İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın pola koodinat sisteminde iki boyutlu eğisel haeketine ilişkin difeansiyel denklemlein analitik çözümlei geliştiilmişti. Non-linee ve homojen olmayan iki adet difeansiyel denklemin eş zamanlı analitik çözümü faklı duumla için geçekleştiilmişti. Diğe taaftan, analitik çözüm sonuçlaı, MATLAB paket pogamı yadımıyla elde edilen sayısal çözüm sonuçlaı ile kaşılaştıılmış ve he iki metotla elde edilen sonuçlaın uyum içeisinde olduğu göülmüştü. Elde edilen çözüm fonksiyonlaının, çeşitli mühendislik poblemleine uygulamalaı öneklemelele sunulmuştu. Anahta Kelimele: Diekt Dinamik Poblem, Analitik Çözüm, Pola Koodinat Sistemi The Analytical Appoaches to the Solution of the Two Dimensional Diect Dynamic Poblems Abstact: In this pape, the analytical solutions of the diffeential equations of a cuvilinea motion of a paticle of mass m in pola coodinate system wee developed. The coupled solutions of the non-linea and inhomogeneous diffeential equations wee obtained analytically fo diffeent cases. On the othe hand, the analytical solutions wee compaed to the numeical esults obtained by using MATLAB softwae package and the esults wee good ageement with the numeical data. The solution functions obtained fom the analytical methods wee also applied fo sample poblems on engineeing mechanics. Key wods: Diect Dynamic Poblem, Analytical Solution, Pola Coodinate System 1. GİRİŞ Mühendislik poblemleinin büyük bi kısmı, analitik olaak çözüm ihtiva etmeyen linee ve homojen olmayan difeansiyel denklemleden oluşu. Genelde bu tü poblemlein çözümü, belili kabulle(başlangıç ve sını şatlaı) altında yaı analitik ve sayısal çözümlemelein yanında deneysel veilele elde edilen ampiik bağıntıla ve gözlemle sonucunda elde edilebili. Ancak muhtemel analitik çözümle, mühendislik mekaniği poblemleinde otaya çıkan zoluklaı aşmak ve patik bi takım bilgile elde etmek için önemli bi matematiksel aaçtı. Dinamik poblemlei genel olaak diekt dinamik ve tes dinamik poblem olmak üzee iki gupta incelenebili (Sevilgen, 3; Enfeadi ve Akbazadeh, 1). Diekt dinamik poblemlede, belili kuvvetle altında haeket eden cismin yöüngesi tayin edilmeye çalışılıken, tes dinamik poblemlede ise haeket denklemleinde ye alan hız ve açısal hız gibi veilei kullanaak belili bi zaman aalığı için, ilgili kinematik bağıntılaın çözümü geçekleştiili. Diğe taaftan diekt dinamik poblemlein analitik çözümleine ilişkin Uludağ Ünivesitesi, Ohangazi Meslek Yüksekokulu, Makine Pogamı, Ohangazi, 168 Busa. İletişim Yazaı: G. Sevilgen (gsevilgen@uludag.edu.t) 59

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı liteatüde yapılan çalışmala sınıla sayıdadı (Pala ve diğ., 4). Liteatüde genel olaak belili algoitmala kullanılaak geçekleştiilen sayısal çözümlemele mevcuttu (Akbazadeh ve Enfeadi, 11). Bu çalışmada, başlangıçta maddesel notanın haeketini içine alan diekt dinamik poblemlein kuvvet bileşenleinin sabit olduğu duumda haeket denklemleinin özel çözümüne ilişkin yöntemle sunulmakta sonasında ise kuvvet bileşenleinin değişken olduğu duumla için bi takım çözüm öneilei getiilmektedi.. MATERYAL VE YÖNTEM.1. Kutupsal Koodinatlada Maddesel Noktanın Haeket Denklemlei Düzlemde, m kütleli maddesel noktanın üzeine etkiyen bileşke kuvvet, kutupsal koodinat(,) sisteminde bileşke kuvvetin ve doğultusundaki bileşenlei sıasıyla ve olmak üzee, m kütleli bi cismin düzlemde eğisel haeketine ilişkin bileşke kuvvet ve kuvvet bileşenlei Şekil-1 de gösteilmiş olup, maddesel noktanın haeketine ilişkin difeansiyel denklemle ise (.1) ve (.) ifadeleinde ye almaktadı (Sevilgen, 3). P Şekil 1: Kutupsal koodinatlada m kütleli maddesel noktanın eğisel haeketi (.1) d dθ d θ θ m (.) Yukaıda (.1) ve (.) de belitilen haeket denklemlei, non-linee homojen olmayan adi difeansiyel denklem özellikleine sahip olup bu denklemlein bilikte eş zamanlı analitik 6

