WEIBULL PARAMETRELERİ VE YÜZDELİKLERİ İÇİN GÜVEN ARALIĞI TAHMİN ALGORİTMALARI

Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. J. Fac. Eg. Arch. Gaz Uv. Clt 4, No 1, 11918, 009 Vol 4, No 1, 11918, 009 WEIBULL PARAMETRELERİ VE YÜZDELİKLERİ İÇİN GÜVEN ARALIĞI TAHMİN ALGORİTMALARI Mehmet Akf DANACI, Burak BİRGÖREN ve Süleyma ERSÖZ Edüstr Mühedslğ Bölümü, Mühedslk Fakültes, Kırıkkale Üverstes 71451, Kamus, Kırıkkale madaac@kku.ed.tr, brgore@kku.edu.tr, sersoz@kku.edu.tr (Gelş/Receved: 15.04.008 ; Kabul/Acceted: 7.10.008) ÖZET Bu çalışmada, statstksel arça güvelrlğde Webull dağılımıı kullaımı ç tahm algortmaları ele alımıştır. So yıllarda küçük öreklerde Webull arametreler ve alt yüzdelkler ç güve aralıkları ve güve alt sıırlarıı tahm gderek arta br öem kazamıştır. Pahalı veya uzu süre deeylerde küçük örek hacmler le çalışmak ekoomk açıda br zorululuktur, dğer tarafta örek hacm küçüldükçe tahmler daha güvelmez hale gelr. Bu yüzde, küçük örek hacmler ç tahm algortmalarıı geel br çerçevede kıyaslamalı ele alıması ve hızlı çalışa rogramlara döüştürülmes br htyaç hale gelmştr. Bu çalışmada, tamamlamış verler ç Webull uyumluluk testler yaa, Webull arametreler ve yüzdelkler e çok olablrlk ve ağırlıklı e küçük kareler yötemleryle okta tahmler ve bezetme dayalı güve aralığı tahmler gerçekleştre algortmalar gelştrlmştr. Algortmalar blgsayar ortamıda stadart C++ rogramlama dl le yazılarak ayı ortak arayüz altıda brleştrlmştr. Lteratürde yer ala bezer çalışmalar, düşük bezetm tekrar sayıları le örek hacm, güve düzey ve hata olasılığıı sıırlı sayıdak değerler ç yaılmıştır; tablolar halde suula bezetm souçlarıı formüllerde yere koarak kullaımı gerekmektedr. Bu çalışmada gelştrle algortmalar se, örek hacm, güve düzey ve hata olasılığıı kullaıcı tarafıda belrleecek değerler ç bezetm deeyler çalıştırı tahmler makul sürelerde hesalama mkaı sumaktadır. Bezetm hatası, yüksek bezetm tekrar sayıları seçlerek düşük düzeylerde tutulablmektedr. Gelştrle algortma arayüzüü kullaımı DC motorları hata zamalarıa at tamamlamış verler üzerde gösterlmştr. Aahtar Kelmeler: Güvelrlk aalz, webull dağılımı, e çok olablrlk, ağırlıklı e küçük kareler, güve aralığı, bezetm. ESTIMATION ALGORITHMS FOR WEIBULL PARAMETERS AND PERCENTILES ABSTRACT Ths study cocers the use of Webull dstrbuto statstcal comoet relablty. Recetly, estmato of cofdece tervals ad cofdece lower bouds for Webull arameters ad ercetles small samles has receved creasg atteto the lterature. I exesve or log exermets, t s crucal to kee the samle sze to a mmum, however, the estmates become less relable as the samle sze decreases. Therefore, t has become a ecessty to erform a comaratve study of estmato algorthms for small samle szes ad code them a effcet maer. I ths study, ucesored relablty data have bee cosdered; algorthms have bee develoed for goodessofft tests, ot ad cofdece terval estmato for arameters ad ercetles by the maxmum lkelhood ad weghted least squares methods based o smulato. The algorthms have bee geerated the stadard C++ laguage ad tegrated uder a comuter terface. Smlar studes the lterature were erformed oly for a lmted umber of falure robabltes, cofdece levels ad samle szes wth low smulato ru umbers; the user has to use coeffcets ad formulae obtaed from the smulatos to roduce the estmates. I cotrast, the algorthms develoed ths study allow the user to erform smulatos wth ay ru umber, falure robablty, cofdece level ad samle sze, ad calculate the estmates a

