Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x + ) + (x )] (x )[x + + x ] (x )(x ) x x x x + x gerçel syılrının toplmı +. vey (x )(x ) 6x² 5x + 6 5 kökler toplmı : x + x (5) 5 6 6 Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Ktsyılrı Arsındki Bğıntılr x² + bx + c denkleminin kökleri x ve x ise kökler toplmı : x + x b
(+ x+ x² + x³).(x)². f(x) xx² + x³ olduğun göre, f( ) değeri kçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm I. Yol f(x) (+ x+ x² + x³).(x)² xx² + x³ [(+ x) + ( x² + x³)].(x)² (x) ( x² x³) [(+ x) + x².(+ x)](x)² (x) x².(x) [(+ x).(+ x²)].(x)² (x).(x ²) [(+ x).(+ x²)].(x)² (x).(x).(+ x) + x² f(x) + x² x olduğun göre, f( ) + ( )² + elde edilir. II. Yol f(x) (+ x+ x² + x³).(x)² xx² + x³ (+ x+ x² + x³).(x ).(x) x ( x² x³) (x ).(x) (x) x².(x) (x ).(x) (x).(x²) (x ) (x ²) f(x) x x² x olduğun göre, f( ) ( ( ) )² elde edilir. Not : x ( x²).( + x²) ( x).( + x).( + x²) ( x).(x³ + x² + x + )
. (x )(x² ) < eşitsizliğinin gerçel syılrdki çözüm kümesi şğıdki çık rlıklrın hngisidir? A), B), C), D), E), Çözüm (x )(x² ) < (x )(x )(x + ) < (x )².(x + ) < x x x + x Çözüm kümesi, olur. Not : f(x) A(x).B(x).C(x) biçimindeki ifdelerde; çrpnlrın her biri yrı yrı sıfır eşitlenip kökler bulunur. A(x), B(x), C(x) in en büyük üslüleri lınıp çrpılır. Elde edilen n x ifdesinde; nın işretinin ynı, en sğ (+ trf) yzılır. Sol doğru her köke rstldıkç işret değiştirilerek tblo işretlenir. (Çift ktlı köke rstlndığınd işret değişmez.)
. b ve syılrının en küçük ortk ktı dir. Bun göre, kç frklı b pozitif tm syısı vrdır? A) 6 B) 8 C) D) E) Çözüm I. Yol Okek(b, ) ³..5 ³.5 b syısınd çrpnı olcğın göre, b b., b ²., b ³. b.5, b..5, b ²..5, b ³..5 Bun göre, 8 frklı b pozitif tm syısı vrdır. II. Yol Okek(b, ) ³..5 ³.5 b syısınd çrpnı olcğın göre, b.?..5 ın pozitif bölenleri syısı : ( + ).( + ). 8
Not : Ortk ktlrın en küçüğü (okek) Syılr sl çrpnlrın yrılır. Ortk sl çrpnlrın en büyük üslüleri (üsler eşitse biri) ile ortk olmynlr lınır ve çrpılır. Not : Bir syının pozitif bölen syısını bulmk için o syı sl çrpnlrın yrılır ve üslerinin birer fzlsı lınıp çrpılır., b, c birbirinden frklı sl syılr olmk üzere A doğl syısı A. A nın (m + ).(n + ).(p + ) tne pozitif böleni vrdır. m n p. b c biçiminde ise 5. f(x) x + fonksiyonunun tnım rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) x 5 B) x 5 C) x D) x E) 5 x Çözüm 5 x + x + x + 5 x Not : n çift olmk üzere n ifdesinin tnımlı olmsı için olmlıdır. 6. Gerçel syılrdn gerçel syılrın bir K lt kümesine tnımlı f(x) x + 8, x < ise x +, x ise fonksiyonu örten olduğun göre, K kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) [, ) B) [5, ) C) [, 5] D) (, 5) E) (, )
