DALGA İSAİSİĞİ Dalga teorileri genel olarak açık deni yapılarının tasarımında ortaya çıkan problemlere yanıt bulmak amacıyla kullanılır. Bu teorilerin temelinde, öellikleri bir periyod dan diğer bir periyoda amanla değişmeyen düenli dalga kabulü yatar. Bununla birlikte doğadaki okyanus dalgaları rasgele karakterdedir. Bu nedenle bu tip dalgalar istatistik öellikleri ile tanımlanır. Bu istatistik öelliklerine, tipik örnekleme süresi 3 dakika aman aralığı ile sınırlandırılmış okyanus dalga kayıtları ile ulaşılır. Dalga kayıtlarının stasyoner olduğu kabul edilir ve öelliklerin birkaç saatlik periyodlarda amanla değişmediği düşünülmektedir. Bu dalga kayıtları kısa dönem istatistiği olarak kabul edilir. KISA DÖNEM DALGA İSAİSİĞİ Kısa dönem okyanus dalgaları rasgele bir süreçtir ve olasılık kanunlarının geçerli olduğu amanla değişen fonksiyonlardır. Stasyonerlik ve ergodiklik, okyanus dalgalarının kısa dönem istatistiklerinin tanımlandığı iki kabuldür. Stasyoner süreçlerin istatistikleri amanla değişme. (t amanın bir fonksiyonu olan rasgele bir sinyal olmak üere, amanın başlangıcından bağımsı ise değişkeninin istatistik öelliklerinin stasyoner olduğu düşünülebilir. (t süreciyle verilen bir kayıt topluluğu düşünülürse, bu sürecin ortalaması (t' nin beklenen değeriyle verilebilir. μ =E[(t] (5.1 Burada E, (t 'nin beklenen değerini göstermektedir. Standart sapma veya sürecin karelerinin ortalamasının karekökü şu şekilde tanımlanabilir. Var (t (5. Burada Var, (t 'nin varyansını belirtmektedir. Otokorelasyon fonksiyonu ise şu şekilde verilebilir. R(t 1,t = E[(t 1.(t ] (5.3 Eğer μ ve σ, t' nin bütün değerleri için sabit ve R sadece τ = t t 1 ' in fonksiyonu ise (t süreci stasyonerdir. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 1
Ek olarak farklı noktalarda ölçülen (t değerlerinin öellikleri amanla değişmiyorsa, (t 'nin homojen olduğu söylenebilir. Pratikte (t değişkeni sınırlı bir aman ve alan üerinde stasyoner ve homojen olabilir. Böylece okyanus dalgalarının bir kaç saatlik süre içinde stasyoner olduğu aksi taktirde öelliklerinin değişeceği beklenebilir. (t ölçülmüş örneği, diğer olası örneklerin tipik bir örneği ise (t değişkeninin ergodik olduğu düşünülebilir. Bu şekilde, toplumun herhangi bir kaydının amansal ortalaması toplumun bütününün ortalaması ile aynı ise stasyoner süreç ergodiktir. Ergodik bir süreç için, toplumdan alınan bir örneğin ortalaması toplumun µ X ortalamasına ve örneğin varyansıda toplumun varyansına yaklaşır. Stasyoner ve ergodik süreç kavramı, okyanus dalgalarının kısa dönem istatistiklerine uygulanmasında ve geliştirilmesinde önemli olmakla birlikte, gerçekte bu hipoteler gerçek dışıdır. Okyanus dalgalarının tanımlanmasında kullanılan dalga parametrelerinin tanımına başlanabilir. Burada okyanus dalgalarının istatistik parametrelerinin hesaplanmasında bilinen yöntemler tartışılacak ve yaklaşık ifadeler verilecektir. Dalganın şematik bir tanımı Şekil 5.1' de verilmiştir. Kayıt uunluğu R ile verilmektedir. Kayıttaki maksimum dalga yüksekliği H ma, dalga tepesi ile dalga çukuru arasındaki maksimum yüksekliktir. Sıfırdan geçen periyod ile gösterilirken tepeler arasındaki periyod o ile verilmektedir. Okyanus dalgalarının tanımlanmasında, kısa dönem parametresi olarak kullanılan bir çok parametre vardır. Deni durumunun tanımlanmasında kullanılan en önemli iki parametre, karakteristik dalga yüksekliği ve karakteristik dalga periyodudur. Deni yüksekliği farklı değerlerde tanımlanabilir. Örneğin ; ortalama yükseklik, yüksekliğin ortalama karesel karekökü, en yüksek üçte bir dalganın ortalaması ( belirgin dalga yüksekliği ve son olarak gölenebilecek en büyük dalga yüksekliğidir. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page
Şekil 5 1 Açık Deni Dalga Parametrelerinin anımı Bu parametrelerin en çok kullanılanı belirgin dalga yüksekliğidir. Belirgin dalga yüksekliği H s ( veya H 1/3 olarak yaılır ve belli bir dalga kaydının üçte-birine karşı gelen en büyük dalgaların ortalamasıdır. Ortalama periyod, sıfırdan geçme periyodu, pik periyod vb. karakteristik periyod olarak alınabilir. Bu niceliklerin tanımları ve hesaplama yöntemleri kısaca açıklanacaktır. İstatistik parametreler aman ortamında veya frekans ortamında tanımlanmış dalga kayıtlarından doğrudan elde edilebilir. Diğer bir durumda, S(f veya S(ω ile gösterilen enerji yoğunluk spektrum tanımlaması olarak bilinmektedir. Bu parametrelerin hesaplanması için enerji yoğunluk spektrumunun momenti olarak bilinen büyüklüklere ihtiyaç duyulur. Bir enerji spektrumunun n ' inci mertebeden momentinin genel ifadesi şu şekilde yaılabilir : m n n f S( f df (5.4 S(f teriminin tanımlanmasına dikkat edilirse burada f ( cyclic çevrimsel frekanstır. Eşdeğer bir ifade ω açısal frekansına göre yaılabilir. Bununla beraber daha sonraki tanımlarda m n hesaplarında ifadeler içine girecek ( π n faktörünün sonuçlarının yorumlanmasına dikkat edilmelidir. m sıfırıncı moment, enerji yoğunluk spektrum eğrisinin altındaki alanı tanımlar m S( f df S( d (5.5 Yukarıdaki eşitlikten S(f ile S(ω arasındaki ilişki elde edilebilir. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 3
S(f = π S(ω (5.6 Belirgin Dalga Yüksekliği Belirgin dalga yüksekliği kavramı, belirli bir deni ortamında bütün dalgaların en büyük üçte birinin ortalama dalga yüksekliği olarak ilk defa Sverdrup ve Munk (1947 'de ifade edilmiştir. Belirgin dalga yüksekliği Hs veya H 1/3 ile gösterilmektedir. Deni kaptanları görsel gölemlere dayanarak belirgin dalga yüksekliğine yakın dalga yüksekliği değerleri bulmuşlardır. Hoffman ve Walden (1977 Kuey Atlantik Okyanusunda, India ve Papa meteoroloji istasyonlarındaki okyanus meteoroloji gemilerinde uman gölemcilerin dalga yüksekliği gölemleri ile belirgin dalga yüksekliği arasında bir ilişki olduğunu belirlemişlerdir ve aşağıdaki doğrusal denklemi önermişlerdir. H s =.775. H v + 7. (5.7 Bu ilişki belirgin dalga yüksekliklerinin yaklaşık 1. m 'nin üerindeki değerleri için geçerlidir. Belirgin dalga yüksekliğinin çıkarılmasına yardım edecek oldukça değerli çok sayıda gölenmiş ölçümler mevcuttur. ( Örneğin ; Hogben ve Lumb, 1967 Şekil 5.. Profili 18 Şubat 1974 ı de OWS Hava Raportörlüğünün J istasyonunda Kayıt Edilen Dalga Belirgin dalga yüksekliğinin aşağıdaki tanımında dalga kaydından en büyük üçte-bir dalgalar seçilmiştir. Bu dalga yüksekliklerinin ortalaması belirgin dalga yüksekliğini verir. / 3 3 N H 1/ 3 H i (5.8 N i1 burada N, H i büyükten küçüğe sıralanmış bir dalga kaydında ardışık dalga yüksekliklerinin sayısıdır. 18 Şubat 1974 'de Julliet istasyonunda OWS meteoroloji raportörlüğüne ait gemiyle taşınan bir Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 4
