MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar

MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar Içindekiler 1. Topolojinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler 2. Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay 3. Baz ve Alt Baz 4. Metrik Uzaylar ve Metrik Topoloji 5. Iç, Y l¼g lma Noktalar, Kapan ş ve S n r 6. Süreklilik, Aç k ve Kapal Fonksiyonlar, Homeomor zma 7. Fonksiyonlarla Üretilen Topolojiler, Bölüm Uzaylar ve Çarp m Uzaylar 8. Birinci ve Ikinci Say labilir Uzaylar 9. Ayr lma Aksiyomlar 10. Diziler, Limit Noktalar, Bolzano Weierstrass Teoremi ve Süreklilik 11. Kompaktl k, Heine-Borel Teoremi 12. Limit Nokta Kompaktl ¼g, Dizisel Kompaktl k, Metrik Uzaylarda Kompaktl k 13. A¼glar ve Süzgeçler 14. Ba¼glant l l k ve Yol-Ba¼glant l l ¼g 15. Genişleme Teoremleri 1 Topoljinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler X bir küme ise X in tüm alt kümelerinin kümesini, yani X in güç kümesini, 2 X ile gösterece¼giz. Tan m: T 2 X kümesi aşa¼g daki şartlar sa¼gl yorsa T ye X üzerinde bir topoloji ve ya X in bir topolojisi denir: 1. 2 T ve X 2 T: 2. U 1 2 T ve U 2 2 T ) U 1 \ U 2 2 T: 3. I herhangi bir indeksleme kümesi ve fu g 2I T ise [ 2I U 2 T: Bu durumda X kümesine topolojik uzay denir ve (X; T ) ikilisi ile gösterilir. Bazen T nin X üzerinde bir topolojik yap oldu¼guda söylenebilir. Indaksiyon ile 2. şarttan T nin sonlu say da eleman n n kesişiminin T de oldu¼gu sonucuna ulaşabiliriz ki baz kaynaklar 2. şart bu şekilde yazmaktad r. Fakat key say da, yani sonsuz say da, eleman n kesişiminin T de olma zorunlulu¼gu yoktur. 3. şart T den al nan key say da elaman n bileşiminin yine T de olmas zorunlulu¼gudur. Yani tan m n püf noktas "Sonlu kesişimler içerde olacak. Key bileşimler içerde olacak." şeklinde özetlenebilir. Ayr ca, di¼ger şart, yani 1. şart ise boş kümenin ve X in kendisinin topolojide olmas şart d r. 1. X herhangi bir küme olsun. T trivial = f; Xg kümesinin X in topolojisi oldu¼gu, yani tan m n şartlar n sa¼glad ¼g, kontrol edilebilir. Buda bize her kümenin en az bir topolojisi oldu¼gunu söylemektedir. 2. X herhangi bir küme olsun. T ayr{k = 2 X kümesinin, yani X in tüm alt kümelerinin kümesi olan güç kümesinin, X in topolojisi oldu¼gu kontrol edilebilir. Buda bize en az iki eleman içeren bir kümenin en az iki topolojisi oldu¼gunu gösterir: Trivial topoloji ve ayr k topoloji. Fakat, s f r elemanl kümenin, yani boş kümenin, ve bir elemanl kümenin, bir topolojisi vard r. Bu kümelerin ayr k ve trivial topolojileri ayn d r. 3. 0 ve 1 elemanl kümelerin 1 topolojisi oldu¼gunu söyledik. X = f1; 2g iki elemanl bir küme olsun. Bu küme üzerindeki tüm topolojiler T 1 = T trivial, T 2 = T ayr{k, T 3 = f; f1g ; Xg ve T 4 = f; f2g ; Xg olup bunlar n topolji oldu¼gu kontrol edilebilir. 1

4. n elemanl kümenin üzerindeki topoloji say s T (n) olsun. T (n) says n n n cinsinden hesaplanmas aç k bir problemdir. Henüz çözülememiştir! Buda topolojinin küme büyüdükçe ne kadar karmaş klaşt ¼g n göstermektedir. Yukar da T (0) = T (1) = 1 ve T (2) = 4 oldu¼gunu söylemiştik. Şimdi bir üç elemanl küme düşünelim: X = f1; 2; 3g : Bu küme üzerindeki yazabilece¼gimiz ilk iki topolojiler T 1 = T trivial ve T 2 = T ayr{kd{r : Fakat bunlar n d ş nda X üzerinde daha yirmi yedi tane topoloji yaz labilir! Yani T (3) = 29 d r. Örne¼gin X üzerinde üç elemanl topolojilerden biri T 3 = f; f1g ; Xg ; dört elemanl topolojilerden biri T 4 = f; f1g ; f2; 3g ; Xg, beş elemanl topolojileren biri T 5 = f; f1g ; f2g ; f1; 2g ; Xg ve alt elemanl topolojilerden biri T 6 = f; f1g ; f2g ; f1; 2g ; f2; 3g ; Xg olarak yaz labilir. Geriye kalan 23 topolojiyi düşünmeyi okuyucuya b rak yoruz. 5. X sonlu ve ya sonsuz herhangi bir küme olsun. T sonlutümleyen = fu X j U 0 = X U sonlu kümeg [ fg kümesi X in bir topoloijsidir. Bu topolojiye X in sonlu tümleyen topolojisi denir. 6. X sonlu ve ya sonsuz herhangi bir küme olsun. T say labilirtümleyen = fu X j U 0 say labilir kümeg [ fg kümesi X in bir topoloijsidir. Bu topolojiye X in say labilir tümleyen topolojisi denir. 7. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Herhangi iki reel say a; b 2 R 1 için (a; b) = x 2 R 1 j a < x < b kümesine s n rl aç k aral k denir. U R T standart = 1 j U key say da s n rl aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. şeklinde tan mlanan küme reel say do¼grusun topolojisidir. Bu kümenin topoloji oldu¼gunu daha sonra ayr nt l olarak tüm metrik uzaylara genelleştirerek kan tlayaca¼g z. Bu topolojiye reel say do¼grusunun standart topolojisi denir. Bu topolojinin di¼ger isimleri, standart metrik topolojisi, do¼gal topoloji, s radan topoloji vb. dir. 8. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Şimdi reel say do¼grusun başka bir topolojisini tan ml yaca¼g z. Do¼gal topolojisini unutunuz. Herhangi iki a; b 2 R 1 için [a; b) = x 2 R 1 j a x < b kümesine s n rl ve alttan kapal üstten aç k aral k denir. U R T altlimit = 1 j U key say da s n rl alttan kapal üstten aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. şeklinde tan mlanan küme reel say do¼grusu kümesinin topolojisidir ve reel say do¼grusunun alt limit topolojisi olarak adaland r l r. Benzer şekilde üst limit topolojisini tan mlamay okuyucuya b rak yoruz. 9. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Şimdi reel say do¼grusun yukar dakilerden başka bir topolojisini tan ml yaca¼g z. Bunun için bir küme tan mlayal m: K = 1 n j n 2 Z+ : Ve (a; b) K şeklindeki kümelere K s silinmiş aç k aral klar diyelim. Şimdi şu kümeyi tan mlayal m: U R T K = 1 j U key say da aç k aral ¼g n ve ya K s silinmiş aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. Bu küme reel say do¼grusu kümesinin topolojisidir ve reel say do¼grusunun K-topolojisi olarak adaland r l r. 10. Şimdi yedinci örne¼gin genelleştirmesini yapal m ve çok boyutlu reel Öklit uzaylar n n do¼gal topolojini tan mlayal m. R n ; n 1; n-boyutlu reel Öklit uzay üzerindeki uzunluk fonksiyonu, di¼ger ad yla standart metrik, d : R n R n! R; x = (x 1 ; x 2 ; ::::; x n ) 2 R n ve y = (y 1 ; y 2 ; ::::; y n ) 2 R n ; v ux d standart (x; y) = t n (y i x i ) 2 şeklinde tan mlan r. x = (x 1 ; x 2 ; ::::; x n ) 2 R n için x merkezli 2 R + yar çapl aç k küre şeklinde tan mlan r. T standart = B(x; ) = fy 2 R n j d standart (x; y) < g U R n j U key say da aç k kürenin bileşimi şeklinde yaz labilir. kümesi n-boyutlu reel Öklit uzay n n bir topolojsidir ve R n in standart topolojisi olarak adland r l r. Bu topolojinin di¼ger isimleri 7. örnekte oldu¼gu gibidir. Ayr ca n = 1 durumunda bu örne¼gin 7. örne¼gin ayn s oldu¼gunu gösterebiliriz: Bir boyutlu aç k küreler s n rl aç k aral klard r. 2