Çözüm 6 f : R K R ve f(x) fonksiyonu örten olduğun göre, x < ise x > x + 8 > + 8 x + 8 > 5 x ise x + + x + 5 Bun göre, K kümesi [5, ) Not : Örten Fonksiyon f : A B fonksiyonund f(a) B ise f, örten fonksiyondur. 7. Verilen, c pozitif ve b negtif gerçel syılrı için ²b > bc + c² eşitsizliği sğlndığın göre, şğıdkilerden hngisi kesinlikle doğrudur? A) b B) c C) c > b D) < c E) c <
Çözüm 7 ²b > bc + c² ²b bc > c² b( c) > c² b( c) > c² pozitif b negtif gerçel syı olduğun göre, b < olur. b( c) > c² > olcğındn ve c gerçel syısı d pozitif olduğundn, c < < c Fkt Verilen, c pozitif ve b negtif gerçel syılrı için, c ve b olsun. ²b > bc + c² ².( ) >.( ). + ² > sonucu elde edilir. Bun göre, soru htlıdır. 8. Rsyonel syılr kümesi üzerinde tnımlı,, ikili işlemleri I. b b II. b + b + b III. b +b 5 biçiminde tnımlnıyor. Bun göre, bu işlemlerden hngileri birleşme özeliğini sğlr? A) Ylnız I B) Ylnız II C) Ylnız III D) I ve II E) II ve III
Çözüm 8 I. b b (b c) ( b) c (b c) ( b) c (b c) b c b + c b c olduğun göre, işlemi birleşme özelliğini sğlmz. II. b + b + b (b c) ( b) c (b + c + bc) ( + b + b) c + (b + c + bc) + (b + c + bc) ( + b + b) + c + ( + b + b)c + b + c + b + c + bc + bc + b + c + b + c + bc + bc olduğun göre, işlemi birleşme özelliğini sğlr. III. b +b 5 b+ c + (b c) ( b) c ( ) ( ) c 5 5b b+ c + 5 5 + b 5 5 + c işlemi birleşme özelliğini sğlmz. 5 + b + c + b + 5c olduğun göre, 9. P(x) x³ (m + )x² nx + m polinomu x² x ile tm bölünebildiğine göre, m n kçtır? A) B) C) D) E)
Çözüm 9 I. Yol Bölünen Bölen Bölüm + Kln P(x) (x² x).b(x) + kln kln x² x x.(x ) olduğundn, P(x) polinomunun hem x hem de x ile de tm bölünebilmesi gerekir. O hlde, x için, P() ve x için, x P() olmlıdır. P(x) x³ (m + )x² nx + m P(). (m + ). n. + m m m P(x) x³ ( + )x² nx +. P(x) x³ x² nx P().³.² n. n n Bun göre, m n elde edilir.
II. Yol Kln olcğın göre, x² x x² x P(x) polinomund x² yerine x yzılırs, bu polinomun (x² x) ile bölümündeki kln bulunur. P(x) x³ (m + )x² nx + m Kln x (m + )x nx + m ( (m + ) n).x + m m m m n n n Bun göre, m n elde edilir.. Yukrıd grfiği verilen f fonksiyonunun tnım kümesi şğıdkilerden hngisidir? A) [, ) [, 7) B) (, ) (, 7] C) [, ] (, 7) D) (, ) (, 7] E) [, ) (, 7]
Çözüm Prçlı fonksiyonun tnım rlığı x ekseni üzerindeki değerlere göre incelendiğinden, x için tnımlı değil x için tnımlı değil Tnım kümesi (, ) (, 7] x 7 için tnımlı
. f : R R fonksiyonu f(x) sinx, sinx ise, sinx < ise biçiminde tnımlnıyor. Bun göre ( π, π) çık rlığının f ltındki görüntüsü şğıdkilerden hngisidir? A) [, ] B) (, ) C) [, ] D) (, ) E) [, ] Çözüm ( π, π) ( π, ) [, π) ( π, ) sinx < f(x) [, π) sinx f(x) sinx x < π sinx sin sinx sin π sin sinx sin π f(x) Bun göre, görüntü kümesi : [, ] elde edilir.
