T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ

T. C. NÖNÜ ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ Ç FT D Z LER N I-YAKINSAKLI I ÜZER NE Erdinç DÜNDAR DOKTORA TEZ MATEMAT K ANAB L M DALI MALATYA 2010

Tezin Ba³l : Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine Tezi Hazrlayan : Erdinç DÜNDAR Snav Tarihi : 02.12.2010 Yukarda ad geçen tez, jürimizce de erlendirilerek Matematik Anabilim Dalnda Doktora Tezi olarak kabul edilmi³tir. Snav Jüri Üyeleri Prof. Dr. Rfat ÇOLAK (Frat Üniversitesi) Doç. Dr. Bilal ALTAY (Dan³man) ( nönü Üniversitesi) Prof. Dr. Hüsamettin ÇO KUN ( nönü Üniversitesi) Doç. Dr. Recep ASLANER ( nönü Üniversitesi) Doç. Dr. Ylmaz YILMAZ ( nönü Üniversitesi) nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onay Prof. Dr. Asm KÜNKÜL Enstitü Müdürü

ONUR SÖZÜ Doktora Tezi olarak sundu um "Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine" ba³lkl bu çal³mann bilimsel ahlak ve geleneklere aykr dü³ecek bir yardma ba³vurmakszn tarafmdan yazld n ve yararland m bütün kaynaklarn, hem metin içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden olu³tu unu belirtir, bunu onurumla do rularm. Erdinç DÜNDAR

ÖZET Doktora Tezi Çift Dizilerin I-Yaknsakl Üzerine Erdinç DÜNDAR nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal 60+vi sayfa 2010 Dan³man: Doç. Dr. Bilal ALTAY Be³ bölümden olu³an bu çal³mada; çift indisli dizilerin ideal yaknsakl incelenmi³tir. Birinci bölümde; çift dizi ve ideal yaknsaklk kavramlarnn tarihsel geli³imi verilmi³tir. kinci bölümde; sonraki bölümlerde kullanlacak temel tanm, teoremler ve ideal yaknsak ile ilgili baz özellikler verilmi³tir. Tezimizin üçüncü, dördüncü ve be³inci bölümleri orijinal sonuçlar ihtiva etmektedir. Üçüncü bölümde; çift dizilerde Pringsheim anlamnda ideal yaknsaklk ve ideal Cauchy ile ilgili tanm ve teoremler ifade edilmi³tir. Ayrca, çift dizilerde regüler anlamda ideal yaknsaklk ve ideal Cauchy tanmlar verilmi³ ve aralarndaki ili³kiler incelenmi³tir. Dördüncü bölümde; snrl ve ideal yaknsak olan çift diziler için çarpan (multiplier) dizi uzaylar ele alnm³tr. Be³inci bölümde; fonksiyonlarn çift dizileri için noktasal ideal yaknsaklk ve düzgün ideal yaknsaklk ile ilgili tanm ve teoremler verilmi³tir. ANAHTAR KEL MELER: Çift dizi, deal yaknsaklk, Çarpm dizi uzaylar, Fonksiyonlarn çift dizileri. i

ABSTRACT Ph.D. Thesis On I-Convergence of Double Sequences Erdinç DÜNDAR nönü University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 60+vi pages 2010 Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Bilal ALTAY The present thesis consists of ve chapters, which investigate the ideal convergence of double sequences. In the rst chapter, brief history of double sequences and ideal convergence are given. In the second chapter, some basic concepts and theorems and properties of ideal convergence which are used in later chapters are presented. The third, fourth and fth chapters of this thesis involve the original results. In the third chapter, ideal convergence and ideal Cauchy of double sequences in Pringsheim sense are expressed. Also, ideal convergence and ideal Cauchy of double sequence in regular sense are given and relationship between these concepts are examined. In the fourth chapter, multiplier sequence spaces for bounded and ideal convergence of double sequence are discussed. In the fth chapter, denitions and theorems about pointwise and uniformly ideal convergence for double sequences of functions are given. KEYWORDS: Double sequence, Ideal convergence, Multiplier sequence spaces, Double sequences of functions. ii

TE EKKÜR Doktora e itimimde dan³manl m üstlenen ve bu tezin hazrlanmasnda gerekli maddi ve manevi imkânlar sa layarak bana yardmc olan, yüksek lisans e itimimden beri hiç bir zaman yakn ilgi ve alâkalarn esirgemeyen, bilimselli inin yannda karakter ve ³ahsiyetiyle de bana örnek olan hocam sayn Doç. Dr. Bilâl Altay' a minnet ve ³ükranlarm sunarm. Lisans e itimimden bu yana gerekli maddi ve manevi imkânlar ile bana yardmc olan, yüksek lisans e itimimde dan³manl m üstlenen, ilim ve irfan sahasnda de erli kirlerinden etkilendi im Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi hocam sayn Prof. Dr. Feyzi Ba³ar' a ve her zaman ilgi ve alakalar ile çal³malarmda bana feyz veren hocalarm sayn Doç. Dr. Celal Çakan' a ve sayn Doç. Dr. smet Özdemir' e te³ekkürlerimi sunmay bir görev bilirim. Hayatmn her a³amasnda, de erli ³efkat ve merhametlerini esirgemeyen sevgili anneme, kar³la³t m güçlüklerde her zaman destek olan e³im ile sabr ve sevgilerinden dolay sevgili kzlarma te³ekkür ediyorum. Ayrca, bu tezin hazrlanmasnda yardmlarn ve ilgilerini esirgemeyen, sözleriyle bana cesaret veren yakn arkada³larm Özer Talo' ya ve Yurdal Sever' e te³ekkür ederim. Erdinç DÜNDAR iii

Ç NDEK LER ÖZET........................................................................ ABSTRACT.................................................................. TE EKKÜR.................................................................. Ç NDEK LER............................................................... S MGELER VE KISALTMALAR............................................. i ii iii iv vi 1. G R................................................................... 1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER..................................... 3 2.1. Temel Kavramlar................................................. 3 2.2. Çift Diziler........................................................ 5 2.3. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinin Noktasal ve Düzgün Yaknsakl.... 9 2.4. deal Kavram ve deal Yaknsaklk................................. 9 2.5. Çift Dizilerde deal ve deal Yaknsaklk............................ 13 3. Ç FT D Z LERDE I 2 -YAKINSAKLIK VE I 2 -CAUCHY................. 17 3.1. deal Yaknsaklk................................................... 17 3.2. deal Cauchy....................................................... 20 3.3. Regüler Anlamda deal Yaknsaklk ve deal Cauchy................ 23 4. SINIRLI I 2 -YAKINSAK Ç FT D Z LER N ÇARPAN UZAYLARI....... 28 4.1. Çarpan Uzaylar................................................... 28 5. FONKS YONLARIN Ç FT D Z LER N N DEAL YAKINSAKLI I..... 35 5.1. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinin I 2 -Yaknsakl...................... 35 5.2. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinin I2-Yaknsakl...................... 40 5.3. Fonksiyonlarn Çift Dizileri çin deal Cauchy Kavram............. 45 5.4. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinde Düzgün deal Yaknsaklk........... 48 iv

KAYNAKLAR............................................................... 56 ÖZGEÇM.................................................................. 60 v

S MGELER VE KISALTMALAR C : Kompleks saylar cümlesi c : Reel terimli yaknsak dizilerin uzay c 0 c 2 (b) c 2 0(b) C p C r F(I) F(I 2 ) F I2 F I2 (b) FI 0 2 (b) : Reel terimli sfra yaknsak dizilerin uzay : Yaknsak ve snrl olan çift dizilerin uzay : Sfra yaknsak ve snrl olan çift dizilerin uzay : Pringsheim anlamnda yaknsak olan kompleks terimli çift dizilerin uzay : Regüler yaknsak kompleks terimli çift dizilerin uzay : N üzerinde I idealine kar³lk gelen süzgeç : N N üzerinde I 2 idealine kar³lk gelen süzgeç : I 2 -yaknsak olan çift dizilerin uzay : I 2 -yaknsak ve snrl olan çift dizilerin uzay : Sfra I 2 -yaknsak ve snrl olan çift dizilerin uzay f mn I2 f : Fonksiyonlarn {f mn } çift dizisinin f fonksiyonuna I 2 -yaknsakl f mn I2 f : Fonksiyonlarn {f mn } çift dizisinin f fonksiyonuna düzgün I 2 -yaknsakl I : N üzerinde tanmlanan ideal I 2 l l 2 M u M(E, F ) m(e, F ) N R r(i 2, I) ω Ω : N N üzerinde tanmlanan ideal : Reel terimli snrl dizilerin uzay : Snrl olan çift dizilerin uzay : Kompleks terimli snrl çift dizilerin uzay : E dizi uzayndan F dizi uzayna snrl tüm çarpan dizilerin uzay : E dizi uzayndan F dizi uzayna tüm çarpan dizilerin uzay : Do al saylarn cümlesi : Reel saylar cümlesi : Regüler anlamda (I 2, I)-yaknsaklk : Reel terimli dizilerin uzay : C üzerinde tanml çift dizilerin uzay vi