M.A. Daacı v.d. Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları reasoable amout of tme. The smulato error ca be ket at low levels by secfyg large smulato ru umbers. Also, the alcato of the terface has bee llustrated o falure tmes of DC motors. Keywords: Relablty aalyss, webull dstrbuto, maxmum lkelhood, weghted least squares, cofdece terval, smulato. 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Güvelrlk aalzler, br sstem, br ssteme bağlı alt sstem veya br sstem çde yer ala krtk br arça veya ürü güvelrlğ ölçülmes, hesalaması ve değerledrlmes şlemdr. Güvelrlk çalışmaları tek br arça ç yaılabldğ gb, bazı arçaları ser ve bazı arçaları aralel bağladığı bütü br sstem ç de yaılablr. Bu çalışma arça güvelrlğ ele almaktadır. Güvelrlğ tahm edlmes ve gerekl hesaları yaılablmes ç her şeyde öce taımlaması gerekmektedr. Brçok alada kullaılıyor olması ve farklı alalarda farklı ölçütlerle değerledrmes, güvelrlk ç geel br taımlama yaılmasıı zorlaştırır. Bu yüzde lteratürde farklı güvelrlk taımlarıa rastlamak mümküdür. Acak brçok kayakta bu taımlarda geel kabul görmüş olaı: Herhag br arçaı, ürüü, sstem veya alt sstem belrl şartlar altıda stele emyet düzeyde, belrlee süre boyuca foksyouu hatasız olarak yere getreblme olasılığıdır [1] şekldedr. Taımda yer ala olasılık kelmes brm çalışma veya çalışmama durumuu keslk arz etmedğ alamıa gelr. Bu edele olasılık hesabı çere güvelrlk aalzler, rassal değşkeler ve olasılık dağılımları kullaılarak yaılır. Parçaları hata (arıza) yaıcaya kadar geçe süreler farklılık gösterr. Rassal ola bu süre, br rassal değşke olarak taımlaarak arçaya uygu br olasılık dağılımıyla karakterze edlr. Güvelrlk aalzde rassal değşke geellkle arça kullaıma başladıkta sora lk hataya kadar geçe süredr; bua kısaca hata zamaı adı verlr. Acak değşk uygulamalarda farklı ölçütler de kullaılablmektedr: br ml döme sayısı, br otomobl lastğ klometre csde kat ettğ mesafe, br aahtar arçaı şlem sayısı, br malzeme koma mukavemet gb... Güvelrlk aalz çalışmalarıda küçük örek hacmleryle aalz yaılması ster. Çükü bu çalışmalarda, zama le arça ve şçlk öeml malyet kalemlerdr. Güvelrlk aalz ç uygulaa ömür testler geellkle çok ahalı deeylerdr ve uzu zama almaktadır. Bu edele yaıla aalzlerde küçük öreklerde statstksel açıda olabldğce kes souçlar elde etmek gerekmektedr. Güvelrlk çalışmalarıda e yaygı kullaım alaıa sah olasılık dağılımı Webull dağılımıdır [1]. Webull dağılımı, küvet karakterstğ eğrs, alışma, kullaışlı ömür ve yırama döemler olarak adladırıla tüm döemler karakterze edeblme yeteeğe sahtr. Br başka fadeyle, Webull dağılımı hata hızıı arta, azala ve sabt olduğu durumları hesde kullaılabldğ ç esek br güvelrlk model suar [1, ]. Küçük öreklerde geellkle örektek her arçaı hata zamaıı gözlemek mümküdür, bu durumda gözlee hata zamaları tamamlamış ver olarak teler. Çok uzu sürecek deeylerde se tüm hata zamaları ölçülmede deey bell br oktada durdurulur; bu durumda da durdurulmuş verler elde edlr. Bu çalışmada tamamlamış verler ele alımış, Webull dağılımıyla arça güvelrlğ aalz yaa, özellkle küçük öreklerde tahm hatasıı kes olarak ortaya koyable kasamlı br rogram gelştrlmştr. Bu amaçla Webull uyumluluk testler yaılması [3], Webull arametreler ve yüzdelkler e çok olablrlk ve ağırlıklı e küçük kareler yötemleryle tahm edlmes, arametre ve yüzdelklere at kes güve aralıklarıı bezetm yötemyle üretlmes ç stadart C++ rogramlama dl [4] le algortmalar gelştrlerek br ortak blgsayar arayüzü altıda brleştrlmştr. Webull arametreler, e çok olablrlk yötemyle tahm, sayısal kök bulma algortmaları kullaılarak, ağırlıklı e küçük kareler yötemyle tahm regresyo formüller kullaılarak yaılmaktadır. Parametreler ve yüzdelkler ç kes güve aralıkları ve güve alt sıırlarıı tahm se arametre tahm algortmalarıı tekrarlı çalıştıra MoteCarlo bezetm algortmalarıyla sağlamaktadır. Buda sorak bölümde Webull dağılımı hakkıda blg verlerek kouyla lgl akademk lteratür taraması suulmaktadır. Üçücü bölümde Webull arametre ve yüzdelkler okta ve aralık tahmler ele alımaktadır. Dördücü bölümde gelştrle algortma ve blgsayar arayüzü zah edlmekte, beşc bölümde blgsayar arayüzüü kullaımı, lteratürde seçle verler üzerde açıklamaktadır. So bölümde se yaıla çalışmaı öeme değlerek akademk ve mühedslk lteratürüe katkıları tartışılmaktadır.. WEIBULL DAĞILIMI (WEIBULL DISTRIBUTION) Webull dağılımı lk olarak W. Webull tarafıda malzeme özellkler modellemes amacıyla öerlmştr [5]; güümüzde byoloj, mühedslk, kalte kotrol ve dğer brçok alada deeysel verlere y uyum gösterdğ ç yaygı şeklde kullaılmaktadır. Eğer br arçaı hata zamaı T, aşağıdak brkml dağılım foksyoua sahse, T rassal değşke k 10 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009

Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları M.A. Daacı v.d. arametrel Webull dağıldığı söyler [6, 7]. t/α β Ft () =PT t = 1e, t > 0 (1) Burada F(t), br brm t zamaıda öce hata yama olasılığıdır; α ve β sırasıyla dağılımı ölçek ve şekl arametreler olu α > 0 ve β > 0 dır [6, 7]. Bu arametrelerde β le küvet karakterstğ eğrs farklı döemler karakterze edleblr [, 8]. Eğer β>1 se arta hata hızı, β<1 se azala hata hızı söz kousudur [8]. Tamamlamış verler ç Webull aalzde, ayı tür arçaya at farklı umueler ömür teste tab tutulmasıyla hata zamaları gözler. Eğer bu gözlemler Webull dağılımıa uyumlu se α ve β arametreler gözlemlerde tahm edlr. Bu amaçla çeştl yötemler kullaılmaktadır. E çok kullaıla tahm yötemler, e çok olablrlk, ağırlıklı e küçük kareler ve momet yötemlerdr [7]. Acak momet yötemyle kes güve aralıkları üretlemedğde bu çalışmada momet yötem dışıdak yötemler ele alımıştır. Webull arametreler e çok olablrlk tahmcler üzerde kasamlı olarak çalışılmıştır. Lteratürde, arametre tahm ve arametreler ç güve aralıkları oluşturulması le lgl teor ortaya komuş [6], bu hesalamalar ç sayısal kök bulma algortmalarıı asıl kullaılacağı ele alımıştır [6, 9, 10, 11]. Parametreler ağırlıklı e küçük kareler yötemleryle tahm ç de formüller üretlmş, güve aralıklarıı asıl oluşturulacağı gösterlmştr [10, 1, 13]. E çok olablrlk yötemyle arametre tahm yaa ve bezetm kullaarak arametreler ç kes güve aralıkları oluştura br C++ rogramı gelştrlmştr [9]. Hem e çok olablrlk hem de e küçük kareler tahm yötemler kullaarak bu hesalamaları gerçekleştre FORTRAN rogramları da gelştrlmştr [14, 15]. Acak FORTRAN rogramları, güve aralıklarıı bezetm yötem yere asmtotk yötemlerle oluşturduğuda küçük örek hacmler ç doğru souçlar vermemektedr. Hesalamalar ç rogramlama dller dışıda br alteratf sua Wasserma [16], Mcrosoft Excel rogramı kullaarak e küçük kareler yötemyle bu hesalamaları asıl yaılacağıı göstermştr. Webull dağılımı so yıllarda mühedslk alalarıdak güvelrlk çalışmalarıı odak koularıda brdr. Malzemeler mekak özellkler modellemes arta öem bu koudak çalışmaları yoğulaşmasıa ede olmuştur [9,17]. Bell hata olasılıklarıa karşılık gele Webull alt yüzdelkler ç güve aralıkları ve güve alt sıırlarıı belrlemes, mühedslk çalışmaları açısıda oldukça öemldr. Bu hesalamalar, her aşaması Webull arametre tahm gerektre karmaşık br bezetm sürec çerr. FeradezSaez vd [10], Webull alt yüzdelkler e çok olablrlk ve ağırlıklı e küçük kareler yötemleryle tahm edlmes ve güve alt sıırlarıı oluşturulmasıı ç teork esasları ve bezetm sürec gelştrmştr. Ayrıca bell güve düzeyler ve alt yüzdelkler ç alt sıırları oluşturulmasıı sağlaya tablolar üretmştr. Barbero vd [11] farklı br yaklaşımla, k farklı alt yüzdelk ç %95 güve düzeyde güve alt sıırlarıı hesalaablmes amacıyla bezetm souçlarıa eğrler uydurarak ürettkler formüller kullaılmasıı öermektedr. Bu k çalışmada öerle yötemlerde [10, 11], α ve β arametre tahm değerler hesaladıkta sora blgsayar bezetme gerek duyulmaksızı alt yüzdelkler ç güve alt sıırları hesalaablr. Fakat hesalamalar bell güve düzeyler ve alt yüzdelklerle sıırlıdır, ayrıca her k yötemde kullaıla bezetm çalışmaları düşük tekrar sayılarıyla yaılmıştır ve bezetm hatası çermektedr. Bezer br çalışmada Brgöre vd [9], e çok olablrlk yötemyle kullaıcıı belrleyeceğ yüzdelk ve güve düzey değerler ç güve alt sıır değerler hesalaya br bezetm rogramı gelştrmştr. Buları yaı sıra güve alt sıırlarıı hesalamasıda e çok olablrlk ve ağırlıklı e küçük kareler yötemler erformasıı kıyaslaya çalışmalar da yaılmış, e y erforması vere ağırlık değerler üretlmştr [1, 13]. 