi çözüm: = =5, Enk z=5 Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

YAPAY DEĞİŞKENLİ MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ = ORJİNAL MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Nil Aras, 6 4

Büyük M yöntemi ile çözümde UYGUN ÇÖZÜM OLMAMASI DURUMU BEVCO Örneği (Winston, 77.sh): Bevco modelinin ikinci kısıt STS değeri 36 olarak değiştirilsin. Model büyük M yöntemini kullanarak çözüldüğünde, birinci ardıştırma sonunda eniyi simpleks tablosuna ulaşılır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 43

Eniyi simpleks tablosu Z S e a STS Z -M -M 3-4M 3+6M S ¼ -/4 3/ a - - -3 6 Birinci ardıştırma sonunda yapay değişkenli modelin eniyi çözümü bulunmuştur. a yapay değişkeninin 6 değeri ile eniyi çözümde yer alması, modelin yapay değişkenler olmadan uygun bir çözümünün elde edilemediğini gösterir. Orijinal modelin uygun bir çözümü yoktur. Doç. Dr. Nil Aras, 6 44

YAPAY DEĞİŞKENLİ MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ ORJİNAL MODELİN ENİYİ ÇÖZÜMÜ YOK (UÇA=) Doç. Dr. Nil Aras, 6 45

İKİ EVRELİ SİMPLEKS ALGORİTMASI

Problemin çözümü iki evreye ayrılır. Modelin çözümü, önce yapay değişkenlerin yer aldığı amaç fonksiyonu, sonra da orijinal modelin amaç fonksiyonu ile araştırılır. Birinci evrede amaç, orijinal model için bir temel uygun çözüm bulunmasıdır. İkinci evrede amaç, birinci evrede bulunan temel uygun çözümden hareketle, bildiğimiz simpleks algoritması ile eniyi çözümün bulunmasıdır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 47

. EVRE Orijinal modelin amaç fonksiyonu, yapay değişkenlerin toplamının enküçüklenmesinin istendiği amaç fonksiyonu ile değiştirilir. Birinci evrede, yalnız yapay değişkenlerden oluşan amaç fonksiyonu ele alınmakta, yani j ler için c j ler sıfır olarak işleme girmektedir. AX + X a = b X, X a ³ k.a. Enk X =.Xa veya AX + X a = b X, X a ³ k.a. Enb X = -.Xa Doç. Dr. Nil Aras, 6 48

AX + X a = b. evre X, X a ³ k.a. Enk X =.Xa Birinci evrede ele alınan modelin genişletilmiş katsayılar matrisi içinde birim matris olduğuna göre, bu haliyle modelin en az bir temel uygun çözümü vardır. Yani, birinci evredeki modelin simpleks algoritması ile çözümünde UÇA nın boş olduğundan söz edilemez. Birinci evrenin sonunda sınırsızlık da söz konusu olamaz. Çünkü amaç fonksiyonu hiçbir zaman sonsuza gidemez.. evrenin sonunda, eniyilik koşulları sağlanan bir simpleks tablo vardır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 49

. Evre sonunda elde edilen eniyi çözümde Yapay değişken temel dışı X = Yapay değişken temelde fakat sıfır değerini almış X Orijinal problemin uygun bir çözümü yoktur. UÇA= Orijinal problemin uygun bir çözümü vardır. İkinci evreye geç. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

. evre sonu Eğer orijinal problem uygun bir çözüme sahipse,. evrenin eniyi çözümünde amaç fonksiyonu sıfır değerini alır ve İKİNCİ EVREYE GEÇİLİR. Eğer orijinal problemin uygun bir çözümü yoksa,. evre sonunda amaç fonksiyonu değeri sıfırdan farklı bir değer alır. Bu, temelde en az bir yapay değişkenin sıfırdan farklı bir değer aldığı anlamına gelir. Verilen modelin, yapay değişkenleri gözönüne almadan tek bir çözümü bile bulunamadığından, uygun çözüm alanı boş demektir ki, DURULUR. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

. EVRE Birinci evrenin son simpleks tablosu ele alınıp, verilen modelin amaç fonksiyonu Z - CX= olarak tablonun sıfır satırında yerini alır. Temel değişkenlere sıfır satırında karşı gelen değerler sıfırlanarak, modelin başlangıç simpleks tablosu düzenlenip, algoritmanın diğer adımlarına geçilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 5

. EVRE Karar modelinin çözümü sonucunda temel değişkenlere karşı gelen B - e ihtiyaç duyuluyorsa, ikinci evrede yapay değişkenlere de tabloda yer verilir. Bu durumda sıfır satırında yapay değişkenlere karşı gelen değerler büyük M yöntemine göre verilebileceği gibi, istenmesi halinde bu değerlerin yeri boşta bırakılabilir. Eğer B - e gerek yoksa, birinci evre sonundaki tablodan yapay değişkenlere karşı gelen sütunlar çıkartılarak işlemlere devam edilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 53

