Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Konu Anlatımı Pratik Bilgiler Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları Çıkmış Sorular ve Açıklamaları
Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 9786053188483 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 37. Baskı: 2017, Ankara YayınProje: Özge Işıkcı DizgiGrafik Tasarım: Vedat Hancı Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net Eileti: pegem@pegem.net
SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Matematik kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK Temel Kavramlar, Sayılar, BölmeBölünebilme Kuralları, Asal Çarpanlara Ayırma EBOB EKOK, Birinci Dereceden Denklemler, Rasyonel Sayılar, Üstlü Sayılar, Köklü Sayılar, Çarpanlara Ayırma, Eşitsizlik Mutlak Değer, Oran Orantı, Problemler, Kümeler, Fonksiyon İşlem Modüler Aritmetik, Permütasyon Kombinasyon Olasılık Tablo ve Grafikler bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, çıkmış sorular çözümlü testler ve cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS de ve meslek hayatınızda başarılar. Editörler: Kenan Osmanoğlu Kerem Köker
İÇİNDEKİLER TEMEL KAVRAMLAR Küme...3 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı...3 Kümelerin Gösterilişi...3 Boş Küme...4 Sayı Kümeleri...4 Tek Çift Tamsayılar...5 Tam Sayılarda İşlemler...5 İşlem Önceliği...8 Rasyonel Sayılar...8 Rasyonel Sayılarda İşlemler...8 Harfli İfadeler...9 Denklemler...10 Çözüm Kümesi Bulma...10 İkili...12 Sıralama...12 Eşitsizlik...13 Oran Orantı...13 Ortak Paranteze Alma...14 Çözümlü Test 1...15 Cevaplı Test 1...19 Cevaplı Test 2...21 SAYILAR Rakam...25 Sayı...25 Doğal Sayılar...26 Tam Sayılar...29 Tek ve Çift Tam Sayılar...31 Pozitif ve Negatif Sayılar...33 Çözümlü Test...35 Ardışık Sayılar...39 Basamak Analizi...44 Çözümleme...50 Çözümlü Test...53 Asal Sayı...57 Aralarında Asal Sayılar...58 Faktöriyel...59 Çözümlü Test...63 Cevaplı Test 1...67 Cevaplı Test 2...69 Cevaplı Test 3...71 Cevaplı Test 4...73 Cevaplı Test 5...75 Cevaplı Test 6...77 Çıkmış Sorular...79 BÖLMEBÖLÜNEBİLME KURALLARI Bölme...85 Çözülmü Test...90 Bölünebilme Kuralları...95 2 ile Bölünebilme...95 3 ile Bölünebilme...95 4 ile Bölünebilme...95 5 ile Bölünebilme...96 7 ile Bölünebilme...97 8 ile Bölünebilme...97 9 ile Bölünebilme...98 10 ile Bölünebilme...99 11 ile Bölünebilme...99 Çözümlü Test...101 Cevaplı Test 1...105 Cevaplı Test 2...107 Çıkmış Sorular...109 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB EKOK Asal Çarpanlara Ayırma... 113 Bir Tam Sayının Bölenleri... 114 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı... 116 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)... 117 En Küçük Ortak Kat (EKOK)...120 Çözümlü Test...125 Cevaplı Test 1...129 Cevaplı Test 2...131 Cevaplı Test 3...133 Çıkmış Sorular...135 BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 139 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler... 141 Denklem Sistemi...142 Yok Etme Metodu...142 Yerine Koyma Metodu...143 Özel Denklemler...144 Çözümlü Test...147 Cevaplı Test 1...151 Cevaplı Test 2...153 Çıkmış Sorular...155 v
İçindekiler RASYONEL SAYILAR Rasyonel Sayılar...159 Kesir ve Kesir Türleri...159 Kesir...159 Basit Kesir...159 Bileşik Kesir...159 Tam Sayılı Kesir...160 Sabit Kesir...160 Denk Kesir...161 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem...162 Toplama İşlemi...162 Çıkarma İşlemi...162 Çarpma İşlemi...162 Bölme İşlemi...162 Kuvvet Alma...163 İşlem Önceliği...163 Ondalık Kesirler...165 Ondalık Sayılarda Dört İşlem...166 Devirli Ondalık Açılımlar...168 Rasyonel Sayılarda Sıralama...170 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma... 172 Çözümlü Test 1...173 Çözümlü Test 2...177 Cevaplı Test 1...181 Cevaplı Test 2...183 Çıkmış Sorular...185 EŞİTSİZLİK Basit Eşitsizlikler...189 Özellikleri...189 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları...192 Kapalı Aralık...192 Yarı Açık Aralık...192 Açık Aralık...193 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler... 193 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi...194 Çözümlü Test...197 Cevaplı Test 1...201 Cevaplı Test 2...203 Çıkmış Sorular...205 