. A {,,,, 5} kümesi üzerinde tnımlnn f 5 5 g 5 5 permütsyonlrı için g( f () ) değeri kçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm f 5 5 f 5 5 f 5 5 f () g 5 5 g( f () ) g() elde edilir. x. f x² x + olduğun göre, f () değeri kçtır? x+ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Çözüm x x+ x x + x x x ise f ( )² ( ) + f () 8 elde edilir. +
. f (x) mx + fonksiyonu veriliyor. x Bun göre, her x > için f (x) özelliğini sğlyn en küçük m değeri kçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm I. Yol f (x) mx + x mx² x+ x her x > için, mx ² x+ x > için f (x) olduğun göre fonksiyonun grfiği I. bölgede olur. mx ² x+ denkleminin birbirinden frklı iki gerçel kökü olmycğındn, olmlıdır. ( )².m. m m
II. Yol f (x) mx + x mx² x+ x her x > için, mx ² x+ x mx ² x+ m.( x² + ) ( m ) m m x x ² + + m m m m x x ² + + m m m m x m m² m x m m m² x m m m m x m m m mx ² x+ denkleminin birbirinden frklı iki gerçel kökü olmycğındn, m m m
5. P(x) üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonu olmk üzere, P( ) P( ) P(5) P() olduğun göre, P() kçtır? A) 7 B) 8 C) 7 D) 9 E) 5 8 Çözüm 5 P( ) P( ) P(5) olduğun göre, x, x, x 5 ise P(x).(x ( )).(x ( )).(x 5) P(x).(x + ).(x + ).(x 5) P() verildiğine göre, P().( + ).( + ).( 5).( 6) P(x).(x + ).(x + ).(x 5) elde edilir. 8 P().( + ).( + ).( 5) P().( 8) bulunur. Not : Kökleri verilen denklemin yzılışı Kökleri x, x, x,....., x n oln n. dereceden bir denklem, olmk üzere.(x x ).(x x ).(x x )... (x x n ) şeklinde yzılbilir.
6. Yukrıdki dik koordint düzleminde f(x) prbolü ve d doğrusu gösterilmiştir. Bun göre, trlı bölge şğıdki eşitsizlik sistemlerinden hngisinin çözüm kümesidir? A) y x² + x y x + B) y x² + x y x + C) y x² + x y x + D) y + x² x y x + E) y + x² x y x +
Çözüm 6 (, ) ve (, ) noktsındn geçen d doğrusunun denklemi, Đki noktsı bilinen doğru denklemine göre, y x y x + Orijinden ve (, ) noktsındn geçen f(x) prbolünün denklemi, y.(x x ).(x x ) x, x y.(x ).(x ) y.x.(x ) (, ) noktsı prbol üzerinde olduğun göre,..(x ) y ( ).x.(x ) y x² + x y + x² x Bun göre, y x + eşitsizliğinde (, ) noktsının koordintlrı yzılırs önermesi elde edilir. Eşitsizliği sğlyn bölge (, ) ın bulunduğu trlı bölgedir. d doğrusu bu düzleme dhildir. y + x² x eşitsizliğinde (, ) noktsının koordintlrı yzılırs önermesi elde edilir. Eşitsizliği sğlyn bölge (, ) ın bulunduğu trlı bölgedir. f(x) prbolü bu düzleme dhildir. Not : Đki noktsı bilinen doğru denklemi A( x, y ) ve B( x, y ) y y y y xx x x Not : Doğrunun eksen prçlrı türünden denklemi (, ) ve (, b) noktlrındn geçen doğrunun denklemi x y + b
7. A {,,, } ve B {,, } olmk üzere A B krtezyen çrpım kümesinden lınn herhngi bir (, b) elemnı için + b toplmının sıfır olm olsılığı kçtır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 7 Çözüm 7 A {,,, } B {,, } A B {,,, } {,, } Krtezyen çrpımının elemnlrı : (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) Krtezyen çrpımının elemn syısı : Tüm seçim syısı. + b ve (, ), (, ) Đstenen seçim syısı Đstenen olsılık 6 Not : Đstenen olsılık istenen secim syisi tüm secim syisi
