c

Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır. Sorulrın tmmı yrıntılı olrk çözülmüştür. Tvsiyemiz önce çözümlere bkmdn çözümleri ypmy gyret etmeniz, dh sonrd çözümleri incelemeniz yönünde olcktır. Koly gelsin. SBELIAN Σ 1

Mtemtik Olimpiytı Çlışm Sorulrı Soru 1. İki pozitif tmsyının toplmı 310 ise bu syılrın çrpımının 310 ile bölünemeyeceğini gösteriniz. Çözüm 1. Vrsylım x, y Z + syılrımız olsun. Bun göre x+y 310 olcktır. İspt çelişki yöntemi ile ulşmy çlışlım. Bun göre, vrsylım x y değeri 310 ile bölünebiliyor olsun. Bun göre, n N olmk üzere xy 310n olcktır. Burdn kökleri x, y oln ikinci dereceden bir denklemin kökleri ise x 310x + 310n 0 denkleminin diskriminntı 310 4 310n)bir tmkre olmlıdır. Bun göre, ifdesi bir tmkre olcktır. Bun göre, 3 5 7 11 1155 n) 1155 n 3 5 7 11 k 1155k 1155 olcktır ki, bu durum çık çelişkidir. Demek ki, xy çrpımı 310 ile bölünemez. Soru., b, c pozitif tmsyılrı + b c eşitliğini sğlmktdır. Bun göre, kenrlrı tmsyı oln ve hipotenüsleri c 3 oln en fzl 3 tne, benzer olmyn dik üçgen bulunbileceğini gösteriniz. Çözüm. Genelliği kybetmeden vrsylım b olsun. Bun göre ilk üçgen c 3 ) + b ) c 4 c ) + bc ) olcktır. İkinci üçgen ise, ) c 3 + b ) c 4 b + b 4 + 4 b ) c [ b ) c ] + [bc] olcktır. Benzer biçimde, üçüncü üçgende c 3 ) + b ) 3 6 6 4 b + 9 b 4) + 9 4 b 6 b 4 + b 6) olcğındn [ 3b )] + [ b 3 b )] olrk buluncktır. Birinci ve ikinci üçgenlerden, bc c vey bc bc ise c b vey c olcktır. Burdn c b vey c değerlerini + b c eşitliğinde yerine yzrsk 3 /b olcktır ki bu durum imkânsızdır. Demek ki bu iki üçgen benzer değildir. Benzer biçimde birinci ve üçüncü üçgenleri incelersek b 3 b ) c vey b 3 b ) bc Bu belge sbelin.wordpress.com ittir. www.sbelin.wordpress.com c

Mtemtik Olimpiytı Çlışm Sorulrı olcğındn +b vey c olrk kolylıkl bulunbilir. Anck her iki durumd imknsız olduğundn birinci ve üçüncü üçgenler benzer olmzlr. Son olrk d, üçüncü ve ikinci üçgenleri inceleyelim. Burdn, vey b 3 b ) b ) b 3 b ) bc eşitliklerinden 5 c b vey 5 c+ bulunur. Anck bu durumlrd, b ve c değerlerinin tmsyı olmsındn dolyı imkânsızdır. Dolyısıyl bu iki üçgende benzer üçgenler b olmzlr. Soru 3. toplmının eşitini bulunuz. 009 tn n) tn n + 1) n1 Çözüm 3. Sonsuz çoklukt çrpımın toplmını frklrın toplmın dönüştürerek çözüme gitmek mntıklı olcktır. Öyleki tn 1) tn [n + 1) n] tn n + 1) tn n) 1 + tn n) tn n + 1) olcktır. Bun göre, 009 tn n) tn n + 1) n1 olcktır. 009 tn n + 1) tn n) n1 tn 1 tn 010 tn 1 tn 1 009 ) 1 tn 010 tn 1 010 Soru 4. x 5 + y 5 + x + 1) 5 + y + ) 5 eşitliğinin tmsyılr kümesinde çözümünün olmdığını knıtlyınız. Çözüm 4. x ve y birer tmsyı olduğun göre x ve y değerleri tek yd çift syı olcktır. Eğer ikisi de tek yd çift ise eşitliğin sol trfı çift olcktır, nck sğ trfı tek olcktır. Benzer biçimde eğer x ve y değerleri frklı ise eşitliğin sol trfı tek olurken sğ trfı çift olcğındn, eşitliği sğlyn tmsyılr yoktur. Soru 5. p n, n. sl syı olmk üzere p n > n, n 5 olduğunu knıtlyınız. Çözüm 5. Tümevrım yöntemi ile göstermeye çlışlım. n 5 için p 5 11 olcğındn verilen şrt sğlnır. Eğer p n 1 > n 1) ise p n 1 n 1 olcğındn sonuçt p n > p n 1 n 1 olcktır. p n n olduğundn d p n > n olcktır.n 5 için p 5 11 Bu belge sbelin.wordpress.com ittir. 3 www.sbelin.wordpress.com c

