HİDROLİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU
Ders Hakkında Genel Bilgiler Görüşme Saatleri:---------- Tavsiye edilen kitaplar: 1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL. ) 2-Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik Problemleri (Cemil Ilgaz, M. Emin Karahan, Atıl Bulu İTÜ) Web sayfası: http://www.erzurum.edu.tr/personeldetay/142/3012/fatihtosunoglu Ortalama: Ödevler %10 Vizeler %40 Final %50
BÖLÜM 1: BORU HİDROLİĞİ BORULAR İÇERİSİNDEKİ AKIM
1-HAREKET DENKLEMİ Aşağıdaki şekilde gösterilen D çaplı boru içerisindeki, zamanla değişmeyen akımı düşünelim; Şekil 1
Şekilde gösterilen r yarıçapında, diğer boyutu Δx olan silindirik akışkan parçası için hareket denklemini yazalım; Bu akışkan parçasına eksen doğrultusunda tesir eden kuvvetler; a- Silindirik parçanın taban yüzeyine etki ederek bu parçanın yukarı doğru hareketine sebep olan basınç kuvveti; b- Silindirik parçanın diğer yüzeyini etkileyen basınç kuvveti; p r 2 c-parçanın kendi ağırlığının akım doğrultusundaki bileşeni; d-akışkanın viskozitesi sebebiyle silindirik parçanın yüzeyi boyunca etkiyen sürtünme gerilmelerinin bileşkesi olan sürtünme kuvveti;
Bu bilgilere göre hareket denklemi; (1) O halde denklem-1 den; (2)
Denklem 1 ve 2 den; (3) (4) (Şekil 1)
2. LAMİNER AKIM (HAGEN-POISEUILLE AKIMI) Laminer akımda akışkan parçacıkları birbiri üzerinde kayarak, birbirine paralel hareket eder. Su zerreleri birbiri içerisine karışmaz. Bu akıma düzenli akım da denir. Laminer akımın tabiatta rastlanan tipik örneği yer altı suyu akımıdır. Zemin içindeki boşluklardan her yönde akan akımı, sanki bütün toprak kesiti içinde akıyormuş gibi kabul ederek filtre akımı diye tanımlanır. Kalın yağların veya süzülmüş balın akımları laminer akıma iyi birer örnek oluştururlar. Şimdi boru içerisindeki akımın Laminer olduğunu düşünelim. Akımın laminer olması halinde, τ kayma gerilmesinin Newton un viskozite kanunundan; (5) olduğunu Akışkanlar Mekaniği dersinden biliyoruz.
Burada μ akışkanın dinamik viskozite katsayısıdır. u ise akım hızı olup Şekil 1 de gösterildiği gibi kesit içerisinde değişmektedir. Bu bölümde bizim amacımız u hızının kesit içerisinde nasıl değiştiğini belirlemektedir. Denklem 4 ve 5 ten; (6) İntegral alarak; (7) y=0 da u=0 sınır koşulundan sabit=0 bulunur.
Hemen dönmek üzere denklem 7 yi bir kenara bırakıp, şu önemli tanımı yapalım. ρ akışkanın özgül kütlesi olmak üzere, hız boyutunda bir büyüklüktür; biz bundan sonra bu büyüklüğü ile göstereceğiz ve a kayma hızı diyeceğiz; (8) O halde denklem 7 ve 8 den, da göz önünde tutarak, u hız dağılımı; (kinematik viskozite katsayısı) olduğunu (9) veya r cinsinden; (10)
Bu bir parabol denklemidir. Olayda eksenel simetri olduğunda, hız dağılımının bir paraboloid olması gerekir. Akımın ortalama hızı; (11) şeklinde tanımlanmıştı. Burada Q debi, A kesit alanıdır. O halde dairesel kesitli bir boru için ortalama hız (Şekil 1); (12)
Denklem 9 ve10 daki ifadeyi denklem 12 de yerine koyarak; (13) ifadesi elde edilir. olduğundan denklem 1 e göre; ifadesi şeklinde yazılabilir ve bu denklem 13 de (ortalama hız denklemi) yerine konularak laminer akım için ortalama hız denklemi şu şekilde bulunur. (14)
Bu bağıntı bize, boru boyunca birim boy için basınç düşmesi arttıkça hızında artacağını söylemektedir. Süreklilik formülünden debi değeri; (15) olur. Boru yatayda bulunuyorsa bağıntı aşağıdaki şekilde ifade edilir; (16) Buna Hagen-Poiseuille denklemi denir.
