KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER -Kısm derasel delemler ürler - Sol ar alaşımı -Elp delemler çözüm eler - Parabol delemler çözüm eler - Hperbol delemler çözüm eler UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ İc derecede br eğr F C B A 4 < AC B 4 AC B 4 > AC B elps parabol hperbol Bezer şelde c derecede ısm derasel delem / / C B A 4 < AC B 4 AC B 4 > AC B elp parabol hperbol

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 3 KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ csde verlmşse Drchle p Sıır oşl / / C B A ürevler csde verlmşse Nema p B s csde verlmşse Karışı pe Çözüm bölges Sıır

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ Elp delemler Elpdelemler geel olara poasel adıverle br büülüğü bölge çde değşm emsl ederler. Dolaısıla elp delemler aızamada poasel delemler olara da adladırılır. -bol elp delem ç geel aım / / Brada bağımlıdeğşepoasel herhag br oada sıırda değerlere bağlı olara aldığı dege eqlbrm vea dam-drm sead sae değerler belrr. A B C olp B 4AC < UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 4

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ Parabol delemler Poasel br başlagıçdrmda bare erşğ dam drmdeğerler br parabol delemle emsl edlr. Dolaısıla b delemler zama - değşe de bağımsız değşelerde br olara çerr. Başlagıçdrmda bare zama lerledçe ha dege drma doğr adım adım lerler Öre D Düzo delem Brada A B C olp B 4AC UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ Hperbol delemler Hperbol delemler de zamaa bağlıdır. Dalgaları asıl aıldığııade elerde dalga delem olara adladırılırlar. Öre: reşe br a ç ısm-derasel delem g w Brada : Yada gerlme g: Yer çem vmes w: Brm zl başıa a ağırlığı g A B C < olp B 4AC > w UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6

KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÜRLERİ Bağımlılı ve e bölgeler Kısm derasel delem bağımlı değşe br oada değer - çevre oalarda değerlerde eledğ gb - çevre oalarda değerler de eler. B eleşm delem pe göre arlılı göserr. Elp problem Parabol problem Hperbol problem UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 7

KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI Kısm derasel delemler saısal çözümüç çersde er ala ürevler cebrsel bağıılarla alaşı bçmde azılmasıgerer. B p düzelemelere ürev arılaşırılması adı verlr. Kısm ürevler arılaşırılmasıçoğ zama alor açılımıardımıla gerçeleşrlr. alor ser açılımı 3! 3! 3 3... O [ ] Brada O [ ]...! Haa erm UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 8

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 9 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI [ ] O...! Brc derecede ürev ç açılım alor açılımı olma üzere Brc derecede ürev çelere...! İdssel bçmde O...! O O Brc derecede ürev ç brc merebede ler ar ormülaso

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI [ ] O...! Brc derecede ürev ç açılım alor açılımı olma üzere Brc derecede ürev çelere...! İdssel bçmde O...! O O Brc derecede ürev ç brc merebede ger ar ormülaso

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI [ ] O... 3!! 3 3 3 Brc derecede ürev ç açılım alor açılımı Brada Brc derecede ürev çelere İdssel bçmde O... 3! 3 3 O O Brc derecede ürev ç brc merebedemerez ar ormülaso [ ] O... 3!! 3 3 3 Brbrde çıarılara... 3! 3 3 3

KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI - - - - a Đler ar b Ger ar c Merez ar O O O Brc merebede alaşımlar İc merebede alaşım UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 3 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI İc aıalııp brcde çıarılara İc derecede ürev ç açılım de alor açılımı... 3!! 3 3 3... 3!! 3 3 3 de alor açılımı... 3 3 3 İc ürev çelere O İdssel bçmde O İc derecede ürev ç ler ar ormülaso Brada... 3 3 O

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 4 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI İc aıda brc çıarılara İc derecede ürev ç açılım - de alor açılımı... 3!! 3 3 3... 3!! 3 3 3 - de alor açılımı... 3 3 3 İc ürev çelere O İdssel bçmde O İc derecede ürev ç ger ar ormülaso