kadronun kaydettiği dalga seviyelerinin bir kesiti örnek olarak Şekil 5. ' de gösterilmiştir. Belirgin dalga yüksekliği, kayıtlarda en büyük üçte bir dalganın ortalamasıyla aman ortamında hesaplanmış ve ablo 5.1 'de 5.84 m olarak gösterilmiştir. Bu hesap yöntemi aman alıcıdır ve daha basit yaklaşık bir yöntem ueker (1963 tarafından önerilmiştir. En büyük dalga tepesi yüksekliği a c ile en küçük dalga çukuru a t ve kayıttaki sıfırdan geçme sayısı N biliniyorsa, dalga kayıtlarından belirgin dalga yüksekliği değeri doğrudan tahmin edilebilir. H s C ( a a (5.9 1 c t C 1 fonksiyonu şu şekilde tanımlanmaktadır. 1 1.89(ln N.47(ln N 1 C (5.1 1/ 1 (ln N Şekil 5. ' deki örnek için, belirgin dalga yüksekliği ucker yöntemi ile 6.46 m olduğu gösterilebilir. Spektral analide, belirgin dalga yüksekliği dalga spektrumunun içerdiği toplam enerjiye bağlıdır, m o dalga enerji yoğunluk spektrumunun altındaki alan ise ; H s 4 m (5.11 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 5
ablo 5.1 Düensi Dalga İstatistikleri (1 Şubat 1974 'de OWS Hava Raportörlüğünün J İstasyonunda Zaman Ortamı Analii Belirgin Dalga Yükseldiği 19. ft 5.856m Belirgin Dalga Yüksekliği (ucker Metodu 1,1ft 6.436 m Dalga Yüksekliklerinin Karesel Ortalama Karekök Değeri 1,9 ft 3.935 m (Kayıttan Su Yüeyinin Standart Sapması 5,3 ft 1.617 m Su Yüeyinin Standart Sapması (ucker Metodu 5,4 ft 1.647 m Sıfırdan Geçen Ortalama Dalga Periyodu 1,9 ft 3.33 m epe Periyodunun Ortalaması 8,74 ft.67 m Spektral Genişlik Parametresi,6 ft.183 m Frekans Ortamı Analii Belirgin Dalga Yüksekliği 16,5 ft 5.3 m Dalga Yüksekliklerinin Karesel Ortalama Karekök Değeri 11,7 ft 3.57 m Spektral Yoğunluk Fonksiyonunun Sıfırıncı Momenti 17,1 ft 5. m Spektral Yoğunluk Fonksiyonunun Birinci Momenti 1,67 ft /s.155 m /s Spektral Yoğunluk Fonksiyonunun İkinci Momenti,19 ft /s.18 m /s Spektral Yoğunluk Fonksiyonunun Dördüncü Momenti,43 ft /s 4 Pik Perivod Ortalama Periyod (m /m 1 momentleri esas alınarak hesaplanan 1, s 1,4 s Ortalama Periyod ( m / m esas alınarak hesaplanan 9,5 s Spektral Genişlik Parametresi,7 Serbestlik Derecesi 6,69 NO : t =.4 saniye ; LAGS = 4 ; R = 5.7533 dakika Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 6
Bu durumda enerji yoğunluk spektrumu tek yönlüdür. Şekil 5. 'deki dalga için belirgin dalga yüksekliği frekans ortamı analii ile 5.3 m. Olarak belirlenmiştir. Bu belirgin dalga yüksekliği tahmini nadiren olmakla birlikte bu örnekte diğer iki yönteme göre daha küçüktür. Dalga Yüksekliklerinin Karesel Ortalamasının Karekök Değeri (Root Mean Square H rms Dalga yüksekliklerinin karesel ortalamasının karekök değeri dalga kayıtlarından aşağıdaki formülle hesaplanmaktadır. 1/ N 1 H rms H i (5.1 N i1 Şekil 5. 'deki dalga profili için H rms değeri 3.9 m. Hesaplanmıştır. Frekans ortamında H rms değeri ise ; H rms m (5.13 ifadesi ile belirlenebilir. Frekans ortamı analii ile karesei ortalama karekök değeri 3.57 m. Olarak elde edilebilir. Dalga seviyesinin karesel ortalama karekök değeri ise (5.14 m şeklindedir. Dikkat edilmesi gereken dalga seviyeleri dalga kaydındaki minimum ve maksimum olmak üere ters dalga genlikleri arasındaki t aman aralıklarında elde edilmektedir. Böylece σ aynı amanda şu ifadeye eşittir. 1 s 1/ ( t (5.15 s örnekteki dalga profili için bu değer 1.6 m. bulunmuştur. ucker, (t seviyelerinin ortalamasını dikkate alarak eşdeğer bir formül vermiştir. düeltilmiş dalga 1.53( t (5.16 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 7