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 çözümüne ilişkin çalışmala liteatüde oldukça sınılı sayıdadı. (.1) ve (.) te ye alan denklemle, mühendislik notasyonu ile aşağıdaki gibi teka yazılabili. m( (θ ) ) (.3) θ m( ) (.4) Haeket denklemleinde ye alan hız(d/ ), açısal hız (d /) gibi veilein belili bi zaman aalığı için çözümü isteniyosa buada yapılacak olan doğudan doğuya istenen veile dikkate alınaak belili bi t(zaman) anına ait kinematik bağıntılaı bulmak olacaktı. Bu tü dinamik poblemlee tes dinamik poblemle adı veili. Yukaıdaki denklemlein çözümü için poblem veilei eşitliğin sol taafında ye alan kuvvetle ile ilgili olup, çözüm için eşitliğin sağ taafında ye alan difeansiyel teimle kullanılıyo ve doğudan matematiksel çözümle içeiyosa, bu tü dinamik poblemlee diekt dinamik poblemle adı veili. Kuvvet bileşenleinin belili olduğu duumda çözüm için iki adet nonlinee difeansiyel denklemin bilikte eş zamanlı çözümü geeki (Ames, 1968). () doğultusunda ye alan kuvvet bileşeninin sıfı olduğu duumda, mekezcil haeket ve uzay mekaniğinde olduğu gibi, analitik çözümle mümkün hale gelmektedi (Hibele, 1995; Pala, ). Bu çalışmada ise diekt dinamik çözüm yaklaşımı ile kutupsal koodinat sisteminde m kütleli maddesel noktanın haeketine ilişkin difeansiyel denklemlede (.3-.4) ye alan kuvvet bileşenleinin sabit olduğu duumla için analitik çözümle geliştiilmeye çalışılmıştı. Geliştiilen analitik çözüm fonksiyonlaı, kısıtlayıcı fonksiyonla, çözüme ilişkin kabulle ve başlangıç koşullaı Tablo 1 de ye almaktadı. I. ve II. Duumlada oluştuulan analitik çözümle matematiksel bi çözüm oluştumakla beabe, fiziksel olaak geçek hayatta başlangıç koşullaı üzeinde getiilen kısıtlayıcı şatla bi takım uygulama zoluklaı otaya çıkaabili. Bu bakımdan III. Duumda geliştiilen analitik çözüm, sadece kuvvet bileşenlei üzeinde kısıtlayıcıla kullanmak hem matematiksel hem de fiziksel uygulanabililik bakımından daha kullanışlı bi çözüm yöntemidi. Tablo 1. Analitik çözüm fonksiyonlaı ve başlangıç anındaki kısıtlayıcı şatla Duum Kabulle Çözüm Yaklaşımı Başlangıç ( t = t ) anındaki kısıtlayıcıla adet kısıtlayıcı şat dθ a b (c ) t θ c sabit 3c I Çözüm sonucunda elde edilen analitik fonksiyonla: sabit 3c θ() θ ln() c 1 (t) [( )t c ] 3c θ f e 61