11. X bir küme ve üzerinde bir < üzerindeki s ralama ba¼g nt s olsun. Ayr ca, X in bu s ralama ba¼g nt s na göre en küçük ve en büyük eleman olmas n. a < b şart n sa¼glayan her a; b 2 X için (a; b) = fx 2 X j a < x < bg aral ¼g n tan ml yal m. Bu tip aral klar n key bileşimlerinin koleksiyonu X üzerinde bir topoloji tan mlar. Bu topolojiye X in s ralama topolojisi denir. X in en küçük ve en büyük elemanlar varsa bu tan m n modife edilmesi gerekti¼gini belirtelim, [Munkres]. Aç kça görüldü¼gü gibi bu topoloji reel say s do¼grusunun do¼gal topolojisinin anolojisidir. Gerçektende reel say do¼grusu üzerindeki küçük olma ba¼g nt s na göre tan mlanan s ralama topolojisi R 1 in standart metri¼gi yani mutlak de¼ger metri¼gine göre tan mlanan standart topolojisine eşittir! R 2 üzerinde bir s ralama var m d r? Do¼gru üzerinde bir noktada durdu¼gumuzda sadece iki yön vard r sa¼g-sol (do¼gu-bat ) ve bu nedenle s ralama ba¼g nt s n bulmak kolayd r. Fakat düzlem üzerinde bir noktada durdu¼gumuzda gidebilece¼gimiz sonsuz tane yön vard r. Do¼gu-bat ve kuzey-güney bunlardan sadece dördüdür. Bununla birlikte düzlemde s ralama ba¼g nt s bulmak mümkündür. Bu s ralamalardan biri kütüphanelerde kullan lan "sözlük s ralamas " denilen s ralamad r. E¼ger (x 1 ; y 1 ) ve (x 2 ; y 2 ) düzlemde iki nokta ise önce ilk koordinatlar na bakar z. E¼ger x 1 < x 2 ise (x 1 ; y 1 ) < (x 2 ; y 2 ) oldu¼gunu kabul ederiz. Fakat x 1 = x 2 ise ikinci koordinatlar na bakar z. E¼ger x 1 = x 2 ve y 1 < y 2 ise (x 1 ; y 1 ) < (x 2 ; y 2 ) oldu¼gunu kabul ederiz. Bu düzlemde s ralama ba¼g nt s tan mlar ve bu s ralama ba¼g nt s düzlem üzerindeki sözlük topolojsi T sözlük ü yarat r. Sözlük topolojisinin tan m benzer şekilde di¼ger R n lere (n 3) genelleştirilebilir. Reel say do¼grusu üzerindeki sözlük topolojsinin standart topoloji ile ayn oldu¼gunu söylemiştik. Fakat n 2 için bu do¼gru de¼gildir. Bu konuya topolojilerin karş laşt r lmas n tan mlad kdan sonra tekrar de¼ginece¼giz. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. U 2 T ise U ya aç k küme denir. E¼ger C X kümesinin tümleyeni aç k ise yani C 0 = X C 2 T ise C ye kapal küme denir. Örnek: 1. Burada önemli bir kaç uyar da bulunal m. Aç k küme X in belli bir topolojisine göre tan mlanm şd r. Bir küme üzerinde birden fazla topoloji olabilece¼ginden, X in bir topolojisine göre aç k olan bir küme başka bir topolojisine göre aç k olmayabilir. Örne¼gin X = f1; 2g için U = f1g kümesi T ayr{k için aç k kümedir fakat T trivial için aç k küme de¼gildir. Bu örnek ayr ca bir kümenin ne aç k nede kapal olabilece¼ginide göstermekdedir. Ne aç k nede kapal kümeler olabilece¼gi gibi, hem aç k hem kapal kümelerde vard r. En basiti ve X kümeleri, 0 = X ve X 0 = oldu¼gu için X in her topolojisi için hem aç k hem de kapal kümelerdir! Bu bariz iki örne¼gin d ş nda hem aç k hem kapal küme örne¼gi olan başka örneklerde vermek mümkündür. Örne¼gin, X = f1; 2; 3; 4g kümesi üzerindeki T = f; f1g ; f2; 3g ; f4; 5g ; f1; 2; 3g ; f1; 4; 5g ; f2; 3; 4; 5g ; Xg topolojisini düşünelim. Bu topolojiye göre A = f1; 2; 3g kümesi hem aç k hemde kapal d r. Daha zor bir örnek reel say do¼grusunun alt limit topolojisi T altlimit de gösterilebilir. Reel say do¼grusun alt limit topolojisinde [a; b) kümeleri hem aç k hem kapal kümelerdir. Bu mant k oyununu çözmeyi okuyucuya b rak yoruz. 2. R 1 in standart topolojisinin ba¼glant l, yani tek komponentli, olan aç k kümeleri s n rl ve ya s n rs z aç k aral klard r. (a; b) şeklindeki s n rl aç k aral klar zaten bu topolojinin yaratanlar olarak al nm şt ve dolay s yla standart topolojinin içindedir. (a; 1); ( 1; b); R 1 = ( 1; 1) şeklindeki s n rs z aç k aral klar n standart topolojinin içinde oldu¼gu sonsuz bir 1[ bileşimle gösterelebilir. Örne¼gin (3; 1) = (3; n) gibi. Fakat R 1 in çok komponentli olan aç k kümeleride vard r. Örne¼gin, n=4 ( 1; 1 2 ) [ (4; 1) aral ¼g iki komponentli, ( 2; 1) [ (0; 0:1) [ (; 2) aral ¼g üç komponentli aç k kümeleridir. Her n 2 Z+ için R 1 in sonsuz tane n komponentli aç k kümesi vard r. R 1 in s n rl ve ba¼glant l, yani tek komponetli, kapal aral klar [a; b] şeklindedir. Önemli bir durumu not etmek gerekirse, [a; a] = fag tek nokta kümeleride bu türdendir, yani kapal ve ba¼glant l. Noktalar n kapal olma özelli¼gine ilerde uzay n T 1 olma özelli¼gi diyece¼giz. (R 1 ; T standart ) uzay T 1 uzay d r. R 1 in ba¼glant l olmayan kapal kümeleri de vard r. Örne¼gin, f 3g [ [0; 2] [ [8; 1) kümesi (R 1 ; T standart ) uzay n n üç komponentli kapal bir kümesidir. Her n 2 Z + için R 1 in sonsuz tane n komponentli kapal kümesi vard r. Ve ayr ca standart topolojide, sonsuz komponentli aç k ve kapal kümelerinde oldu¼gunu ve sonsuz tane oldu¼gunu kolayca ispatlayabiliriz. Topolojinin tan m n kapal kümeler yani aşa¼g da tan mlad ¼g m z kapal küme ailesi cinsindende vermek de mümkündür. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. K = fc j C 0 2 T g kümesine X in T topolojisine göre kapal küme ailesi denir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve K bu topoljinin kapal küme ailesi olsun. K aşa¼g daki şartlar sa¼glar: 1. ; X 2 K: 3

2. K n n key say da eleman n n kesişimi K dad r. 3. K n n sonlu say da eleman n bileşimi K dad r. Yukar daki teoremden dolay, alternatif olarak, X üzerindeki bir topolojiyi şu şekilde tan mlayabilirdik: K 2 X olsun ve yukar daki teoremdeki şartlar sa¼glas n. Bu durumda T = fu j U 0 2 Kg ailesi X in bir topolojisidir ve bu topolojinin kapal küme ailesi K d r. K sacas, aç k kümeler ile kapal kümeler aras nda bir "dualite" vard r ve bir kapal küme ailesi verildi¼ginde bu kapal küme ailesi bir topoloji tan mlar. 2 Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay Tan m: T 1, T 2 kümeleri X kümesinin iki topolojisi olsun. E¼ger T 1! T 2 ; daha aç k olarak yazmak gerekirse T 1 T 2 ve T 1 6= T 2 ; ise T 1 topolojisi T 2 topolojisine göre daha incedir ve ya T 2 topolojisi T 1 topolojisine göre daha kabad r denir. T 1 = T 2 ; daha aç k olarak yazmak gerekirse T 1 T 2 ve T 1 T 2 ; ise bu topolojilere eşit topolojiler denir. E¼ger topolojiler aras nda bir kapsma ilişkisi yoksa bu topolojilere karş laşt r lamaz topolojiler denir. 1. X herhangi bir küme olsun. X in üzerindeki en kaba topoloji trivial topolojidir. Di¼ger bir deyişle X in üzerindeki di¼ger her topoloji trivial topolojiyi kapsar. 2. X herhangi bir küme olsun. X in üzerindeki en ince topoloji ayr k topolojidir. Di¼ger bir deyişle X in üzerindeki di¼ger her topoloji ayr k topoloji taraf ndan kapsan r. 3. R 1 üzerindeki altlimit ve üstlimit topolojileri standart topolojiden daha incedir, yani, T altlimit! T standart ve T üstlimit! 