3. WEIBULL PARAMETRELERİ VE YÜZDELİKLERİ İÇİN NOKTA VE ARALIK TAHMİNİ (POINT AND INTERVAL ESTIMATION FOR WEIBULL PARAMETERS AND WEIBULL PERCENTILES) 3.1. Webull Parametreler Tahm ç Kullaıla Yötemler (Methods used For Estmato of Webull Parameters) Uyumluluk testleryle hata zamalarıı Webull dağıldığı gösterldkte sora güvelrlk aalz yaılacak arçada rasgele adet umue alıı deeye tab tutulur ve bağımsız hata zamaları ölçülür. Bu gözlemlerde oluşa örek t1, t,..., t olsu. Bu örektek hata zamalarıı kullaarak arametre tahm yaa k yötem aşağıda açıklamaktadır. 3.1.1. E çok olablrlk yötemyle tahm (Estmato wth the maxmum lkelhood method) Bu yötem aşağıdak eştlkler kullaarak blmeye α ve β arametreler ç buları tahmcler α ve β yı hesalar [6]. = 1 β ltt = 1 lt + = 0 β β t = 1 1/β () β α = t (3) = 1 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009 11

M.A. Daacı v.d. Eştlk sayısal kök bulma yötemlerde bryle çözüleblr. Daha sora Eştlk 3, α yı doğruda verr. Eştlk çözümüde köke hızlı yakısaması edeyle NewtoRahso yötem terch edlmektedr [18]. NewtoRahso yelemeler ç geel dögü deklem; A+ 1/β k C k/bk β = β + /β + B H C /B k+ 1 k 1 k k k k k şekldedr; burada k k = 1 C = t lt, = 1 A = lt / B = β, k H k = t lt = 1 Yelemeler ç başlagıç oktası olarak; βk t = 1 dr. β 0 = 6/ π 1 lt lt / = 1 = 1 kullaılır [18]., Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları (4) (5) 3.1.. Ağırlıklı e küçük kareler yötemyle tahm (Estmato wth the weghted least squares method) Bağımsız hata zamalarıda oluşa t 1,t,...,t öreğ ç t (1) < t () <. <t () sıra statstk değerler olsu. Eştlk 1 e çft logartmk döüşüm uygulamasıyla l l 1/ 1 F t = βlt βlα (6) elde edlr [10]. Eştlk 6 da Y = l l 1/ 1 F t, a=β, lt=x, βlα=b alıırsa, eştlğ Y=aX+b bçmde br regresyo deklem olduğu görülür. Deklem çözüleblmes ç Y değerler, dolayısıyla F(t) değerler blmes gerekr. F(t) ç e yaygı tahmcler şulardır [10]: 0.5 1 F t = / (7 a) F t = 0.3 /(+ 0.4) (7 b) F t =/ + (7 c) Bu F(t) tahmclerde br Eştlk 6 da kullaıldığıda bast e küçük kareler yötemyle α ve β şöyle hesalaır: 1/ z =lt ve olmak üzere; y = l l 1/ 1 F t zy z y β = (8) z z ve a= y β z olmak üzere a/β α =e (9) şekldedr. Dolayısıyla tahm edle bast regresyo deklem şöyledr: l l 1/ 1 F t = βlt βlα+ε (10) Bazı araştırmacılar, doğrusal regresyou oluşturulmasıda ağırlık faktörler kullaılmasıı uyguluğua değmşlerdr [10]. Çükü e küçük kareler yötem, artıkları ( ) ayı varyasa sah olduğu varsayımıa dayaır, acak Eştlk 10 ç bu varsayım geçerszdr. Ağırlıklı e küçük kareler yötem uygu ağırlık faktörler seçmyle varyasları eştleyerek bu roblem ortada kaldırır ve daha y tahm değerler üretr. Bazı araştırmacılar tarafıda gelştrlmş ağırlık faktörler W(t) şöyledr: Bergma tarafıda öerle ağırlık faktörler [19]; 1 1 W t = F t l F t (11a) Faucher vd tarafıda öerle ağırlık faktörler [0]; W t = 3.3Ft7.5 1 1 Ft 0.05 (11 b) Hug tarafıda gelştrle ağırlık faktörler [1]; 1F tl1f t 1F tl1f t W t = (11 c) Ağırlıklı e küçük kareler yötem le Webull arametreler tahmcler şu şeklde elde edlr. z =lt, olmak üzere y = l l 1/ 1 F t 1 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009

Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları M.A. Daacı v.d. W t Wtz y W t z W t y β = Wt W t z W t z ve (1) a= W t y β W t z / W t olmak üzere a/β α =e (13) şekldedr. Webull arametre tahmler, seçle taımlarıa göre çeştllk gösterr. 1 F t ve W t W t = olması durumuda, bast e küçük kareler deklemlere ya Eştlk 8 ve Eştlk 9 a döüşür. 3.. Webull Yüzdelkler Tahm (Estmato of Webull Percetles) Br arçaı hata zamaıı gb küçük br olasılıkla altıda kalacağı t alt yüzdelk değer hesalaması mühedslk çalışmaları açısıda çok öemldr [1113, 17]. Pt ( t ) = (14) eştlğ t ve arasıdak lşky fade eder. Eştlk 1 dek dağılım foksyoua göre; F( t ) = P t t = (15) olur. Bu eştlk çözüldüğüde; 1 1 1 t = α l / /β (16) elde edlr. Webull arametreler α ve β yere, buları tahmcler α ve β kullaılarak, t tahmcs şu şeklde üretlr: 1 1 1 /β t = α l / (17) Eştlk 17 de e çok olablrlk, e küçük kareler ya da ağırlıklı e küçük kareler yötemlerde elde edle α ve β değerler kullaılablr. 