Mtemtik Olimpiytı Çlışm Sorulrı olcğındn verilen şrt sğlnır. Eğer p n 1 > n 1) ise p n 1 n 1 olcğındn sonuçt p n > p n 1 n 1 olcktır. p n n olduğundn d p n > n olcktır. Soru 6. Kenrı 1 birim oln bir kre içine 01 nokt koyuluyor. Bun göre kre içerisinde, üstünde en z üç nokt bulunn 0, 1 birim yrıçplı en z bir çember bulunbileceğini knıtlyınız. Çözüm 6. Kenrı 1 birim oln kreyi 0, 1 birim oln 100 eş kreye yırlım. Güvercin yuysı ilkesi uyrınc bu krelerden en z bir tnesi içinde 3 nokt buluncktır. Çünkü, bu kreler, yrıçpı 0, 1 birim oln çemberler ile tmmen kplnbilir. İlk 00 noktyı nsıl yerleştirirsek, yerleştirelim 01. nokt mecburen çemberlerden birinin içinde olcktır. Soru 7., b, c pozitif syılr olmk üzere bc 18 olrk veriliyor. Bun göre 3 + b 3 + c 3 eşitsizliğini knıtlyınız. 3 b + c + b + c + c + b Çözüm 7. bc 18 ise bc 3 olcktır. Eğer eşitsizliğin sol trfını 3 ile sğ trfını d bc ile çrplım. Burdn sonrki bsmklrd 3 + b 3 + b) b + b ) + b) b eşitsizliğini kullncğız. Bu eşitsizlik b) 0 eşitsizliğinden fydlnılrk kolylıkl çıkrılbilir. Bu eşitsizliği kullnırsk, 3 + b 3 + c3 + b) b + c3 + b) bc 3 c bc + b eşitsizliğini elde ederiz. Benzer biçimde, c 3 + b 3 + 3 bc c + b 3 + c 3 + b3 b bc + c olcktır. Son üç eşitsizliği lt lt toplrsk 4 3 + b 3 + c 3 ) bc b + c + b + c + c ) + b eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin her iki trfını bc 3 ile bölüp yeniden düzenlersek, sorud verilen eşitsizliği elde ederiz. Bu belge sbelin.wordpress.com ittir. 4 www.sbelin.wordpress.com c

Mtemtik Olimpiytı Çlışm Sorulrı Soru 8. Herhngi üç tnesi ile bir üçgen oluşturulbilen 5 doğru prçsı veriliyor. Bun göre, oluşturulck üçgenlerden en z birinin dr çılı olduğunu knıtlyınız. Çözüm 8. Genelliği bozmdn, elimizdeki doğru prçlrını b c d e olrk llım. İspt çelişki yöntemiyle gitmeye çlışlım, yni vrsylım oluşturulbilecek tüm üçgenler dik çılı vey geniş çılı olsun. Bun göre ve dolyısıyl e d + c, d c + b, c b + e d + c c + b + b + b + b + ise e b + ) ve e b + olcktır. Bu durum çık çelişkidir. Üçgen eşitsizliğinden dolyı d zten ynlıştır. Knıt tmmlnır. Soru 9. P x) x + bx + c reel ktsyılı polinomu P x) 1, 1 x 1 eşitsizliklerini sğldığın göre, b nin lbileceği en büyük değeri bulunuz. Bu en büyük değere ulşbilen bir P x) polinomu yzınız. Çözüm 9. b ktsyısını bulmk için temel polinom bilgisini kullnlım. Bun göre, b P 1) P 1) 1 olcğın göre b değeri en fzl 1 olur. Eğer polinomu bulmmız gerekirse, P x) x + x 1 x + 1) polinomu P x) 1, 1 x 1 durumunu sğlr. Çünkü değişkenin bulunduğu rlık 0 x + 1 olcktır. Dolyısıyl b mx 1 olrk bulunur. 1 Bu belge sbelin.wordpress.com ittir. 5 www.sbelin.wordpress.com c