1[ T standart : Örne¼gin altlimit topolojinin neden standart topolojiden daha ince oldu¼gunu gösterelim: (a; b) = [a + 1 n ; b) şeklinde yaz labilece¼gi için her s n rl aç k aral k T altlimit topolojisi içindedir, dolay s yla T altlimit T standart olur. Fakat en basiti [0; 1) =2 T standart oldu¼gu için T altlimit 6= T standart ve böylece T altlimit! T standart ispatlanm ş olur. Üstlimit topolojisi içinde benzer bir ispat yap labilir. Ayr ca not etmek gerekirse, T altlimit ve T üstlimit topolojileri birbirleri ile karş laşt r lamaz. 4. R 1 üzerindeki K-topolojisi T K y hat rl yal m. T K topolojisi T standart topolojisinden daha incedir. Gerçekten tan mdan dolay T K T standart oldu¼gu kolayca görülür. Eşit olmad klar n kan tlayal m. Örne¼gin U = ( 1; 1) K kümesini düşünelim. U 2 T K d r. Fakat U kümesi T standart topolojisin eleman olamaz. Çünkü bu küme T standart topolojisin eleman olsayd aç k aral klar n bileşimi olarak yaz labilirdi ve 0 2 U oldu¼gu için 0 içeren bir aç k aral ¼g n U nun içinde olmas gerekirdi. Örne¼gin böyle bir aral k ( 2 ; 1 ) olsun. Burada 1 ; 2 2 R + ve bu nedenle öyle bir n 2 Z + vard r ki 1 n < 1: Fakat bu durumda 1 n 2 U olur. Çelişki. O halde. T K! T standart olur yani kapsama ilişkisi "kesinlikle" dir. 5. R n üzerinde standart metri¼ge göre tan mlanm ş T standart topolojisini hat rl yal m. R n üzerinde standart metri¼gin d ş nda metriklerde mevcuttur. Örne¼gin x; y 2 R n olmak üzere küp metrik ve elmas metrik d küp (x; y) = max 1in jy i d elmas (x; y) = şeklinde tan mlan r. Aç k kürelere benzer olarak aç k küpler nx jy i x i j x i j ve aç k elmaslar K up(x; ) = fy 2 R n j d küp (x; y) < g Elmas(x; ) = fy 2 R n j d elmas (x; y) < g tan mlayabiliriz. Benzer şekilde, T küp topolojisini key say da aç k küplerin bileşimleri ve T elmas topolojisin key say da aç k elmaslar n bileşimleri şeklinde tan mlayabiliriz. Ilerki bir konuda, baz kavram n tan mlad ktan sonra, şunu ispatl yaca¼g z: T standart = T küp = T elmas 4

6. Do¼gru, yani R 1 ; üzerindeki standart topoloji ile sözlük topolojisin ayn oldu¼gunu söylemiştik. Fakat, düzlem, yani R 2 üzerindeki sözlük topolojisi düzlem üzerindeki standart topolojiden daha incedir. Bunu ispatlamak için önce I b a(x 0 ) = f(x 0 ; y) j a < y < bg şeklindeki aral klar n sözlük topolojisinde oldu¼gunu gösteririz. Düzlemde aç k bir küre (disk) verildi¼ginde bu aç k diski bu tip aral klar n bileşimi şeklinde yazabiliriz. Dolays yla aç k diskler sözlük topolojisinin içindedir ve dolay syla standart topoloji sözlük topolojisinin içindedir. Fakat I b a(x 0 ) şeklinde bir aral k standart topolojinin içinde olamaz. Bu nedenle T sözlük topolojisi T standart topolojisinden daha incedir. Benzer şekilde di¼ger R n ler; n 3; için de sözlük topolojisi standart topolojiden daha incedir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve A X bir alt küme olsun. T A = fu \ A j U 2 T g kümesi A üzerinde bir topolojidir. Tan m: (X; T ) topolojik uzay ve A X olsun. (A; T A ) ikilsine ve ya k saca A ya X in bir alt uzay denir. T A topolojisine T taraf ndan üretilen ve ya T den indirgenmiş alt uzay topolojisi denir. K sacas, X in her alt kümesi bir alt uzay d r. Bu tan mda üzerinde durulmas ve vurgulanmas gereken temel nokta alt uzay n aç k kümelerinin karakterizasyonudur: Alt uzay n bir aç k kümesi ana uzay n bir aç k kümesinin alt uzay ile kesişimidir. Alt uzay n kapal kümeleride aşa¼g daki teoremde söylendi¼gi gibi benzer karakterizasyona sahiptir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve (A; T A ) altuzay olsun. C A kümesinin A da kapal olmas için gerek ve yeter koşul K X kapal olmak üzere C = A \ K olmas d r. 1. Trivial topolojinin herhangi bir alt kümeye indirgenmesi trivial topolojdir. Benzer bir şekilde ayr k topolojinin herhangi bir alt kümeye indirgenmesi ayr k topolojidir. 2. A = [0; 1] R 1 olsun. (R 1 ; T standart ) topolojisin A üzerine indirgenmesini düşünelim. Bu topolojide en basit aç k kümelere [0; b); 0 < b 1; ve (a; 1]; 0 a < 1; ve (a; b); 0 < a; b < 1; şeklinde olanlard r. Ve [0; 1] üzerindeki indirgenmiş standart topoloji bu tip aral klar n key bileşimleri olarak düşünülebilir. Burada not düşmemiz gereken önemli bir nokta şudur: Alt uzayda aç k olan bir küme ana uzayda aç k olmak zorunda de¼gildir. Örne¼gin bu örnekte A = [0; 1] in kendisi alt uzay topolojisinde aç kt r fakat (R 1 ; T standart ) da elbetteki aç k de¼gildir. Bu örnekte alt uzayda aç k olan fakat ana uzayda aç k olmayan başka bir kümeye örnek olarak [0; 1 2 ) kümesi gösterilebilir. 3. Öklit düzleminin S 1 = (x; y) j x 2 + y 2 = 1 R 2 altkümesi, yani birim çember, üzerindeki standart topolojiden indirgenmiş alt uzay topolojisini düşünelim. Bu topolojinin en basit elemanlar "aç k yaylar" olarak adland raca¼g m z yaylard r. 0 < 360 olmak üzere _ aç k yay n _ = f(cos t; sin t) j < t < g şeklinde tan mlayal m. Birim çember üzerindeki, düzlemin standart topolojisinden indirgenmiş alt uzay topolojisinin elemanlar, key say da aç k yay n bileşimi ile elde edilebilen kümelerdir. 4. m n ise R m R n olarak düşünülebilir. R m in üzerindeki R n in standart topolojisinden indirgenmiş alt uzay topolojisi R m in standart topolojisidir! Bunun ispat n baz kavram n tan mlad ktan sonra düşünece¼giz. Alt uzay n aç k bir kümesinin ana uzayda aç k olmayabilece¼gini söylemiştik. Ayn uyar kapal kümeler içinde yap labilir. Fakat, Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve (A; T A ) alt uzay olsun. A da aç k (kapal ) olan herhangi bir kümenin X de aç k (kapal ) olmas için gerek ve yeter koşul A n n aç k (kapal ) olmas d r. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. Bu uzay n sahip oldu¼gu bir özellik bu uzay n tüm alt uzaylar nda varsa bu özelli¼ge kal tsal (genetik) özellik denir. Kal tsal özellikle ilgili örnekler daha sonra verilecektir. 5

3 Baz ve Alt Baz Bir önceki konuda, örneklerde, bir topolojinin çok daha az say da eleman n key bileşimleri ile inşaa edildi¼gini gördük. Örne¼gin, R n in standart topolojisini tan mlarken aç k küreleri kulland k. Standart topolojiyi tan mlamadan önce tüm aç k kürelerin kümesini ayr bir koleksiyon (aile) olarak düşünebilirdik. Bu koleksiyon standart topolojinin kendisinden çok daha küçük bir küme olurdu. Bu nedenle topolojiyi tan mlamadan önce daha temel bir kavram olan baz tan mlanabilir. Tan m: X bir küme ve B 2 X olsun. B aşa¼g daki özellikleri sa¼gl yorsa B ye X in bir baz d r denir: 1. X = [ U: U2B 2. Her U 1 ; U 2 2 B ve x 2 U 1 \ U 2 için 9U 3 2 B öyleki x 2 U 3 U 1 \ U 2 : Teorem: B 2 X kümesi X in bir baz ise kümesi X in bir topolojisidir. T = fu j U kümesi B nin key say da eleman n bileşimi olarak yaz labilir.g Tan m: B 2 X kümesi X in bir baz ise yukar da ifadesi verilen ve topoloji oldu¼gu ispatlanan T kümesine B baz taraf ndan yarat lan topoloji denir. Bu durumda B ye T topolojisinin bir baz d r denir. K sacas, bir topoloji verilmeden ve ya biliniyor olmadan önce baz verilebilir ve bu baz bir topoloji yarat r. Ters olarakda, bir topoloji verildi¼ginde bu topolojinin bir baz n n bulunmas istenebilir. Elbetteki verilen topolojinin kendisi kendisin baz d r fakat bu pek yararl olmayan bazd r. 1. 