3-TÜRBÜLANSLI AKIM Bir borudaki akım düşük akış hızlarında laminer, büyük akım hızlarında ise türbülanslıdır. Boru cidarının yakınındaki bölgede akımın hızı çok küçüktür ve tam boru cidarı üzerinde ise sıfırdır. Bu nedenle ince bir tabaka halinde tüm cidarı sıvayan bu bölge de laminer karakterdedir. Bu bölgeye viskoz alt tabaka denir. Bunun haricindeki bölgeye de çekirdek bölgesi denir (Şekil 2). Şekil 2.
3.1. Viskoz Alt Tabaka Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok ince olduğundan, bu tabaka içerisinde τ kayma gerilmesi, tam cidar üzerindeki değere, yani τ 0 a eşit alınabilir; Diğer taraftan, bu tabaka içerisindeki akım madem ki laminer karakterde bir akımdır. O halde; yazılabilir ve; (17) (18) (19) şeklini alır.
du u 2 * dy (20) yazılarak integral alınırsa, (21) bulunur. y=0 için u=0 olduğundan integral sabiti sıfırdır ve olduğu da gözönünde tutularak, viskoz alt tabakadaki hızın y ile değişimi için aşağıdaki bağıntı bulunur. (22) Bu bağıntıdan görüldüğü gibi, viskoz alt tabaka içerisinde hız cidardan olan uzaklıkla doğrusal olarak değişmektedir. Yapılan laboratuvar çalışmaları sonucunda viskoz alt tabakanın kalınlığı (δ) için aşağıdaki bağıntı bulunmuştur. (23)
3.2. Çekirdek Bölgesi (24) Türbülanslı akımda ifadesinin sayısal değeri (25) Şeklindedir.
Bu nedenle türbülanslı akımda viskozite terimi olan terimi ihmal edilerek ve bağıntı aşağıdaki şekilde yazılabilir. değerleri yaklaşık olarak sabit kabul edilerek, (26) (27) (28) Şeklinde ifade edilebilir.
Burada μ T türbülans viskozitesi olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır; (29) Burada, l karışım boyudur. Yapılan deneysel çalışmalar sonucunda olduğu bölgede l=0.4 y olduğu görülmüştür. 0.4 değerine Von Karman sabiti denir. Bu değer denklem 23 de yerine konularak aşağıdaki bağıntılar bulunur Denklemin integrali alınarak (30)
(31) (32)
(33)
(34)
Şekil 3
3.3. Pürüzlü Cidar
(35) Denklem 30 ve 35 den; (36) Dolayısıyla denklem 30 ve 36 dan, u hız dağılımının y ile değişimi aşağıdaki şekilde olur; (37)
Bir önceki bölümde yapılan işleme benzer şekilde, denklem 37 denklem 12 de yerine konularak pürüzlü cidar halinde ortalama hızı V aşağıdaki şekilde elde edilir; (38)
4-ENERJİ (YÜK) KAYBI (39)
Şekil 6
(40) 1 ve 2 kesitleri arasındaki enerji kaybı ki buna yük kaybı da diyebiliriz; (41) Şekil 6 daki enerji yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye enerji çizgisi ve piyezometrik basınç yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye de piyezometre çizgisi denir.
(42) dir. O halde denklem 41 ve 42 den; (43) Denklem 2 ve 43 ten enerji (yük) kaybı;, olduğu da hatırlanarak birim boydaki (44)
(45)
Şekil 7
Şekil 7b. Moody diyagramı
Problem 1:
Problem 2:
Problem 3:
Problem 4:
5. HİDROLİK YARIÇAP CİNSİNDEN ENERJİ (YÜK) KAYBI
Tablo 5. Dairesel kesitli olan ve olmayan borular için enerji kaybı bağıntıları
Problem 5: 20 C sıcaklıktaki hava, 500 m uzunluğunda dikdörtgen kesitli (30 cm x 20 cm) pürüzsüz düz bir boru içinde Q=0.24 m 3 /sn debi ile akıtılacaktır. Yük kaybını hesaplayınız