3.3. Webull Parametreler ve Yüzdelkler ç Aralık Tahmler (Iterval Estmatos for Webull Parameters ad Webull Percetles) Parametre tahmcler ve β, e çok olablrlk ya da ağırlıklı e küçük kareler yötemlerde bryle βl α/α değşkeler α ve β elde edldğde β/β ve arametrelerde bağımsız dağılır [6, 10]. Webull arametreler ve yüzdelkler ç kes güve aralıkları bu özellk sayesde MoteCarlo bezetm kullaılarak elde edlr. Merkez lmt teorem ve bezer yaklaşımlarla güve aralığı ürete başka yötemler de vardır, fakat bular güve aralıklarıı yaklaşık olarak ürettkler ve küçük örek hacmlerde büyük hatalara yol açabldklerde bu çalışmada ele alımamıştır []. 3.3.1. Şekl arametres ç aralık tahm (Iterval estmato for the shae arameter) Bu özellk edeyle, β=1 alıdığıda β/β le β değşkeler ayı dağılıma sah olduğu görülür. Dolayısıyla, Pt ( <β/β <t ) = 1γ (18) 1γ/ γ/ yere β kullaılarak bu değşke eştlğde β/β bezetmyle t 1γ/ ve t γ/ değerler hesalaır. Ardıda Eştlk 18 yede düzelemesyle β ç (1γ) güve düzeyde güve aralığı, β/t γ/, β/t 1γ/ (19) şeklde elde edlr [6]. 3.3.. Ölçek arametres ç aralık tahm (Iterval estmato for the scale arameter) βl α/α Ye ayı özellk edeyle α=1 alıdığıda le βl α değşkeler ayı dağılıma sah olduğu görülür. Dolayısıyla, P s 1γ/ < βl α/α <s γ/ = 1γ (0) eştlğde βl α/α yere βl α kullaılarak bu değşke bezetmyle s 1γ/ ve s γ/ değerler hesalaır. Ardıda Eştlk 0 yede düzelemesyle α ç (1γ) güve düzeyde güve aralığı şu şeklde oluşturulur [6]: s 1 γ/ /β s γ/ /β αe,αe (1) Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009 13

M.A. Daacı v.d. Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları 3.3.3. Yüzdelkler ç aralık tahm (Iterval estmato for the ercetles) Eştlk 16 ve 17 brleştrlerek 1 1 1 βl t /t = βl α/α + β/β l l / () Blgsayar arayüzü öcelkle kullaıcıya Ma yötemyle [3] verler Webull uyumluluğuu test etme olaağı suar; Şekl 1 de br örek uygulama ekraı yer almaktadır. Ardıda arametre ve yüzdelkler tahm ve güve aralıklarıı oluşturulması ç yötem belrler. Kullaıcı, e çok olablrlk ve e küçük kareler yötemlerde br seçeblmektedr (Şekl 1). Eğer e küçük kareler seçerse; Şekl de görüldüğü gb Eştlk 7a7c de verle F tahmclerde ve Eştlk 11a 11c de verle W faktörlerde br (ya da bast e küçük kareler ç W(t)=1 değer) belrlemektedr. elde edlr [10]. Eştlk sağ tarafıda β/β ve βl α/α, α ve β arametrelerde bağımsız dağıldığı ç βl t /t değşke de ayı özellğe sahtr. Dolayısıyla P c1 / βl t /t c / = 1 α (3) eştlğde βl t /t değşke bezetmyle c1 / ve / c değerler hesalaır. Bezetmde değşke değerler, Eştlk de α=1 ve β=1 alıarak üretlr [10]. Ardıda Eştlk 3 ü yede düzelemesyle Webull alt yüzdelğ t ç (1γ) güve düzeyde güve aralığı, Şekl 1. Blgsayar arayüzü uyumluluk test (Comuter terface goodess of ft test) c γ/ /β c 1γ/ /β t e,te (4) Şeklde elde edlr [8, 10]. Mühedsler geellkle t ç sadece br güve alt sıırı oluşturulmasıyla lglerler. Bu durumda tek yalı br güve aralığı oluşturulur: c/β γ t e, (5) Eştlk 5 te sıırıdır. c/β t e γ, (1γ) güve düzeyde güve alt 4. BİLGİSAYAR ARAYÜZÜ VE ALGORİTMALAR (COMPUTER INTERFACE AND ALGORITHMS) Webull dağılımıyla arça güvelrlğ aalz yamak ç öcelkle hata zamalarıı Webull dağıldığıı doğrulaması gerekr. Bu amaçla sıkça kullaıla k uyumluluk test yötem vardır. Bularda br grafk test yötemdr [16]; çalışmaı uygulama bölümüde bu yötem asıl kullaılacağı zah edlmektedr. Dğer yötem, Ma vd [3] tarafıda gelştrle ve hotez testlere dayaa statstksel br yötemdr. Bu çalışmada Ma test yötem rogramlaarak algortma arayüzüe eklemştr. Acak ble esk br yötem olduğu ve orjal halyle rogramladığı ç ayrıtılarıa burada yer verlmemştr. Şekl. Blgsayar arayüzü yötem seçm (Comuter terface selecto of method) Parametre tahm algortmaları, 4.1. ve 4.. bölümlerde verle yötem ve eştlkler kullaarak gözlee hata zamaları ç ve β değerler hesalar. Güve aralıklarıı hesalaya algortmalar se Eştlk 19, 1, 4 ve 5 te verle güve aralıklarıı MoteCarlo bezetmyle üretr. Bezetm sürec her adımıda [0,1] aralığıda düzgü dağılmış adet rassal sayı üretlr. Eğer u böyle br rassal t l u, α=1 ve β=1 arametrel sayı se 11 1/ Webull dağılmış br rassal sayıdır [18]. Bu bağıtı düzgü rassal sayılara uygulaarak, Webull dağılmış adet rassal sayı elde edlr. Bulara seçle tahm yötem uygulamasıyla sırasıyla β,, βl α ve kullaıcıı belrleyeceğ br değer Eştlk de βl t /t değerler hesalaır. kullaılarak Bezetm adımlarıı R kez tekrarlamasıyla R adet β, βl t /t değşke değer elde edlr. βlα ve Ardıda her değşke ç değerler küçükte büyüğe sıralaır. Değşkeler [(R+1)(1γ)] c değerler sırası 14 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009

Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları M.A. Daacı v.d. yla t γ, s γ ve c / ; [(R+1)γ] c değerler t 1γ, s 1γ vec 1γ ı tahmclerdr. Bu değerler Eştlk 19, 1, 4 ve 5 te kullaılmasıyla arametre ve alt yüzdelkler ç güve aralıkları elde edlr. Bezetm tekrar sayısı R = 100000 gb yüksek değerler seçlerek bezetm tahm hataları hmal edleblecek düzeylere mektedr [9, 17]. Şekl 3 te blgsayar arayüzü ve algortmaları şleyş gösterlmektedr. 5. UYGULAMA (APPLICATION) Bu bölümde, blgsayar arayüzüü Webull aalzde asıl kullaılacağı lteratürde seçle br ömür test üzerde açıklamaktadır. Ömür testde 10 adet DC motoru 3V gerlm altıda hata zamaları gözlemştr []. Her motor hata ortaya çıkaa kadar çalıştırılı hata zamaları kaydedlmştr; bu değerler Tablo 1 de verlmektedr. Şekl 1 de verle Ma uyumluluk test bu gözlemlere attr; test statstk değer M=1.64089, krtk değer F=.97058 de küçük olduğu ç gözlemler Webull dağıldığı kabul edlmştr. Ma test yöteme alteratf ola grafk test yötem, blgsayar arayüzüde bulumamakla brlkte Ms Excel ya da bezer br rogram yardımıyla kolaylıkla uygulaablr [16]. Bu yötemde hata zamalarıı doğal logartmk değerler x ekse; brkml Webull olasılıkları y ekse oluşturur. Dolayısıyla Tablo 1 dek t değerlerde (x, y) okta çftler Şekl 3. Blgsayar arayüzü ve algortma akış şeması (Comuter terface ad algorthm flow dagram) Tablo 1. DC Motorları hata zamaları (Falure tmes of DC motors) Test No 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Hata zamaı (t ) [Saat] 153.49 119.3 75.34 141.53 15.9 135.55 189.43 171.64 140.98 56.71 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009 15

M.A. Daacı v.d. Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları 1/ 1 x, y l t,l l F t (6) bçmde üretlr ve br xy grafğ üzerde şaretler. Eştlk 10 da verle doğrusal regresyo dekleme göre eğer hata zamaları Webull dağılmışsa, grafkte şaretlee oktaları yaklaşık br doğrusal hat tak etmeler gerekr. Tablo 1 dek hata zamaları ç (x, y) okta çftler hesalaarak Şekl 4 de şaretlemştr. Noktalar doğrusal br hat etrafıda toladığıda hata zamalarıı Webull dağıldığı kabul edlmştr; bu souç Ma yötemkyle ayıdır. Şekl 4 tek hat, kolaylık açısıda elle çzlmştr, bu doğruyu üretmek ç bast doğrusal regresyo da kullaılablr. 1,5 1 0,5 0 Webull Uyumluluk Grafğ 4 4, 4,4 4,6 4,8 5 5, 5,4 5,6 5,8 0,5 1 1,5,5 3 Şekl 4. Webull uyumluluk grafğ (Webull goodessofft grah) Gözlemler Webull uyumluluğu doğruladıkta sora blgsayar arayüzüde e çok olablrlk yötem seçlerek arametreler ve = 0.01 ve = 0.10 ç yüzdelkler tahm edlmş; R=100 000 seçlerek %95 ve %99 düzeylerde arametreler ç güve aralıkları le yüzdelkler ç güve alt sıırları hesalamıştır. Souçlar Tablo de özetlemştr. Tablo celedğde arametreler ç tahm değerler =177.64 ve β =3.55643 olduğu görülür; %95 düzeyde α ç güve aralığı [14.044, 3.547] ve β ç güve aralığı [1.7466, 5.17076] bçmdedr. Webull alt yüzdelk tahm değerler se t 0.1 94.3485 saat ve t 0.01 48.794 saattr. Yorumlamak amacıyla t 0.1 ele alalım. Eğer t 0.1 t 0.1 olsaydı, t 0.1 = 94.3485 saatte daha kısa sürelerde br DC motoru hata yama olasılığı 0.1 olacaktı. Dğer tarafta gerçek t 0.1 değer bu tahm değerde farklı olablr. Bu fark =10 gb küçük örek hacmlerde daha da büyük olma eğlmdedr. Güve alt sıırları bu robleme çözüm sağlar. Tablo de %95 güve düzeyde t 0.1 ç güve alt sıırıı 51.9 saat olarak hesaladığı görülmektedr. Dolayısıyla 0.95 olasılıkla t 0.1, 51.9 saatte büyüktür. Krtk arça uygulamalarıda güve düzey %99 a çıkarılablr. Bu