8. sinx cosx olduğun göre, cosx değeri kçtır? A) B) 5 C) 5 7 D) 5 9 E) 5 Çözüm 8 sinx cosx sinx cosx sinx cosx tnx cosx cos²x. 5 9 8 7 7. 5 5 5 5 Not : cos cos² sin² cos.cos² cos.sin²
(sinx cosx)² 9. + sinx ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? cosx A) cosx B) sinx C) D) rcsin x E) rccos x Çözüm 9 (sinx cosx)² + sinx cosx sin ² x.sinx.cosx+ cos ² x + sinx cosx sin x + sinx cosx sin x+.sinx.cosx cosx sin x+ sin x cosx cosx Not : sin² + cos² sin.sin.cos
. tn 6 sin cos ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) C) D) Çözüm tn 6 sin cos E) sin 6 cos 6 sin cos sin 6 cos 6.sin cos sin 6.cos cos6.sin cos6.sin.cos sin( 6 ) cos 6...sin.cos.sin cos 6.sin cos 6 Not : Đki Açının Toplmının / Frkının Trigonometrik Değerleri sin(a + B) sina.cosb + cosa.sinb sin(a B) sina.cosb cosa.sinb cos(a + B) cosa.cosb sina.sinb cos(a B) cosa.cosb + sina.sinb Not : sin.sin.cos
. + cos cos55.cos 5 ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) cos B) cos C) cos D) cos E) cos Çözüm + cos cos55.cos 5.[cos(55 + cos. + 5) + cos(55 5)] +.cos ².[cos9 + cos ].cos ².[+ cos ].cos ² cos.cos Not : Ters Dönüşüm Formülleri cosa.cosb.[cos(a + B) + cos(a B)] sina.sinb.[cos(a + B) cos(a B)] sina.cosb.[sin(a + B) + sin(a B)] cosa.sinb.[sin(a + B) sin(a B)] Not : cosx cos²x
. Krmşık syılr düzleminde z z + denklemi şğıdkilerden hngisini belirtir? A) x doğrusu B) x doğrusu C) x doğrusu D) (x )² + y² çemberi E) x² + (y + )² çemberi Çözüm z x + i.y olsun. x + i.y x + i.y + (x ) + i.y (x + ) + i.y ( x )² + y² ( x + )² + y² (x )² + y² (x + )² + y² x² x + + y² x² + x + + y² 6x x doğrusu Not : Krmşık syının mutlk değeri (modülü) z + b.i z ² + b²
. z _ ile z nin eşleniği gösterildiğine göre, z + i krmşık syısı için _ z z ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) + i B) i C) + i D) i E) + i Çözüm z + i _ z i _ z z + i i + i i + i + i. i + i (+ i).(+ i) (i).(+ i) + i+ i+ i² i² i ² olduğun göre, + i ( ) + i + i Not : Krmşık Syının Eşleniği z + bi krmşık syısı için z bi syısın z nin eşleniği denir.
. z + i krmşık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? π π π π π π A) cos + i sin B) cos i sin C) cos + i sin 6 6 6 6 π π π π D) cos + i sin E) cos i sin Çözüm z + i r z ² + ( )² z + i tnθ π π θ y d θ + π bulunur. z + i > ve > ise. bölgededir.. bölgede olduğundn, θ π olur. cos π cos π π sin sin π π π z + i z.cos + i.sin π π z. cos + i sin
Not : Bir krmşık syının kutupsl (trigonometrik) biçimde yzılmsı z + b.i krmşık syısının düzlemdeki görüntüsü M(, b) ve OM r z ² + b² OMH dik üçgeninde, cosθ r r.cosθ sinθ r b b r.sinθ Bu değerler z + b.i de yerine yzılırs z r.cosθ + r.sinθ.i z r.(cosθ + i.sinθ) elde edilir. θ π koşulun uyn θ çısın z nin ess rgümenti denir. Argz θ biçiminde yzılır.