MUTLAK DEĞER Mutlak Değer...209 Özellikleri...210 Çözümlü Test...216 Cevaplı Test...220 Çıkmış Sorular...222 ÜSTLÜ SAYILAR Özellikleri...225 Üstlü Sayılarda Dört İşlem...227 Toplama Çıkarma...227 Çarpma...228 Bölme...229 Üstlü Sayılarda Denklemler...231 Üstlü Sayılarda Eşitsizlikler ve Sıralama...233 Çözümlü Test 1...235 Çözümlü Test 2...239 Cevaplı Test 1...243 Cevaplı Test 2...245 Çıkmış Sorular...247 KÖKLÜ SAYILAR Köklü Sayılar...251 Köklü Sayıların Özellikleri...251 Köklü Sayılarda Dört İşlem...255 ToplamaÇıkarma...255 Çarpma...256 Bölme...257 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması... 259 Eşlenik...260 İç İçe Sonlu Kökler...262 İç İçe Sonsuz Kökler...263 A 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması...265 Köklü Sayılarda Sıralama...267 Köklü Sayılarda Denklem Çözme...268 Çözümlü Test...269 Cevaplı Test 1...273 Cevaplı Test 2...275 Çıkmış Sorular...277 vi
İçindekiler ÇARPANLARA AYIRMA Çarpanlara Ayırma...281 Ortak Parantez Yöntemi...281 Gruplandırma Yöntemi...281 ax 2 +bx+c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...282 Özdeşlikler...284 İki Kare Farkı...284 Tam Kare İfadeler...286 III. Dereceden Özdeşlikler...289 Çözümlü Test 1...291 Çözümlü Test 2...295 Cevaplı Test 1...299 Cevaplı Test 2...301 Çıkmış Sorular...303 ORAN ORANTI Oran...309 Orantı...309 Orantının Özellikleri...309 Orantı Türleri...312 Doğru Orantı...312 Ters Orantılı Çokluklar...313 Bileşik Orantı...315 Ortalamalar...316 Aritmetik Ortalama...316 Geometrik Ortalama...317 Çözümlü Test 1...319 Çözümlü Test 2...323 Cevaplı Test 1...327 Cevaplı Test 2...329 Çıkmış Sorular...331 PROBLEMLER Denklem Kurma Problemleri...335 Çözümlü Test 1...343 Çözümlü Test 2...349 Çözümlü Test 3...351 Yaş Problemleri...355 Çözümlü Test...358 Yüzde Problemleri...362 Faiz Problemleri...364 Kâr Zarar Problemleri...365 Karışım Problemleri...377 Çözümlü Test...380 İşçi Problemleri...384 Havuz Problemleri...386 Çözümlü Test...389 Hareket Problemleri...393 Çözümlü Test...399 Cevaplı Test 1...403 Cevaplı Test 2...405 Cevaplı Test 3...407 Cevaplı Test 4...409 Cevaplı Test 5... 411 Cevaplı Test 6...413 Cevaplı Test 7...415 Cevaplı Test 8...417 Çıkmış Sorular...419 KÜMELER Küme...431 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı...431 Kümelerin Gösterimi...431 Küme Çeşitleri...432 Kümelerde İşlemler...433 Alt Küme...437 Küme Problemleri...439 Çözümlü Test...441 Cevaplı Test...445 Çıkmış Sorular...447 FONKSİYON İŞLEM MODÜLER ARİTMETİK Bağıntı...451 Fonksiyon...451 Test Fonksiyon...455 Bileşke Fonksiyon...457 İşlem...457 İşlem Tabloları...460 İşlemin Özellikleri...460 Modüler Aritmetik...464 Modüler Aritmetiğin Özellikleri...464 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü...469 vii
İçindekiler Çözümlü Test 1...471 Çözümlü Test 2...475 Cevaplı Test 1...480 Cevaplı Test 2...482 Çıkmış Sorular...484 PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK Saymanın Temel Kuralları...489 Toplama Kuralı...489 Çarpma Yolu ile Sayma...489 Saymanın Temel İlkesi...489 Permütasyon (Sıralama)...491 Tekrarlı Permütasyon...492 Dairesel Permütasyon...494 Kombinasyon (Gruplama)...495 Olasılık...500 Olasılık Fonksiyonu...501 Olasılık Hesabı...501 Koşullu Olasılık...505 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık...506 Çözümlü Test 1...507 Çözümlü Test 2... 511 Çözümlü Test 3...515 Cevaplı Test 1...519 Cevaplı Test 2...521 Çıkmış Sorular...523 TABLO VE GRAFİKLER Tablo ve Yorumlama...527 Grafik ve Yorumlama...531 Çizgi Grafik...531 Sütun Grafiği...533 Daire Grafiği...533 Çözümlü Test 1...536 Çözümlü Test 2...539 Cevaplı Test 1...543 Cevaplı Test 2...546 Çıkmış Sorular...548 viii
TEMEL KAVRAMLAR KÜME KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ BOŞ KÜME 2006 2007 Yıllara Göre Çıkmış Soru Analizleri SAYI KÜMELERİ TEK ÇİFT TAMSAYILAR 2008 TAM SAYILARDA İŞLEMLER İŞLEM ÖNCELİĞİ RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 2009 2010 DENKLEMLER ÇÖZÜM KÜMESI BULMA 2011 İKİLİ SIRALAMA 2012 EŞİTSİZLİK ORAN ORANTI 2013 ORTAK PARANTEZE ALMA 2017 2016 2015 2014 Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse neden? demeyecek. John Von Neumann