1. G R Çift diziler üzerinde Pringsheim [1] anlamnda yaknsaklk, tabii sralanm³ N N cümlesi üzerindeki a larn yaknsakl olarak tanmlanr. Bu yaknsaklktaki eksiklik, yaknsak olan bir dizinin snrl olmak zorunda olmamasdr. Hardy [ 2], Pringsheim anlamnda yaknsakl a ilâve olarak çift dizinin satr ve sütunlarnn yaknsakl n gerektiren regüler yaknsakl tanmlayarak bu eksikli i gidermi³tir. Robison [3], Kojima [4] ve Hamilton [5] bu önemli iki yaknsaklk çe³idi ile ilgili çift dizi uzaylar arasndaki matris dönü³ümleriyle önemli çal³malar yapm³lardr. Boos, Leiger ve Zeller tarafndan [6] tanmlanan e-, be- ve c-yaknsak çift dizilerin baz topolojik özellikleri, Zeltser [7] tarafndan doktora çal³mas olarak verildi. Çift dizilerle ilgili baz önemli çal³malar Moricz [8], Gökhan, Güngör ve Et [9], Hill [10], T. Kojima [4], Mursaleen ve Edely [11] tarafndan yapld. Ayrca, Altay [12] baz yeni çift dizi uzaylar tanmlayarak, bu uzaylarn baz özelliklerini, duallerini ve matris karakterizasyonlarn inceledi. Reel saylarn bir dizisi için yaknsaklk kavram ba msz olarak Fast [13] ve Schoenberg [14] tarafndan istatistiksel yaknsakl a geni³letildi. Bu kavram Mursaleen ve Edely [11] tarafndan çift dizilerde çal³ld. Bu alanda alát [15] ve Fridy [16, 17] gibi yazarlarn çal³malarndan sonra bir çok geli³meler oldu. Genel olarak istatistiksel yaknsaklk, metrik uzaylarda bir dizinin al³lm³ yaknsakl nn özelliklerini sa lar [13, 16, 17, 18]. Çakan ve Altay [19], Fridy ve Orhan [20] tarafndan verilen sonuçlarn çift indisli dizilerdeki kar³lklar olan istatistiksel inmum ve supremum kavramlarn vererek, istatistiksel çekirde i incelediler. Connor, Demirci ve Orhan [ 21] snrl ve istatistiksel yaknsak olan diziler için multiplier (çarpan) ve factorization (dizinin çarpanlar) kavramlarn ölçüye göre inceleyip önemli sonuçlar verdiler. Sava³ ve Mursaleen [22] fuzzy saylar üzerinde çift dizilerin istatistiksel yaknsaklk ve istatistiksel Cauchy çift dizisini incelediler. Gökhan, Güngör ve Et [ 9] reel de erli fonksiyonlarn çift dizileri için noktasal ve düzgün olarak istatistiksel yaknsaklk ve istatistiksel Cauchy dizisinin tanmlarn verip, istatistiksel yaknsak ile istatistiksel Cauchy dizi arasndaki ili³kiyi veren teoremler üzerinde çal³tlar. [23, 24, 25, 26] numaral çal³malarda istatistiksel yaknsaklk ve uygulamalaryla ilgili sonuçlar verildi. statistiksel yaknsakl n genelle³tirilmi³ hali olan ideal yaknsaklk ilk olarak tek indisli dizilerde Kostyrko, Salát ve Sleziak [27] tarafndan tanmlanarak baz özellikleri verilmi³tir. Bu çal³mada I -yaknsaklk tanm yaplarak I-yaknsaklk ile ili³kisi incelenmi³tir. Bu incelemelerde ideal için (AP) özelli i tanmlanm³tr. 1

Yine Kostyrko, Ma aj, Salát ve Sleziak [28] tarafndan ideal yaknsaklk ile ilgili baz özellikler ile I lim sup, I lim inf noktalar ve limit noktalar incelenmi³tir. Dems [29] ve Nabiev, Pehlivan, Gürdal [30] tek dizilerde I-Cauchy dizisi ve I-Cauchy dizisi ile I-yaknsaklk arasndaki ili³kileri incelediler. Yardmc [31] snrl ve I-yaknsak olan dizilerde multiplier (çarpan) ve factorization (dizinin çarpanlar) kavramlar üzerinde çal³m³tr. Gezer ve Karaku³ [32] tek indisli fonksiyon dizilerinde noktasal I-yaknsaklk ve düzgün I-yaknsaklk tanm ve teoremlerini vererek bu iki yaknsaklk ile ilgili baz uygulamalar vermi³lerdir. Balcerzak, Dems ve Komisarski [23] tek indisli fonksiyon dizilerinde istatistiksel ve I-yaknsaklk ve düzgün I-yaknsaklk tart³malar yapm³lardr. Ayrca [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40] numaral çal³malarda I-yaknsaklk ile ilgili faydal çal³malar yaplm³tr. Çift indisli dizilerde, Das, Kostyrko, Wilczy«ski ve Malik [41] I-yaknsaklk ve I -yaknsaklk tanmlarn, baz ideal çe³itlerini ve (AP2) özelli ini tanmlayarak, bunlar ile ilgili teoremler vermi³tir. Das, Malik [42] ve Gürdal, ahiner [43] numaral çal³malarnda tek diziler için Kostyrko, Ma aj, Salát ve Sleziak tarafndan [28] yaplan çal³malar çift dizilere ta³m³lardr. Yine benzer tart³malar Kumar [ 44] ve Tripathy, Tripathy [45] tarafndan incelenmi³tir. Ayrca Tripathy ve Tripathy [45] ideal yaknsaklk yardmyla baz dizi uzaylar tanmlayarak özelliklerini incelemi³lerdir. Bu çal³mada, ideal ve istatistiksel yaknsaklk ile ilgili yaplan çal³malardaki teknik ve yöntemler kullanlarak, tek indisli dizilerde yaplan ideal yaknsaklk tart³malar çift indisli dizilere ta³nd. Çift dizilerde, I 2 -yaknsaklk ve I 2 -Cauchy kavramlarn Pringsheim anlamnn yannda regüler anlamda da incelendi. Daha sonra, snrl I 2 -yaknsak çift dizilerin çarpan uzaylarn ve ilgili teoremleri ispatlar ile birlikte verildi. Son olarak fonksiyonlarn çift dizileri için I 2 -yaknsaklk ve I 2 -Cauchy kavramlar noktasal ve düzgün olarak incelendi. 2

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu bölümde, sonraki bölümlere temel te³kil edecek baz bilgiler verilmi³tir. Vektör uzay, topolojik uzay ve altuzay gibi baz kavramlarn bilindi i kabul edilmi³tir. 2.1. Temel Kavramlar Tanm 2.1.1. (Metrik ve Metrik Uzay, [46, shf. 24, 27]). X bo³ olmayan bir cümle ve d : X X R bir fonksiyon olsun. Her x, y, z X için (M1) d(x, x) = 0, (M2) d(x, y) = d(y, x), (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) ³artlar sa lanrsa, d fonksiyonuna, X üzerinde yar metrik fonksiyonu ve (X, d) ikilisine de yar metrik uzay denir. (M1) d(x, x) = 0 ³art yerine (M1) d(x, y) = 0 x = y ³artn alrsak d fonksiyonuna, metrik fonksiyonu ve (X, d) ikilisine bir metrik uzay denir. Bir lineer (X, d) metrik uzayndaki her Cauchy dizisi yaknsak ise, X uzayna tam metrik uzay veya Fréchet uzay denir. Bu çal³mamzda, R reel uzay üzerinde d(x, y) = x y ³eklinde tanmlanan al³lm³ mutlak de er metri ini gözönüne alaca z. Burada R yerine C kompleks saylarn cismi de alnabilir. Tanm 2.1.2. (Dizi Uzay, [47]). Reel veya kompleks terimli bütün dizilerin ω uzaynn bo³ olmayan her alt vektör uzayna dizi uzay denir. l, c, c 0, l 1 dizi uzaylar srasyla snrl, yaknsak, sfra yaknsak ve mutlak yaknsak seri olu³turan dizilerin uzaydr. Tanm 2.1.3. (Yar Norm ve Norm, [46, shf. 83, 103 ]). X bir lineer uzay ve : X R bir fonksiyon olsun. Her x, y X ve her α C için (N1) x 0, (N2) θ = 0, (N3) αx = α x, (N4) x + y x + y ³artlar sa lanyor ise, fonksiyonuna X üzerinde bir yar norm ve (X, ) ikilisine bir yar normlu uzay denir. 3