5. b ve c gerçel syılr olmk üzere, P(x) x² + bx + c polinomunun bir kökü i krmşık syısıdır. Bun göre, P( ) kçtır? A) 5 B) C) D) 5 E) Çözüm 5 P(x) x² + bx + c polinomunun bir kökü x i ise diğer kökü x + i dir. x + x ( i) + ( + i) 6 x. x ( i).( + i) 9 i² 9 ( ) 9 + P(x) x² + bx + c polinomund kökler toplmı : x + x b b 6 kökler çrpımı : x.x c c P(x) x² + bx + c x² 6x + P( ) ( )² 6( ) + Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Ktsyılrı Arsındki Bğıntılr x² + bx + c denkleminin kökleri x ve x ise kökler toplmı : x + x kökler çrpımı : x.x c b
6. log 5 olduğun göre, log 5 5 in değeri kçtır? A) + B) + C) + D) + E) Çözüm 6 log 5 5 log 5 (.5) log 5 5+ log5 log 5 5 log 5 log 5.log5 log 5 + log 5 olduğun göre, log5 5 + 7. log + ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 log 6 A) B) C) D) log 6 E) log 6 Çözüm 7 log + 6 log 6 log 6.log 6 olduğun göre, log 6 log 6.log 6 olduğun göre, log 6 log log 6 6 olduğun göre, log + log 6 + log 6 log 6 (.) log 6 6 elde edilir. 6 log 6
8. log ( x 5) eşitsizliklerini sğlyn kç tne x tm syısı vrdır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm 8 I. Yol log ( x 5) x 5 ² x 5 6 x 9 x {6, 7, 8, 9} II. Yol log ( x 5) log log ( x 5) log ² log log ( x 5) log x 5 6 x 9 x {6, 7, 8, 9} 9. den frklı, b, c pozitif gerçel syılrı için log b b² log c olduğun göre, log b ifdesinin değeri kçtır? c A) B) 5 C) 5 D) 6 E) 5
Çözüm 9 b² log b c log b b b log c c ³ c, b cinsinden yzılırs, b² olcğın göre, c (b²)³ c 6 b b² b² 5 log b logb log 6 b log 5 b ( b ) 5. log bb 5. 5 c b. b b. n n toplmının 5 ile bölümünden kln kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm n n + + + +... + + + + +... +? (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5).5 +. ( ) 5. (mod 5)
Not : n k k x x + x + x + x +... + x n n + x + x + x +... + x x n x, x, N + için. { n } ve { b n } dizileri şğıdki biçimde tnımlnıyor., n (mod ) ise n n, n (mod ) ise n, n (mod ) ise n b n k k Bun göre, b kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm b k + + + + k,,,,, (mod ) ise (mod ) ise (mod ) ise (mod ) ise (mod ) ise b k + + + + + + ( ) + + 5 k
. Yukrıd verilen d ve d doğrulrının oluşturduğu çının ölçüsü dir. Đlk olrk, d doğrusu üzerinde lınn A noktsındn d doğrusun A B dikmesi iniliyor. Sonr B noktsındn d doğrusun B A dikmesi ve A dikme yğındn d d doğrusun A B dikmesi inilerek bu işleme devm ediliyor. A B cm olduğun göre, d doğrusun bu şekilde inilen tüm dikmelerin uzunluklrının toplmı oln A B + A B + A B +... kç cm dir? A) B) 6 C) 8 D) E) 8 Çözüm
A B A B O dik üçgeninde, m(oa B ) 8 (9 + ) 6 B A A dik üçgeninde, A B ise A B 6 B B A dik üçgeninde, A B 6 ise A B 9 B A A dik üçgeninde, A B 9 ise A B 9 B B A dik üçgeninde, A B 9 ise A B 7 A B + A B + A B +... + 9 + 7 +... + 9 + 7 +....( + + ( )² +..... ).r 9.r r (r : geometrik dizinin ortk çrpnı) 7 + 9 + k 7 +....( + + ( )² +..... ). k... 8
Not : Dik üçgen özellikleri Bir dr çının ölçüsü oln dik üçgende, krşısındki kenrın uzunluğu hipotenüsün yrısın, 6 krşısındki kenr uzunluğu hipotenüsün ktın eşittir. Not : Geometrik Dizi Ardışık iki terimin ornı ynı oln dizilere geometrik dizi denir. r R olmk üzere her n N + için r ye dizinin ortk çrpnı denir. n + r ise (n ) bir geometrik dizidir. n Not : Geometrik Seri n n. r geometrik dizisinde r < ise, k k. r.( + r + r² + r³ +... + r k- +... ). r r dir.. determinntının değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6