3 elemanl X = f1; 2; 3g in 4 elemanl topolojisi T = f; f1g ; f2; 3g ; Xg nin bir baz B = ff1g ; f2; 3gg dir ve 2 elemanl d r. Bu kümenin baz tan m ndaki şartlar sa¼glad ¼g kolayca görülebilir. 2. B = fb standart (x; ) j x 2 R n ; 2 R + g koleksiyonunun baz tan m n sa¼glad ¼g n ve R n kümesinin bir baz oldu¼gunu kolayca gösterebiliriz. Ve bu baz daha önceden tan mlad ¼g m z topoloji olan standart topolojiyi yarat r. Bu baz çok daha fazla küçültülebilir! Şu şekilde: n tane rasyonel say cisminin kartezyen çarp m Q n = f(q 1 ; q 2 ; :::; q n ) j q 1 ; q 2 ; ::::; q n 2 Qg yi tan mlarsak Q n R n olur ve B 0 = fb standart (x; ) j x 2 Q n ; 2 Q + g koleksiyonuda baz tan m n n şartlar n sa¼glar, yani R n in bir baz d r. Bu bazda R n in satandart topolojisini yarat r! Bunu daha sonra yazaca¼g m z bir teoremi kullanarak ispatlayaca¼g z. Bu örne¼gi n = 1 için tekrar yazacak olursak (R 1 ; T standart ) topolojik uzay n n, di¼ger bir deyişle, standart topolojili reel say do¼grusunun en kullan şl baz B = f(a; b) j a < b; a; b 2 Qg d r. 3. B = f[a; b) j a; b 2 Rg kümesinin tan m sa¼glad ¼g n ve bir baz oldu¼gunu kolayca gösterebiliriz. Bu baz R 1 in alt limit topolojisi T altlimit yi yarat r. Alt limit topolojisi için daha küçük bir baz B 0 = f[a; b) j a 2 R; b 2 Qg olarak verilebilir. Fakat burada alt limit ucu olan a y rasyonel say olarak almak mümkün de¼gildir. Daha önceden topolojilerin nas l karş laşt r ld ¼g n tan mlam şt k. Peki bu karş laşt rman n bazla ilgisi nedir? Teorem: B 1 ve B 2 s ras ile (X; T 1 ) ve (X; T 2 ) topolojik uzaylar n n bazlar olsunlar. Aşa¼g dakiler denkdir: 1. T 1 T 2 2. Her x 2 X ve her x 2 U 2 2 B 2 için 9U 1 2 B 1 öyle ki x 2 U 1 U 2 : 1. Şimdi bu teoremi kullanarak bir önceki konuda iddia etti¼gimiz R n üzerindeki T standart = T küp = T elmas eşitli¼gini ispat edebiliriz. Gerçektende bir aç k küre ve bu aç k kürenin içinde bir nokta verildi¼ginde bu noktay içeren ve kürenin içinde kalan daha küçük aç k bir elmas ve ya aç k bir küp bulabiliriz. Benzer olarak ayn şeyi aç k küpler için ve aç k elmaslar içinde söyleyebiliriz. Dolay s yla bu topolojiler ikili olarak yukardaki teoremin 2. şart n sa¼glarlar. 1. şart, 2. şarta denk oldu¼gu için, bu üç topoloji birbirini kapsamaktad r, dolay s yla eşittirler. 6

2. Şimdi daha önceden sözünü etti¼gimiz Öklit uzay n n baz çok küçültülebilir iddias n ispatl yal m: R n nin B = fb standart (x; ) j x 2 ve B 0 = fb standart (x; ) j x 2 Q n ; 2 Q + g bazlar n n yukar daki teoremin 2. şart n "çift tara olarak" sa¼glad ¼g gösterilebilir. Bu nedenle bu bazlar n yaratt ¼g topolojiler eşittir. Ana uzay n topolojisinin bir baz alt uzay içinde bir baz tan mlar ve bu baz n yaratt ¼g topoloji alt uzay n indirgenmiş topolojisini yarat r. Teorem olarak yazarsak, Teorem: (X; T ) topolojik uzay, B bu topolojinin bir baz ve A X olsun. kümesi alt uzay topolojisi T A n n bir baz d r. B A = fu \ A j U 2 Bg Yukarda tan mlanan B A kümesine B baz n n A alt kümesine indirgenmiş baz denir. Ve teorem, tekrar edecek olursak, do¼gal olarak beklendi¼gi gibi, indirgenmiş baz n indirgenmiş topolojiyi yaratt ¼g n söylemektedir. Örnek: Nas l R 2 de x-eksenini R 1 olarak, ve ya nas l R 3 de xy-düzlemini R 2 olarak düşünüyorsak, m n için R m R n olarak düşünebiliriz. Bu durumda n-boyutlu aç k bir kürenin R m ile kesişimi e¼ger boş küme de¼gilse m-boyutlu aç k bir küredir ve tüm m-boyutlu aç k küreler bu şekilde kesişimle elde edilebilir ve dolay s yla R n nin standart baz n n R m e indirgenmesi R m nin standart baz d r. Ve bu indirgenmiş baz, yukar daki teoreminde söyledi¼gi gibi, R m nin standart topolojisini yarat r. Buda R n nin standart topolojisinin R m e indirgenmesinin R m nin standart topolojisi oldu¼gunu kan tlar. Topolojiyi yaratan daha küçük bir koleksiyon olarak baz tan mlad k. Baz yaratan daha küçük bir koleksiyonda tan mlanabilir. Tan m: (X; T ) topolojik uzay ve S T olsun. E¼ger S nin elemanlar n n sonlu kesişimleri kümesi T nin bir baz n oluşturuyorsa S ye T nin ve yaratt ¼g baz n bir alt baz d r denir. Örnek: Altbaz ve baz kavram n kafada canland rabilmek için düzlemin topolojisini ak lda tutmakta fayda vard r. Öklit düzleminin standart topolojisinin bir baz aç k dikdtörtgenler kümesidir. Bu baza B diktörtgen diyelim. Bir aç k dikdörtgeni elde etmenin kolay bir yolu bir aç k dik şerit ile bir aç k yatay şeriti kesiştirmekdir. Dolay s yla aç k kenarl dik şeritlerin ve aç k kenarl yatay şeritlerin hepsini bir bohçaya koyarsak bu bohçaya Sşerit dersek Sşerit kümesi düzlemin standart topolojisinin bir alt baz olur. Bu şerit örne¼gini tüm Öklit uzaylar na genelleştirebiliriz. Ayr ca şerit kavram, çarp m uzaylar n n anlaş lmas nda temel oluşturmaktad r. 4 Metrik Uzaylar ve Metrik Topoloji Aç k kürelerin bir metrik uzay olan n-boyutlu reel Öklit uzay n n yani R n nin bir baz oldu¼gunu ve standart topolojisini yaratt ¼g n söylemiştik. Şimdi bunu tüm metrik uzaylara genelleştirece¼giz. Ama önce metri¼gin ve metrik uzay n tan m n verelim. Tan m: X bir küme olsun. d : X X! R fonksiyonu aşa¼g daki şartlar sa¼gl yorsa d nin X kümesinin üzerinde bir metrik oldu¼gu söylenir ve (X; d) ikilisine metrik uzay denir: 1. Her x; y 2 V için d(x; y) 0: (Poziti ik özelli¼gi.) 2. d(x; y) = 0, x = y: (S f r olma özelli¼gi.) 3. Her x; y 2 X için d(x; y) = d(y; x): (Yans ma özelli¼gi.) 4. Her x; y; z 2 X için d(x; y) d(x; z) + d(z; y): (Üçgen eşitsizli¼gi.) Tan m: 2 R + olsun. B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) < g kümesine x merkezli yar çapl aç k küre ve ya x in (aç k) - komşulu¼gu denir. Teorem: (X; d) bir metrik uzay olsun. Tüm aç k kürelerin koleksiyonu olan B = fb d (x; ) j x 2 X; 2 R + g kümesi X in bir baz d r. Tan m: Yukardaki teoremdeki baz n yaratt ¼g topolojiye X üzerindeki d metri¼ginin yaratt ¼g metrik topoloji denir. d metri¼gi ve d 0 metri¼gi X üzerinde iki metrik ve ayn topolojiyi yarat yor iseler bu metriklere denk metrikler denir. 7