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI İs oplaara İc derecede ürev ç açılım de alor açılımı... 3!! 3 3 3 - de alor açılımı... 4 4 4 İc ürev çelere O İdssel bçmde O İc derecede ürev ç merez ar ormülaso... 3!! 3 3 3 Brada... 4 4 O

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI Öre Sol ar delem -Kısm derasel delem arılaşırılması Zamaa göre ürev ç ler ar açılımı Koma göre ürevler ç zama adımıda merez ar açılımları α O O O [ ] O α Delemde erleşrlere Brada e blmee var Açı eplc ormülaso

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 7 KISMİDİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜİÇİN SONLU FARK YAKLAŞIMI Öre Sol ar delem -Kısm derasel delem arılaşırılması Zamaa göre ürev ç ler ar açılımı Koma göre ürevler ç zama adımıda merez ar açılımları α O O O Delemde erleşrlere Brada 5 blmee var [ ] O α Kapalımplc ormülaso

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 8 ELİPİK DENKLEMLER İc derecede sadar elp delem a c c Posso delem halde a c c Laplace delem a sb c c c özel halde c Laplace c

ELİPİK DENKLEMLER Öre : Düz levhaı dam-drmda sıcalı dağılımı problem Hacm elemaıa doğrlsda brm zamada gre ve çıa ısılar d q A τd d d q d τd O τ Hacm elemaıa doğrlsda brm zamada gre ve çıa ısılar q A τd q d τd d Hacm elemaıı al ve üs üzelerde brm zamada çıa ısılar Qdd UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 9

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele ELİPİK DENKLEMLER Öre problem: Düz levhaı dam-drmda sıcalı dağılımı problem Düzeleere Dam-drmda elemaa gre ve çıa ısılar oplamıeş olacağıda d Q d d d d d d d τ τ τ τ τ Q 3-Bol halde τ Q z τ Q Levhaı alılığı ve le değşorsa Q τ τ τ İlavee ısıl leel asaısıve le değşorsa Q τ τ τ τ τ

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele ELİPİK DENKLEMLER Öre Problem: Q halde düz levhaı sıcalı dağılımıı hesaplaması Ağ ssem τ Q - N N - h h P İc derecede ürevler merez arlarla arılaşırılara 4 h

ELİPİK DENKLEMLER 4 Öre glama: h cm zl ve cm geşle 3 düz levhaıüs ve al üzeler zole h P 5 edlmşr. Üs al ve sol earlarıda sıcalı C sağearıda sıcalı C e levhaı.5 cm aralıla belrlemş oalarıda sıcalıları 3 4 5 6 7 8 hesaplaıız Merez arlarla arılaşırılara 4 h vea 4 Delemde 5 blmee var B delem 3 7 ade ç oaı her brde bağımsız olara azılablr. Kearlara omş oalarda azıla delemlerde sıır oşlları er alacaır. Öreğ P 3 oasıda 3 43 3 4 UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: İç oalar ve sıır oaları 4 4 4 34 44 54 64 74 84 3 3 3 33 43 53 63 73 83 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 3

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: Leer delem aımı -4-4 -4 3-4 4-4 5-4 6-4 7 - -4-4 -4 3-4 4-4 5-4 6-4 7 - -4 3-4 3-4 33-4 43-4 53-4 63-4 73 - UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 4

Öre glama: ELİPİK DENKLEMLER Gass elmaso öem le çözüm No:Delem ssem 5 dagoall oldğ gb arıca 5 dagoal harçdğer dagoallerde büü değerler sıırdır. B baımda Gass elmaso öem ere daha özel öemler düşüüleblr. 4 3.353.93.3 4.957 9.53 9.663 43..4989.894.834 6.94.6538 6.894 53.774.353.93.3 4.957 9.53 9.663 43. 3 4 5 6 7 8 Levha üzerde sıcalı dağılımıı daha hassas şelde hesaplama ç ağ apısı daha sıılaşırılablr Hassase arırmaı br dğer ol da Laplacehesaplare P oasıı sağ sol al ve üs araıda er ala omş oalar aıda çaprazda dğer 4 oaıda sol ve sağda al ve üs öşelerde er ala oalar aara 9 oalı br arılaşırma llamaır. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: Bas erasolebma/ Gass-Sdel öem le çözüm Laplace delem arı orm İerasoalgorması. Bas era öem: 4 4 8 erasoda sora. hassasele aısamış çözüm soçları \ 3 4 5 6 7 8 4 3.353.933.5 4.959 9.533 9.663 43..499.896.835 6.95.6539 6.895 53.775.353.933.4 4.958 9.53 9.663 43. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6