Burada (N2) ³art yerine (N2) x = 0 x = θ ³art sa lanrsa, yar normuna bir norm ve (X, ) ikilisine de bir normlu uzay denir. Bir (X, ) normlu uzayndaki her Cauchy dizisi yaknsak ise X uzayna tam normlu uzay veya Banach uzay denir. Tanm 2.1.4. (Açk ve Kapal Yuvar, [48, shf. 35]). (X, d) metrik uzaynda, x 0 noktas ve pozitif bir r says için; B r (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) < r}, B r (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) r}, cümlelerine, srasyla, x 0 merkezli, r yarçapl açk yuvar ve kapal yuvar denir. Tanm 2.1.5. (Süreklilik ve Düzgün Süreklilik, [46, shf. 48, 49]). (X, d x ), (Y, d y ) yar metrik uzaylar, x 0 X ve f : X Y bir fonksiyon olsun. Her ε > 0 için d x (x, x 0 ) < δ oldu unda, d y (f(x), f(x 0 )) < ε olacak ³ekilde en az bir δ = δ(ε, x 0 ) > 0 says varsa, f fonksiyonu x 0 X noktasnda süreklidir denir. X uzaynn her noktasnda sürekli olan fonksiyona X üzerinde sürekli fonsiyon ad verilir. Bir f : X Y fonksiyonu için, her ε > 0 saysna kar³lk, her x, x 0 X için d x (x, x 0 ) < δ oldu unda, d y (f(x), f(x 0 )) < ε olacak ³ekilde en az bir δ = δ(ε) > 0 says varsa, f fonksiyonu X üzerinde düzgün süreklidir denir. Tanm 2.1.6. (E³ Süreklilik, [49, shf. 289]). (X, d x ), (Y, d y ) yar metrik uzaylar arasndaki fonksiyonlarn bir Φ ailesi, ε > 0 δ > 0 f Φ : d x (x 0, y) < δ d y (f(x 0 ), f(y)) < ε ³artn sa lyor ise, x 0 X noktasnda noktasal e³-süreklidir denir. 4

Tanm 2.1.7. (Kompakt Uzay, Dizisel Kompaktlk, [46, shf. 60, 62]). Bir topolojik uzayn her açk örtüsü bir sonlu alt örtüye sahip ise uzaya kompakt uzay denir. Bir metrik uzayndaki her dizinin yaknsak bir alt dizisi mevcut ise metrik uzaya dizisel kompakttr denir. Tanm 2.1.8. (Fonksiyon Dizisi, [50, shf. 42]). A R ve A üzerinde tanml reel de erli fonksiyonlarn cümlesi F (A) olsun. s : N F (A) fonksiyonuna bir fonksiyon dizisi denir. 2.2. Çift Diziler Bu ksmda, çift dizi uzaylar ile çift dizilerdeki yaknsaklk kavramlar hakknda bilgiler verilecektir. Çift dizilerde birden fazla yaknsaklk çe³idi vardr. Biz, bu çal³mada çift dizilerde en önemli yaknsaklk kavramlarndan olan Pringsheim ve regüler yaknsaklk ile ilgilenece iz. Tanm 2.2.1 (Çift Dizi, [12]). X bo³ olmayan herhangi bir cümle olmak üzere, f : N N X (m, n) f(m, n) = x mn ³eklinde tanmlanan f fonksiyonuna bir çift indisli dizi denir. Bundan sonraki ksmlarda çift indisli dizi yerine ksaca çift dizi veya sadece dizi ifadesi kullanlacaktr. Herhangi bir x = (x mn ) çift dizisinin x mn elemanlarn, x 00 x 01 x 02... x 0n... x 10 x 11 x 12... x 1n... x 20 x 21 x 22... x 2n....... x m0 x m1 x m2... x mn....... ³eklinde bir tablo olarak dü³ünebiliriz. Ω ile kompleks veya reel terimli bütün çift dizilerin cümlesini gösterece iz. Buna göre; Ω = {x = (x mn ) : m, n N için x mn C} olup, bu cümle α C ve x, y Ω için, x + y = (x mn + y mn ) ve αx = (αx mn ) 5

i³lemleri altnda bir lineer uzaydr. üzere, Tanm 2.2.2 (Snrllk, [12]). x = (x mn ) kompleks terimli bir çift dizi olmak sup x mn < m,n 0 oluyorsa, x dizisine snrldr denir. Bütün snrl çift dizilerin cümlesi, { } M u = x = (x mn ) Ω : x = sup m,n N x mn < ³eklinde olup, bu uzay normu ile bir Banach uzay te³kil eder. Tanm 2.2.3 (P-Yaknsaklk, [12]). x = (x mn ) kompleks terimli bir çift dizi ve l C olsun. Her ε > 0 için m, n > k 0 oldu unda, x mn l < ε olacak ³ekilde bir k 0 = k 0 (ε) do al says bulunabiliyorsa, x = (x mn ) dizisi, l saysna Pringsheim anlamnda yaknsak ve l de erine de x dizisinin Pringsheim limiti denir. Pringsheim anlamnda yaknsak bir x = (x mn ) dizisine ksaca P -yaknsak dizi diyece iz ve limitini de P lim x mn = l ile gösterece iz. Pringsheim anlamnda yaknsak dizilerin cümlesini, C p = {x = (x mn ) Ω l C ε > 0 k 0 N m, n k 0 x mn l < ε} biçiminde ifade edece iz. C p cümlesi çift dizilerin koordinatsal toplama ve skalarla çarpma i³lemleri altnda bir lineer uzay olup, x Cp = lim k 0 sup x mn m,n k 0 yar normu ile bir tam uzay te³kil etti i Mòricz [8] tarafndan gösterildi. Pringsheim anlamnda yaknsak bir çift dizi, snrl olmak zorunda de ildir. Pringsheim anlamnda l noktasna yaknsak ve snrl bir x = (x mn ) dizisine, l noktasna Pringsheim anlamnda snrl yaknsak dizi denir. Bu ³ekildeki dizilerin cümlesini, C bp = { } x = (x mn ) C p : x = sup m,n 0 x mn < = C p M u ³eklinde gösterece iz. Bu uzayn da normu ile bir Banach uzay oldu u Moricz [8] tarafndan gösterildi. 6

Tanm 2.2.4 (Regüler Yaknsaklk, [12]). Pringsheim anlamnda l noktasna yaknsak ve lim m x mn, (n N) ile lim n x mn, (m N) limitleri mevcut olan x dizisine, l noktasna regüler yaknsaktr denir. Regüler yaknsak bir x = (x mn ) dizisi için lim n lim m x mn ve lim m lim n x mn limitleri mevcut ve Pringsheim limitine e³ittirler. Regüler yaknsak dizilerin cümlesi, { } C r = x = (x mn ) C p m N (x mn ) m c ve n N (x mn ) n c ³eklindedir. Regüler yaknsakl n Pringsheim anlamnda yaknsaklktan fark, bir çift dizinin yaknsakl nn dizinin snrll n gerektirmesidir. unda, Tanm 2.2.5 (P-Cauchy, [12]). Verilen her ε > 0 için m, n, p, q > k 0 oldu- x mn x pq < ε kalacak ³ekilde bir k 0 = k 0 (ε) do al says varsa, x = (x mn ) kompleks terimli dizisine bir P -Cauchy dizisi denir. Teorem 2.2.1. [12] Kompleks terimli bir x = (x mn ) dizisinin P -yaknsak olmas için gerek ve yeter ³art P -Cauchy dizisi bulunmasdr. Tanm 2.2.6 (Alt Dizi, [12]). dizisi verilmi³ olsun. ve f : N N X (m, n) f(m, n) = x mn i : N N m i(m) = i m j : N N artan fonksiyonlar (diziler) olmak üzere, n j(n) = j n h : N N N N (m, n) h(m, n) = (i m, j n ) ³eklinde tanmlayalm. Bu durumda, 7

f h : N N X (m, n) f h(m, n) = x imjn bile³ke fonksiyonuna (x mn ) dizisinin bir alt dizisi denir. N N cümlesinin sonsuz çoklukta (i m j n ) dizisi bulunabilece inden, bir (x mn ) dizisinin sonsuz çoklukta alt dizisi vardr. Burada alt diziyi, orjinal diziden satr ve sütunlar atmakla elde ediyoruz. (x imjn ) alt dizisinin her teriminin (x mn ) dizisinin bir terimi oldu u açktr. Teorem 2.2.2. Yaknsak bir çift dizinin her alt dizisi de yaknsaktr. Tanm 2.2.7 (Monoton Dizi, [51]). m m ve n n oldu unda s mn s m n oluyorsa, (s mn ) dizisine monoton artan, m m ve n n oldu unda s mn s m n oluyorsa, (s mn ) dizisine monoton azalandr denir. Monoton çift diziler hakkndaki teoremler, monoton tek diziler hakkndaki teoremlerle ayn yapya sahiptir. Teorem 2.2.3. Artan bir çift dizi üstten snrl ise limiti supremumuna, azalan bir çift dizi alttan snrl ise limiti inmumuna e³ittir. Tanm 2.2.8 (Çift Seri, [12]). (x mn ) çift dizisi verilmi³ olsun. imdi, s mn = m n i=0 j=0 x ij ³eklinde tanmlanan (s mn ) dizisini gözönüne alalm. Bu durumda; ((x mn ), (s mn )) ikilisine bir çift seri denir. x mn terimine serinin genel terimi, (s mn ) dizisine de serinin ksmi toplamlar dizisi denir. E er, (s mn ) ksmi toplamlar dizisi bir s saysna υ- yaknsak (υ {P, r}), yani υ lim mn m i=0 n x ij = s ise, ((x mn ), (s mn )) serisi υ-yaknsak ve serinin υ-toplam s' dir denir. j=0 Yaknsak olmayan seriye raksak seri denir. Genel terimi x mn ve toplam s olan yaknsak seri, m=0 n=0 x mn = s 8

