OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen örneklerin şansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. 1
Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Bir kutuda bulunan 5 sarı 6 yeşil bilye içerisinden çekilen iki bilyenin de sarı olma olasılığı. 2
Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir. Sonuç: deney gerçekleştiğinde ortaya çıkan gözlemlere deneyin sonucu adı verilir. Örneklem Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen tüm mümkün basit olaylarının oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. 3
DENEY Paranın atılması Zarın atılması Örnekler SONUÇ Yazı,tura 1,2,3,4,5,6 ÖRENEKLEM UZAYI S={Yazı,Tura} S={1,2,3,4,5,6} Bir memurun bir haftada işe geç kaldığı gün sayısı Kan grupları 1,2,3,4,5 0, AB, A, B S={1,2,3,4,5} S={ 0, AB, A, B} 4
Olay: Bir deneyin bir yada daha fazla sonucunun bir araya gelmesi olarak ifade edilir. Basit Olay: Herhangi bir deneyin nihai sonuçlarına basit olay adı verilir. Bir basit olay sadece bir sonuç içerir. Örnek: bir zar atıldığında 2 gelmesi. Bileşik Olay: İki veya daha fazla basit olayın bir araya gelmesi ile oluşan olaylardır. Örnek: bir zar atıldığında çift sayı gelmesi. 5
Olasılığın İki Temel Kuralı; 1) Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır. 2) Bir deneydeki tüm basit olayların olasılıkları toplamı toplamı 1 e eşittir. DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1 den büyük ve negatif bir sayı OLAMAZ!!!! Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklinde gösterilir. 6
Olasılığa Üç Kavramsal Yaklaşım Klasik Olasılık: Sonuçların ortaya çıkma olasılıları eşit ise buna eşit olasılıklı sonuçlar denir. Klasik olasılık kuralı, tüm sonuçları eşit olasılıklı olan deneylerin sonuçlarına ilişkin olasılıkları hesaplamada kullanılır. Klasik olasılık kuralına göre bir deneydeki basit bir olayın olasılığı 1 in tüm sonuçların sayısına bölünmesiyle bulunur. A bileşik olayının olasılığı ise A olayında içerilen sonuç sayısının toplam sonuç sayısına bölünmesiyle elde edilir. 7
Olasılığın Göreli Sıklık Kavramı Sonuçları eşit olasılıklı olmayan deneylerde deney defalarca tekrar edilerek veri üretilmektedir. Böylesi durumlarda olasılıkları hesaplamak için ya eski verilerden yaralanılmakta ya da deney çok kez tekrarlanarak yeni veri türetilmektedir. Bu verilerden yaralanarak bir olaya ilişkin (yaklaşık) olasılık değeri için göreli sıklıklardan yaralanılmaktadır. Bu yönteme olasılığın göreli sıklık kavramı adı verilir. Yaklaşık olasılık için göreli sıklık: Eğer bir deney n kez tekrarlanmış ve f kez bir A olayı gözlenmiş ise olasılığını göreli sıklık kavramına göre olasılık aşağıdaki gibi hesaplanır. P( A) f n 8
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması n(s): Örneklem uzayı eleman sayısı = 15 n(a): Örneklem uzayındaki A elemanı sayısı = 5 n( A) 5 P( A) n( S) 15 Büyük Sayılar Yasası: Bir deney çok (sonsuz) kez tekrarlanırsa, bir olayın göreli sıklıkları kuramsal olasılığa yaklaşır. 1 3 9
ÖZNEL OLASILIK KAVRAMI Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede kullanılır. Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda (teorik olarak aynı koşullarda) uygulanan deneylere gereksinim duymasıdır. Benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında öznel olasılık kavramı yardımcı olur. 10
Örnekler İzmir ilinde Şubat ayı içinde 5 şiddetinden büyük bir deprem meydana gelme olasılığı, Karşıyaka Altınyol da 1 saatlik süre içinde en az iki adet trafik kazası olma olasılığı, 70 yaşındaki birinin en az 2 yıl daha yaşaması olasılığı, Nişanlı bir çiftin evlenme olasılığı. 11