ELİPİK DENKLEMLER Bas era öem hızladırılması Ardarda aşırı gevşeme SOR öem: Laplace delem arı orm 4 İerasoalgorması. 4 ω 4 ω ω Aşırı gevşeme çarpaı....3.4.5.6.7 Đeraso saısı 8 5 5 7 9 39 4 Aşırı gevşeme çarpaıı opmm değer Drchle p sıır oşllarıı llaıldığı ddörgesel br hesap bölges ç hesaplaablr: [ cos π / p cos π / q ] ω 6ω 6 p 8 q 4.66ω 6ω 6 UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele ω 4.74796 ω.668 7

ELİPİK DENKLEMLER Bas era öem hızladırılması Ardarda aşırı gevşeme SOR öem: Laplace delem ç bas eraso ormülü Br ez elep çıarılara İc erm alııolp br ω ağırlı çarpaı llaılara 4 4 ω 4 4 4 Düzeleere ω ω 4 Aşırı gevşeme çarpaı....3.4.5.6.7 Đeraso saısı 8 5 5 7 9 39 Aşırı gevşeme çarpaıı opmm değer Drchle p sıır oşllarıı llaıldığı ddörgesel br hesap bölges ç aşağıda ormülle hesaplaablr: [ cos π / p cos π / q ] ω 6ω 6 p 8 q 4.66ω 6ω 6 ω. 668 ω 4. 74796 UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 8

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: Posso delem Ddörgesel esl br çbğ es boları6 8 dr. B çb ç brlma oso çözüüz. Çbğ brlmasıhalde eğesel gerlmeler brlma oso ısm ürevlerle oraılı olp brlma oso ç delem: ϕ Sıır oşl çb es earlarıda ϕ şeldedr Arı delem 4 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ h İerasoalgorması. SOR eraso ormülü ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ 4 ϕ ϕ 4 ϕ h h UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 9

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: Posso delem h olma üzere olşrla br ağ apısı ç opmm aşırı gevşeme çarpaı.383 4 erasoda. hassasele aısaa çözüm soçları \ 3 4 5 6 8....... 7..4 3.47 3.353 3.47.43. 6. 3.3 4.794 5.39 4.794 3.3. 5. 3.657 5.686 6.335 5.686 3.657. 4. 3.88 5.959 6.647 5.96 3.88. 3. 3.657 5.686 6.335 5.686 3.657.. 3.3 4.794 5.39 4.794 3.4...43 3.48 3.354 3.48.43........ UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 3

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: Kalılığı.5 cm ola 5 cm 9 cm bolarıda düz levhaı her erde Q.6cal/cm³s büülüğüde ısı ürem vardır. ürev csde sıır oşl Al earda / 5 şddede br ısıabımevc e a earlar C sab sıcalıa lmaadır. -.6 /.73-5 / 5 Üs earda çevre le -/ H O - s ormülüarıca ısıalışverş söz osdr. Brada.6 ısıl leel asaısı H.73 ısıraser asaısı s 5 C çevre sıcalığı. O büülüğülevhaı z üs earıda sıcalılarıbelrmeedr. Levha üze zole edlmşolp çevre le ısıalışverş or. Hücre geşl ve üseller eş ve cm alara dam-halde sıcalı dağılımıı hesaplaıız. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 3

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: ürev csde sıır oşl Delem Arılaşırılmışdelem Q τ 4 h Q τ SOR eraso ormülü N N N - -.6 /.73-5 ω 4 4 Qh 4τ Ya earlarda Drchle p a csde sıır oşlları verlmş Al ve üs earlarda Nemap a ürevler csde sıır oşlları verlmş - / 5 N - UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele Al ve üs earlarda sıır oşllarıı glama ç earda hzalıa haal brer ear alıablr 3