Bu ifade 5.1 ile elde edilen değerlere oldukça yakın değerler vermektedir. Yukarıda verilen örnek için, dalga yüeyi seviyelerinin standart sapması 1.64 m olarak hesaplanmaktadır. Maksimum Dalga Yükseklikleri Bir dalga kaydında maksimum dalga yüksekliği, kayıtlardaki bütün dalga tepesi ve çukurları arasındaki düşey uaklık değerlerinin en büyüğü olarak alınmaktadır. Kayıtlarda gölenebilecek maksimum dalga yüksekliği değeri, kayıttaki H rms değerinden (veya bener şekilde belirgin dalga yüksekliğinden elde edilebilir. Longuet-Higgins (195 dar band kayıt spektrumu için, bir kayıttaki belli sayıda dalganın dalga yüksekliklerinin karesel ortalama karekök değeri ile gölenebilecek maksimum dalga yüksekliği değeri arasındaki ilişkiyi çıkarmışlardır. H max ve H rms arasındaki bu ifade ;.886 H ma ln N H rms (5.17 ln N Bu ifade ile ilgili detaylı bilgi 5.1.6. 'de verilmiştir. Dalga yüksekliklerinin maksimum değeri, aşağıda tanımlanan kayıttaki ortalama periyod değeri temel alınarak düenlenmiştir. Böylece 3 saatlik periyod içerisinde gölenebilecek olası maksimum dalga yüksekliği alınarak ve 5.17 denklemi ile hesaplanabilir. N 1. 8 Ortalama Dalga Periyodu Zaman ortamı analiiyle, ortalama dalga periyodu toplam süre uunluğundan ( R iki farklı yöntemle elde edilebilir. N kayıtta sıfırdan geçme sayısı, ortalaması ise ; sıfırdan geçme periyodlarının N R (5.18 şeklinde elde edilebilir. Şekil 5. ' deki dalga için sıfırdan geçen ortalama periyodu =1.9 s. 'dir. Diğer taraftan kayıttaki dalga tepelerinin sayısı N c ise ortalama dalga tepe periyodu C ; Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 8
R C (5.19 NC Denklem 5.18 ve 5.19 da ki R kayıt uunluğu, kayıttaki sıfırdan geçme kuralına göre tanımlanmış kesirli kısımlar göardı edilerek düenlenmiştir. Yukarıdaki örnekte ortalama dalga tepe periyodu 8.74 s. 'dir. Dikkat edilirse bu periyodların tanımı gereği C ve değeri C < dir. değerlerinin farkı aşağıda tanımlanan spektrum genişliğinden belirlenebilir. C değerine yakınsa, kayıttaki tekil dalgaların çoğu sıfır çigisinden geçmektedir. Bu nedenle dalga spektrumunun enerjisinin küçük bir frekans bandında toplandığı ve dar band spektrumu olduğu düşünülebilir. Frekans ortamında, ortalama dalga periyodu denklem 5.4 'de tanımlanan m n spektral momentlerden hesaplanabilir., 1 ortalama dalga periyodu m momentinin m 1 momentine oranı şeklinde tanımlanmaktadır. m,1 (5. m1, ortalama dalga periyodu şu ifade ile verilebilir. m, (5.1 m Yukarıda verilen örnekte, 1 ve, spektral periyodları sırasıyla 1.4 s. ve 9.5 s. olarak hesaplanmaktadır. İstatistikte oldukça sık kullanılan diğer iki karakteristik periyod daha vardır. Bunlardan birincisi enerji spektrum yoğunluğunun pik değeri olan o periyodu, ikincisi ise dalga kaydındaki en yüksek