Örneklem Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Eğer bir deneyde, ilk aşamada m tane, ikinci aşamada n tane ve üçüncü aşamada k tane sonuç olmak üzere üç aşama bulunuyorsa, bu deneydeki toplam sonuç sayısı m.n.k olarak hesaplanır. 12
k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; olarak hesaplanır. k r Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 3 = 216 adettir. Örneklem uzayının eleman sayısı 216 dır. 13
Bileşen(Marjinal) Olasılık Basit olasılık olarak da bilinen bileşen olasılık, herhangi başka bir olay dikkate alınmaksızın, sadece bir olaya ilişkin olasılıktır. İSTATİSTİK DERSİ BAY BAYAN BAŞARILI 85 80 BAŞARISIZ 15 20 100 P() BAY 0,50 200 ŞARISIZ P() BA 0,18 35 200 14
Koşullu Olasılık A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleştiği bilindiği durumda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir. P( A / B ) ile gösterilir. B olayı olduğunda A olayının olması olasılığı biçiminde okunur. ŞARILI BAY şarılı bay sayısı ba 85 P( BA /) 0,85 toplam bay say 100 ŞARISIZ şarısız bayan şarısız sayısı ba 20 P( BAYAN /) BA 0,57 toplam ba 35 15
Ayrık Olaylar Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara ayrık olaylar adı verilir. Örnekler: Bir zarın atılmasında yazı veya tura gelmesi Bir dersten başarılı ya da başarısız olmak. 16
Ağaç Diyagramı Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır. 17
Bağımsız ve Bağımlı Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. İki olayın bağımsız olabilmeleri için aşağıdaki koşulların gerçekleşmesi gereklidir. P ( A / B ) = P ( A ) ve P ( B / A ) = P ( B ) Yukarıdaki koşullardan herhangi biri gerçekleşmiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olmayan ( bağımlı olaylar ) adı verilir ; P ( A / B ) P ( A) ve P ( B / A ) P ( B ) olur. 18
TAMAMLAYICI ( BÜTÜNLEYİCİ ) OLAY A olayının tamamlayıcısı gösterilir. A olarak P( A) 1 P(A) Bir A olayının gerçekleşme olasılığı 0,25 ise tamamlayıcısının gerçekleşme olasılığı P(A) 1 P(A)=1-0,25=0,75 19
OLAYLARIN ARA KESİTİ VE ÇARPMA KURALI A ve B gibi iki olayda hem A da hem B de mevcut sonuçlar iki olayın ara kesitini oluşturur. A ve B olaylarının ara kesiti ( kesi şimi ) A B ya da AB şeklinde gösterilir. Çarpma Kuralı: A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığına bileşik olasılık adı verilir ve P ( A ve B ) şeklinde gösterilir. İki olayın ara kesitinin olasılığıi bir olayın bileşen olasılığı ile ikinci olayın koşullu olasılığından elde edilir ve bu kurala çarpma kuralı denir. A ve B olayının bileşik olasılığı P (A B ) ya da P ( AB ) olarak da gösterilir. 20
21 Koşullu Olasılık Eğer A ve B, P ( A ) 0 ve P ( B ) 0 olmak üzere iki olay ise bulara ilişkin koşullu olasılıklar aşağıdaki gibi elde edilir. ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P ) ( ) ( ) / ( A P A B P A B P
BAĞIMSIZ OLAYLAR İÇİN ÇARPMA KURALI A ve B olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle B olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise; P ( A / B ) = P ( A) ve P ( B / A ) = P ( B ) olur. Sonuç olarak A ve B olayları bağımsız iseler P ( A ve B ) = P ( A B ) = P ( A ). P ( B ) eşitliği elde edilir. Aynı şekilde P ( A B ) = P ( A ). P ( B ) ise A ve B olayları bağımsızdır denir. 22
Ayrık Olayların Bileşik Olasılığı İki ayrık olayın bileşik olasılığı her zaman 0 dır. Bu durum A ve B ayrık olaylar ise P ( A ve B ) = P ( A B ) = 0 olarak gösterilir. 23