(t) a.c (at c ) c1 Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı Tablo 1. (devamı) Analitik çözüm fonksiyonlaı ve başlangıç anındaki kısıtlayıcı şatla Duum Kabulle Çözüm yaklaşımı Başlangıç ( t = t ) anındaki kısıtlayıcıla II sabit sabit b adet kısıtlayıcı şat (t) a.[f(t)] θ(t) c1 c.ln(f(t)) an ; θ c /n Çözüm sonucunda elde edilen analitik fonksiyonla: f(t) t n θ(t) c c.ln(t 1 n) (t) a.[t Duum Kabulle Çözüm yaklaşımı Başlangıç ( t = t ) anındaki kısıtlayıcıla Kuvvet bileşenlei için adet kısıtlayıcı şat s (t) (nt d) s d.n c 3 [1 ] θ. θ sabit θ(t) c.ln(nt d ) d III sabit Çözüm sonucunda elde edilen fonksiyonla (t) (nt d) θ(t) c.ln(nt d ) d n].. I. Duumda Analitik Çözüm Yaklaşımı Açısal hız fonksiyonunun (.5) de olduğu gibi değiştiği vasayımı ile çözüme başlayalım. dθ a b w (c ) t (.5) Bu duumda açısal ivme için (.6) daki ifade elde edili. α dw d θ (c ).a. a 1. b.t (c ). a.b.t b 1 (.6) (.5) ve (.6) da ye alan bu ifadele (.4) de yeine yazılısa, (c ) a 1 b a 1 θ (a )...t (c ).b..t b - 1 (.7) (.8) ifadesi elde edili. (.7) de ye alan ifade de b = alalım. Bu duumda yeniden düzenleme yapıldığında (.8) elde edili. θ (c ) a 1 (a ).. (.8) denklemi ile d/ tüev ifadesini (.9) daki gibi elde edebiliiz. -a θ ( ) (c )(a ) (.8) (.9) 6

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 (.9) ifadesinin, zamana göe biinci tüevini ve (.5) ifadesini (.3) te yeine yazasak (.1) elde edili. a 1 a 1 ( θ ) a. (c ). (c )(a ) (.1) (.1) eşitliğinin sağlanması için geekli yaklaşımladan bi tanesi eşitliğin sağ taafında ye alan teimlein sabit olması geektiğidi. Bu duumda a = -.5 olaak tayin edilebili. Bulunan bu katsayı değei (.1) ifadesinde yeine yazılıp k =(c ) alınaak düzenleme işlemlei yapılısa, (.11) deki gibi k ya bağımlı ikinci deeceden bi fonksiyon bulunabili. (.11) de ye alan ikinci deeceden denklemin köklei (.1) te ye almaktadı. 9k ( 9 )k ( ) (.11) k 1, 9 81( 18 ) 7( ) (.1) k nın pozitif değei bi çözüm oluştuu ve ayıca kaekök içinde ye alan ifade ve nın tüm değelei için tanımlı olduğundan dolayı kuvvetlein seçiminde çözüm açısından hehangi bi kısıtlama olmadığını söyleyebiliiz. a = -.5 katsayısını yukaıda belitilen denklemlede yeine yazıp, integasyon işlemlei uygulandığında, (.13) te belitilen çözüm fonksiyonlaı elde edilmiş olu. 3c θ() ln() c 1 θ θ (t) [( )t c ] 3c (.13) Buada ye alan k ve c i (i =,1,) sabit katsayılaı poblemin başlangıç koşullaından hesaplanabili. Önek olaak m =. kg kütleli maddesel noktanın, üzeine aşağıda veilen sabit kuvvetle uygulanmış olsun. Bu duumda Paçacığın haeket yöüngesini kutupsal koodinatlada bulmaya çalışalım. = 1N ve = 6N ve t = anında; = =,5m ; = = ad olsun. 6.. θ ( )/m ( ) 3 ( ) θ ( θ...... θ θ (.14) )/m 1 5 (.15). Poblemde veilen maddesel nokta için haeket denklemlei (.14) ve (.15) deki gibidi. Bu duumda sabit katsayılaı bulaak, çözüm fonksiyonlaını yazalım. 63