üçte-bir dalganın ortalama dalga periyodudur ( s. Spektral Genişlik Parametresi ε, spektral genişlik parametresi dalga enerji yoğunluk spektrumunun rms genişliğinin ölçüsüdür, ε değeri ile 1 arasında değişir, ε değeri küçükse spektrumun dar band olduğu, ε değeri 1 ' e yakınsa geniş band spektrumudur. Zaman ortamı analiinde, ε, spektral genişlik parametresinin tahmini kayıdın ortalama tepe periyodu ve ortalama sıfırdan geçme periyodundan yararlanarak Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 9
yapılabilir. c t 1 (5. Dalga profilindeki yerel piklerin çoğu sıfırdan geçerek devam ediyorsa yani ise spektral C genişlik parametresi sıfıra yaklaşacaktır. Diğer yandan, profilde yerel piklerin önemli bir bölümü sıfırdan geçmiyorsa, spektrum geniş band spektrumu olacaktır. Şekil 5. deki örnekte ε t değeri.6 dır. Enerji spektral analide, spektral genişlik parametresi spektrum momentlerinden elde edilebilir. Bu durumda ε parametresi; m. m m m 4 S 1 ; m. m4 m. m4 m S 1 (5.3 m. m 4 ifadesinden elde edilebilir. Burada dikkat edilirse yüksek mertebeden momentlerin alındığı görülmelidir. Yüksek frekanslarda enerji spektral yoğunluk tahmininde oluşan gürültü (boulma, m 4 gibi yüksek moment hesaplarıyla kuvvetlenecektir. Bunun nedeni frekansın dördüncü kuvvetinin tahmininden kaynaklanmaktadır. Bu şekilde hesap işlemleri uygun bir frekansta sona erdirilebilir. Dalga örneği için ε spektral genişlik parametresi.7 dir. Spektral genişlik parametresinin.6 dan küçük olması durumunda, spektrumun dar band olduğunu düşünmek uygundur. Baı durumlarda, spektral genişlik parametresinin değerinin geniş band spektrumunun ne derece bir göstergesi olduğundan şüphe edilmektedir. Bunun en önemli sebebi, m ve m 4 gibi yüksek momentlerin hata olasılıklarıdır. Goda (1974 aşağıda tanımı verilen spektral piklik parametresini önermiştir. Q P m f. S ( f df (5.4 Bu ifade enerji yoğunluk spektrumunun sadece birinci momentine bağlıdır, ε ve Q p arasındaki doğrudan bir ilişki yokken ε 'nun küçük değer alması durumunda Q P değeri büyümekte ve aksi durum oluşmaktadır. Bir fırtına anında, fırtına geliştikçe ε değerinin aalması ve fırtına yatıştıkça ε değerinin artması Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 1
beklenir. Q P için tersi durum doğrudur. Q p değerinin değerine yakın olması halinde spektrumun rügar etkisiyle oluşan açık deni dalgalarını, değerinden büyük olması durumunda ağırlık dalgalarını yansıtığı kabul edilmektedir. Q p' nin 1 değerini alması durumu beya gürültü ( white noise spektrumunu göstermektedir (Goda,1985. Olasılık Dağılımı ve Eklenik Dağılım Fonksiyonu Belirli basit kabuller altında, rasgele değişken olan dalga parametreleri, bilinen olasılık dağılım fonksiyonlarına uymaktadır. Bir dalga kaydında aşağıdaki parametrelerin olasılık dağılımları incelenebilir; Dalga yüeyi Dalga yüksekliği Dalga periyodu Daha önce bahsedildiği gibi, bu dağılımlar deni ortamında kısa dönem olasılıkları olarak kabul edilebilir. Çünkü dalga parametreleri, deni ortamında bir kaç saatlik periyodlarla ölçülen ve ardışık saatlerde değişmesi beklenen dalgalardan elde edildikleri için sınırlanmaktadır. Eklenik olasılık ve olasılık yoğunluk tanımları şu şekilde yapılabilir. Olasılık