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: ürev csde sıır oşl Al earda sıır oşl h 5 3h N N N - -.6 /.73-5 Üs earda sıır oşl H O s - / 5 N - N h N H N s hh N N N s UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 33

ELİPİK DENKLEMLER Öre glama: ürev csde sıır oşl Aşırı gevşeme çarpaıı ω.43 değer ç 59 eraso socda. hassasel aısama le elde edle soçlar \ 3 4 5 6 7 8 9 6 45.93 6.86 7.96 76.876 76.876 7.96 6.86 45.93 5 73.5 7.95 8.859 38.86 38.86 8.859 7.95 73.5 4 9.95 37.476 66.733 8.743 8.743 66.733 37.476 9.95 3 99.793 55.6 89.855 6.669 6.669 89.855 55.6 99.794 3.98 63.9.956 9.49 9.49.956 63.9 3.98.76 6.539.44.63.63.44 6.539.76 94.589 5.834 9.669.958.958 9.669 5.834 94.589-7.76 3.539 7.44 9.63 9.63 7.44 3.539 7.76 UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 34

ELİPİK DENKLEMLER Çzgde bas erasolgs- Le Gass-Sdel öem: Daha öce celee büü örelerde açı eplc ormülasola çözümler apılmışır. Br çzg br saır vea süü olablr üzerde oalar ç apalımplc ormülaso glaara daha hızlı çözümler elde eme mümüdür. Hesaplama see değerler Sıır değerler c adımda ble değerler ıcı adımda ble değerler Çzg boca b oalarda azıla delemler üç-dagoall br delem ssemle soçlaır. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 35

ELİPİK DENKLEMLER Çzgde bas erasolgs- Le Gass-Sdel öem: Öre problem: Levha üzerde sıcalı dağılımı: Laplace delem arı orm 4 Saır doğrlsda apalı ormülaso 4 İeraso algorması N 3... 4... N -... N N N No: Her saırda olşa üç-dagoall delem aımı homas öem le çözülür Bezer br glama sü doğrlsda apalı ormülaso llaılara apılablr UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 36

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 37 ELİPİK DENKLEMLER Çzgde bas erasoöem ç ardardaaşırıgevşeme: LGSOR Le Gass-Sdel Sccessve Over Relaao Öre problem: Levha üzerde sıcalı dağılımı: Laplace delem arı orm Saır doğrlsda apalı ormülaso 4 4 4 ω ω ω ω 4 ω ω Aşırıgevşeme le eraso ormülü NO: Bezer glama sü doğrlsda apalı ormülaso le apılablr 4 4 ω ω ω ω 4 ω ω

Değşe ölü apalı ormülaso: ADI Alerae Dreco Implc ELİPİK DENKLEMLER NJ B öemde br eraso adımı arım eraso adımı şelde düşüülür NJ - NJ - - - - NI c adım öüde apalı şema le çözüm - ıcı adım büü düğüm oalarıda çözümler blor UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele NI NI ½ c adım öüde apalı şema le çözüm çözümü bldğ düğüm oası çözümü aradığı düğüm oası 38

ELİPİK DENKLEMLER Değşe ölü apalı ormülaso: ADI Alerae Dreco Implc Brc arım adım: Saır doğrlsda apalı ormül 3... ½ ½ ½ ½ 4... N... N İc arım adım: Sü doğrlsda apalı ormül 4... N... N ½ UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 39

PARABOLİK DENKLEMLER Öre: Zamaa bağlı br-bol ısı aışı problem Gre ısı d Çıa ısı : ısı lem asaısı c : brm üle ve brm sıcalı başıa depolaa ısı L Zamaa bağlıhalde orol hacmde depolaa ısı d A d A d d d d d Korol hacme solda gre ve sağda çıa ısılar d cρ Ad d d A d Daha geel halde A d d d d d cρ d Ad d d d UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele c ρ d d d cρ d z z z c z ρ z z d d 4