³eklinde gösterilir. Seri ister yaknsak ister raksak olsun, genel terimi x mn olan seri m=0 n=0 x mn ile gösterilir. 2.3. Fonksiyonlarn Çift Dizilerinin Noktasal ve Düzgün Yaknsakl imdi reel de erli fonksiyonlarn bir çift dizisi için yaknsaklk tanmlarn verelim. S R ve S üzerinde reel de erli fonksiyonlarn bir çift dizisini {f mn } olarak alalm. Tanm 2.3.1 ([9]). S R cümlesi üzerindeki fonksiyonlarn bir {f mn } çift dizisi, her bir x S noktas ve her ε > 0 için m, n > k 0 oldu unda, olacak ³ekilde bir pozitif k 0 f mn (x) f(x) < ε fonksiyonuna noktasal yaknsaktr denir ve = k 0 (ε, x) do al says varsa, S cümlesi üzerinde f lim f mn(x) = f(x) veya f mn f ³eklinde gösterilir. S üzerindeki fonksiyonlarn {f mn } çift dizisinin S üzerinde f fonksiyonuna noktasal yaknsakl, fonksiyonlarn çift dizisinin fonksiyon çift limiti (Pringsheim fonksiyon limiti)' dir. Tanm 2.3.2 ([9]). S R cümlesi üzerindeki fonksiyonlarn {f mn } çift dizisi, her ε > 0 için m, n > k 0 oldu unda, tüm x S noktalar bakmndan f mn (x) f(x) < ε olacak ³ekilde bir pozitif k 0 = k 0 (ε) tam says varsa, S cümlesi üzerinde f fonksiyonuna düzgün yaknsaktr denir ve ³eklinde gösterilir f mn f 2.4. deal Kavram ve deal Yaknsaklk Bu ksmda, tek dizilerde ve çift dizilerde yo unluk kavramn, istatistiksel ve ideal yaknsaklk tanmlarn verece iz. 9

Tanm 2.4.1 (Do al Yo unluk, [52]). K N ve K n = {k n : k K} cümlelerini alalm. K = card K (K cümlesinin kardinalitesi) olmak üzere, ve δ(k) = lim inf n δ(k) = lim sup n K n n K n n limitlerine, ) srasyla, K cümlesinin alt ve üst yo unluklar denir. δ(k) = δ(k) ise dizisinin limiti mevcuttur denir. Bu limit δ(k) ile gösterilir ve K cümlesinin ( Kn n do al yo unlu u denir. K N cümlesinin do al yo unlu u, ile gösterilir. K n δ(k) = lim n n = lim 1 {k n : k K} n n Tanm 2.4.2 (Asimptotik Yo unluk, [27]). A N cümlesinin karakteristik fonksiyonu χ A olmak üzere, alalm. ve d n (A) = 1 n n χ A (k) k=1 d(a) = lim inf n d n(a) d(a) = lim sup d n (A) n limitlerine, srasyla, K cümlesinin alt ve üst asimptotik yo unluklar denir. d(a) = d(a) = d(a) ise, d(a) saysna A N cümlesinin asimptotik yo unlu u denir. Buna göre A cümlesinin asimptotik yo unlu u ³eklindedir. 1 d(a) = lim n n n χ A (k) k=1 Tanm 2.4.3 ( statistiksel Yaknsaklk, [13]). Reel saylarn bir x = (x n ) n N dizisi, her ε > 0 için d ({n N : x n L ε}) = 0 ise, L R saysna istatistiksel yaknsaktr denir. 10

Tanm 2.4.4 (Çift Do al Yo unluk, [41]). K N N alt cümlesi için K(m, n) = {(i, j) K : i m, j n} olsun. { K(m,n) } mn dizisi Pringsheim anlamnda bir limite sahip ise, bu durumda K N N cümlesi bir çift do al yo unlu a sahiptir denir ve ile gösterilir. δ 2 (K) = K(m, n) lim mn Tanm 2.4.5 (Çift Diziler için statistiksel Yaknsaklk, [11]). Reel saylarn bir x = (x mn ) m,n N dizisi, her ε > 0 için δ 2 ({(m, n) N N : x mn L ε}) = 0 ise L R saysna istatistiksel yaknsaktr denir. Tanm 2.4.6 ( deal, [27]). X bo³ olmayan bir cümle olsun. I 2 X snf, i) I ii) A, B I ise A B I iii) A I ve B A için B I ³artlarn sa larsa, X üzerinde bir idealdir denir. E er, X I ise I' ya bir gerçek (a³ikar olmayan) ideal ad verilir. Bundan sonraki ksmlarda geçen idealleri gerçek (a³ikar olmayan) ideal olarak gözönüne alaca z. Tanm 2.4.7 (Süzgeç, [27]). X olsun. F 2 X snf, i) F ii) A, B F ise A B F iii) A F ve A B için B F ³artlarn sa larsa, X üzerinde bir süzgeçtir (ltre) denir. I, X üzerinde bir gerçek ideal ise, F(I) = {M X : A I, M = X\A} snf X üzerinde bir süzgeç olup, F(I) süzgecine I idealine kar³lk gelen süzgeç denir. Tanm 2.4.8 (Uygun deal, [27]). X üzerinde I gerçek ideali, her bir x X için {x} I ³artn sa lyorsa, bir uygun ideal denir. Tanm 2.4.9 (I-Yaknsaklk, [27]). (X, ρ) bir metrik uzay ve I, N üzerinde bir gerçek ideal olsun. X uzaynn bir x = (x n ) n N dizisi, her ε > 0 için A(ε) = {n N : ρ(x n, L) ε} I 11

³artn sa lyorsa, x dizisi L X noktasna I-yaknsaktr denir ve ile gösterilir. I lim n x n = L I uygun bir ideal ise adi yaknsaklk I-yaknsakl gerektirir. imdi I-yaknsaklk ile ilgili iki örnek verelim. 1) N do al saylar cümlesinin tüm sonlu alt cümlelerinin snf I f olsun. Bu durumda I f gerçek uygun idealdir ve I f -yaknsaklk, X uzayndaki ρ metri ine göre adi yaknsaklk ile çak³r. 2) I δ = {A N : δ(a) = 0} snfn tanmlayalm. Bu durumda I δ bir gerçek uygun idealdir ve I δ -yaknsaklk istatistiksel yaknsaklk ile çak³r. Tanm 2.4.10 (I -Yaknsaklk, [27]). (X, ρ) bir metrik uzay, (x n ), X uzaynda bir dizi ve I, N üzerinde bir gerçek ideal olsun. Bir M = {m 1 < m 2 <... < m k <...} F(I) cümlesi için lim ρ(x m k, L) = 0 k sa lanyorsa, (x n ) dizisi L X noktasna I -yaknsaktr denir ve ile gösterilir. I lim k x mk = L Tanm 2.4.11 ((AP) art, [27]). I 2 N bir uygun ideal olsun. I idealine ait kar³lkl ayrk ve saylabilir her {A n } n N cümleler ailesi için, A n B n (n N) sonlu cümle ve B = B n I n=1 ³artlarn sa layan saylabilir {B n } n N cümleler ailesi varsa, I ideali (AP) ³artn sa lar denir. imdi tek indisli fonksiyon dizilerinde ideal yaknsaklk tanmn verece iz. Tanm 2.4.12 ([23]). I 2 N bir uygun ideal, X bir cümle, (Y, ρ) bir metrik uzay, f : X Y ve f n : X Y, (n N) fonksiyonlar olsun. Her bir x X için I lim n f n (x) = f(x) ise (f n ) n N fonksiyon dizisi f fonksiyonuna noktasal I-yaknsaktr denir ve f n (x) I f(x) 12