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı c, c 1, c katsayılaının bulunması: (.1) te ye alan ifade, poblem veilei için düzenlenip çözülüse c katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanı. 7 7 4.9.5 9k 7k 5 ;k1, 18 k.184 c ; c.49 Hesaplanan c katsayısı (.14) te ye alan çözüm fonksiyonlaında t= için = =.5m ve = = ad yazıldığında c 1 =.387 ve c =, 5 olaak hesaplanı. Bu duumda çözüm fonksiyonlaında bulunan katsayıla yazılıp düzenleme yapılı ise (.16) daki çözüm fonksiyonlaı elde edili. (t) 15.9t 5.494t.5 θ().55ln().387 (18.181 e θ -.696) (.16) Önek olaak veilen poblemde ye alan m kütleli maddesel noktanın haeket yöüngesi, başlangıç koşullaı üzeindeki kısıtlayıcıla dikkate alınaak elde edilebili hale gelmişti. Aynı poblemin veilei ve kısıtlayıcı şatlaı dikkate alınaak MATLAB pogamında sayısal çözümleme işlemi geçekleştiilmişti..3. Kuvvet Bileşenleinin Sabit Olduğu I. Duumda Haeket Denklemleinin Önek Poblem İçin Sayısal Çözümü Bölüm.1 de önek olaak veilen pobleme ait haeket denklemleini aynı başlangıç koşullaı için MATLAB pogamında sayısal olaak çözmeye çalışalım. Aşağıda poblemin başlangıç koşullaı ye almaktadı. m =. kg ; = 1N ve = 6N 6 3 ; θ m. m θ 1. 5.5 t için,5m ;.5 5.494 m/s 3c 3.(.49) c,49 θ θ ad ; θ.67 ad/s,5 (.14) ve (.15) deki.denklemlei sayısal olaak MATLAB pogamında çözdüebilmek için bu denklemlei 1. Metebeden denklem sistemine dönüştümek geeki. Bu amaçla x(1), x(), x(3), x(4) şeklinde döt adet yeni değişken tanımlayalım. Buada, x(1) = ; x() = d / ; x(3) = ; x(4) = d / (.17) 64

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 Tanımlamış olduğumuz x değişkenlei aasındaki ilişkile (.18) ve (.19) da gösteilmişti. d dx(1) x() dθ dx(3) x(4) (.18) d dx() d θ dx(4) (.19) (.18) ve (.19) ifadelei, (.14) ve (.15) da yeine yazılısa, dx(4) dx() ( ) ( x(1) x(1).x(4) ).x().x(4) x(1) (.) (.1) MATLAB pogamında (.) ve (.1) ifadeleinin çözümü için duum1 adında oluştuduğumuz fonksiyon dosyası önekte veilen poblem için Tablo de veilmişti. function dx = duum1(t,x) dx(1)=x() ; dx(3)=x(4) ; Tablo. duum1.m dosyası dx=[x();3+x(1)x(4)^;x(4);(5 / x(1)) - ( / x(1))x()x(4)]; MATLAB pogamında adi difeansiyel denklemlein sayısal çözümüne ilişkin Runge-Kutta metodunu kullanan Ode45 fonksiyonu, poblemin başlangıç değelei yazılıp çalıştııldığında (Tablo 3), haeket denklemleine sayısal çözümü geçekleştiilmiş olu. Sayısal çözüm sonucu elde edilen değele Tablo 4 te ye almaktadı. Bu duumda MATLAB pogamında elde edilen çözüme ait sayısal değelein gafiklei Şekil ve Şekil 3 te gösteilmiş olup Excel yazılımında, Tablo 4 teki değelee quadatik eği uyduma işlemi uygulandığında elde edilen fonksiyonel denklemin (.16) deki gibi elde edildiği göülü. % Difeansiyel denklemin çözümü: Tablo 3. Ode45 fonksiyonunun kullanımı %[t, x] = ode45 ( duum1, [t t s ], [ (d / ) (d / ) ] ) [t, x] = ode45 ( duum1, [ 5], [.5 5.494.67] ) Dolayısıyla belili kısıtlayıcı şatla altında m kütleli maddesel noktanın haeket yöüngesinin tayini için özel çözüm niteliği taşıyan analitik çözüm sonuçlaının sayısal çözüm sonuçlaı ile uyum içeisinde olduğu söylenebili. 65

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı Tablo 4. MATLAB yazılımında sayısal çözüm sonası elde edilen sayısal veile t(s) (t) t(s) (t) t(s) (t) t(s) (t) t x(1) t x(1) t x(1) t x(1),,5,115 1,33,857 16,3 3,19 154,6,,5,136 1,53,931 18,69 3,144 166,91,,5,158 1,74 1,5 1,5 3,69 179,69,,5,179 1,97 1,79 3,98 3,394 19,95,,5,, 1,15 6,87 3,519 6,67,1,5,7,53 1,47 3,83 3,644,87,1,51,54,87 1,34 35,5 3,769 35,54,,51,8 3,4 1,437 39,55 3,894 5,68,,51,39 3,63 1,53 44,3 4,19 66,9,4,5,344 4,17 1,653 5,84 4,144 8,38,6,53,378 4,74 1,775 57,8 4,69 98,93,8,55,413 5,35 1,897 65, 4,394 315,96,1,56,448 5,99,19 73,8 4,519 333,46,1,6,493 6,87,144 81,6 4,639 35,76,31,68,538 7,8,69 9,63 4,759 368,49,41,75,58 8,8,394 1,11 4,88 386,66,5,8,67 9,88,519 11,7 5, 45,7,68,94,685 11,33,644 1,49,83 1,6,74 1,89,769 131,39,99 1,19,8 14,54,894 14,76 Şekil : Maddesel noktanın Kutupsal koodinat sisteminde[=f()]haeket yöüngesi 66