yoğunluğu, meydana gelmesi beklenen belirli bir olayın gölenme yüdesidir. Eklenik olasılık ise bu olayın aşılmama olayının gölenme yüdesidir. rasgele değişkeninin P( eklenik olasılığı belirli o değerine eşit ve bu değerden küçük kalma olasılığıdır. P(=Prob [ (t o ] (5.5 Diğer taraftan p( olasılık yoğunluğu, eklenik dağılımın değişim oranıdır ve eklenik dağılımın türevi alınarak elde edilir. dp( p( (5.6 d Olasılık yoğunluk eğrisinin altındaki a ve b aralığındaki alan, rasgele değişkenin a ve b aralığında değerler alma olasılığını verecektir. b p ( a b p( d (5.7 a oplam olasılık ise bire eşit olacaktır. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 11
p ( d 1 (5.8 ve P ( p( d (5.9 μ ve σ değerleri ortalama ve standart sapmadır. R uunluğunda (t kayıtlarından değişkeninin ortalaması şu şekilde hesaplanabilir. rasgele 1 R lim R ( t dt (5.3 R 1/ 1 R lim R ( t dt (5.31 R Değişim katsayısı farklı kayıtlara ait ortalama değerlerin boyutsu bir ölçüsü olarak şu şekilde tanımlanır. C (5.3 Olasılık yoğunluk fonksiyonuna bağlı olarak, rasgele bir değişkenin ortalama değeri; E. p( d (5.33 Burada E beklenen değerli göstermektedir. Bu şekilde μ olasılık yoğunluk fonksiyonunun merkei uaklığı olarak düşünülebilir. Bener şekilde rasgele değişkenin varyansı da hesaplanabilir. ( (. p( d E (5.34 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 1
Diğer bir anlamda, varyans ortalamaya göre olasılık yoğunluk fonksiyonunun atalet momenti olduğu görülebilir. Varyansın şu şekilde de elde edilebileceğine dikkat edilebilir. E (5.35 Burada iki olasılık dağılımı tartışılacaktır. Gauss ( Normal dağılımı ve Rayleigh dağılımı, bunlar kısa dönem açık deni dalga parametrelerinin dağılımlarının tanımlanmasında oldukça kullanışlıdır. Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu; p( 1 ( ep (5.36 Eklenik olasılık dağılımı 5.9 denkleminden p( ' in integrali alınarak elde edilebilir. P( k in kapalı bir formda elde edilmesi mümkün değildir. Normal dağılım olarak adlandınian bu dağılım ortalama ve standart sapma ile tanımlanır. Gauss (normal dağılımın bir diğer gösterilişi de p( = N( μ, σ, şeklindedir. Sıfır ortalama (μ = ve birim standart sapma (σ = 1 değeri için olasılık dağılımı, 1 X p( ep (5.37 ifadesine indirgenir, Eklenik dağılım fonksiyonu bir hata fonksiyonu ile aşağıdaki gibi verilebilir. ( 1 X ep d (5.38 Genel olarak P( şu şekilde yaılabilir. P( ( ;, : Standart değişken (5.39 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 13
Bu değerler standart istatistik kitaplarında tablolaştırılmıştır (Lin, 1967. ' in anlık genliği normal bir dağılıma sahip ise; t 1 P( t 1 Q ( o o (5.4 Q değeri aşılma olasılığı olarak bilinir. ' in verilen bir t aman periyodunda o 'ı aşma olasılığını göstermektedir. Stasyoner bir Gaussian süreç için, pik oranlarının beklenen değeri; 1/ m4 f p pik frekans (5.41 m ifadesiyle verilebilir ve ortalama sıfırdan geçme periyodunun tanımı dikkate alınarak, sıfırdan geçme oranının beklenen değeri ; 1/ m f Z sıfırdan geçme frekansı (5.4 m olarak yaılabilir. Buradan düensilik faktörü tanımlanabilir. f f α 1 (5.43 p Bu şekilde α (alfa bir kayıtta sıfır çigisini geçmeyen kaç tane pik olduğunu ölçer. Spektral yoğunluk fonksiyonunun genişliğidir, örneğin, α = 1 ise süreç dar band dır. Spektral genişlik parametresine dikkat edilirse, α ile ilişkili olduğu görülebilir. 1 ε 1 (5.44 Rayleigh dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu ve ilişkili eklenik dağılımı integral alınarak elde edilebilir. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 14
Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 15 4 ep. ( p ( p < (5.46 Ve 4 ep 1 ( P ( P < (5.47 Rayleigh dağılımı için dönüş periyodu şu şekilde verilebilir. ep ( L (5.48 Şekil 5.3 Normal (Gaussian Olasılık Dağılımı: (A Eklenik Dağılım ve (B Olasılık Yoğunluğu Gauss ve Rayleigh dağılımları için olasılıklar sırasıyla Şekil 5.3 ve 5.4 de noktalanmıştır. Dikkat edilirse Gauss olasılık yoğunluk fonksiyonu ortalamaya göre simetriktir. Poitif ve negatif değerler almaktadır. Diğer taraftan Rayleigh dağılımının fonksiyonu poitif değerlere sahiptir. = noktasında sıfır değer alarak maksimum değere yükselmekte ve eksponansiyel olarak tekrar sıfıra ulaşmaktadır. μ ortalama değeri ve σ standart sapma değeri yoğunluk fonksiyonu
üerinde gösterilmiştir. Normal dağılım için eklenik dağılım fonksiyonu P(, pik değerinde maksimum eğime sahiptir. Rayleigh dağılımının ortalama değeri ise pik değerin sağında kalmaktadır. (1.533α. Rayleigh dağılımının da pik değere karşı gelen değeri α ile gösterilmiştir. Her iki fonksiyonun eklenik dağılım fonksiyonları in büyük değerlerinde asimtotik olarak bir değerine ulaşmaktadır. Şekil 5.4 Rayleigh Olasılık Dağılımı: (A Eklenik Dağılım ve (B Olasılık Yoğunluğu Su Seviyesinin Olasılık Dağılımı (η Su yüeyinin olasılık dağılımı, fa bileşeninin keyfi olarak değiştiği kabulüne göre, Gauss (Normal olduğu düşünülebilir. Fakat ( -π, π aralığında üniform dağılmamaktadır. Gauss modeli sakin su seviyesinde sıfır ortalamaya (μ η = olarak açıkça kabul edilebilir. Bu nedenle ortalama su seviyesi profilin ortalama değeri veya beklenen değeri olarak kabul edilebilir. Bu durumda η 'nın olasılık yoğunluk fonksiyonu; 1 ( p ( ep (5.49 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 16
σ η su yüeyi kotunun standart sapmasıdır ve (5.5 m Su yüeyi kotunun olasılık yoğunluk fonksiyonu sıfır kotuna göre simetrik olup burada maksimum değerini alır. Poitif su yüeyi yüksekliklerinin olasılıkları ile negatif yüksekliklerin olasılıkları aynıdır. Dalga Yüksekliklerinin Olasılık Yoğunlukları (H Dar band spektrumu, spektrum enerjisinin dar bir frekans aralığında yoğunlaşması olarak tanımlanır. Dalga profili çok a değişen bir dalga grubunu andırır. Bu nedenle spektral genişlik parametresi sıfıra yakın değerler alır. Dar band Gauss okyanus dalgalarının bileşenleri düensi görünümdedir ve a dalga genliğinin teorik olarak Rayleigh dağılımına uyduğu Longuet- Higgins (195 tarafından gösterilmiştir. Dağılım fonksiyonu okyanus dalga kayıtlarının analii sonucu ampirik bir formül ile Put (195 tarafından verilmiştir. Bu şekilde a genliğinin olasılık yoğunluğu ve eklenik dağılımı şu şekilde yaılmaktadır. a p ( a ep (5.51 m m a P ( a 1 ep (5.5 m Bu denklemler 5.46 ve 5.47 denklemleri ile karşılaştırabilir. Dar band spektrumu için aşağıdaki ilişkilerin varlığı görülebilir. a a (5.53 ve a m (5.54 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 17