ÖZETLE. İki evreli simpleks algoritması, birinci evrede yapay değişkenleri sıfıra götürerek verilen modele bir başlangıç temel uygun çözüm araştırmakta; böyle bir çözüm yoksa uygun çözüm alanı boştur sonucuyla işlemleri durdurmakta, değilse ikinci adıma geçerek, doğrudan algoritmanın diğer adımlarının uygulanmasını sağlamaktadır. Doç. Dr. Nil Aras, 6 54

ÖRNEK (Bazaraa, 53.sh.): + ³ - + ³ 3, ³ k.a. EnkZ = - Doç. Dr. Nil Aras, 6 55

Doç. Dr. Nil Aras, 6 56 Asıl model Standart biçime dönüştürülmüş model ( 3, 4 artık; 5 aylak değişken) EnkZ k.a., 3 - = ³ ³ + - ³ + EnkZ k.a.,,,, - = ³ = + = - + - = - + 5 4 3 5 4 3 3

Doç. Dr. Nil Aras, 6 57 Birim matris oluşturabilmek için,. ve. kısıtlara yapay değişken eklenir ( 6, 7 ). EnkZ k.a.,,,, - = ³ = + = - + - = - + 5 4 3 5 4 3 3 7 6 EnkZ k.a.,,,,,, - = ³ = + = + - + - = + - + 7 6 5 4 3 5 4 3 3

Örnekteki başlangıç temel uygun çözümün grafikteki gösterimi A da birim matris oluşturan değişkenler 6, 7 ve 5 olduğundan, başlangıç temel uygun çözümde bu değişkenler yer alacaktır. Başlangıç temel uygun çözümde, 6 =, 7 =, 5 =3 ve = = 3 = 4 = dır. Bu nokta, grafik üzerinde [,] noktasına karşı gelmekte olup, görüldüğü gibi orijinal problemin uygun çözüm alanı içinde değildir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 58

Doç. Dr. Nil Aras, 6 59.EVRE (Amaç fonksiyonu EnkW= 6 + 7 veya EnBW=- 6-7 olarak değiştirilir) 7 6 7 6 EnkW k.a.,,,,,, + = ³ = + = + - + - = + - + 7 6 5 4 3 5 4 3 3 EnkW k.a.,,,,,, W 7 6 7 6 ³ = + = + - + - = + - + = - - 7 6 5 4 3 5 4 3 3

w 3 4 5 6 7 STS - - - - - 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

Sıfır satırında yapay değişken katsayılarını sıfır yapmak için, sıfır satırını. ve. satırla toplayıp sıfır satırı yerine yazalım. w 3 4 5 6 7 STS - - - - - 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

. EVRE: Başlangıç simpleks tablosu w 3 4 5 6 7 STS - - 3 - - - 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 6

[, ] noktasından başladık. Doç. Dr. Nil Aras, 6 63

X TEMELE GİRECEK, X 7 TEMELDEN ÇIKACAK. w 3 4 5 6 7 STS - - 3 - - - 3 Doç. Dr. Nil Aras, 6 64

. EVRE: Birinci ardıştırma tablosu w 3 4 5 6 7 STS - - - - - - - Doç. Dr. Nil Aras, 6 65

Birinci ardıştırma sonucunda [, ] noktasına geldik. Doç. Dr. Nil Aras, 6 66

X TEMELE GİRECEK, X 6 TEMELDEN ÇIKACAK. w 3 4 5 6 7 STS - - - - - - - Doç. Dr. Nil Aras, 6 67

. EVRE: İkinci ardıştırma tablosu w 3 4 5 6 7 STS - - -/ / / -/ / -/ -/ / / 3/ / / -/ -/ 3/ Doç. Dr. Nil Aras, 6 68

İkinci ardıştırma sonucunda [/, 3/] noktasına geldik. Birinci evre sonunda, orijinal problemin uygun çözüm alanı içerisindeki bir uç noktaya ulaşıldı. Doç. Dr. Nil Aras, 6 69

. Evre sonucunda elde edilen eniyi çözüm w 3 4 5 6 7 STS - - -/ / / -/ / -/ -/ / / 3/ / / -/ -/ 3/ İkinci ardıştırmada, eniyi çözüme erişildi. Eniyi çözümde W=, 6 = 7 =. Orijinal problemin en az bir uygun çözümü var. İkinci evreye geçilir. Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