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 (t) 45 4 35 3 5 15 1 5 y = 15,9t + 5,496t +,4993 R = 1 1 3 4 5 t(s) Şekil 3: Maddesel noktanın Katezyen koodinat sisteminde [=f(t)] haeket yöüngesi.4 II. Duumda analitik çözüm yaklaşımı Çözüm fonksiyonlaının, süekli bi f(t) fonksiyonunu içeecek şekilde a, b, c, c 1 sabit katsayıla olmak üzee (.)-(.3) te belitildiği fomda olduklaını kabul edeek çözüme başlayalım. θ(t) c1 c.ln(f(t)) b (t) a.[f(t)] (.) (.3) (.) ve (.3) te ye alan ifadelein zamana göe tüev ifadelei (.3) te yeine yazılısa,(.4) te ye alan ifade elde edili. a.b.[(b - 1).f(t) b -.(f(t)) b -1 f(t). f(t) ] - a.f(t) b -.c f(t) (.4) Bu ifadede b= için özel bi çözümün olduğunu kabul edelim. Bu duumda; a.[ (f(t)) f(t). f(t)] - a.c f(t) (.5) (.5) ifadesi elde edili. Bu ifadede eşitliğin sol taafında ye alan kuvvet içeen ifadenin değei sabit olduğu için eşitliğin sağ taafının da sabit olması geeki. Bu koşulu sağlayan duumladan bi tanesi ise eşitliğin sağında ye alan tüm teimlein ayı ayı sabit olması duumudu. Dolayısıyla, f(t) fonksiyonunun zamana bağlı tüevinin sabit olması duumunun bi özel çözüm fonksiyonu oluştuacağını söyleyebiliiz. Bu duumda f(t) fonksiyonunu aşağıdaki gibi doğusal fonksiyon olaak seçebiliiz. f(t) t n (.6) 67

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı Analitik yaklaşım sonucunda, çözüm fonksiyonlaı (.7.3) teki gibi elde edili. (t) a.[t n] θ(t) c c.ln(t. (t) 1 a[t n].. (t) a c θ(t) t n - c θ(t) (t n) n) (.7) (.8) (.9) (.3) (.31) (.3) Kuvvet bileşenleinin sabit değeini katsayıla cinsinden elde etmek için (.7.3) deki ifadelei (.3) ve (.4) te yeine yazılı ise (.33) ve (.34) deki ifadele elde edili. ( θ ) a - ac (.33) a, c, n, c 1 katsayılaının bulunması: ( θ θ ) 3ac (.34) a, c, n, c 1 katsayılaını başlangıç şatlaından bulabiliiz. Bu başlangıç şatlaı aşağıda ifade edilmişti. c t t için an ; θ θ ; an ; θ θ n c katsayısını bulmak için (.33) ve (.34) ifadeleini bibiine oanlayaak e oantı sabitini k olaak tanımlayalım. m ; θ m k a - ac 3ac - c 3c c 3kc (.35) k değei poblemin başlangıç veileinden belili olduğundan dolayı c katsayısı (.35) da ye alan. deeceden denklemin çözümü ile bulunabili. Buada c > dı. 68