durumda güve alt sıırıı 36.0516 değer düştüğü Tablo de görülecektr. Bezer hesalamalar ağırlıklı e küçük kareler yötemyle de yaılmış, souçlar Tablo 3 te özetlemştr. Bu örek hesalamada F t ç Eştlk 7c le W t ç Eştlk 11b seçlmştr. Tablo ve 3 tek souçlar arasıdak farklılık akla hag yötem daha y tahmcler ve daha y güve aralıkları ürettğ sorusuu getrecektr. Bu kouda farklı erformas krterler kullaılarak yaıla çalışmalar, e çok olablrlk ve F t ç Eştlk 7c le W t ç Eştlk 11b seçlmes kaydıyla ağırlıklı e küçük kareler yötemler e y erfor ması verdğ göstermştr [1, 13]. Dkkat edlecek olursa Tablo ve 3 te bu k yötem uygulaması yaılmıştır. Tablo ve 3 te blgsayar şlem zamaıı e çok ala kısımlar güve aralıklarıı ve alt sıırlarıı hesalamasıdır; bezetm tekrar sayısı ve örek hacmyle oratılı şeklde şlem süres hızla artablmektedr. Bu uygulamada kullaıla her br tablodak hesalamalar PIV 3.00 Ghz şlemcye sah br blgsayarda 5 sayede kısa sürelerde gerçekleşmştr. Yaıla dğer uygulamalarda =0 ve R=500000 alıdığıda ble hesalamaları 1 dakkaı altıda gerçekleştğ gözlemştr. 6. SONUÇLAR (CONCLUSIONS) Webull dağılımıı so yıllarda mühedslk alalarıdak güvelrlk çalışmalarıı odak koularıda brs Tahm Yötem AĞIRLIKLI EN KÜÇÜK KARELER Tablo. E çok olablrlk yötemyle souçlar (Results from the maxmum lkelhood method) 1γ β α β ç G.A α ç G.A 0.95 0.99 3.55643 177.64 3.55643 177.64 3.55643 177.64 3.55643 177.64 1.7466 5.17076 1.75166 5.15937 1.38487 5.9045 1.39314 5.89606 141.83 3.911 14.044 3.547 17.809 48.888 17.419 49.508 t t ç Güve Alt Sıırı 0.10 94.3485 51.9 0.01 48.794 16.0 0.10 94.3485 36.0516 0.01 48.794 7.99687 16 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009

Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları M.A. Daacı v.d. Tahm Yötem AĞIRLIKLI EN KÜÇÜK KARELER Tablo 3. Ağırlıklı e küçük kareler yötemyle souçlar (Results from the weghted least squares method) 1γ β α β ç G.A α ç G.A t 0.95 0.99 3.11708 177.033 3.11708 177.033 3.11708 177.033 3.11708 177.033 1.89036 5.76607 1.88885 5.76993 1.48793 6.76858 1.5053 6.69466 143.131 18.685 143.17 18.546 19.869 41.188 130.176 40.68 t ç Güve Alt Sıırı 0.10 86.037 56.474 0.01 40.4695 18.831 0.10 86.0037 40.0906 0.01 40.4695 10.1366 olması ve malzemeler mekak özellkler modellemes arta öem bu koudak çalışmalarda güvelrlk aalz etk ve kasamlı şeklde gerçekleştre br blgsayar rogramıı gerekl kılmaktadır. Parametre ve yüzdelkler ç güve aralıkları ve güve alt sıırlarıı belrlemes, mühedslk çalışmaları açısıda oldukça öemldr. Bu hesalamalar, her aşaması Webull arametre tahm gerektre karmaşık br bezetm sürec çerr. Bu rogramı oluşturulması ç blmsel lteratürde öerle yötemler değerledrlerek buları çde e y uyumluluk test, arametre tahm yötemler ve güve aralığı yötemler seçlmş, buları algortmaları stadart C++ dlde rogramlamış ve ortak br blgsayar arayüzü altıda br araya getrlmştr. Böylelkle arametre ve yüzdelkler ç bezetme dayalı kes güve aralığı tahm algortmaları lteratürde lk kez ayı rogramlama dlyle br ortak arayüz altıda rogramlaarak kullaıma suulmuştur. Blgsayar arayüzü gözlem değerler br dosyada okuyarak Webull uyumluluk test gerçekleştrmekte; ölçek ve şekl arametreler le kullaıcıı belrleyeceğ br Webull yüzdelğ farklı yötemlerde bryle tahm olaağı sumakta; ye kullaıcıı belrleyeceğ güve düzeylerde arametreler ç güve aralıkları ve alt yüzdelk ç güve aralıkları/alt sıırları oluşturmaktadır. Güve aralıkları, yaklaşık yötemlerle değl bezetme dayalı kes yötemlerle oluşturulmaktadır. Özellkle küçük örek hacmler ç kes güve aralıkları oluşturulması so derece öemldr, çükü yaklaşık yötemler örek hacm küçüldükçe gderek büyüye tahm hatalarıa yol açmaktadır. Kes yötemler kullaımıda se bezetmde kayaklaacak tahm hataları oluşablmektedr, bu hataları azaltılablmes ç bezetm tekrar sayısıı belrlemes kullaıcıya bırakılmıştır. Tekrar sayısı artırıldıkça bezetm hatası azalacaktır. Bezetm tekrar sayısı R=500 000 gb çok yüksek br değer alıdığıda ve arça güvelrlğ aalzlerde orta büyüklükte br örek hacm