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 4 PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısıdelem çözümü: Açı ormülasofcs -Forwardme Ceral Space Delemde erleşrlere -. N N d oasıda aıda zamaa göre ürev İler arlarla aıda oasıeraıda oma göre ürev merez arlarla d d c d d ρ r r r Vea düzeleere c r ρ ürevler Brada Sıır oşlları N Başlagıç oşlları N

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Açı ormülasofcs r r r... N 3... B ormülasozamada lerlee br çözüm algormasıı ade emeedr. -. N N Çözüm br başlagıçaıda sıcalığıı büü oalarıda ble başlagıç değerler le başlaılmaadır. Sora zama adımlarıda öce adımda bla sıcalılar ve sıır oşllarıgereğ çbğ cda ble sıcalı değerler llaılmaadır. Yöeme açı eplc şema delmes ede oasıda sıcalığı öce adımda ble sıcalı dğerler llaılara doğrda hesaplaablmesdr. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 4

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Öre problem cm alılığıda ço geş br çel levha çde sıcalı dağılımıı zamaı oso olara hesaplaıız. Çel ç.3 cal/s cm C c. cal/gr C ve ρ 7.8 gr/cm³olara verlmşr. Levha ço geş oldğ ç aal doğrllarda ısı aışları hmal edlere sadece levha üzelere d doğrlda ısı aışı dae alıacaır. aıda levha çde sıcalı dağılımı < < < < Sıır oşlları C C olara verlmşr Levha alılığıı 8 e bölere.5 alıız UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 43

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Öre problem Hücre saısı.5 N L / /.5 8 Uç oalarıı oordaları... N FCS ormülaso r r r Problem çözümüde zama adımıı büülüğü r büülüğüü seçme bağlıdır. r.5halde r r r rcρ.5. 7.8.5 cρ. 6 Sıır oşlları... N Başlagıç oşlları N N / / UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 44

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Öre problem r.5.5.5.75. zama adımı saısal saısal aal saısal saısal aal 5. 5. 5. 75....6 5. 5. 49.58 75. 75. 8.6.43 5. 5. 47.49 6.5 75. 7.8 3.69 5. 43.75 44.68 6.5 6.5 65.46 4.85.88 43.75 4.7 53.3 6.5 6. 5.3.88 37.5 38.79 53.3 53.3 55.4 6.38 8.75 37.5 35.99 45.3 53.3 5.8 7.444 8.75 3.3 33.37 45.3 45.3 47.33 8.65 6. 3.3 3.9 38.67 45.3 43.79 9.856 6. 7.34 8.63 38.67 38.67 4.5.63 3.67 7.34 6.5 33. 38.67 37.5.69 3.67 3.34 4.55 33. 33. 34.7.475.67 3.34.73 8.7 33. 3.5 3.68.67 9.9.4 8.7 8.7 9.76 4.888 9.96 9.9 9.48 4.5 8.7 7.55 8 C 6 4 Comma -------. -------.5 4 6 8 4 6 s UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 45

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 46 PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Cra-Ncolso apalı-şeması FCS şemasıda omsal ürevler merez arlarla zamaa göre ürevler se ler arlarla arılaşırılmışır. -. / Zamaa göre ürev zama aralığıı orasıda arılaşırılmışgb göz öüe alıırsa merez arla arılaşırılmış gb değerledrleblr / B drmda omsal ürev de ve zama adımlarıda merez arlarla arılaşırılmış değerler oralaması olara alıması g olr /

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 47 PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Cra-Ncolso apalı-şeması c ρ Arılaşırılmışürevler delemde erleşrlere Delem düzeleere Brada... N R U M L ç L R U M N ç U R M L c r ρ r U r M r L r r r R