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 c (1,) 3k 9k 8 (.36) c katsayısı ve m kütleli maddesel noktanın üzeine etki eden kuvvet bileşenlei belili olduğundan dolayı a katsayısı (.37) ifadesinden bulunabili. a 3c (.37) n katsayısı t = t için = başlangıç şatının (.7) denklemine uygulanması ile aşağıdaki ifadeden bulunabili.( n > ) a.[t n] c 1 katsayısı t = t için = başlangıç şatının (.8) denklemine uygulanması ile aşağıdaki ifadeden bulunabili. θ c1 c.ln(t n) Başlangıç şatlaından anlaşılacağı gibi bu çözüm yöntemi için kısıtlama sadece v (m/s) ve w(ad/s) hızlaının t=t anındaki başlangıç değelei için getiilmektedi. Bu iki değişken dışında diğe paametelede hehangi bi kısıtlama yoktu..5 Kuvvet bileşenleinin sabit olduğu I. duumda haeket denklemleinin önek poblem için sayısal çözümü Analitik çözüm yönteminin geçeli olduğu başlangıç koşullaını içeen bi poblem öneği aşağıda ye almaktadı. m =. kg ; = 1N ve = 3N ve t=t = sn için = =.5m ve = = ad olsun. m 3 15. ; m θ 4. olaak hesaplanı. Bu poblemin çözümünde geliştiilen analitik çözümün uygulanabilmesi için aşağıda ye alan başlangıç koşullaının olması geektiği ifade edilmişti. Bu nedenle öncelikle a, c, n, c 1 katsayılaını bulalım. an ; θ θ c /n 3.5 k c (1,) 4 c 1 (81/16) 8.68 c.93 c.68(c ) 69

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı a 9.773 a.[t n].5 9.773.n ; n 3c 3.(.68).6 θ c1 c.ln(t n) c1.68.ln(.6) ; c1 an v 9.773.(.6) 4.417m/s 1.14 θ θ c/n w θ.68/. 6 3.18 ad/s Başlangıç koşullaında ye alan kısıtlayıcı paametelee (v, w ) ait değele bulunduktan sona çözüm olaak geliştiilen fonksiyonlada yeine yazılısa (.38),(.39) ve (.4) da ye alan çözüm fonksiyonla elde edilmiş olu. (t) 9.773t 4.418t.499 θ(t) 1.14.68.ln(t.6) (.38) (.39) f( θ ) (.499).e.93θ (.4) Analitik çözümü kaşılaştımak amacı ile bu poblemi sayısal olaak MATLAB pogamı yadımı ile çözmeye çalışalım. 3 θ 4 15 ; θ m. m. t t için.5m ; θ θ ad ; 4.417m/s ; θ θ 3.18 ad/s x(1) = ; x() = d / ; x(3) = ; x(4) = d / Tablo 5 ve Tablo 6 da sayısal pogam ve MATLAB Command Window ekanındaki çözüm için oluştuulan komut satılaı göülmektedi. function dx = sabit(t,x) dx(1)=x() ; dx(3)=x(4) ; Tablo 5. Sabit.m pogamı ve Komut Satıı dx=[x();15+x(1)x(4)^;x(4);( / x(1) - ( / x(1))x()x(4)]; Tablo 6. Sabit.m pogamı ve Komut Satıı % Difeansiyel denklemin çözümü: %[t, x] = ode45 ( sabit, [t t s ], [ (d / ) (d / ) ] ) [t, x] = ode45 ( sabit, [ 5], [.5 4.417 3.18] ) 7

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 Komut satıının çalıştıılması sonucu difeansiyel denklemin sayısal çözümü elde edilmiş olu. Sayısal çözüm sonası elde edilen = f (t) ve = f ( ) eğilei Şekil 4 te gösteilmişti. Eğile için uygulanan eği uyduma işlemi ile elde edilen =f(t) fonksiyonunun analitik ifadesi (.41) de belitilmişti. (t) 9.773.t 4.418t.51 (.41).931 θ (.499).e (a) (b) Şekil 4: Maddesel noktanın (a) Kutupsal koodinat sisteminde[=f()] (b) Katezyen koodinat sisteminde [=f(t)] haeket yöüngesi 71