ile gösterilir. Buna göre, (f n ) n N fonksiyon dizisi f fonksiyonuna noktasal I-yaknsak ise, ( x X) ( ε > 0) ( H I) ( n H) ρ(f n (x), f(x)) < ε önermesi sa lanr. (f n ) n N fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün I-yaknsakl ( ε > 0) ( H I) ( n H) ( x X) ρ(f n (x), f(x)) < ε ³eklinde tanmlanr ve f n (x) I f(x) ile gösterilir. 2.5. Çift Dizilerde deal ve deal Yaknsaklk Bu ksmda, çift dizilerde ideal yaknsaklk ile ilgili temel kavramlar ve tanmlar verilecektir. Biz burada, çift dizilerin ideal yaknsakl n genel olarak metrik uzaylar üzerinde inceleyece iz. Çift dizilerde çal³aca mz için, N üzerindeki I ideali ile kar³trlmamas amacyla N N üzerindeki bir ideali I 2 ile gösterece iz. Tanm 2.5.1 (Uygun ve Kuvvetli Uygun deal, [41]). N N üzerinde bir gerçek I 2 ideali, her bir i, j N için oluyorsa uygun ideal, {i, j} I 2 {i} N I 2 ve N {i} I 2 oluyorsa kuvvetli uygun ideal denir. Bir kuvvetli uygun ideal uygun idealdir. Biz bu çal³mamzda I 2 idealini kuvvetli uygun ideal olarak gözönüne alaca z. N N üzerinde, I2 0 = {A N N : ( m(a) N)(i, j m(a) (i, j) A)} idealini alalm. I2 0 bir kuvvetli uygun idealdir. Bir I 2 idealinin kuvvetli uygun ideal olmas için gerek ve yeter ³art I2 0 I 2 kapsamasnn geçerli bulunmasdr [41]. Tanm 2.5.2 (I 2 - Yaknsaklk, [41]). (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 2 N N bir gerçek ideal ve x = (x mn ) m,n N, X uzaynda bir çift dizi olsun. Her ε > 0 için A(ε) = {(m, n) N N : ρ(x mn, L) ε} I 2 13

önermesi sa lanyorsa x = (x mn ) çift dizisi L X noktasna I 2 -yaknsaktr denir ve ile gösterilir. I 2 lim x mn = L E er, I 2 ideali I 0 2 alnrsa, açk olarak ideal yaknsaklk Pringsheim anlamnda adi yaknsaklk ile, I δ 2 2 = {A N N : δ 2 (A) = 0} alnrsa, I δ 2 2 -yaknsaklk istatistiksel yaknsaklk ile çak³r. Tanm 2.5.3 (I 2- Yaknsaklk, [41]). (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 2 N N bir gerçek ideal ve x = (x mn ), X uzaynda bir çift dizi olsun. Bir M F(I 2 ) (yani H = N N/M I 2 ) için lim x mn = L (m,n) M oluyorsa, x = (x mn ) dizisi L X noktasna I 2-yaknsaktr denir ve ile gösterilir. I 2 lim x mn = L Teorem 2.5.1. [41, Teorem 1] I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal ve (X, ρ) bir metrik uzay olsun. E er, X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi için dir. I 2 lim x mn = L ise o zaman I 2 lim x mn = L Teorem 2.5.2. [41, Teorem 6] I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal ve (X, ρ) bir metrik uzay olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisini alalm. (a) E er, lim x mn = L ise o zaman I 2 lim x mn = L dir. (b) E er, I 2 lim x mn = L ve I 2 lim y mn = K ise o zaman, (i) I 2 lim (x mn + y mn ) = (L + K) ve (ii) I 2 lim (x mn y mn ) = LK e³itlikleri geçerlidir. Tanm 2.5.4 ((AP2) art, [41]). I 2 2 N N bir uygun ideal olsun. I 2 idealine ait kar³lkl ayrk ve saylabilir her {A n } n N cümleler ailesi için, A n B n I 0 2 (n N) 14

(yani her bir n N için A n B n cümlesi, N N cümlesinde satr ve sütunlarn sonlu bir birle³imi tarafndan kapsanr) ve B = B n I 2 n=1 ³artlarn sa layan saylabilir {B n } n N cümleler ailesi varsa, I 2 ideali (AP2) ³artn sa lar denir. Teorem 2.5.3. [41, Teorem 3] E er, I 2 2 N N (AP2) ³artn sa layan bir uygun ideal ve (X, ρ) bir metrik uzay ise o zaman X uzaynn bir x = (x mn ) çift dizisi için önermesi geçerlidir. I 2 lim x mn = L ise I2 lim x mn = L I 2 -yaknsak olan bir çift dizi snrl olmak zorunda de ildir. Örne in, I 2 idealini I 0 2 ideali olarak alalm. x = (x mn ) çift dizisini, x mn = { m, n = 1 1, n 1 ³eklinde tanmlarsak, açk olarak x = (x mn ) dizisi snrsz, fakat dir. I 0 2 lim x mn = 1 Tanm 2.5.5 (I 2 -Snrllk, [42]). Bir reel veya kompleks x = (x mn ) çift dizisi, bir reel M > 0 says için {(m, n) N N : x mn > M} I 2 önermesini sa lyorsa, I 2 -snrldr denir. Uyar 2.5.1 ([43]). I 2 -yaknsak olan her çift dizi I 2 -snrldr. için Tanm 2.5.6 (I 2 -Cauchy, [45]). x = (x mn ) bir çift dizi olsun. E er her ε > 0 {(m, n) N N : x mn x st ε} I 2 olacak ³ekilde s = s(ε), t = t(ε) N saylar varsa, x = (x mn ) çift dizisine I 2 -Cauchy dizi denir. 15

Tanm 2.5.7 (Regüler deal Yaknsaklk, [45]). I 2 2 N N ve I 2 N birer gerçek ideal olsun. Bir x = (x mn ) çift dizisi, e er l noktasna I 2 -yaknsak ve her ε > 0 için, i) Herbir n N ve baz L n C için {m N : x mn L n ε} I ve ii) Herbir m N ve baz K m C için {n N : x mn K m ε} I ³artlar sa lanyor ise, o zaman x = (x mn ) dizisi regüler ideal yaknsaktr denir ve ile gösterilir. r(i 2, I) lim x mn = l Tanm 2.5.8 ( deal Limit Noktas, [42]). I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal, (X, ρ) bir metrik uzay ve x = (x mn ), X uzaynda bir çift dizi ve L X olsun. Bir M N N ve M I 2 için P lim i,j i,j M x i,j = L oluyorsa, L noktasna x = (x mn ) çift dizisinin bir I 2 -limit noktasdr denir. 16

3. Ç FT D Z LERDE I 2 -YAKINSAKLIK VE I 2 -CAUCHY Bu bölümde, çift dizilerde Pringsheim ve regüler anlamda I 2, I 2-yaknsaklk ve Cauchy ile ilgili kavramlarla ilgilenece iz. [30] numaral çal³mada yaplan tart³malar çift diziler bakmndan ele alaca z. 3.1. deal Yaknsaklk Bu ksmda, bir çift dizinin I 2 -yaknsakl ile ilgili ayr³ma teoremini verece iz. Teorem 3.1.1. (X, ρ) bir lineer metrik uzay, I 2 2 N N, (AP2) ³artn sa layan bir kuvvetli uygun ideal, x = (x mn ), X uzaynda bir çift dizi ve L X olsun. Bu durumda a³a daki ³artlar denktir: (i) I 2 lim x mn = L, (ii) x = y + z olacak ³ekilde ve suppz = {(m, n) N N : z mn θ} I 2 lim ρ(y mn, L) = 0 ³artlarn sa layan y = (y mn ) ve z = (z mn ) dizileri X uzaynda mevcuttur. Burada, θ, X uzaynn sfr vektörünü göstermektedir. spat. (i) (ii) : I 2 lim x mn = L olsun. Bu durumda, I 2 ideali (AP2) ³artn sa layan bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, Teorem 2.5.3 gere i bir M F(I 2 ) (yani, H = N N\M I 2 ) için, lim ρ(x mn, L) = 0 (m,n) M olur. Her m, n N için, (3.1.1) ve y mn = { xmn, (m, n) M L, (m, n) N N\M. (3.1.2) z mn = x mn y mn, m, n N. olmak üzere, y = (y mn ) ve z = (z mn ) dizilerini tanmlayalm. Bu durumda, (3.1.1) e³itli inden, lim ρ(y mn, L) = 0 17

ve {(m, n) N N : x mn y mn } N N\M I 2 oldu undan, (3.1.2) e³itli i gere i, {(m, n) N N : z mn θ} I 2 önermesi sa lanr. Yine (3.1.2) e³itli inden, elde edilir. Bu da istenendir. ve x = y + z (ii) (i) : x = y + z olacak ³ekilde, suppz = {(m, n) N N : z mn θ} I 2 lim ρ(y mn, L) = 0 ³artlarn sa layan y = (y mn ) ve z = (z mn ) dizileri X uzaynda mevcut olsun. N N çarpmnn bir M alt cümlesini, olarak tanmlayalm. M = {(m, n) N N : z mn = θ} supp z = {(m, n) N N : z mn θ} I 2 oldu undan, M F (I 2 ) ve (m, n) M için x mn = y mn olup, bulunur ki, bu ise lim ρ(x mn, L) = 0 (m,n) M I 2 oldu unu gösterir. Teorem 2.5.1 gere i, lim x mn = L I 2 elde edilir. Bu da, ispat tamamlar. lim x mn = L Sonuç 3.1.1. I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal ve (X, ρ) bir metrik uzay olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisini ve L X alalm. olmas için gerek ve yeter ³art I 2 lim x mn = L lim ρ(y mn, L) = 0 ve I 2 lim z mn = θ 18