Çözüm I. Yol. sütunun elemnı (sıfır) olduğundn çılımı. sütun göre yplım. ( ) +.. + ( ) +.. + ( ) +.. ( ) +.. + + ( ) +...[..].( ).( ) II. Yol Srrus kurlın göre, + + +.. +.. +.( )..( )..... 6 8
. A mtrisinin devriği A t ve ters mtrisi A - olduğun göre, A t.a - çrpımı şğıdkilerden hngisidir? A) 5 9 5 B) C) 5 9 D) 5 9 E) 5 Çözüm A mtrisinin devriği, A t A mtrisinin ters mtrisi için A.A - I olmsı gerekir. A - d c b olsun.. d c b + + + + d b c d b c + c + c, c b + d b + d b, d A - d c b A t.a -. + + + +. ).(... ).(.. 5 9 5
Not : Bir Mtrisin Devriği (Trnspozu) A [ ij ] mxn mtrisinin ynı indisli stırıyl sütunlrının yer değiştirmesiyle oluşturuln [ ji ] nxm mtrisine A mtrisinin devriği denir ve A T ile y d A d ile gösterilir. b A A t c c d b d Not : Bir Mtrisin Tersi A c b d A -.Ek(A). A. d b. c d c b Not : Ek (Adjoint) Mtris Kresel A mtrisinin ij terimlerinin yerine A ij eş çrpnlrının yerine yzılmsıyl oluşn [A ij ] mtrisinin devriğine A mtrisinin ek mtrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. b A olsun. c d A ( ) +. d d A ( ) +. c c A ( ) +. b b A ( ) +. A c b d Ek(A) d b c T d c b
5. x + y z x + y + z y z Yukrıdki denklem sisteminin çözümünde x kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 5 I. Yol x + y z x + y + z x + y z x y z z z z olduğun göre, y z y y y olduğun göre, x + y + z x + + x
II. Yol x + y z x + y + z y z Crmer kurlın göre, Srrus kurlın göre, + + +.. +..( ) +..( )..( )....( ) + ise tek çözümü vrdır ve bu çözüm, x, y, z + + +.. +..( ) +..( )..( )....( ) + + x olduğun göre, x
6. Türevlenebilir bir f : R R fonksiyonu için / f ( x) x² f () olduğun göre, f ( x) lim x x limitinin değeri kçtır? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 6 f ( x) lim x x f () belirsizliği vrdır. L hospitl kurlı uygulnırs, f ( x) lim x x lim x / f ( x) / f () / / f ( x) x² olduğun göre, f ().² 7 Not : L Hospitl Kurlı f ( x) lim x xg( x) f ( x) f '( x) limitinde vey belirsizliği vrs, lim lim olur. x xg( x) x x g'( x)
7. lim x ln x x limitinin değeri kçtır? A) Çözüm 7 B) C) D) E) lim x ln x x belirsizliği vrdır. L hospitl kurlı uygulnırs, lim x ln x x x lim x x Not : L Hospitl Kurlı f ( x) lim x xg( x) f ( x) f '( x) limitinde vey belirsizliği vrs, lim lim olur. x xg( x) x x g'( x)
8. Yukrıdki şekilde f : R \ { } R \ {} fonksiyonunun grfiği gösterilmiştir. Bun göre, lim f ( x) + limf ( x) limitlerinin toplmı kçtır? x x A) B) C) D) E) Çözüm 8 lim x f ( x) + limf ( x) + x x / 9. f (x) ln(sin x+ e ) olduğun göre, f () kçtır? A) e B) C) D) E) Çözüm 9 x f (x) ln(sin x+ e ) / f ( x) (sin ² x+ e sin ² x+ e x ) x /.sinx.cosx+. e sin ² x+ e x x /.sin.cos +. e f (). sin ²+ e. + +
. f (x) x³ x² + fonksiyonunun gösterdiği eğrinin bir noktsındki teğet doğrusunun denkleminin y olmsı için kç olmlıdır? A) B) C) D) E) Çözüm y doğrusunun eğimi Teğet değme noktsınd eğim (türev) sıfır olcğın göre, / f ( x) 6x² x x f olmlıdır... + ³ ³ 7 9 ³ 7
. f (x) x 5x + fonksiyonunun, rlığındki mksimum değeri kçtır? A) 8 B) 6 C) D) E) Çözüm f (x) x 5x fonksiyonunun türevinin kökleri incelenirse, / f ( x) x x x.( x² ) x x² x² f () x ± f ( ) 5. + 5 5 + 5 9,5 ( f ) 5. + 5 5 + 5 9,5 f ( ) 5. + 5 + 6 9 5,8 6 6 9 { 5,, } 6 Bun göre, fonksiyonun mksimum değeri dür.
