ELEKTROMANYETİK DALGALAR Hareket eden bir yük manyetik alan oluşturur. Yük sabit hızla hareket ederse, sabit bir akım ve sabit bir manyetik alan oluşturur. Yük osilasyon hareketi yaparsa değişken bir manyetik alan oluşturur. Değişken bir manyetik alan da elektrik alan oluşturur. Aynı zamanda değişken elektrik alan da manyetik alan oluşturur. Böylece osilasyon hareketi yapan bir yük elektromanyetik alan oluşturur. Elektrik veya manyetik alanlarda bir tanesi zamana göre değişmeye başlayınca etrafını etkiler ve civarında diğer tür bir etkilenme alanı oluşturur. Bütün bu olayları tek bir teoride birleştiren Maxwell (İskoçyalı fizikçi James Clerk Maxwell, 1831-1879) bir bölgede zamanla değişen elektrik ve manyetik alanlar nedeniyle elektromanyetik bir bozulmanın uzayda bir bölgeden diğerine ilerleyebilmesinin mümkün olduğu fikrini ileri sürmüştür. Bu bozulmanın ilerlemesine uzayın boşluktan meydana gelmesi engel değildir. Böyle bir bozulma eğer varsa, dalga özellikleri taşımak zorundadır. Bu tür bozulmalara elektromanyetik dalga denir. Elektromanyetik Dalgaların Önemli Özellikleri: Enine dalgadır, E ve B birbirlerine diktir aynı zamanda her ikisi de dalganın yayılma doğrultusuna diktir. Dalganın yayılma yönü E x B vektörel çarpımın yönündedir. E ve B nin büyüklükleri arasında şeklinde bir oran vardır. Dalga boşlukta kesin ve değişmeyen bir süratle ilerler. Mekanik dalgalarının aksine, elektromanyetik dalgaların yayılması için maddesel bir ortama ihtiyaç yoktur. MAXWELL DENKLEMLERİ Elektrik ve manyetik alanlar ve bunların kaynakları arasındaki bağıntılar Maxwell denklemleri olarak bilinen dört denklem ile verilmektedir. Maxwell denklemleri elektromanyetizmanın bütünü için temel denklemleridir. Manyetik ve dielektrik madde yokken Maxwell denklemleri şöyledir: 1) : için Gauss Yasası (1.a) 2) : için Gauss Yasası (1.b) 3) : Faraday Yasası (1.c) 4) : Yer değiştirme akımını da içeren Amper yasası (1.d) 1) Maxwell denklemlerinin iki tanesi (1.a ve 1.b) ve nin kapalı bir yüzey üzerinden integralini içerir. Birincisi basitçe elektrik alan için Gauss yasasıdır ve herhangi bir kapalı yüzey üzerinden nin integralinin, ile yüzey içindeki net Q yükünün çarpımına eşit olduğunu ifade eder. 2) İkincisi (1.b), manyetik alanlar için benzer bir bağıntıdır ve nın kapalı bir yüzey üzerinden yüzey integralinin daima sıfır olduğunu ifade eder. Bu ifadenin anlamı, başka bir şeylerin yanında, manyetik alan kaynağı gibi davranan manyetik monopollerin (tek manyetik yükler) var olamayacağıdır. (Burada, elektrik alanı ) nin; ise nin seçilen kapalı yüzeye dik bileşenlerini temsil eder). 1
3) Üçüncü denklem (1.c) Faraday yasasıdır ve değişen bir manyetik alan veya manyetik akının bir indüksiyon elektrik alanına neden olduğunu ifade eder (burada B manyetik akıdır). Eğer değişken bir manyetik akı varsa, (1.c) denklemindeki çizgi integral sıfırdan farklıdır, değişen manyetik akı alan oluşturur. Bu çizgi integralinin hareketsiz bir kapalı eğri üzerinden alınması gerektiğini biliyoruz. 