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: Cra-Ncolso apalı-şeması Cra-Ncolsoşemasıapalıbr ormülasoolp r herhag br değer ç ararlılı sor or. r.5 r. aal saısal haa aal saısal haa.6 8.6 8.3.8.43 7.8 7.3.9.43 7.8 73.48.3.85 6. 6.53.4 3.69 65.46 66.86..38 5.8 5.97.5 4.85 6. 6.34..65 43.79 44.67. 5.3 55.4 56.5..63 37.5 38.9. 6.38 5.8 5...475 3.5 3.88.3 7.444 47.33 48.3..888 7.55 8.3.5 8.65 43.79 44.7. 3.3 3.6 4.3.6 9.856 4.5 4.4..63 37.5 38.36.3 8 6 4 Comma -----r. -----r.5 3 4 Haalar daha öce açı ormülasolar.5ç hesaplaa değerlerde üçüür. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 48

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 49 PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: ea öem Cra-Ncolsoşemasıda zamaa göre ürev zama aralığıı orasıda merez arlarla açılmışır. eaöemde zamaa göre ürev zama aralığıı θçarpaıle belrlee br oasıda arılaşırılır c θ θ ρ r r r r r r ] [ θ θ θ θ θ θ Brger987 çözüm ç opmm br değer < θ< /3 aralığıda elde edleceğ belrmşr

PARABOLİK DENKLEMLER Br-bol ısı delem çözümü: ea öem r.5 saısal çözümler haalar aal ea /3.878..5. ea /3.878..5......6 8.6 83.63 84.94 85.57 8.3 75. 3.57 4.88 5.5.6-5.6.43 7.8 74.8 75.35 75.95 73.48 75..48 3.55 4.5.68 3. 3.69 65.46 67.44 68.5 68.74 66.86 6.5.98.79 3.8.4 -.96 4.85 6. 6.8 6.48 6.89 6.34 6.5.7.37.78.3.39 5.3 55.4 56.95 57.53 57.88 56.5 53.3.53..46. -.3 6.38 5.8 5.6 53.5 53.47 5. 53.3.43.97.9.3.95 7.444 47.33 48.68 49.9 49.49 48.3 45.3.35.86.6.97 -. 8.65 43.79 45.9 45.59 45.88 44.7 45.3.3.8.9.9.5 9.856 4.5 4.79 4.8 4.56 4.4 38.67.7.76.4.88 -.85.63 37.5 38.74 39.3 39.5 38.36 38.67.3.7..85.6 E az haa θ.5 ç elde edlmşolp çözüm ç opmm değer < θ< /3 aralığıda elde edldğ görülmeedr. UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5

HİPERBOLİK DENKLEMLER Hperbol delemler çoğ ez zamaa bağlıdır. Br oram çersde reşmler ve özellle dalgaları asıl aıldığıı aımlarlar. B edele de dalga delemler olara adladırılırlar Öre: reşe a problem A B B α A A α B L d a elemaıı her ca ee vveler düşe bleşeler s α A s α B a α a α B A B A A d UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5

HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre: reşe a problem Ya elemaıa düşe öde ee e bleşe vve d Newo a ΣF ma d w d g g w Brada w : Yaı brm zl başıa ağırlığı Hperbol delem İ-bol halde a ere br membra davl zarı vs gb dae alıırsa g w UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 5

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 53 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre: reşe a problem saısal çözüm Düzeleere w g Koma görev ürev ç hesaplamış zama adımıda merez ar açılımı Zamaa göre ürev ç hesaplamışzama adımı eraıda merez ar açılımı w g w g Vea w g w g

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 54 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre: reşe a problem saısal çözüm Kararsızlığı olmaacağı e büü değer ç w g w g w g g w herhag br zama adımıda hesap ç daha öce zama adımıa ve - a değerlere geresm oldğ görülmeedr. B hesaplama eğ aca c zama adımıda bare ürüülebleceğ açıır. B ç aıda ve l zama adımıda öelemeler blmes gerer. aıda değerler başlagıç değer olara verlmş olablr. Aca l zama adımıda öelemeler asıl elde edleceğ hss açı değldr. B hesap ç ve bda br öce -aıda! öelemeler blmes gerer

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 55 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre: reşe a problem saısal çözüm g da reşe br aı salıımlarıızamaa göre perod br oso oldğ dae alıırsa problem başlagıçaıe br a olp çözüm ç b ada hızları ve vmeler blmes geremeedr. Başlagıç aıda hızlar verldğ arde - aıda öelemeler blablr. Hızlar öelemeler zamaa göre ürev olp başlagıç oşllarıda brs olara verlmşse g Merez ar açılımıla g Ve delemde llaılara g

HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümsüz salıa a problem Br baoaı8 cm zlğda ve gr ağırlıa olp 4 gr lıbr vvele gerlmşr. Br cda cm mesaede br oada dege oma ıasla.6 cm çelere bıraılmışır. Ya boca öelemeler zamaı oso olara hesaplaıız. Hesaplamalarda cm alıız. Ya çelde heme sora bıraıldığı ç başlagıç hızları sıır alıacaır. Öelemeler her 6 adımda br erarladığıı göserz. Zama adımı w /8. 79 g 4 98 s Başlagıç aıda hızlar sıır olp Başlagıç aıda öelemeler g.3.6.3 < İl zama adımıda öelemeler ç Sora zama adımlarıda öelemeler ç g UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 56

HİPERBOLİK DENKLEMLER - Öre glama çeşl omlarıda değerler zamala değşm 3 4 5 6 7 8..3.6.5.4.3.....3.4.5.4.3.......3.4.3... 3. -.....3... 4. -. -. -...... 5. -. -. -.3 -. -.... 6. -. -. -.3 -.4 -.3 -. -.. 7. -. -. -.3 -.4 -.5 -.4 -.3. 8. -. -. -.3 -.4 -.5 -.6 -.3. 9. -. -. -.3 -.4 -.5 -.4 -.3.. -. -. -.3 -.4 -.3 -. -... -. -. -.3 -. -..... -. -. -...... 3. -.....3... 4....3.4.3... 5..3.4.5.4.3... 6..3.6.5.4.3... 7..3.4.5.4.3... 8....3.4.3... 9. -.....3.... -. -. -...... UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 57

HİPERBOLİK DENKLEMLER - Öre glama Ya 6zama adımıda sora erar es oma gelmee ve daha sora da aıharee erar emeedr. Ba göre haree reası 35 Hz 6.79 B dalga haree ç aal çözüm g 4 98 35 L w 8 /8 Hz UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 58

HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümlü salıa a problem Br aı söümleme es alıda reşm haree ada delemle modellemeedr. g w B Ya zlğ L 5 a gerlme vve 4 lb brm zl başıa a ağırlığı w. lb/ söümleme vve B. olara verlmşr. Sıır oşlları L Başlagıç oşlları / 3 5/ / < 3 3 < 5 [ ] 5 olma üzere b aı haree delem çözüüz UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 59

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümlü salıa a problem B w g - - N N L Koma göre c ürev Zamaa göre c ürev Zamaa göre brc ürev Arılaşırmalar w g c olma üzere delemde erleşrlere B c

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümlü salıa a problem Düzeleere w g c olma üzere B c B Q c R [ ] Q R R Q Brada > ç [ ]... N Q Q R R olp hız ç verle başlagıçoşlda 5 5 Arıca ç [ ] Q R R Q

HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümlü salıa a problem llaılara R [ R] Q 5 ve düzeleere [ R] Q R 5 Ağ apısı ve oşllar Nade hücre ç Ağ apısı Başlagıç oşlları L N... N N / 3 5/ < 3 3 < 5 /... N Sıır oşlları N UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 6

UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 63 HİPERBOLİK DENKLEMLER Öre glama: Söümlü salıa a problem w g c / 3.85 /. 4 5 B s g lb w lb L c R [ ] 5 Q R R [ ] Q Q R R B Q... 5 3 / 5/ 3 / 3 N < < N

HİPERBOLİK DENKLEMLER - D Alember çözümü reşe a problem aal çözümüd Alemberçözümüolara blr. Fve Ge osolar olma üzere çözüm ürevler alıara F c G c şelde öerlmş ols F c G c F ' c G ' c c c F c G c F ' G ' c c c F'' G'' F'' G'' Delemde erleşrlere g w g c F G F G w eşlğ c g w ç sağladığı görülmeedr UCK348 Mühedsle Blgsaar Uglamaları Ders oları M. Adl Yüsele 64