sayılacak =0 kullaıldığıda ble güve aralığı/alt sıırı hesalamaları PIV 3.00 Ghz hızlı br şlemcde 1 dakkaı altıda yaılablmektedr. Bu, brçok mühedslk uygulaması ç makul br süredr. Sürekl arta blgsayar şlemc hızları sayesde bu süre zamala daha da azalması beklemeldr. Dolayısıyla, yaklaşık ve kısıtlı souçlar ürete esk yötemlere kıyasla bezetm kullaarak güve aralıkları ve alt sıırları üretmek daha ratk, esek ve güvelr br yötem hale gelmştr. Souç olarak gelştrle algortmalar, mühedsler başta olmak üzere Webull dağılımıyla güvelrlk aalz yamak steye tüm kullaıcılar ç kullaışlı ve kasamlı aalz olaağı sağlamaktadır. SEMBOLLER (NOMENCLATURE) T Hata Zamaı Rassal Değşke t Hata Zamaı Gözlem Değer F(t) Brkml Dağılım Foksyou f(t) Olasılık Yoğuluk Foksyou Webull Dağılımı Ölçek Parametres Webull Dağılımı Şekl Parametres Hata Olasılığı F Brkml Dağılım Foksyou Tahmcs Webull Dağılımı Ölçek Parametres Tahmcs Webull Dağılımı Şekl Parametres Tahmcs 1 Güve Düzey W Ağırlık Faktörü Artık KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Ebelg, C. E., A Itroducto to Relablty ad Mataablty Egeerg, McGraw Hll Iteratoal Edtos, Sgaore, 1997.. Kolark, W. J., Creatg Qualty: Cocets, Systems Strateges ad Tools, McGrawHll, New York, 1995. 3. Ma, N. R., Schafer, R. E., Sgurwalla, N. D., Methods for Statstcal Aalyss of Relablty ad Lfe Data, Joh Wley & Sos, New York, 1974. 4. Schldt, H., Teach Yourself C++, McGrawHll, 3rd ed., New York, 1997. 5. Webull, W. Ivestgatos to Stregth Proertes of Brttle Materals, Igeörs Veteskas Akademes Hadlgar, Royal Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009 17

M.A. Daacı v.d. Weıbull Parametreler ve Yüzdelkler İç Güve Aralığı Tahm Algortmaları Swedsh Isttute for Egeerg Research, Stockholm, 7, 1938. 6. Thoma, D. R., Ba, L. J., Atle, C. E., Ifereces o the Parameters of the Webull Dstrbuto, Techometrcs, 11(3), 445460, 1969. 7. Halla, Jr. A. J., A Revew of the Webull Dstrbuto, Joural of Qualty Techology, 5(), 8593, 1993. 8. Ba, L. J., Statstcal Aalyss of Relablty ad Lfe Testg Models, MarcelDekker, New York, 1978. 9. Brgöre, B., Drkolu, M. H., A Comuter Smulato for Estmatg LowerBoud Fracture Stregth of Comostes Usg Webull Dstrbuto, Comostes Part B: Egeerg, 35, 6366, 004. 10. FeradezSaez, J., Chao, J., Dura, J., Amo, J., Estmatg LowerBoud Fracture Parameters for Brttle Materals, Joural of Materals Scece Letters, 1, 14931496, 1993. 11. Barbero, E., FeradezSaez, J., Navarro, C., Statstcal Aalyss of the Mechacal Proertes of Comoste Materals, Comostes Part B: Egeerg, 31, 375381, 000. 1. Barbero, E., FeradezSaez, J., Navarro, C., O the Estmato of Percetles of the Webull Dstrbuto, Joural of Materals Scece Letters, 18, 14411443, 1999. 13. Brgöre, B., Estmatg Cofdece Lower Bouds for Webull Percetles, Joural of Materals Scece Letters,, 111114, 003. 14. Ghosh, A., A FORTRAN Program for Fttg Webull Dstrbuto ad Geeratg Samles, Comuters & Geosceces, 5, 79738, 1999. 15. Keats, J. B., Lawrece, F. P., Webull Maxmum Lkelhood Parameter Estmates wth Cecored Data, Joural of Qualty Techology, 9(1), 105110, 1997. 16. Wasserma G. S., Easy ML Estmato of Normal ad Webull Metrcs, Qualty Egeerg, 1(4), 81569, 000. 17. Brgöre, B., Effect of Samle Sze ad Dstrbuto Parameters Estmato of Cofdece Lower Bouds for Webull Percetles, Ceramcs ad Comoste Materals: New Research, Ed. B. M. Caruta, Nova Scece Publshers, 006. 18. Law, A. M., Kelto, W. D., Smulato Modelg ad Aalyss, McGrawHll, New York, 000. 19. Bergma, B., Estmato of Webull Parameters Usg a Weght Fucto, Joural of Materals Scece Letters, 5, 611614, 1986. 0. Faucher, B., Tyso, W.R., O the Determato of Webull Parameter, Joural of Materals Scece Letters, 7, 1199103, 1988. 1. Hug, W.L., Weghted LeastSquares Estmato of the Shae Parameter of the Webull Dstrbuto, Qualty ad Relablty Egeerg Iteratoal, 17, 467469, 001.. Lawless, J. F., Statstcal Models ad Methods for Lfetme Data, d ed., Joh Wley & Sos, NewJersey, 003. 18 Gaz Üv. Müh. Mm. Fak. Der. Clt 4, No 1, 009