4) Dördüncü denklem (1.d) yer değiştirme akımını da kapsayan Amper yasasıdır. Burada iletkenlik akımı ve yer değiştirme akımı manyetik alan kaynağı gibi davranır (burada elektrik akısıdır). Yukarıda verdiğimiz denklemler boş uzaydaki elektrik ve manyetik alan için geçerlidir. Ortamda bir malzeme varsa, denklemlerde boşluktaki dielektrik geçirgenliği ve manyetik geçirgenliği yerine, ortamdaki malzemelerin ( ) ve ( ) kullanmak gerekir. relatif dielektrik ve manyetik geçirgenlik katsayısı. Birçok malzeme için sabittir ve yaklaşık 1 e eşittir, ancak frekansın fomksiyonudur ve ifadesi ile verilir. Bu konu daha sonra anlatılacak. Yukarıda verdiğimiz 1.a, 1.b, 1.c ve 1.d denklemleri MAXWELL DENKLEMLERİNİN integral biçimidir. Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Biçimi Maxwell denklemleri, çoğu kez denklem 1 de verilen integral biçiminden daha kullanışlı olan DİFERANSİYEL BİÇİMİ ile verilmektedir. Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimlerini elde etmek için matematik derslerinden bildiğimiz iki integral teoremini kullanacağız. 1. DİVERJANS TEOREMİ Üç boyutlu uzayda kapalı bir yüzeyi ele alalım. Kapalı yüzey ve bunun içinde kalan hacminde tanımlı bir ( ) vektör alanı olsun. vektörünün herbir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise (2) dir. Bu teorem bir vektör fonksiyonunun bir yüzey üzerindeki integrali ile diverjansının bu yüzeyin kuşatmış olduğu hacim üzerinden integrali arasında bir bağlantı kurar (Gauss veya Ostrogradsky teoremi olarak da bilinir). işlemcisine del işlemcisi denilir ve Kartezyen koordintlarda, (3) Biçiminde tanımlanmıştır. (4) İfadesine ise nin diverjansı denilir. 2
2. STOKES TEOREMİ vektör alanının kapalı bir yol boyunca çizgi integrali yerine, yüzeyi üzerinde nin integarli alınabilir. (5) Burada ye vektör alanının rotasyoneli denir. (6.a) veya ( ) ( ) ( ) (6.b) Şimdi bu iki integral teoremini kullanarak Maxwell denklemlerinin boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edeceğiz. Şimdi bu iki teoremi kullanarak Maxwell denklemlerinin boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edebiliriz. 1. Diverjans (Gauss) teoremini Denklem (1.a) ile verilen Gauss Yasasına uygulayalım: (7) Şimdi elektrik yükü, yük yoğunluğu nun hacim integrali olarak yazılabilir: (8) Bunu 7-denkleminde kullanırsak (9) yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafında da aynı hacim üzerinde alınan integraller bulunmaktadır. Hacimlerin büyüklükleri ve şekilleri ne olursa olsun bunun doğru olabilmesi için integrantların eşit olması gerekir. (10) Bu eşitlik Gauss teoreminin diferansiyel biçimidir. 2. Maxwell denklemlerinin ikincisi olan eşitliği de aynı şekilde incelenirse (11) bulunur. 3. Şimdi stokes teoremini (denklem 5) Maxwell denklemlerinin üçüncüsüne (denklem 1-c) uygulayalım: (12) 3
Manyetik akı olduğundan, (13) nin konuma da bağlı olması nedeniyle kısmi türevini kullandık. Bunlar aynı yüzey üzerinden alınan integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için, hatta çok küçük bir yüzey bile olsa doğru olması bize, (14) denklemini verir. Bu Maxwell in diferansiyel biçimindeki üçüncü denklemidir. 4. Maxwell in son denklemine Stokes teoremini uygulayalım ve yazalım: (15) İletim akımı I yı akım yoğunluğu cinsinden yazılabilir: (16) O zaman Maxwell in dördüncü denklemi şu biçimi alır: (17) Büyüklüğü ve biçimi ne olursa olsun bu eşitliğin sağlanması için eşitliğin iki tarafındaki integrallerin integrantlarının birbirlerine eşit olmaları gerekir: Aşağıdaki Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri birarada verilmiştir. (18) BOŞ UZAYDA MAXWELL DENKLEMLERİ 1 2 İntegral Biçimi Diferansiyel Biçimi 3 4 4