OLAYLARIN BİLEŞİMİ VE ÇARPMA KURALI Aynı örneklem uzayında tanımlı A ve B olaylarının bileşimi A da ya da B de ya da A ve B de birlikte yer alan tüm olaylarının bileşkesi olup A ya da B biçiminde gösterilir. Toplama Kuralı: Olayların bileşimine ilişkin olasılık hesaplamada kullanılan yönteme, toplama kuralı denir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. A ve B olaylarının bileşiminin olasılığı, P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ve B ) biçiminde gösterilir. Ayrık Olaylar İçin Toplama Kuralı: P (A veya B ) = P ( A ) + P ( B ) biçiminde gösterilir. 24
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70 i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35 a) P ( T / S ) = 0,40 P (T S ) =? P(T/S) P(T S) P(S) P(T S) P(T/S) *P(S) 0,40*0,35 0,14 b) P(T U S) P(T) P(S) - P(T S) 0,70 0,35-0,14 0,91 25
Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir? A = Ali nin hedefi vurması P ( A ) = 0,65 C = Can ın hedefi vurması P ( C ) = 0,40 P ( A U C ) =? P( A U C ) = P ( A )+ P ( C ) P ( A C ) Ali ile Can nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan; P ( A C ) = P ( A ). P ( C ) = 0,65 * 0,40 = 0,26 P( A U C ) = 0,65 + 0,40 0,26 = 0,79 26
1)Kusursuz bir madeni para 2 kez atılmıştır. Birinci para yazı iken, ikinci paranın da yazı olma olasılığı kaçtır? a)¼ b) 1/3 c) ½ d) 2/3 e) 3/4 2) 1 den 10 a kadar (10 dahil) olan tam sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 2 ve 3 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10 3) Bir işyerinde 3 erkek ve 20 kadın olmak üzere 50 kişi çalışmaktadır. Erkeklerin 1/3 ü ve kadınlarında 1/10 u gözlük takmaktadır. Rasgele seçilen birinin gözlük takan bir erkek olma olasılığı kaçtır? a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 1/2 e) 8/10 27
4) Bir kutuda 5 tanesi beyaz, 10 tanesi siyah olmak üzere 15 tane top vardır. Bu kutudan çekilen topun yerine konulması şartıyla 3 kez top çekilmiştir. Çekilen toplardan ikisinin beyaz olma olasılığı nedir? a) 1/27 b) 4/27 c) 2/9 d) 4/9 e) 5/9 5) Kusursuz bir madeni paranın 3 kez atılması deneyinde hiç yazı gelmeme olasılığı kaçtır? a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8 d) 5/8 e) 7/8 6) Kusursuz bir madeni para n kez atılmıştır. Buna göre toplam sonuç sayısı aşağıdakilerden hangisidir? a) 2n b) 2 n c) n 2 d) 2n 2 e) n 2 /2 28
7) P(B) = 0,60 ve P(A/B)= 0,75 değerleri için A ve B olaylarının bileşik olasılığı kaçtır? a) 0,40 b) 0,45 c) 0,50 d) 0,55 e) 0,60 8) Bir işletmede 15 kadın ve 25 erkek vardır. Uygulanan bir sınavda 5 kadın ve 15 erkek başarısız olmuştur. Bu işletmeden seçilen bir kişinin başarısız olduğu bilindiğine göre bu kişinin kadın olma olasılığı kaçtır? a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 5/8 e) 7/8 9) Kusursuz iki madeni paranın aynı anda atılması deneyinde bir yazı bir tura gelmesi olasılığı kaçtır? a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00 29
10) Hilesiz bir zarı ardı ardına iki kez atalım. Üste gelen sayıların toplamının 3 ten büyük olma olasılığı nedir? a) 25/36 b) 27/36 c) 30/36 d) 33/36 e) 35/36 11) Bir avcının arka arkaya yaptığı üç atışta hedefini vurma olasılıkları sırasıyla 0,2, 0,7 ve 0,9 olarak belirlenmiştir. Bu avcının en az bir hedefi vurma olasılığı nedir? a) 0,20 b) 0,70 c) 0,90 d) 0,976 e) 0,99 12) Bir torbada 4 siyah ve 5 beyaz bilye bulunmaktadır. Arka arkaya iadesiz seçim yöntemiyle rastgele seçilen iki bilyenin siyah olma olasılığı nedir? a) 0,20 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00 30