. EVRE. evre sonundaki son simpleks tablosunun sıfır satırı, orijinal modelin amaç fonksiyonu satırı ile değiştirilir. X 6 ve 7 temelde yer almadığından, bunlara ait sütunlar tablodan çıkarılabilir (B - gerekmiyorsa). Z 3 4 5 STS -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

z= - veya z- + = Z 3 4 5 STS - -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ X, X temelde olduğundan, sıfır satırında bunların katsayıları= olacak şekilde düzenleme yapılır. Sıfır satırı +. satır+(-)ikinci satır=yeni Sıfır satırı Doç. Dr. Nil Aras, 6 7

. EVRE : başlangıç tablo Z 3 4 5 STS / 3/ -5/ -/ / / -/ -/ 3/ / / 3/ X 4 TEMELE GİRECEK, X TEMELDEN ÇIKACAK. Doç. Dr. Nil Aras, 6 73

. EVRE : Birinci ardıştırma tablosu Z 3 4 5 STS -3-4 - - - Doç. Dr. Nil Aras, 6 74

Bulunduğumuz nokta: [,] Doç. Dr. Nil Aras, 6 75

X 3 TEMELE GİRECEK, X 5 TEMELDEN ÇIKACAK. Z 3 4 5 STS -3-4 - - - Doç. Dr. Nil Aras, 6 76

. EVRE SONU (İkinci ardıştırma) Z 3 4 5 STS - - -6 3 - Eniyi çözüme erişildi. X =, =3 Eniyi değer=-6 Doç. Dr. Nil Aras, 6 77

Eniyi çözüm: [,3] Doç. Dr. Nil Aras, 6 78

TEK YAPAY DEĞİŞKENLİ YÖNTEM

Model A=b haline getirildiğinde, A da I matris var fakat en az bir b i < ise başvurulan bir tekniktir. Modelin tüm kısıtlarına, a olan bir yapay değişken iken, - a eklenir. X B X N a STS C B B - b-c N - C B B - b I B - N -... - b... b m Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

ENK{b i }=b r olsun (b r <) b r ye karşı gelen r temelden çıkartılır, yerine a temele alınır. İzleyen ardıştırma ile modele bir temel uygun çözüm bulunmuş olur. Bundan sonra, a bir yapay değişken olarak işlemlere tabi tutulur (Büyük M veya İki Evreli Simpleks Algoritması). Doç. Dr. Nil Aras, 6 8

AX=b şeklindeki bir doğrusal denklem sisteminin çözümünü, evreli simpleks algoritması ile bulabiliriz.

evreli simpleks algoritmasının. evresi, AX=b denklem sisteminin çözümünü (ya da çözümlerini) bulmak için kullanılabilir.. evre sonunda W= çıkarsa, sistemin çözümü vardır. W ise, sistemin çözümü yoktur.

ÖRNEK (Bazaraa, 99, 7. sh.) Doç. Dr. Nil Aras, 6 84

Bir DP modelinde, UÇA açık küme ise uç yönler vardır. UÇA sınırsız (açık) küme olan bir DP modelindeki tüm uç yönleri evreli simpleks algoritması ile bulmak mümkündür.. evre uygulanıp, W= eşitliğini sağlayan tüm alt çözümler araştırılır. Her bir alt çözüm bir uç yöndür. Doç. Dr. Nil Aras, 6 85

Doç. Dr. Nil Aras, 6 86 3 EnkZ, 3 4 Doğrusal karar modeli,d d d d d d d d Uçyönleri verecek kısıtlar kümesi

Doç. Dr. Nil Aras, 6 87 87,d d d d d d d d,,,,d d d d d d d d y S S y S S S, S : aylak değişkenler Y: yapay değişken y ENK W,,,,d d d d d d d d y S S y S S evreli simpleks algoritmasına göre düzenlediğimiz model

d d d d d,d d d, S S, S ENK W y, S y y w d d S S y STS - - - y nin katsayısı= olacak şekilde, sıfır satırını düzenleyelim. Sıfır satırı+3. satır=sıfır satırı Doç. Dr. Nil Aras, 6 88

Başlangıç tablo w d d S S y STS - - d veya d temele girebilir. d temele girsin. S temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 89

w d d S S y STS 3 - - - 3 - d temele girer. y temelden çıkar. Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

w d d S S y STS - /3 /3 /3 /3 /3 /3 -/3 /3 /3 Eniyi çözüme erişildi. d =/3, d =/3 S temel dışı olduğu halde, sıfır satırındaki katsayısı sıfır. Alternatif çözüm varlığı! Doç. Dr. Nil Aras, 6 9

Alternatif çözüm w d d S S y STS - -/ / / 3/ / / / / / Alternatif eniyi çözüm. d =/, d =/ Doç. Dr. Nil Aras6 9

UÇ YÖNLER d A 3 3 d B Doç. Dr. Nil Aras, 6 93