Maxwell denklemlerine göre durağan bir nokta yük statik elektrik alanı üretirken, manyetik alanı üretmez. Öte yandan sabit hızla hareket eden bir yüklü parçacık ve alanlarının her ikisini de üretir. Bu yüklü parçacığın elektromanyetik alan üretebilmesi için ivmelenmesi gerektiği Maxwell denklemleri kullanılarak gösterilebilir. Maxwell denklemlerinin önemli bir sonucu da, ivmelendirilen her yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımak zorunda olmasıdır. Bir yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımasını sağlamasının bir yolu, parçacığa bir harmonik salınım yaptırmaktır. Elektromanyetik dalgalar dalga boyunun ve frekansının çok geniş bir tayfını içerir. Bu elektromanyetik tayf radyo ve TV vericisi, görünür ışık, kızıl ötesi ve mor ötesi yayılma, X- ışınları ve gama ışınlarının tamamını içerir. Elektomanyetik dalgaların 1 Hz ile 10 24 Hz frekans aralığında yayıldığı fark edilmiştir. Elektomanyetik tayfın en çok karşılaşılan kısmı yandaki Şekilde değişen yaklaşık dalga boyu ve frekans değerleri için gösterilmiştir. Şekil 1. Elektromanyetik Spektrumda Bölgeler. 5
Elektromanyetik Dalga Denklemi: Serbest yükün ve akımın olmadığı uzay bölgesinde ( ) Maxwell denklemlerini 1 2 3 4 şeklinde yazabiliriz. Şimdi 3 ve 4 denklemlerinin her iki tarafının t ye göre türevlerini alalım: (3.denkelemden) (19a) (4. denklemden) (19b) yazabiliriz. (19a) denkleminde yerine (19b) denkleminde yerine yazalım (4 ve 3 nolu Maxwell denklemlerinden); ( ) ( ) (20a) ( ) ( ) (20b) Her hangi bir vektörel alan için ( ) ( ) (21) yazıldığını biliyoruz. Burada (22) ve (23) dir. (21) ifadesini (20a) ve (20b) ifadesindeki ve vektörleri için kullanırsak ( ) [ ( ) ] (24a) ( ) [ ( ) ] (24b) ve olduğunu burada kullanırsak (25a) 6
(25b) Burada biliyoruz. Buradan ışığın boşluktaki hızı'dır ( ve olduğunu elde edilir). 25a ve 25b denklemini yeniden (26a) (26b) yazabiliriz. Bu iki denklem daha önce elde ettiğimiz dalga denklemleri ile aynı matematiksel formdadır ve elektromanyetik dalga denklemleri olarak bilinir. Burada ( ) ( ) ( ) (27a) ( ) ( ) ( ) (27b) olduğunu biliyoruz (Matematiksel kitaplarına bakınız). Şimdi (26a) ve (26b) dalga denklemlerini kullanarak elektrik alanı doğrultusunda, manyetik alanı doğrultusunda olan ve yayılma yönü -ekseni yönünde olan elektromanyetik dalganın denklemini yazalım: alanı doğrultusunda olduğu için türevinin sadece bileşeni olacaktır. Dalga -ekseni yönünde ilerlediği için vektörünün sadece bileşeni olacaktır ( vektörlerin eşit olma özelliğinden). ( ) ( ) ( ) olduğunu biliyoruz. 'nin ve 'e göre türevleri sıfır olmak zorundadır. Bu durumda olacaktır. Bu iki sonucu kullanırsak söylenen özelliklerdeki elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeninin denklemi (28a) olacaktır. Benzer şekilde (28b) olacaktır. 7
alan vektörünün sadece bileşeni olduğu için ( ) ve alan vektörünün sadece bileşeni olduğu için ( ) şeklinde ifade edilecektir. (şekil 3). Burada ( ) ve ( ) herhangi bir t anında elektrik ve manyetik alan vektörlerinin x-eksenine göre enine yer değişimleridir. ve bu alanların maksimum değerleri veya genlikleri, açısal frekans ( ); dalga sayısı ( ) ve dalga boyudur. (28a) ve (28b) dalga denklemlerinin çözümü için ( ) ( ) (29a) ( ) ( ) (29b) yazabiliriz. Dalga fonksiyonlarını vektörel olarak da yazabiliriz; ( ) ( ) (30a) ( ) ( ) (30b) Şekil 3 de -yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalga gösterilmiştir (ilerleme yönü vektörü