olmak üzere, (3.1.3) x mn = y mn + z mn e³itli ini sa layan, y = (y mn ), z = (z mn ) çift dizilerinin X uzaynda bulunmasdr. spat. I 2 lim x mn = L oldu unu kabul edelim. z = (z mn ) dizisi (3.1.2) e³itli i ve y = (y mn ) dizisi (3.1.1) e³itli i ile tanmlansn. O zaman, lim y mn = L ve dolaysyla da I 2 bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, I 2 lim y mn = L oldu u açk olarak görülür. Teorem 2.5.2 gere i ve (3.1.2) e³itli inden elde edilir. Tersine, I 2 lim z mn = θ lim ρ(y mn, L) = 0 ve I 2 lim z mn = θ mn olmak üzere, (3.1.3) e³itli ini alalm. I 2 bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, I 2 lim y mn = L olup, Teorem 2.5.2 gere i ve (3.1.3) e³itli inden, bulunur. I 2 lim x mn = L Uyar 3.1.1. Teorem 3.1.1' in ispatnda, e er (ii) sa lanrsa, o zaman I 2 idealinin (AP2) özelli ini sa lamasna ihtiyaç duyulmaz. Gerçekten de; I 2, (AP2) özelli ine sahip olmayan bir kuvvetli uygun ideal olmak üzere, (3.1.4) x mn = y mn + z mn, olsun. I 2 bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, lim ρ(y mn, L) = 0 ve supp z I 2 ve ε > 0 için, I 2 lim y mn = L {(m, n) N N : ρ(z mn, 0) ε} {(m, n) N N : z mn θ} I 2 oldu undan, I 2 lim z mn = θ 19

olup, (3.1.4) e³itli inden, I 2 lim x mn = L elde edilir. 3.2. deal Cauchy Bu ksmda, I 2 -Cauchy ve I2-Cauchy dizi kavramlarn inceleyece iz. Tanm 3.2.1. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2 2 N N kuvvetli uygun ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisini alalm. Her ε > 0 says için (m, n), (s, t) M ve m, n, s, t > k 0 = k 0 (ε) oldu unda, ρ(x mn, x st ) < ε olacak ³ekilde bir M F(I 2 ) (yani H = N N\M I 2 ) cümlesi ve k 0 = k 0 (ε) do al says varsa, x = (x mn ) çift dizisi X uzaynda I2-Cauchy dizisidir denir. Teorem 3.2.1. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal olsun. E er, X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi I2-Cauchy dizi ise I 2 -Cauchy dizisidir. spat. x = (x mn ) çift dizisi I2-Cauchy dizi olsun. Bu durumda her ε > 0 ve (m, n), (s, t) M için m, n, s, t > k 0 = k 0 (ε) oldu unda, ρ(x mn, x st ) < ε e³itsizli ini sa layan bir M F(I 2 ) (yani H = N N\M I 2 ) cümlesi vardr. Buradan, A(ε) = {(m, n) N N : ρ(x mn, x st ) ε} H [ M ( ({1, 2, 3,..., (k 0 1)} N) (N {1, 2, 3,..., (k 0 1)}) )] elde edilir. I 2 bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, H [ M ( ({1, 2, 3,..., (k 0 1)} N) (N {1, 2, 3,..., (k 0 1)}) )] I 2 olup, idealin tanmndan A(ε) I 2 oldu u görülür. Bu da, x = (x mn ) çift dizisinin I 2 -Cauchy dizi olmas demektir. Teorem 3.2.2. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2 2 N N bir kuvvetli uygun ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi I 2 -yaknsak ise I 2 -Cauchy dizisidir. 20

spat. x = (x mn ) çift dizisi L noktasna I 2 -yaknsak olsun. Bu durumda ε > 0 için ( ε { A = (m, n) N N : ρ(x mn, L) 2) ε } I 2 2 olur. I 2 bir kuvvetli uygun ideal oldu undan, ( ε ) { A c = (m, n) N N : ρ(x mn, L) < ε } 2 2 cümlesi bo³tan farkldr ve F(I 2 ) snfna aittir. A( ε ) cümlesine ait olmayan pozitif 2 k, l saylar için, olur. imdi, cümlesini tanmlayarak, oldu unu ispatlayalm. ρ(x kl, L) < ε 2 B(ε) = {(m, n) N N : ρ(x mn, x kl ) ε} ( ε B(ε) A 2) (m, n) B(ε) alalm. Bu durumda (k, l) A ( ε 2) için ε ρ(x mn, x kl ) ρ(x mn, L) + ρ(x kl, L) < ρ(x mn, L) + ε 2 elde edilir. Bu ise, ε 2 < ρ(x mn, L) ve dolaysyla (m, n) A( ε ) oldu unu gösterir. Buna göre, 2 kapsamas geçerlidir. B(ε) A( ε 2 ) A( ε 2 ) I 2 oldu undan ve idealin tanmndan B(ε) I 2 olup, bu ise x = (x mn ) çift dizisinin I 2 -Cauchy dizi oldu unu gösterir. Teorem 3.2.3. I 2 2 N N, (AP2) ³artn sa layan bir kuvvetli uygun ideal, F(I 2 ), I 2 idealine kar³lk gelen süzgeç ve {P i } i=1, N N cümlesinin alt cümlelerinin bir saylabilir ailesi olmak üzere, {P i } i=1 F(I 2 ) olsun. O zaman tüm i' ler için P \P i cümleleri sonlu adette satr ve sütunlardan olu³an ve P F(I 2 ) olan bir P N N cümlesi vardr. spat. A 1 = N N\P 1 ve A m = (N N\P m )\(A 1 A 2... A m 1 ), (m = 2, 3,...) alalm. Her i için A i I 2 ve i j için A i A j = oldu u açktr. (AP2) ³artndan, A j B j I 0 2, yani her bir j N için A j B j cümlesi, N N cümlesinde satr ve sütunlarn sonlu bir birle³imi tarafndan kapsanan ve B = j=1 B j I 2 olan saylabilir bir {B 1, B 2,...} cümleler ailesi vardr. E er, P = N N\B alnrsa o zaman P F(I 2 ) olur. 21

imdi de her bir i için P \P i cümlelerinin sonlu adette satr ve sütunlardan olu³tu unu gösterelim. Bir j 0 N için P \P j0 cümlesinin sonlu adette satr ve sütunlardan ibaret olmad n kabul edelim. A j B j, (j = 1, 2, 3,..., j 0 ) satr ve sütunlarn sonlu bir birle³imi tarafndan kapsand ndan, olmak üzere, (3.2.1) C m0 n 0 = {(m, n) : m m 0 n n 0 } ( j0 ) ( j0 ) B j C m0 n 0 = A j C m0 n 0 j=1 e³itli ini sa layan m 0, n 0 N saylar vardr. E er, m m 0 n n 0 ve (m, n) B ise o zaman, ve (3.2.1) e³itli inden (m, n) (m, n) j=1 j 0 B j j=1 j 0 A j olur. A j0 = (N N\P j0 )\ j 0 1 j=1 A j ve (m, n) A j0, (m, n) j 0 1 j=1 A j oldu undan, m m 0, n n 0 için (m, n) P j0 bulunur. Böylece, tüm m m 0, n n 0 için (m, n) P ve (m, n) P j0 elde edilir. Bu ise, P \P j0 cümlesinin sonlu satr ve sütundan olu³tu unu gösterir ki, bu da kabulümüzle çeli³ir. j=1 Teorem 3.2.4. (X, ρ) bir lineer metrik uzay olsun. I 2 2 N N, (AP2) ³artna sahip bir kuvvetli uygun ideal ise I 2 -Cauchy dizi ile I 2-Cauchy dizi kavramlar çak³r. spat. (AP2) ³artna ihtiyaç duymadan Teorem 3.2.1 gere i bir çift dizi, I 2-Cauchy dizi ise I 2 -Cauchy dizi oldu unu gösterdik. imdi, X uzayndaki I 2 -Cauchy olan bir çift dizinin I 2-Cauchy dizi oldu unu gösterelim. x = (x mn ), I 2 -Cauchy dizi olsun. Tanmdan, her ε > 0 için A(ε) = {(m, n) N N : ρ(x mn, x st ) ε} I 2 önermesini sa layan s = s(ε), t = t(ε) N saylar vardr. s i = s(1\i), t i = t(1\i) olmak üzere, P i = {(m, n) N N : ρ(x mn, x si t i ) < 1\i}, (i = 1, 2,...) alalm. i = 1, 2,... için P i F(I 2 ) oldu u a³ikardr. I 2, (AP2) ³artn sa layan kuvvetli uygun ideal oldu undan, Teorem 3.2.3 gere ince her bir i = 1, 2,... için P \P i cümleleri sonlu adette satr ve sütunlardan olu³an ve P F(I 2 ) olan bir P N N cümlesi vardr. 22