Temel Kavramlar Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E, gibi büyük harflerle isimlendirilir. Pegem kelimesinin harfleri bir küme oluşturur. Haftanın bazı günleri cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler! sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise g sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan nesne veya varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir. Bir A kümesinin n tane elemanı varsa s(a) = n şeklinde gösterilir. 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1! A 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2 g A şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1) Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına, konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. ÖRNEK A = {a, b, {c}, {d, e}, f} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a! A, b! A, " c,! A, " de,,! A, f! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s(a) = 5 bulunur. UYARI Bir küme yazılırken eğer yazılan elemanlar arasında aynı olanlar varsa bu elemanlar kümeye bir kez yazılır. ÖRNEK PEGEM kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: PEGEM kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla sa ( ) = 4 bulunur. ÖRNEK A = " Kerem, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s(a) = 1 bulunur. 3
Temel Kavramlar 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = {x x < 100 ve x N} şeklinde gösterilir. SAYI Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. 3) Venn Şeması Kümenin elemanlarının yanlarına konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. 7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. a b c d SAYI KÜMELERİ 1) Sayma Sayıları Kümesi " 123,,,..., kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " sembolü ile gösterilir. BOŞ KÜME Elemanı olmayan içi boş olan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. 2) Doğal Sayılar Kümesi " 0123,,,,..., kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi IN sembolü ile gösterilir. Yılın S harfi ile başlayan ayları cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir. NOT Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. A = " a, bc,, = " bac,,, = " cab,,, =... gibi. 3) Tam Sayılar Kümesi "...,3,2, 1, 0123,,,,..., kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan yani sıfırdan küçük sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z " sembolü ile gösterilir. Z = "...,3,2,1, dir. 4
Temel Kavramlar NOT Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı 1 dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan yani sıfırdan büyük sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " sembolü ile gösterilir. + Z = " 1, 23,,..., dir. NOT TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar İki ile tam bölünemeyen sayılara tek tam sayılar denir. Tek tam sayılar kümesi "...5,3, 1, 135,,,..., şeklinde gösterilir. Tek tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere 2n 1 dir. b) Çift tam sayılar İki ile tam bölünen sayılara çift tam sayılar denir. Çift tam sayılar kümesi "...4,2, 024,,,..., şeklinde gösterilir. Çift tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere 2n dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı 1 dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " sembolü ile gösterilir. Q = " b a : a, b Z ve b 0 şeklinde yazılır. 2 17 6,,, 14, 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Qʹ sembolü ile gösterilir., 5, 7 5 2, 1, g birer irrasyonel sayıdır. 3 2 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi R ile gösterilir. R = Q, Q ı şeklinde ifade edilir. UYARI Çift tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir, sıfırda olabilir. Tek tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir. TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama sayıların ortak işareti verilir. 32 + 14 + 29 işleminde Sayılarının hepsi pozitif ( + ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Bulunan toplamın işareti + olur. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. 45 11 73 işleminde Sayıların hepsi negatif () olduğundan sayı değerleri toplanır. Bulunan toplamın işareti " " olur. Buradan 45 11 73 = ( 45 + 11 + 73) =129 bulunur. 5