yönündedir). UYARI: sembölünün iki anlamı vardır. İki farklı olduğuna dikkat ediniz; +z-yönünde birim vektör ve dalga sayısı k. Şekil-3'de ekseni yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalgayı göstermektedir. ve alanları birbiriyle uyum içinde (aynı fazda salınmaktadırlar, yani ve aynı anda maksimum veya sıfırdırlar. Ayrıca eğer vektörü yönünde ise vektörü yönündedir. vektörü uzayın bütün noktalarında dalganın yayılma doğrultusundadır ( yönünde). Şekil-3'deki dalga doğrultusunda kutuplanmıştır; alan vektörü daima eksenine paraleldir. Bu tür dalgalar düzlemine paralel olan bütün düzlemlerde aynı tür alanlara sahiptir ve DÜZLEM DALGALAR olarak tanımlanır. Dolaysıyla, elektrik ve manyetik alanlar birbirine diktir ve yazılabilir. 12a ve 12b dalga denklemlerinin genel çözümleri için yazabiliriz. ( ) ( ) ( ) ( ) 8
Elektromanyetik Dalgalarda Enerji ve alanlarının bulunduğu bir boş uzay bölgesinde toplam enerji yoğunluğunun ( ) aşağıdaki bağıntıyla verildiğini biliyoruz (Temel Fizik II dersinde incelediniz): (1) Boşluktaki elektromanyetik dalgalar için ve 'nin büyüklükleri arasındaki bağıntının ise (2) ile verildiğini de biliyoruz (denklem 2 yi boşluktaki basit bir elektromanyetik dalganın şeklinde de yazabiliriz.) Denklem (1) ve (2) birleştirilince, toplam enerji yoğunluğunu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. ( ) (3) Bu denklemin gösterdiğine göre, boşlukta dalganın elektrik alanındaki enerji yoğunluğu, manyetik alanındaki enerji yoğunluğuna eşittir. Elektromanyetik dalgada, elektrik alanın büyüklüğü konumun ve zamanın bir fonksiyonudur; o halde toplam enerji yoğunluğu da konum ve zamana bağlıdır. Elektromanyetik Enerji Akışı ve Poynting vektörü Elektromanyetik dalgalar bir bölgeden diğerine enerji aktaran ilerleyen dalgalardır. Bu enerji aktarımını, dalganın ilerleme doğrultusuna dik bir yüzey için, birim zamanda birim kesit alana aktarılan enerji veya birim alandaki güç cinsinden tanımlayabiliriz. Enerji akışı ile elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi anlamak için, eksenine dik olan ve herhangi bir zamanda dalga cephesiyle örtüşen bir durgun düzlem düşünelim. Bir zamanından sonra, dalga cephesi düzlemin sağına doğru mesafesi kadar ilerler. Bu durgun düzlem içinde bir yüzey alanını ele alırsak (Şekil-4), bu alanın sağında bulunan uzaydaki enerjinin yeni konumuna ulaşmak için alanından daha önceden geçmiş olması gerekir. Söz konusu bölgenin hacmi, taban alanı ile mesafesinin çarpımına eşittir ve bölgedeki enerjisi ise enerji yoğunluğuyla bu hacminin çarpımına eşittir: ( )( ) (boşlukta) (4) Şekil-1 9
GÜÇ: Herhangi bir kapalı yüzeyden birim zamanda geçen toplam enerji akışı (yani güç, P) nin yüzey üzerinden integraline eşittir. (5) Bu enerji alanından zamanı içinde geçer. Birim zamanda ve birim alandan geçen enerji akışı ( olarak tanımlanır) için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz: (6) Bu değer nin anlık değeridir. Bu denklemi yeniden ( ) (7) şeklinde yazabiliriz. : olarak tanımlanır. SI birim sisteminde 'nin birimi 'dir. Enerji akış hızının büyüklüğünü ve yönünü birlikte açıklayan bir niceliği tanımlayabiliriz. (8) vektörüne İngiliz fizikçi John Poynting'in (1832-1914) anısına Poynting vektörü denir. Vektör yönü şekil-1'de görüldüğü gibi dalga yayılma yönü ile aynıdır. ve birbirine dik olduklarından olduğunda (9) dir. Poynting Vektörünün