ε > 0 ve j > 2 olacak ³ekilde j N alalm. E er, (m, n), (s, t) P ise o zaman, ε P \P i sonlu satr ve sütundan ibaret olan bir cümle oldu undan, m, n, s, t > k(j) iken (m, n), (s, t) P j m, n, s, t > k(j) için, olacak ³ekilde k = k(j) says vardr. Bu durumda, tüm ρ(x mn, x sj t j ) < 1 j ve ρ(x st, x sj t j ) < 1 j e³itsizlikleri sa lanr. Böylece, m, n, s, t > k(j) için, ρ(x mn, x st ) ρ(x mn, x sj t j ) + ρ(x st, x sj t j ) < 1 j + 1 j = 2 j < ε elde edilir. Buradan, her ε > 0 için (m, n), (s, t) P ve m, n, s, t > k(ε) oldu unda ρ(x mn, x st ) < ε e³itsizli ini sa layacak ³ekilde bir k = k(ε) says mevcuttur. Bu ise x = (x mn ) X dizisinin I2-Cauchy dizisi oldu unu gösterir. 3.3. Regüler Anlamda deal Yaknsaklk ve deal Cauchy Bu ksmda, çift dizilerde r(i 2, I )-yaknsaklk, r(i 2, I)-Cauchy dizi ve r(i 2, I )- Cauchy dizi tanmlar ve ilgili teoremler verilecektir. Tanm 3.3.1. I 2, N N cümlesinde ve I, N cümlesinde birer gerçek ideal ve (X, ρ) bir lineer metrik uzay olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi için her bir n N için ve her bir m N için lim x mn, (m,n) M lim m m M 1 x mn lim n n M 2 x mn limitleri mevcut olacak ³ekilde M F(I 2 ) ve M 1, M 2 F(I) cümleleri varsa, x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I )-yaknsaktr (regüler anlamda I 2-yaknsak) denir. Teorem 3.3.1. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2, N N cümlesinde kuvvetli uygun ve I, N cümlesinde uygun ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I )-yaknsak ise r(i 2, I)-yaknsaktr. 23

spat. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi L noktasna r(i 2, I )-yaknsak olsun. Bu durumda, x = (x mn ) çift dizisi L noktasna I 2-yaknsaktr. Teorem 2.5.1 gere i x = (x mn ) çift dizisi I 2 -yaknsaktr. x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I )-yaknsak oldu undan, her bir n N için ve her bir m N için lim m m M 1 x mn lim n n M 2 x mn limitleri mevcut olacak ³ekilde M 1, M 2 F(I) cümleleri vardr. Bu durumda, ε > 0 için m M 1 oldu unda, her m m 0 için ρ(x mn, L n ) < ε, (n N) ve n M 2 oldu unda, n n 0 için ρ(x mn, K m ) < ε, (m N) olacak ³ekilde m 0, n 0 N ve L n, K m X elemanlar vardr. Buradan, H 1 = N \ M 1, H 2 = N \ M 2 I için, ve A 1 (ε) = {m N : ρ(x mn, L n ) ε} H 1 {1, 2,..., (m 0 1)}, (n N) A 2 (ε) = {n N : ρ(x mn, K m ) ε} H 2 {1, 2,..., (n 0 1)}, (m N) kapsamalar geçerlidir. I bir uygun ideal oldu undan, ve dolaysyla, H 1 {1, 2,..., (m 0 1)} I ve H 2 {1, 2,..., (n 0 1)} I A 1 (ε) I ve A 2 (ε) I elde edilir ki, bu da ispat tamamlar. Tanm 3.3.2. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2, N N cümlesinde ve I, N cümlesinde birer gerçek ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisini alalm. E er, x = (x mn ) dizisi I 2 -Cauchy ve her ε > 0 için, A 1 (ε) = {m N : ρ(x mn, x knn) ε} I, (n N) ve A 2 (ε) = {n N : ρ(x mn, x mlm ) ε} I, (m N) önermelerini sa layan k n = k n (ε), l m = l m (ε) N saylar varsa, x = (x mn ) çift dizisine r(i 2, I)-Cauchy (regüler anlamda I 2 -Cauchy) dizi denir. 24

Tanm 3.3.3. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2, N N cümlesinde ve I, N cümlesinde birer gerçek ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisini alalm. Her ε > 0 için (m, n), (s, t) M ve m, n, s, t > N = N(ε) oldu unda, ρ(x mn, x st ) < ε, m M 1 olan m saylar için ρ(x mn, x knn) < ε, (n N) ve n M 2 olan n saylar için ρ(x mn, x mlm ) < ε, (m N) e³itsizliklerini sa layan M F(I 2 ) ve M 1, M 2 F(I) cümleleri mevcut ve s = s(ε), t = t(ε), k n = k n (ε), l m = l m (ε) ve N(ε) saylar varsa, x = (x mn ) çift dizisine r(i2, I )-Cauchy (regüler anlamda I2-Cauchy) dizi denir. Teorem 3.3.2. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2, N N cümlesinde kuvvetli uygun ve I, N cümlesinde uygun ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi r(i2, I )-Cauchy dizi ise r(i 2, I)-Cauchy dizisidir. spat. x = (x mn ) çift dizisi r(i2, I )-Cauchy dizi olsun. Bu durumda, x = (x mn ) çift dizisi I2-Cauchy dizisidir. Teorem 3.2.1 gere i x = (x mn ) çift dizisinin I 2 -Cauchy dizi oldu unu gösterdik. x = (x mn ) çift dizisi r(i2, I )-Cauchy dizi oldu undan ε > 0 için m M 1, n M 2 ve m, n > N = N(ε) oldu unda, ρ(x mn, x knn) < ε, (n N) ve ρ(x mn, x mlm ) < ε, (m N) e³itsizliklerini sa layan M 1, M 2 F(I) cümleleri mevcut ve k n = k n (ε), l m = l m (ε), N(ε) saylar vardr. Buradan, H 1 = N \ M 1, H 2 = N \ M 2 I için, A 1 (ε) = {m N : ρ(x mn, x knn) ε} H 1 {1, 2,..., (N 1)}, (n N) ve A 2 (ε) = {n N : ρ(x mn, x mlm ) ε} H 2 {1, 2,..., (N 1)}, (m N) kapsamalar geçerlidir. I bir uygun ideal oldu undan, H 1 {1, 2,..., (N 1)} I ve H 2 {1, 2,..., (N 1)} I 25

ve dolaysyla A 1 (ε) I ve A 2 (ε) I elde edilir ki, bu da x = (x mn ) çift dizisinin r(i 2, I)-Cauchy dizi oldu unu gösterir. Teorem 3.3.3. (X, ρ) bir lineer metrik uzay ve I 2, N N cümlesinde kuvvetli uygun ve I, N cümlesinde uygun ideal olsun. X uzaynda bir x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I)-yaknsak ise r(i 2, I)-Cauchy dizisidir. spat. x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I)-yaknsak olsun. Teorem 3.2.2 gere i x = (x mn ) çift dizisinin I 2 -yaknsak iken I 2 -Cauchy oldu unu gösterdik. x = (x mn ) çift dizisi r(i 2, I)-yaknsak oldu undan, her ε > 0 için, i) Herbir n N ve baz L n X için ( ε ) { A 1 = m N : ρ(x mn, L n ) ε } I, 2 2 ii) Herbir m N ve baz K m X için ( ε ) { A 2 = n N : ρ(x mn, K m ) ε } I 2 2 önermeleri geçerlidir. I uygun ideal oldu undan, ( ε = 2) A c 1 { m N N : ρ(x mn, L n ) < ε 2 }, (n N) ve A c 2 ( ε = 2) { n N N : ρ(x mn, K m ) < ε }, (m N) 2 cümleleri bo³tan farkldr ve F(I) snfna aittir. n N için A 1 ( ε 2) cümlesine ait olmayan pozitif k n says için, ρ(x knn, L n ) < ε 2, (n N) olur. imdi k n = k n (ε) olmak üzere, her bir n N için B 1 (ε) = {m N N : ρ(x mn, x knn) ε} cümlesini tanmlayarak, B 1 (ε) A 1 ( ε 2 ) oldu unu ispatlayalm. m B 1 (ε) alalm. Bu durumda, k n A 1 ( ε 2) için ε ρ(x mn, x knn) ρ(x mn, L n ) + ρ(x knn, L n ) < ρ(x mn, L n ) + ε 2 elde edilir. Bu ise, ε 2 < ρ(x mn, L n ) 26