1. R n için tan mlanan küre (di¼ger ad yla standart), v küp ve elmas metriklerini hat rlayal m: i) Uzunluk fonksiyonu ve ya di¼ger u nx ad yla standart metrik: d standart (x; y) = t (y i x i ) 2 ii) Küp metri¼gi: d küp (x; y) = max jy i x i j iii) Elmas metri¼gi: 1in d elmas (x; y) = nx jy i x i j : Bu üç fonksiyonun metrik oldu¼gunu yani tan m n şartlar n sa¼glad ¼g n ispatlamay okuyucuya b rak yoruz. Daha önceden gösterildi¼gi gibi, bu metriklerin yaratt ¼g topolojiler eşittir yani ayn d r ve standart metrik topoloji ve ya standart topoloji olarak adland r l r. K sacas d standart ; d küp ve d elmas denk metriklerdir. 1 x 6= y 2. X boş olmayan bir küme ise d(x; y) = şeklinde tan mlanan fonksiyon X üzerinde bir metrikdir ve ayr k 0 x = y metrik olarak ça¼gr l r. Bu metri¼gin yaratt ¼g topoloji kolayca gösterilebilece¼gi gibi X üzerindeki ayr k topolojidir. 3. (X; d) metrik uzay olsun. d 0 (x; y) = min f1; d(x; y)g şeklinde tan mlanan fonksiyon X üzerinde yeni bir metriktir ve bu metrik ayn topolojiyi yarat r. Di¼ger bir ifadeyle d ve d 0 denk metriklerdir. Şimdi ilerde kullanabilece¼gimiz uzakl k ve s n rl l k ile ilgili bir kaç tan m verelim: Tan m: (X; d) metrik uzay olsun. x 2 X ve A X ise d(x; A) = inf fd(x; y) j y 2 Ag say s na x in A ya uzakl ¼g, ayr ca B X ise d(a; B) = inf fd(y; z) j y 2 A; z 2 Bg say s na A ile B aras ndaki uzakl k denir. (A) = sup fd(y; z) j y; z 2 Ag say s na ise A n n çap ad verilir. E¼ger (A) sonlu bir say ise A kümesine s n rl küme ad verilir. Örnek: Her aç k kürenin s n rl oldu¼gu gösterilebilir: Gerçektende üçgen eşitsizli¼gi kullanarak (B d (x; )) 2 oldu¼gu gösterilebilir ve bu nedenle B d (x; ) s n rl d r. Dolay s yla bir aç k kürenin içinde kalan bir küme s n rl d r. Dolay s yla, Öklit uzaylar için s n rl kümenin alternatif bir tan m da şudur: E¼ger A B (0; ) ise yani A kümesi orijin merkezli bir aç k kürenin içinde kal yor ise A alt kümesi s n rl d r. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay olsun. E¼ger X üzerinde T topolojisini yaratan bir metrik bulunabiliyorsa, (X; T ) topolojik uzay na metrize edilebilir uzay denir. Örnek: 1. Her X kümesi için (X; T ayr{k ) topolojisi metrize edilebilir. Çünkü d(x; y) = ve bu fonksiyon her küme için metrikdir. 1 0 x 6= y x = y metri¼gi ayr k topolojiyi yarat r 2. E¼ger X "en az 2 eleman içeren" bir küme ise (X; T trivial ) topolojisi metrize edilemez. Bunun ispat n okuyucuya b rak yoruz. Tan m: (X 1 ; d); (Y; d 0 ) iki metrik uzay ve f : X! Y fonksiyonu her x 1 ; x 2 2 X için d 0 (f(x 1 ); f(x 2 )) = d(x 1 ; x 2 ) şart n sa¼gl yorsa f fonksiyonuna izometri denir. E¼ger ayr ca f fonksiyonu bire-bir ve örten ise bu durumda X ve Y izometrik uzaylard r denir. 1. R n den R n e tan mlanan öteleme, bir hiper düzleme göre yans ma ve dönme fonksiyonlar izometrilerdir. Hiper düzlemlere göre olan yans malar, bileşke işlemi alt nda, R n den R n e olan tüm izometrileri, di¼ger bir deyişle R n in izometri grubunu yarat r. 1 x 6= y 2. X en az iki elemanl bir küme olsun. Bu küme üzerinde iki metrik tan ml yal m: d 1 (x; y) = 0 x = y ve d 2(x; y) = 2 x 6= y 0 x = y : Birinci metri¼ge göre X kümesini X 1 ile, ikinci metri¼ge göre ayn kümeyi X 2 ile gösterelim. Bu durumda X 1 metrik uzay ile X 2 metrik uzay izometrik de¼gildir, yani aralar nda bir izometri fonksiyonu bulunamaz. Tan m: V bir reel vektör uzay ve kk : V! R aşa¼g daki özellikleri sa¼glayan bir fonksiyon ise (V; kk) ikilisine normlu vektör uzay ve ya k saca normlu uzay denir: 1. Her x 2 V için kxk 0: (Poziti ik özelli¼gi.) 2. kxk = 0, x = 0: (S f r olma özelli¼gi.) 8

3. Her 2 R; x 2 V için kxk = jj kxk : (Skaler çarp m özelli¼gi.) 4. Her x; y; z 2 V için d(x; y) d(x; z) + d(z; y): (Üçgen eşitsizli¼gi.) Teorem: (V; kk) bir normlu uzay ise d(x; y) = kx metriktir ve (V; d) metrik uzayd r. yk şeklinde tan mlanan d : V V! R fonksiyonu V üzerinde bir v u nx Örnek: n-boyutlu Öklit uzay R n bir reel vektör uzay d r ve her x = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 2 X için kxk = t x 2 i şeklinde tan mlanan fonksiyon bir normdur. Bu norma standart norm ve ya Öklit normu denir ve standart norm daha önce defalarca belirtti¼gimiz standart metri¼gi tan mlar ve bu standart metrikde standart topolojiyi tan mlar. K sacas R n in pek çok yap s var d r: Vektör uzay, Normlu uzay, Metrik uzay, Topolojik uzay vb. Önemli bir not ile Metrik uzaylar konusunu, daha sonra metrik uzaylara tekrar tekrar de¼ginmek üzere, kapatal m. (Not: Bir Öklit uzay n n ve ya bir Öklit uzay n n alt uzay n n topolojisi belirtilmedi ise topolojisi standart topoloji olarak kabul edilecektir.) 5 Iç, Y ¼g lma Noktalar, Kapan ş ve S n r Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X, yani A kümesi X in alt kümesi, olsun. A taraf ndan kapsanan en büyük aç k kümeye, ve ya di¼ger bir ifadeyle A taraf ndan kapsanan bütün aç k kümelerin bileşkesine, A n n içi denir ve A ile gösterilir. A y kapsayan en küçük kapal kümeye, ve ya di¼ger bir ifadeyle A y kapsayan bütün kapal kümelerin kesişimine, A n n kapan ş denir ve A ile gösterilir. A kümesinin s n r, yani kabu¼gu, @A ile gösterilir ve @A = A A şeklinde tan mlan r. (A) 0 = X A aç k kümesine A n n d ş denir. 1. A aç k bir alt kümeyse tan mdan hemen A = A oldu¼gunu söyleyebiliriz. Dual olarak A kapal bir alt kümeyse tan mdan hemen A = A oldu¼gunu söyleyebiliriz. 2. R 1 in standart topolojisinde, (0; 1) = [0; 1) = (0; 1] = [0; 1] oldu¼gu [0; 1) ve (0; 1] kümeleri kapal olmad ¼g için tan mdan otomatik olarak söylenebilir. Ayn şekilde [0; 1) ve (0; 1] kümeleri aç k olmad ¼g için [0; 1] = [0; 1) = (0; 1] = (0; 1) dir. Ve dolay s yla bu kümelerin dördününde s n r ayn d r ve @[0; 1] = @ [0; 1) = @(0; 1] = @(0; 1) = f0; 1g olur. 3. R n deki B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) < g aç k küresinin kapan ş B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) g eşitsizli¼gi küçük-eşit yaparak elde edilir ve kapal küredir. Aç k kürenin kabu¼gu, yani s n r, eşitsizlik eşitlik yap larak verilir: @B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) = g. Elbette bu s n r aç k küreye ait de¼gildir fakat kapal küreye tamamen aittir. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. Bu durumda i) (A ) 0 = (A 0 ) ii) (A) 0 = (A 0 ) olur. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay ve A; B X olsun. Bu durumda i) X = X ii) A A iii) (A ) = A A B v) (A \ B) = A \ B olur. iv) A B ise Örnek: Yukar daki teoremdeki v. ş k bileşim için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin, R 1 in standart topolojisinde A = (0; 1] ve B = (1; 2) alal m. Bu durumda (A [ B) = (0; 2) = (0; 2) dir fakat A [ B = (0; 1) [ (1; 2) dir. Yani bu örnek için (A [ B) 6= A [ B dir. Teorem (Kuratowski Kapan ş Aksiyomlar ): (X; T ) bir topolojik uzay ve A; B X olsun. Bu durumda i) = ii) A A iii) (A) = A iv) A B ise A B v) (A [ B) = A [ B olur. Örnek: Yukar daki teoremdeki v. ş k kesişim için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin, R 1 in standart topolojisinde A = (0; 1) ve B = (1; 2) alal m. Bu durumda A \ B = = dir fakat A \ B = [0; 1] \ [1; 2] = f1g dir. Yani bu örnek için A \ B 6= A \ B dir. Teorem (S n r n alternatif tan m ): @A = A \ (A 0 ): Kapan ş n alternatif bir tan m da y ¼g lma noktas ve daha da sadesi limit noktas kavram kullan larak verilebilir. Yukar daki teoremler ve topolojideki pek çok teorem limit noktas kavram kullan lrak daha kolay bir şekilde ispatlanabilir. Bu tan mlardan önce komşuluk kavram ile ilgili birkaç notasyon tan mlayal m. Bu notasyonlar ilerki konularda kullan lacakt r. 9

Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve x 2 X olsun. x i içeren bir U 2 T aç k kümesine x in bir (aç k) komşulu¼gu denir. x in tüm aç k komşuluklar n n kümesini T (x) ile gösterece¼giz. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve x 2 X olsun. B(x) T (x) şu şart sa¼gl yorsa B(x) e x in lokal bir baz d r denir: Her x 2 U T (x) için 9V 2 B(x) öyle ki x 2 V U: Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay olsun. Her x 2 X için B(x) kümesi x in bir lokal baz ise [ x2x B(x) kümesi T nin bir baz d r. Ters olarak e¼ger B kümesi T nin bir baz ise her x 2 X için B(x) = fu 2 B j x 2 Ug kümesi x in lokal bir baz d r. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger her U 2 T (x) için (U denir. A n n y ¼g lma noktalar kümesini A y ile gösterece¼giz. fxg) \ A 6= ise x e A n n y ¼g lma noktas Tan m: E¼ger x =2 A y fakat x 2 A ise x e A n n izole noktas denir. A n n izole noktalar kümesini A iz ile gösterece¼giz. A ile A y aras nda bir kapsama ilişkisi yoktur. A A y = A iz dir yani A y ve A iz ayr k kümelerdir. Tan m: E¼ger her U 2 T (x) için U \ A 6= ise x e A n n limit noktas denir. Di¼ger bir de¼gişle, x bir y ¼g lma noktas ve ya bir izole nokta ise x e limit noktas denir. Teorem (Kapan ş n alternatif tan m ): (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. Bu durumda A = fx j x; A n n bir limit noktas d r.g olur. Di¼ger bir ifadeyle A = A y [ A ve ya ayr k kümeler cinsinden di¼ger bir ifadeyle A = A y [ A iz olur. K sacas, bir kümenin kapan ş o kümenin tüm limit noktalar n n kümesidir ve ya di¼ger bir ifade ile tüm y ¼g lma noktalar ile tüm izole noktalar n n bileşim kümesidir. Kapan ş n alternatif tan m n, yani limit noktalar tan m n kullanarak metrik uzaylarda, bir alt kümenin kapan ş n n aşa¼g daki teoremde verildi¼gi gibi oldu¼gunu gösterebiliriz ve bu metrik uzaylar için kapan ş n tan m olarak kabul edilebilir. Teorem: (X; d) bir metrik uzay ve (X; T ) yaratt ¼g topoloji ve A X olsun. Bu durumda A = fx 2 X j d(x; A) = 0g : Şimdi kapan ş ile ilgili önemli bir tan m daha yapal m. Yo¼gun küme kavram ileriki konularda tekrar karş m za ç kacak. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger A = X ise A ya (her yerde) yo¼gun küme denir. Örnek: Q n R n kümesi n-boyutlu reel Öklit uzay n n yo¼gun bir alt kümesidir; çünkü, her x 2 R n ve B(x; ); > 0; için B(x; ) \ Q n 6= dir. Alt uzay n herhangi bir alt kümesinin kapan ş n hem alt uzaya hemde ana uzaya göre tan mlayabiliriz. Peki bunlar aras ndaki ilişki nedir? Teorem: B A X şeklinde bir alt uzay zinciri olsun. B nin A daki kapan ş n B A ile, X deki kapan ş n B ile gösterirsek B A = B \ A olur. Örnek: Yukar daki teorem iç için do¼gru de¼gildir. Yani B nin A daki içini BA ile, X deki içini B ile gösterirsek BA ile B \A farkl olabilir. Çok basit bir karş örnek: B = A = Q rasyonel say lar kümesi ve X = R reel say lar kümesi olsun. Standart topolojiyi düşünelim. Bu durumda Q nun kendisine göre içi kendisi olaca¼g ndan Q Q = Q olur. Fakat Q nun R ye göre içi boş kümedir. O halde Q \ R = olur. Ve böylece Q Q 6= Q \ R: 10

6 Süreklilik, Aç k ve Kapal Fonksiyonlar, Homeomor zma Önce lokal süreklili¼gi tan ml yal m. Notasyonlar hat rl yal m: T; T (x); B; B(x) ve K notasyonlar s ras yla, topolojiyi, x in komşuluk ailesini, baz, x in lokal baz n ve T nin kapal ailesini göstermektedir. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon, x 0 2 X ve y 0 = f(x 0 ) olsun. E¼ger her V 2 T 0 (y 0 ) için f(u) V şart n sa¼glayan bir U 2 T (x 0 ) varsa, f fonksiyonuna x 0 noktas nda, T T 0 topolojilerine göre, süreklidir denir. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger f fonksiyonu X in her noktas nda sürekli ise bu fonksiyona X üzerinde süreklidir ve ya her yerde süreklidir ve ya sadece süreklidir denir. Şimdi süreklili¼gin alternatif tan mlar n görelim: Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. K ve K 0 s ras ile T ve T 0 nün kapal ailelerini göstersin. Aşa¼g daki cümleler denkdir: 1. f süreklidir. 2. Her V 2 T 0 için f 1 (V ) 2 T: 3. Her B 2 K 0 için f 1 (B) 2 K: 4. Her A X için f(a) f(a). 5. Her C Y için f 1 (C ) (f 1 (C)) 6. E¼ger B 0 kümesi Y uzay n n bir baz ise 8V 2 B 0 için f 1 (V ) 2 T: Yukar daki teoremin 2. ş kk, pek çok kitapda, lokal süreklili¼gin tan m ndan ba¼g ms z olarak, süreklili¼gin tan m olarak verilmektedir. Bu tan m süreklili¼gin en güzel tan m d r. Bizde bunu süreklili¼gin genel tan m olarak hat rlayaca¼g z. Şu şekilde: "E¼ger (hedef uzay ndaki) her aç k kümenin ters görüntüsü (tan m uzay nda) aç k ise fonksiyon süreklidir." Daha da basiti, 6. ş kda söylendi¼gi gibi, hedef uzay n baz elemanlar n n tersinin tan m kümesi uzay nda aç k olmas fonksiyonun sürekli olmas için yeterlidir. Metrik uzaylar aras ndaki fonksiyonlar n "süreklili¼gin " tan m " diye bildi¼gimiz süreklilik tan m ile süreklili¼gin genel tan m denktir. Bu denklik yukrdaki teoremin 6. ş kk ndan kolayca ç kart labilir. Notasyonu hat rl yal m: B d (x; ) notasyonu d metri¼gine göre, x merkezli, yar çapl aç k küreyi göstermektedir. Teorem: (X; d) ve (Y; d 0 ) iki metrik uzay T d ve T d 0 s ras ile d ve d 0 metriklerinin X ve Y üzerinde yaratt ¼g topolojiler olsun. f : X! Y fonksiyonu X den Y ye bir fonksiyon olsun. Aşa¼g daki cümleler denktir: 1. f fonksiyonu T d -T d 0 süreklidir, yani k sacasa söylemek gerekirse, süreklidir. 2. 8" > 0 ve 8x 2 X için 9 > 0 öyle ki f(b d (x; )) B d 0(f(x); "): Tan m: Yukar daki teoremdeki say s x den ba¼g ms z yani sadece " a ba¼gl olarak bulunabiliyorsa f ye düzgün süreklidir denir. Düzgün sürekli olan her fonksiyon süreklidir fakat bunun tersi do¼gru de¼gildir. Düzgün süreklilik süreklilikden daha güçlüdür. Aşa¼g da sürekli fonksiyonlarla ilgili temel örnekler, verilen sürekli fonksiyonlardan yeni sürekli fonksiyon elde etme yollar ve düzgün süreklilikle ilgili örnekler verilmiştir. Yap lmas gereken ispatlar okuyucuya al şt rma olarak b rak yoruz. 1. Yukar daki tan mlarda X kümesi fonksiyonun tan m kümesidir (uzay d r). Yani f fonksiyonu X in her noktas nda tan mlanm şt r. Buna dikkat edilmesi gerekir. Örne¼gin f : R! R; f(x) = 1 x, şeklinde bir yaz m, x 6= 0 oldu¼gu belirtilmezse, do¼gru de¼gildir. Çünkü bu fonksiyon x = 0 noktas nda tan ms zd r. Kalkülüs de bu nednenle bu fonksiyonun bu noktada süreksiz oldu¼gunu söyleriz. Fakat topolojide bu o kadar önemli bir husus de¼gildir. Çünkü X = R f0g bu fonksiyonun tan m kümesidir ve asl nda fonksiyon f : X! R; f(x) = 1 x şeklinde verilmelidir. Bu fonksiyon X üzerinde süreklidir, k saca söylemek gerekirse, süreklidir. 11

2. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve c 2 Y olsun. Her x 2 X için f(x) = c şeklinde tan mlanan bir f : X! Y fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonlar süreklidir. Çünkü her V 2 T 0 için ya c 2 V dir ki bu durumda f 1 (V ) = X 2 T olur ve ya c =2 V dir ki bu durumda f 1 (V ) = 2 T olur. Her iki durumda süreklilik şart sa¼gland ¼g için sabit bir fonksiyon süreklidir. 3. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger T, yani X in topolojisi, yani tan m kümesinin topolojisi ayr k topoloji ise f hangi fonksiyon olursa olsun süreklidir. 4. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger T 0, yani Y nin topolojisi, yani hedef kümesinin topolojisi trivial topoloji ise f hangi fonksiyon olursa olsun süreklidir. 1 x 0 5. u = 0 x < 0 şeklinde tan mlanan ad m fonksiyonu u : R1! R 1 standart topoloji-standart topoloji ikilisine göre süreksizdir. Örne¼gin V = ( 1 2 ; 3 2 ) kümesi standart topolojide aç kt r fakat f 1 (V ) = f 1 (1) = [0; 1) standart topolojide aç k de¼gildir ve bu nedenle ad m fonksiyonu süreklili¼gin tan m n sa¼glamaz. Bu fonksiyonun süreksiz oldu¼gu tek nokta x = 0 noktas d r. Ve fonksiyonun bir noktada süreksiz olmas, (global olarak) süreksiz olmas için yeterlidir. 6. (X; T ) bir topolojik uzay ve A X alt uzay ve T A bu alt uzay n indirgenmiş topolojisi olsun. i : A! X fonksiyonunu i(a) = a şeklinde tan ml yal m. Bu fonksiyona (A n n X e) gömme fonksiyonu denir. Bu fonksiyon yani i süreklidir. Bunun ispat tamamen alt uzay n tan m ndan gelir. E¼ger V 2 T ise i nin tan m ndan dolay i 1 (V ) = V \ A olaca¼g ndan i 1 (V ) 2 T A olur ve bu nedenle i süreklidir. 7. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y sürekli bir fonksiyon, yani T T 0 ikilisine göre sürekli bir fonksiyon, olsun. E¼ger T T 0 topolojileri yerine X üzerine T den daha ince bir topoloji T ve Y üzerine T 0 den daha kaba bir topoloji T 0 konursa f fonksiyonu T T 0 ikilisine görede süreklidir. 8. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y sürekli bir fonksiyon ve A X olsun. A üzerindeki k s tlanm ş fonksiyon f ja : A! Y bariz bir şekilde tan mlan r: f ja (a) = f(a): Bu fonksiyon A n n alt uzay topolojisi ve T 0 topolojisi ikilisine göre süreklidir. 9. (Yap şt rma Lemas ) X = A [ B bir topolojik uzay olsun ve A; B X in aç k alt kümeleri (alt uzaylar ) olsun. f : A! Y ve g : B! Y sürekli fonksiyonlar olsun. Ve her x 2 A \ B için f(x) = g(x) olsun. Bu durumda e¼ger h : X! Y fonksiyonunu, h(x) = f(x); e¼ger x 2 A; h(x) = g(x); e¼ger x 2 B; şeklinde tan mlarsak h fonksiyonu sürekli olur. Bu Lema da her iki kümeyi aç k almak yerine her ikisinide kapal al rsak Lema yine do¼grudur. 10. Iki sürekli fonksiyonun bileşkesi yeni bir sürekli fonksiyondur. f : X! Y sürekli ve g : Y! Z sürekli ise g f : X! Z süreklidir. 11. Düzgün ve düzgün olmayan süreklili¼ge örnek verelim. f : R 1! R 1 ; f(x) = ax + b; düzgün süreklidir. Fakat g : R 1! R 1 ; g(x) = ax 2 +bx+c; a 6= 0; düzgün sürekli de¼gildir. Ikinci fonksiyonun düzgün sürekli olmamas n n nedeni, tan m kümesinin s n rs z olmas ndan ve dolay s yla n n x e ba¼gl olarak bulunmas ndan kaynaklan r. Fakat, örne¼gin, bu fonksiyonu kapal bir aral ¼ga s n rl etmiş olsayd k, y x den ba¼g ms z olarak sadece " a ba¼gl olarak ifade edebilirdik ve g(x) de bu kapal aral k üzerinde düzgün sürekli olurdu. n n seçimindeki ayr nt lar okuyucuya al şt rma olarak b rak yoruz. 12. (X; d) metrik uzay ve x 0 2 X seçilmiş (sabit) bir nokta olsun. d(x; x 0 ) : X! R fonksiyonu düzgün süreklidir. Tan m:(x; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. K ve K 0 s ras ile T ve T 0 nün kapal ailelerini göstersin. Her U 2 T için f(u) 2 T 0 ise f ye aç k fonksiyon, her C 2 K için f(c) 2 K 0 ise f ye kapal fonksiyon denir. Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. Şu ifadeler denktir: a) fonksiyondur. b) Her A X için f(a ) f(a) : f : X! Y aç k Yukar daki teoremin benzeri kapal fonksiyonlar içinde yaz labilir. Bunu okuyucuya b rak yoruz. 1. (X; T ) üzerinde trivial topoloji olan bir topolojik uzay ve ya (Y; T 0 ) üzerinde ayr k topoloji olan bir uzay ise, her f : X! Y bir fonksiyonu hem aç k fonksiyon hem kapal fonksiyondur. 2. p 1 (x; y) = x; şeklinde tan mlanan p 1 : R 2! R 1 projeksiyon fonksiyonu aç k fonksiyondur fakat kapal fonksiyon de¼gildir. Bunu ispatlamak için y = 1 x fonksiyonunun R2 deki gra ¼gi y düşünmek yeterlidir. kolayca ispatlanaca¼g gibi R 2 de kapal d r. Fakat, p 1 ( ) = ( 1; 0) [ (0; 1) kümesi R 1 de kapal de¼gildir. Ve genel olarak R n den R m e olan bir projeksiyon aç k fonksiyondur fakat kapal fonksiyon de¼gildir. 12

3. Sürekli bir fonksiyon aç k fonksiyon ve ya kapal fonksiyon olmak zorunda de¼gildir. Örne¼gin, f : R 1! R 1 ; f(x) = x 2 fonksiyonu süreklidir fakat aç k de¼gildir. Örne¼gin, f(( 1; 1)) = [0; 1) ve bu fonksiyon aç k de¼gildir. Bu örnekte kullan lan fonksiyon 1 1 ve örten de¼gildir. 1-1, örten ve sürekli olan fakat aç k olmayan bir fonksiyona örnek olarak şu verilebilir: f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T trivial ) fonksiyonunu birim fonksiyon yani f(x) = x şeklinde tan mlans n. Bu fonksiyon tan m gere¼gi 1-1 ve örtendir, yani bijektifdir. Sürekli oldu¼gu hemen kontrol edilebilir. Fakat aç k de¼gildir. Örne¼gin, U = (0; 1) 2 T standart oldu¼gu halde f(u) = (0; 1) =2 T trivial : Fakat, f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T standart ) şeklindeki bijektif sürekli bir fonksiyon aç kt r. Bunun ispat n daha sonra, ba¼glant l l k kavram n kullanarak yapaca¼g z. 4. Başka bir bijektif ve sürekli olan fakat aç k olmayan fonksiyon örne¼gi gösterelim. Önce birim çemberi karmaş k say lar içinde jzj = 1 olarak düşünelim. f : [0; 1)! S 1 ; f(x) = exp 2i; fonksiyonu bijektifdir ve süreklidir, fakat aç k de¼gildir. Üstelik bu örnekte kullan lan her iki uzay n topolojisi standart topolojiden indirgenmiştir, yani standart topolojidir. 5. Aç k olan fakat sürekli olmayan bir fonksiyon örne¼gi de gösterebiliriz. Kolay bir karş örnek şu: f : (R 1 ; T trivial )! (R 1 ; T standart ) fonksiyonunu birim fonksiyon olsun. f in aç k bir fonksiyon oldu¼gu kolayca kontrol edilebilir. Fakat, f sürekli de¼gildir. Örne¼gin, (0; 1) 2 T standart, fakat f 1 ((0; 1)) = (0; 1) =2 T trivial. Fakat, f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T standart ) şeklindeki bijektif aç k bir fonksiyon süreklidir. Ters fonksiyon f 1 i düşünerek ve 3. örnekte söylenen son şeyi kullanarak bu ispatlanabilir. Topolojide karş örnekler bulmak için genelde "tuhaf" topolojileri ve ya farkl topolojileri düşünmemiz gerekebilir. Gerçektende, 3. ve 5. örnekte görüldü¼gü gibi, standart topoloji, topolojideki pek çok problem için karş örnekler üretmiyor. Bunu ak lda tutmakda yarar var. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. f bijektif, sürekli ve tersi sürekli bir fonksiyon ise f e homeomor zma; X ve Y ye homeomor k uzaylar, ve ya topolojik olarak eşit uzaylar, denir ve X = Y şeklinde gösterilir. Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bijektif bir fonksiyon olsun. Şu ifadeler denktir: a) f homeomor zmad r b) f aç k ve süreklidir c) f kapal ve süreklidir d) Her A X için f(a) = f(a) d r. 1. R 1 herhangi bir (a; b) s n rl aç k aral ¼g alt uzay na homeomor kdir, k saca ifade etmek gerekirse: R 1 = (a; b): Ispat: f : R 1 (b a)! (a; b); f(x) = arctan x + a+b 2 istenen homeomor zmad r. 2. (0; 1) aç k aral ¼g (0; 1) [ (1; 2) aç k kümesine homeomor k de¼gildir. Bunun ispat n "ba¼glant l l k" kavram n kullanarak ilerki bir konuda yapaca¼g z. Fakat, okuyucu üzerinde biraz düşünürse, şu andada bu sav kan tlayabilir. 3. R 2 deki birim çember, max(jxj ; jyj) = 1 karesine homeomor kdir. Genel olarak söylemek gerekirse, düzlemde bir çember ile bir kare homeomor kdir. Bu heomeomor zma fonksiyonunu aç k olarak yazmak o kadar kolay de¼gildir. Ama bu homeomor zmay hayal etmek o kadar zor de¼gildir. Benzer şekilde, genel olarak, R n de kapal, sürekli ve kendini kesmeyen her e¼grinin çembere homeomor k oldu¼gu hayal edilebilir. 4. Düzlemde, ve ya R n de (n 3), sekiz şeklindeki, yani yat k olarak hayal edilirse, sonsuz şeklindeki bir e¼gri çembere homeomor k de¼gildir. Bunun ispat topolojik uzaylara ait bir topolojik de¼gişmez olan "temel grup" kavram kullan larak yap labilir. Bu kavram cebirsel topolojinin ilk ve önemli kavramlar ndan biridir. 5. n-boyutlu birim küreyi S n = fx 2 R n j kxk = 1g şeklinde tan mlarsak S n ve R m nin hiç bir m; n 2 N ikilisi için homeomor k olmad ¼g ilerki bir konuda tan mlayaca¼g m z kompaktl k kavram kullan larak kolyaca gösterilebilir. 6. 2 boyutlu birim küre S 2 üzerinden bir nokta ç kar rsak kalan alt uzay düzleme, yani R 2 ye, homeomor ktir. Bu homeomor zmay formülize etmek mümkündür. Okuyucu için anahtar kelime: Stereogra k projeksiyon. 7. n 6= m, R n R m : n = 1 için bir çözüm her iki uzaydan bir nokta ç kar larak ve ba¼glant l l k kavram kullan larak yap labilir. n; m 2 için, bu problemi genel topolojide çözmek zordur. Cebirsel topoloji teknikleri ile çözülebilir. 8. n 6= m, S n S m ise yukardaki örne¼gin, yani 7. örne¼gin, direkt sonucudur. Bunu göstermeyi okuyucuya b rak yoruz. Homeomor zma = ba¼g nt s bir denklik ba¼g nt s d r ve topolojik uzaylar ve sürekli fonksiyonlar kategorisini homeomor- zma denklik s n ar na ay r r. Topolojinin en önemli problemlerinden biri iki uzay n ayn homeomor zma denklik s n f nda olup olmad ¼g n anlamak için topolojik özellikler ve ya topolojik de¼gişmezler bulmakt r. Say labilme ve ayr lama aksiyomlar, kompaktl k, ba¼glant l l k ve yol ba¼glant l l ¼g genel topolojideki en önemli topolojik özelliklerdendir. Fakat bu özellikler, homeomor zma problemlerini çözmeye yetmez. Bu nedenle topolojinin bir kolu olan cebirsel topoloji do¼gmuştur. 13

7 Fonksiyonlarla Üretilen Topolojiler, Bölüm Uzaylar ve Çarp m Uzaylar Topolojileri olmayan uzaylara fonksiyonlar kullanarak topoloji koyabiliriz. Tan m: a) X bir küme, f(y i ; T 0 i )g bir topolojik uzay ailesi ve ff i : X! (Y i ; T 0 i )g bir fonksiyon ailesi olsun. ff ig ailesinin tüm elemanlar n sürekli yapan X üzerindeki en kaba topolojiye, ff i g fonksiyonlar na göre X in başlang ç topolojisi denir. b) Y bir küme, f(x i ; T i )g bir topolojik uzay ailesi ve fg i : (X i ; T i )! Y g bir fonksiyon ailesi olsun. fg i g ailesinin tüm elemanlar n sürekli yapan Y üzerindeki en ince topolojiye, fg i g fonksiyonlar na göre Y nin bitiş topolojisi denir. Örnek: 1. X = R 1 kümesi reel say kümesi olsun. Standart topolojisini unutun. Y = fa; b; cg ve üzerindeki topoloji T 0 = f; fag ; fb; cg ; Y g olsun. f : X! Y; 8 < a; x < 0 f(x) = b; x = 0 : c; x > 0 olsun. Bu durumda bu fonksiyonu sürekli yapan X in en kaba topolojisi T başlang ç = ; ( 1; 0); [0; 1); R 1 olur ve bu topoloji reel say do¼grusunun yukar daki fonksiyona göre başlang ç topolojisidir. 2. (X; T ) topolojik uzay ve A X alt kümesi olsun. A n n üzerine topoloji konulmad ¼g n ve topoloji koymak istedi¼gimizi farz edelim. i : A! X fonksiyonunu i(a) = a; 8a 2 A; şeklinde tan mlayal m. Buna içine ve ya gömme fonksiyonu diyoruz. Kolayca görülece¼gi gibi, bu fonksiyona göre A n n üzerine konulan başlang ç topolojisi A n n alt uzay topolojisidir. 3. Y kümesi 1. örnekte oldu¼gu gibi olsun ve üzerinde topoloji olmas n; yukar daki topolojisini unutun. f : R 1! Y fonksiyonu 1. örnekte oldu¼gu gibi tan mlans n. f fonksiyonunu sürekli yapan Y üzerindeki en ince topoloji T bitiş = f; fag ; fcg ; fa; cg ; Y g dir. 4. f : R 1! S 1 ; f(x) = exp 2i; şeklinde tan mlans n. S 1 in üzerinde topoloji olmas n. Bu durumda bu fonksiyona göre S 1 in bitiş topolojisi (R 2 den indirgenmiş) standart topolojisidir. Bu iddiay kan tlamak için baz elemanlar n n görüntülerini ve ters görüntülerini düşünmek yeterlidir. Aç k aral klar n görüntüleri aç k yaylar ve aç k yaylar n ters görüntüleri aç k aral klar n bileşimi şeklinde olaca¼g için buradaki bitiş topolojisi S 1 in standart topolojisine eşit olmal d r. Fonksiyonlarla üretilen topolojilerin en önemlileri bölüm topolojisi ve çarp m topolojisi olarak adland raca¼g m z topolojilerdir. Bu kavramlara ayr ayr de¼ginelim. Önce bölüm uzaylar ndan bahsedelim. Bir uzay n bölünmesi denildi¼ginde genelde bu uzay n üzerinde bir denklik ilişkisi oldu¼gu ve ya uzay n bir ayr k parçalanmas n n yap ld ¼g düşünülür. Bununla birlikte, bölüm uzay daha genel bir şekilde tan mlan r. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve p : X! Y örten fonksiyon olsun. p şu şart sa¼gl yorsa p ye bölüm fonksiyonu denir: p 1 (V ) 2 T () V 2 T 0 : Ve bu durumda Y uzay na X in bir bölüm uzay denir. Yukar daki tan mdaki şart süreklilik şart ndan daha güçlüdür. Bu sebeble bölüm fonksiyonu şart na "güçlü süreklilik" denir. Aşa¼g daki teorem her bölüm uzay n n asl nda bir bitiş topolojisi oldu¼gunu söylüyor. Yani aşa¼g daki teorem bölüm uzay n n tan m olarakda al nabilir. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay, Y bir küme ve f : X! Y örten bir fonksiyon olsun. Y kümesinin üzerinde, f yi bölüm fonksiyonu yapan, di¼ger bir ifadeyle Y yi bölüm uzay yapan tek bir topoloji vard r ve bu topoloji f ye göre Y nin bitiş topolojisidir. Di¼ger bir ifadeyle, bir topolojik uzaydan topolojisi olmayan bir kümeye örten bir fonksiyon verildi¼ginde, hedef kümesi üzerine bitiş topolojisi konuldu¼gunda, bu fonksiyon bölüm fonksiyonu olur. Bir fonksiyonun bir bölüm fonksiyonu oldu¼gunu anlamak bazen kolayd r. Örne¼gin, Teorem: X; Y topolojik uzaylar ve f : X! Y örten bir fonksiyon olsun. E¼ger f hem sürekli hemde aç k ise f bölüm fonksiyonudur. Fakat, bir bölüm fonksiyonun aç k olmas zorunlu de¼gildir. Örten fonksiyonlar için, ayn anda aç k ve sürekli olma bölüm fonksiyonu olmakdan daha kuvvetlidir. Benzer bir teorem kapal ve sürekli örten fonksiyonlar içinde yaz labilir. 14