Ortalaması: Sinüzoidal ve diğer karmaşık dalgalar için, herhangi bir noktadaki elektrik ve manyetik alanlar ve dolayısıyla Poynting vektörü zamanla değişir. Tipik elektromanyetik dalgaların frekansları çok yüksek olduğundan, Poynting vektörünün zamanla değişimi çok hızlıdır. Bu nedenle onun ortalamasına bakmak daha uygundur. nin ortalama değerinin herhangi bir noktadaki büyüklüğüne o noktadaki ışımanın ŞİDDETİ denir. Bir elektromanyetik dalganın şiddet ifadesini çıkaralım: ( ) ( ) ( ) [ ( ] [ ( ] 10
( ) [ ( )] (10) ( ) daima dalganın ilerleme yönündedir. Poynting vektörünü yeniden ( ) [ ( )] (11) yazabiliriz. Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak (12) elde edilir ( ( ) in bir periyot üzerinden ortalaması sıfırdır). Bir sinüzoidal dalga için nin ortalama değerinin büyüklüğü dalganın şiddetini verir ve nin maksimum değerinin yarısıdır. ve Bağıntılarını kullanarak, şiddeti birkaç eşdeğer biçimde ifade edebiliriz: ( ) (13) yönünde ilerleyen dalga için Poynting vektörü her noktada yönündedir ancak büyüklüğü ekseni yönünde ilerleyen dalganın Poynting vektörünün büyüklüğü ile aynıdır. Şiddet ifadesini eşitliğini kullanarak (14) şeklinde de yazabiliriz. Madde İçindeki Elektromanyetik Dalgalar Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamda da yayılırlar (havada, suda, cam içinde yayılan ışığı biliyorsunuz). Burada incelemelerimizi elektromanyetik dalgaların iletken olmayan yani dielektrik ortamlarda yayılması üzerine yoğunlaştıracağız. Boşlukta ilerleyen elektromanyetik dalgalar için kullandığımız yöntemi takip ederek, madde içinde ilerleyen elektromanyetik dalgaların hızını bulabiliriz; (15) Burada maddenin göreceli elektrik geçirgenlik sabiti ya da dielektrik sabiti, ise dielektrik geçirgenliğidir ( ). dielektriğin göreceli manyetik geçirgenlik sabiti, de manyetik geçirgenliğidir ( ). Yalıtkan malzemelerin çoğu için nin değeri 1 civarındadır (İletken ferromanyetik malzemeler hariç). olduğu durumlarda, dalganın malzame içindeki hızı (16) olur. 11
Dielektrik malzemeler için değeri her zaman 1 den büyük olduğundan (boşluk için ) elektromanyetik dalgaların dielektrik ortamlardaki hızı boşluktaki hızından daima oranında küçüktür ( ). Boşluktaki hızı ile maddesel ortamdaki v hızı arasındaki oran optikte malzemenin kırma indisi olarak bilinir. olduğu durumlarda dir. Bazı malzemelerin 20 de (17) dielektrik sabitleri Tablo 1 de verilmiştir. Maddenin dielektrik sabiti statik elektrik alanlarda ölçüldüğünden, Tablo 1 de verilen değerlerini bu denklemde kullanamayız. Alanlar hızla salındığından düzgün alanlarda oluşan elektrik dipollerin kısa bir süre içinde yönlerini yeniden ayarlamaları mümkün değildir. Hızla değişen alanlardaki değerleri genelde Tablo 1 de verilen değerlerden çok küçüktür. Örneğin suyun katsayısı tablo 1 de 80.4 olarak veriliyor, fakat görünür ışık frekans aralığında sadece 1.80 civarında değerler alır. Bu nedenle, dielektrik sabiti aslında frekansın bir fonksiyonudur ve ileri seviyedeki incelemelerde dielektrik fonksiyonu olarak bilinir. Tablo 1. Bazı malzemelerin 20 de dielektrik sabitleri Malzeme Malzeme Vakum (boşlu) 1 Polivinil klorür 3.18 Hava (1 atm) 1.00059 Pleksiglas 3.40 Hava (100 atm) 1.0548 Cam 5-10 Teflon 2.1 Neopren 6.7 Polietilen 2.25 Germanyum 16 Benzen 2.28 Gliserin 42.5 Mika 3-6 Su 80.4 Bazı malzemelerin kırma indisleri aşağıdaki Tabloda verilmiştir. 12