( ve dolaysyla m A ε 1 2) oldu unu gösterir. Buna göre, ( ε ) B 1 (ε) A 1 2 kapsamas geçerlidir. ( Benzer ³ekilde, m N için A ε 2 2) cümlesine ait olmayan pozitif lm says için ρ(x mlm, K m ) < ε 2, (m N) elde edilir. Buradan, l m = l m (ε) olmak üzere her bir m N için B 2 (ε) = {m N N : ρ(x mn, x mlm ) ε} cümlesini tanmlayarak, ( ε B 2 (ε) A 2 2 kapsamasnn geçerli oldu u gösterilebilir. Bu ise ispat tamamlar. ) 27

4. SINIRLI I 2 -YAKINSAK Ç FT D Z LER N ÇARPAN UZAYLARI Bu bölümde, tek dizilerdeki istatistiksel yaknsaklk ve I-yaknsaklk ile ilgili [21] ve [31] numaral çal³malarda yaplan tart³malar çift dizilerde I 2 -yaknsaklk bakmndan ele alaca z. N do al saylarn bir A alt cümlesinin karakteristik fonksiyonu χ A ile gösterilir. (x mn ) = χ A (m, n) olmak üzere, χ A ile (x mn ) dizisini tanmlayaca z. c 2 0(b), c 2 (b) ve l 2 ile, srasyla, tüm sfra yaknsak ve snrl, yaknsak ve snrl ile snrl çift dizilerin cümlesini gösterece iz. Ayrca, F I2, F I2 (b) ve FI 0 2 (b) ile, srasyla, tüm I 2 - yaknsak, I 2 -yaknsak ve snrl ve sfra I 2 -yaknsak ve snrl çift dizilerin cümlesini gösterece iz. 4.1. Çarpan Uzaylar Bu ksmda, iki çift dizi uzaylar için çarpan dizi uzaylar ile ilgilenece iz. Tanm 4.1.1. E ve F iki çift dizi uzay olsun. Her x = (x mn ) E için ux = (u mn x mn ) F ³artn sa layan u = (u mn ) dizisine E uzayndan F uzayna bir çarpan dizisi denir. Böyle tüm çarpanlarn lineer uzayn m(e, F ) ve tüm snrl çarpanlar ise M(E, F ) ile tanmlayalm. Bu durumda, açk olarak M(E, F ) = l 2 m(e, F ) e³itli i sa lanr. E er E = F ise bu durumda, m(e, F ) ve M(E, F ) yerine, srasyla, m(e) ve M(E) cümlelerini alaca z. Burada biz, F I2 (b) ve FI 0 2 (b) uzaylarn ihtiva eden çarpan uzaylaryla ilgilenece iz. Teorem 4.1.1. c 2 0(b) uzayn kapsayan ve l 2 uzaynn alt cümleleri olan E ve F çift dizi uzaylar için, c 2 0(b) m(e, F ) l 2 kapsamalar geçerlidir. spat. Önce ilk kapsamann do rulu unu gösterelim. u c 2 0(b) E ve x l 2 alrsak, ux c 2 0(b) F elde edilir. Bu ise, c 2 0(b) m(e, F ) 28

kapsamasnn geçerli oldu unu gösterir. imdi de ikinci kapsamann geçerli oldu unu gösterelim. u = (u mn ) l 2 olsun. Bu durumda, u mi,n j > (ij) 2 olacak ³ekilde (m i ), (n j ) artan dizileri mevcuttur. (4.1.1) x ij = { 1 ij, i = m i, j = j n 0, di er durumlarda çift dizisini tanmlayalm. Bu durumda, olup, i = m i, j = n j için x c 2 0(b) E (4.1.2) u ij x ij > ij olaca ndan ux l 2 bulunur. F l 2 kapsamas geçerli oldu undan, ux F ve böylece, u m(e, F ) elde edilir. Bu ise, m(e, F ) l 2 kapsamasnn geçerli oldu unu gösterir. Teorem 4.1.2. I 2, N N cümlesinde bir kuvvetli uygun ideal olsun. Bu durumda, (i) m(fi 0 2 (b)) = M(FI 0 2 (b)) = l 2 ve (ii) m(f I2 (b)) = F I2 (b) e³itlikleri geçerlidir. spat. (i) m(fi 0 2 (b))= l 2 oldu unu gösterece iz. Teorem 4.1.1 gere i, oldu u açktr. m(f 0 I 2 (b)) l 2 l 2 m(f 0 I 2 (b)) kapsamann geçerli oldu unu gösterelim. u l 2 ve z F 0 I 2 (b) alalm. Bu durumda, {(m, n) N N : u mn z mn ε} { (m, n) N N : z mn 29 } ε u + 1

kapsamas geçerlidir. z F 0 I 2 (b) oldu undan, olup, ideal özelli inden { (m, n) N N : z mn } ε I 2 u + 1 {(m, n) N N : u mn z mn ε} I 2 elde edilir. u, z l 2 oldu undan uz çarpm dizisi snrldr ve böylece l 2 m(fi 0 2 (b)) kapsamas geçerlidir. (ii) Bütün terimleri 1 olan e = (1) çift dizisi F I2 (b) uzaynn elemandr. u m(f I2 (b)) için ue = u F I2 (b) olaca ndan m(f I2 (b)) F I2 (b) kapsamasnn geçerli oldu u görülür. u F I2 (b) ise o zaman her x F I2 (b) için Teorem 2.5.2 gere i, ux F I2 (b) elde edilir. Bu ise u m(f I2 (b)) demektir. Böylece, F I2 (b) m(f I2 (b)) kapsamasnn geçerli oldu u görülür. Lemma 4.1.1. l 2 = m(c 2 0(b)) e³itli i geçerlidir. spat. x c 2 0(b) ve θ u l 2 alalm. Bu durumda, ve her ε > 0 için m, n > k 0 oldu unda u = sup u mn <, m,n N x = sup x mn < m,n N x mn < ε u 30

e³itsizli i sa layan bir k 0 = k 0 (ε) N vardr. z = ux olsun. z = sup z mn m,n N oldu undan z snrl ve m, n > k 0 için olaca ndan z c 2 0(b) bulunur. Buradan, kapsamas geçerlidir. = sup u mn x mn m,n N sup u mn sup x mn m,n N m,n N < u mn x mn = u mn x mn < u ε u = ε l 2 m(c 2 0(b)) u = (u mn ) l 2 olsun. Bu durumda, u mi,n j > (ij) 2 olacak ³ekilde (m i ), (n j ) artan dizileri mevcuttur. x = (x ij ) çift dizisini (4.1.1) e³itli inde oldu u gibi tanmlayalm. x c 2 0(b) olup, (4.1.2) gere i, ux c 2 0(b) bulunur. Böylece, u m(c 2 0(b)) elde edilir. Bu ise, m(c 2 0(b)) l 2 kapsamasnn geçerli oldu unu gösterir. Teorem 4.1.3. I 2, N N cümlesinde bir kuvvetli uygun ideal olsun. Bu durumda, c 2 0(b) m(f I2 (b), c 2 (b)) c 2 (b) kapsamalar geçerlidir. spat. u c 2 0(b) ve x F I2 (b) l 2 için Lemma 4.1.1 gere i benzer tart³malarla, ux c 2 0(b) c 2 (b) 31

kapsamas geçerli oldu undan c 2 0(b) m(f I2 (b), c 2 (b)) kapsamas elde edilir. e = (1) F I2 (b) olup, u m(f I2 (b), c 2 (b)) için ue = u c 2 (b) olaca ndan, kapsamas geçerlidir. m(f I2 (b), c 2 (b)) c 2 (b) Teorem 4.1.4. I 2, N N cümlesinde bir kuvvetli uygun ideal olsun. Bu durumda, (i) c 2 (b), F I2 (b) uzaynn bir öz alt cümlesi ise m(f I2 (b), c 2 (b)) = c 2 0(b), (ii) m(c 2 (b), F I2 (b)) = F I2 (b) önermeleri geçerlidir. spat. (i) Teorem 4.1.3 gere i, oldu unu biliyoruz. u c 2 (b)\c 2 0(b) için, oldu unu gösterelim. Bu durumda, c 2 0(b) m(f I2 (b), c 2 (b)) u m(f I2 (b), c 2 (b)) lim u mn = l 0 olacak ³ekilde l says mevcuttur. z F I2 (b) \ c 2 (b) için olsun. Böylece, ε > 0 için olur. x = (x mn ) dizisini, z I2 1 A = {(m, n) N N : z mn 1 ε} I 2 x mn = χ A c(m, n) olarak tanmlayalm. x dizisi snrl ve 1 noktasna I 2 -yaknsak oldu undan, x F I2 (b) elde edilir. Ayrca, xu çarpm dizisi, A c boyunca l 0 noktasna ve A boyunca 0 naktasna yaknsak oldu undan, xu c 2 (b) olup, u m(f I2 (b), c 2 (b)) 32