Not : Bir fonksiyonun bir rlıktki en büyük ve en küçük değeri f : [, b] R fonksiyonunun (, b) rlığındki türevinin kökleri x, x,..., x n ; türevsiz olduğu noktlr c, c,..., c n ise { f ), f ( x ), f ( x ),..., f ( x ), f ( c ), f ( c ),..., f ( c ) } ( n n kümesinin en büyük elemnı f nin [, b] rlığındki en büyük değeri, en küçük elemnı f nin [, b] rlığındki en küçük değeridir. //. f ( x) 6x / f () f () koşullrını gerçekleyen f fonksiyonu için f () değeri kçtır? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm // // / f ( x) 6x f ( x) (6x ) f ( x) x² x + c / / f () f ().. + c c / f ( x) x² x + / f ( x) (x² x + ) f (x) x³ x² + x + C f () f () +. + C C f (x) x³ x² + x + olduğun göre, f () +. + f () 5
. y² x prbolüne üzerinde bulunn A(x, y) noktsındn çizilen teğetin eğimi dir. Bun göre, A noktsının koordintlrının toplmı oln x + y kçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm y² x her iki trfın türevi lınırs, y. Çizilen teğetin eğimi olduğun göre, y. y bulunur. y² x olduğundn, ² x x A(x, y) A(, ) x + y + / / y y. y / y ise
. Koridor, mutfk ve çlışm odsındn oluşn bir iş yerinin yukrıd verilen modeli ABCD dikdörtgenidir ve bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 7 metredir. Bu iş yerindeki mutfğın en geniş lnlı olmsı için x kç metre olmlıdır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm Çevre(ABCD) 7.(5x + (x + y)) 7 6x + y 6 y 6 6x Aln(mutfk) S x.y Tek değişkene bğlı fonksiyon şeklinde yzılırs, S x.(6 6x) S 7x x² Mutfğın en geniş lnlı olmsı için, y 6 6x olduğun göre, y 6 6. y 8 Aln(mutfk) S x.y..8 8 / S 7 x x
5. y x² + bx + c prbolüne x noktsınd teğet oln doğru y x ise b + c toplmı kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 5 I. Yol Prbol ile doğru teğet olduğun göre, eğimleri eşit olur. y x² + bx + c y x / y / y x + b x + b ise x için,. + b b Prbol ile doğrunun kesişim noktsı x için, y x² x + c x x² x + c ². + c c Bun göre, y x² + bx + c x² x + b + c + elde edilir. II. Yol x ise, y x y olduğun göre, teğet değme noktsı (, ) y x doğrusunun eğimi : y x² + bx + c prbolünün eğimi de olcğın göre, / f () + b b f () ². + c c b + c +
π 6. sinx dx cos ² x integrlinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 6 π sinx cos ² x dx değişken değiştirerek integrli lınırs, cos xu olsun. sin xdxdu du dx sinx x π u cos π u x u cos u π sinx cos ² x dx sinx du. u² sinx du u ² u du + u + u
6x 7. x+ dx integrlinin değeri kçtır? A) B) 5 C) 8 D) E) Çözüm 7 6x x+ dx değişken değiştirerek integrli lınırs, x +u olsun. x + u² x u² dx udu dx udu x u x u 6x x+ dx u² 6 udu u ² ( u ² ) du u + u ( u³ u) (³.) (³.) 7 9 +
8. y x³ eğrisi ve y x doğrusu ile sınırlı (sonlu) bölgenin lnı kç birim kredir? A) B) C) D) E) Çözüm 8 y x³ eğrisi ile y x doğrusunun kesişim noktlrı, x³ x x³ x x.(x² ) x (x, y) (, ) x² x² x ±, y ± (x, y) (, ) (, ) Trlı bölgenin lnı ( x ³ x) dx + ( x x³) dx x x + x x ( ) ( ) + + vey + +
Trlı bölgenin lnı. ( x x³) dx. x x x x 9. x. f Yukrıd grfiği verilen f fonksiyonu için / ( x) x² f ( x) dx integrlinin değeri kçtır? A) 7 B) C) D) E) 5 Çözüm 9 x. f / ( x) x² f ( x) dx f ( x) dx x / f ( x) x f ( ) f ()
5. f(x) x, x < ise x, x ise için f ( x+ ) dx integrlinin değeri kçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) Çözüm 5 f(x) f(x + ) x, x < ise x, x ise (x + ), x + < ise.(x + ), x + ise f(x + ) x, x < ise x, x ise f ( x+ ) dx ( x ) dx x² x ( x² x) (² ) (² ) 6 6 Adnn ÇAPRAZ dnncprz@yhoo.com AMASYA