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı MATLAB pogamı kullanılaak poblemin sayısal olaak çözdüülmesi sonucunda elde edilen analitik ifadele kabul edilebili bi hata payıyla bibiine yakın ifadeledi. Bu sonuç bu bölümde geliştiilmeye çalışılan analitik ifadenin uygun başlangıç koşullaı seçileek, bu tü diekt dinamik poblemlein çözümünde kullanılabileceğini doğuu..6. III. Duumda analitik çözüm yaklaşımı Geliştiilen analitik çözüm fonksiyonlaı belili başlangıç koşullaını ihtiva eden kısıtlayıcı fonksiyonla içemektedi..4 ve.5 te açıklanan analitik çözüm yaklaşımlaı, başlangıç koşullaında kuvvet bileşenleine ilişkin hehangi bi kısıtlayıcı şat içememesine ağmen uygulamada başlangıç koşullaı üzeinde getiilen kısıtlayıcı şatla bi takım zolukla ihtiva edebili. Bu açıdan değelendiildiğinde, analitik çözümde sadece kuvvet bileşenlei üzeinde kısıtlayıcı şat kullanımının, hem matematiksel hem de fiziksel uygulanabililik bakımından daha kullanışlı bi çözüm yöntemi olduğu söylenebili. Bu bölümde kuvvet bileşenleinin sabit olduğu ancak kısıtlayıcı şatlaın kuvvet bileşenlei için oluştuulduğu bi analitik çözüm geliştiilmeye çalışılmıştı. c, d, n, s katsayılaı sabit bie sayı olması koşuluyla, (.3) ve (.4) ye alan haeket denklemleine ait çözüm fonksiyonlaının (.4), (.43) deki gibi olduğunu kabul edeek analitik çözüme başlayalım. (t) (nt d) s d s (.4) (t) c.ln(nt d) (.43) (.43) te ye alan ifadeye zamana göe integasyon işlemi uygulanısa (t) fonksiyonu (.44) deki gibi elde edili. Buada integasyon sabitini(c 1 ) sıfı kabul edeek (.4) ve (.43) te ye alan ifadelein tüevleini (.3) haeket denkleminde yeine yazasak; (.45)-(.46) da ye alan ifadele elde edili. Bu ifadelein geçeli olduğu duumladan bi tanesi, eşitliğin sağ taafında ye alan he bi teimin sabit olması şatı kullanılaak elde edilebili. Bu duum s = 1 alınaak sağlanabili. s1 (t) (nt d) c s 1 n.d (s 1).s.n s1.(c.n) s-1 (nt d) (nt d) s s d n.(s 1).d.c.n s-1.c.(n) s-1 θ (nt d) (nt d) s s d n.(s 1).d (.44) (.45) (.46) s = 1 alınaak yukaıda ye alan ifadele yeniden düzenlenise, (.47), (.48), ve (.49) elde edili. (t) (nt d) d (.47) 7

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1.n c [1 ] d 3.n.c. 3 θ.d (.48) (.49) c, d ve n katsayılaının bulunması: Başlangıç Şatlaı: t için ; ; θ θ θ θ.n c [1 ] d.n.c θ 3.d c katsayısının bulunması: (.48) ve (.49) denklemleini bibiine oanladığımızda oluşan ifade (.5) c katsayısına bağlı ikinci deeceden bi denklem olup, c katsayısı bu denklemin pozitif eel köküdü ve aşağıdaki gibi bulunabili. θ k c 3kc (.5) 3k 9k 8 c (.51) d katsayısının bulunması: t =t için = = c.ln (d) başlangıç şatından d katsayısı aşağıdaki gibi bulunu. d e θ c (.5) n katsayısının bulunması: t =t için d / d t = d / d t = c.( n / d) ) başlangıç şatından n katsayısı aşağıdaki gibi bulunu. θ.d n c (.53) Yukaıda açıklanan başlangıç koşullaı dikkate alınaak geliştiilen bu çözümü sayısal veile içeen bi mühendislik poblemine uygulamaya çalışalım. t 3 N, için m.kg.1m ; θ ( / 3) m/s ad ; θ 1ad/s 73

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı Yukaıda başlangıç koşullaı veilen poblem için (.5) ifadesi uygulanısa, = 1 ve =5N olaak hesaplanı. d katsayısı 1 ve c ve n katsayılaı ise sıasıyla.44 ve.5 olaak bulunu. Bu duumda çözüm fonksiyonlaı (.54) deki gibi elde edilebili. (t) t s (nt d) (,5t 1) (t) 15,t.1 s d 3 3 (t) c.ln(nt d),44. ln(,5t 1) (.54) Yukaıdaki poblem için elde edilen konuma ait çözüm fonksiyonunun gafiği Şekil 5 te ye almaktadı. Şekil 5: Konumun zamana bağlı değişim gafiklei Bu yöntemin, kuvvet bileşenlei üzeine getiilen kısıtlama düşünüldüğünde, diğe kısımlada geliştiilen yöntemlee göe daha uygun olduğu söylenebili. 3. BULGULAR VE TARTIŞMA Bu çalışmada, m kütleli paçacığın pola koodinat sisteminde iki boyutlu eğisel haeketine ilişkin difeansiyel denklemlein analitik çözümlei geliştiilmişti. Non-linee ve homojen olmayan iki adet difeansiyel denklemin eş zamanlı analitik çözümü kuvvet bileşenleinin sabit olduğu duumla için geçekleştiilmişti. Üç faklı duum için sonuçla idelenmiş ve çözüm fonksiyonlaının hangi duumla için geçeli olduğu belitilmişti. MATLAB paket pogamı yadımıyla elde edilen sayısal çözüm sonuçlaı ile kaşılaştıılmış ve he iki metotla elde edilen sonuçlaın uyum içeisinde olduğu göülmüştü Ayıca uygulama açısından düşünüldüğünde, kuvvet bileşenlei için kısıtlayıcıla içeen çözüm fonksiyonlaının, fiziksel olaak geçek hayatta daha uygulanabili olduğu belitilmişti. 74

Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 4. SONUÇLAR Geçekleştiilen bu çalışmanın, liteatüde diekt dinamik poblemlein çözümünde analitik yöntemlein az sayıda olması ve analitik yöntemlein patikte kolay ve uygulanabili olması nedeniyle biçok aaştımacıya yön veeceği kanaatindeyim. Elde edilen çözüm fonksiyonlaının, çeşitli mühendislik poblemleine uygulamalaı öneklemelele sunulaak belili koşulla içeen poblemle için patik sonuçla almanın mümkün olduğu sonucuna vaılmıştı. Daha sonaki çalışmalada ise kuvvet bileşenleinin değişken olduğu duumla için analitik çözümle geliştimeye yönelik sayısal ve matematiksel çalışmala üzeinde duulacaktı. SİMGELER DİZİNİ a, b, c, c 1, c,d, n, s : Sabit katsayıla m k t v w : Kuvvet (N) : Radyal () doğultudaki toplam kuvvet bileşeni (N) : () doğultusundaki toplam kuvvet bileşeni (N) : Kütle (kg) : II. deeceden fonksiyonda bağımsız değişken : Silindiik koodinatlada açı (adyan) : Silindiik koodinatlada ye değiştime vektöü : Ye değiştime vektöünün zamana göe 1. tüevi : Ye değiştime vektöünün zamana göe. tüevi : Zaman(saniye) : Hız (m/s) : Açısal hız (adyan/saniye) : Açısal fonksiyonun zamana göe 1. tüevi : Açısal fonksiyonun zamana göe. tüevi 75

Sevilgen, G.: İki Boyutlu Diekt Dinamik Poblemin Analitik Çözüm Yaklaşımlaı KAYNAKLAR 1. Akbazadeh A. and Enfeadi J. (11). A Vitual Wok Based Algoithm fo Solving Diect Dynamics Poblem of a 3-RRP Spheical Paallel Manipulato, Jounal of Intelligent and Robotic Systems, 63(1), s: 5-49.. Ames,.W. (1968). Nonlinea odinay diffeential equations in tanspot pocess, Academic, New Yok, 3-85. 3. Enfeadi J. and Akbazadeh A. (1). Invese dynamics analysis of a geneal spheical statiangle paallel manipulato using pinciple of vitual wok, Nonlinea Dynamics, 61(3), s:419-434. 4. Hibele, R.C. (1995). Engineing Mechanics: Dynamics, Pentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 57-65, 15-19. 5. Pala, Y. () Mühendislik Dinamiği, Gaye Yayınevi, s 6-7 6. Pala Y., Güney İ. ve Kaadee G. (4). Analytical Solution of Diect Dynamics Poblem in Cylindical Coodinates, Technical Notes,Jounal of Engineeing Mechanics, Septembe 4, 9-1115-1117. 7. Sevilgen G. (3). Diekt Dinamik Poblemlein Analitik Çözümü, Yüksek Lisans Tezi, U.Ü.en Bilimlei Enstitüsü Makine Müh. Anabilim dalı. Makale 1.3.1 taihinde alınmış, 1.8.1 taihleinde düzeltilmiş, 3.8.1 taihinde kabul edilmişti. 76