burada σ a sıfır ortalamalı a değişkeninin standart sapmasıdır. Şekil 5.5 Dar-Band Spektrumunun Yüey Profili Daha önce bahsedilen konularla ilişkili kurarak Rayleigh dağılımından ne gibi sonuçlar çıkarılabileceği üerinde durulursa ve 5.51 denklemi tekrar yaılırsa; p ( ep (5.55 m m burada a genliği yerine değişkeni konmuştur. Bu şekilde p( fonksiyonunun = başlangıç noktasında n 'inci momenti aşağıdaki gibi yaılabilir. E n n p( d. (5.56 integral n değerinin tek ve çift sayı olması için parçalara aynlarak elde edilebilir. n n n ( n! m E Ve (5.57 E n1 1 ( n 1! (n m n n! (5.58 Dikkat edilirse E 1 (5.59 olup bunun olasılık yoğunluk fonksiyonunun altındaki alan birdir. Ek olarak birinci moment ' in ortalama değerini verecektir. Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 18
E m (5.6 İkinci mertebe moment bütün değerlerinin karelerinin ortalaması olarak tanımlanabilir. Bu şekilde 'in rms değeri; rms m E (5.61 Bu iki denklem 5.53 ve 5.54 denklemleri ile aynıdır. varyansı ikinci mertebe momentten ortalamanın karesi çıkarılarak; m (5.6 5.5 denkleminden elde edilebilir. Ortalama değerden ( ± σ bir standart sapma aralığına düşen bütün noktaların eklenik dağılımını düşünürsek; P( a a m e m d (5.63 integral alındığında m a P( e (5.64 a ve buradan P( =.674 değeri belirlenebilir. (5.65 Okyanus dalgalarının tanımlanmasında, genel olarak a genliği yerine H dalga yüksekliği kullanılır. H = a kabul edilir ve yukarıdaki denklem dalga yüksekliği dağılımına kolayca çevrilebilir, m yerine H rms değerini kullanmak çalışmalar için daha uygundur. m o yerine ve a yerine H/ yerleştirilerek; Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 19
H H H p ( H ep ; H H rms m ; m rms ; RMS H RMS 8 Ve H a (5.67 H P ( H 1 ep (5.67 H RMS Dikkat edilirse p(h ve P(H birbiriyle uyumludur. Düensi dalga profilinden lineer dalga teorisi kullanılarak su-parçacıklarının hıı, ivme ve dinamik basınç elde edilirse bunların genlikleri (veya çift genlikleri bener dağılımlara uyar. H rms ve H 1/3 arasındaki ilişkiyi belirleyelim. En yüksek üçte-bir dalganın ortalaması olan H 1/3 belirlemek istersek; H P ( H 1 ep (5.68 3 H RMS H 1. 481H (5.69 rms burada H > H o olan bütün değerler en yüksek üçte-bir aralığındadır. 5.68 denkleminde H 1/3 eklenik dağılım fonksiyonunun altında, H H, değerleri için elde edilen alanın merkeine olan uaklıktır. Buradan H 1/3 şu şekilde tanımlanabilir. H Hp( H dh H (5.7 1/ 3 H p( H dh burada p(h, 5.66 denklemi ile verilen fonksiyondur. İntegral alındığında H1/ 3 1. 416H rms (5.71 H 4 m (5.7 1/ 3, 5 Bener şekilde en büyük onda-bir ve yüde-bir dalga yüksekliklerinin ortalamaları da ; Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page
H 5 m 1/1, 91 H 6 m (5.73 1/1, 67 1 dalga içerisinde görülebilecek maksimum dalga yüksekliği H ma, P(H= 1-1 H H ep H rms H Hma rms dh (5.74 H 1 H (5.75 ma. 86 1/ 3 Genel olarak N dalga içerisinde gölenebilecek maksimum dalga yüksekliği rms dalga yüksekliğine bağlı olarak 5.17 denklemindeki ilişkiye bener bir araştırma yaparak elde edilebilir. Kayıtlardan gölenebilecek maksimum dalga yüksekliği verilen N dalga sayısı için ablo 5. ' d e gösterilmiştir. Dikkat edilirse 1 dalga sayısı için 1.86 katsayısı hesaplanmaktadır. ablo 5.. Bir Dar-Band Spektrum Kaydında, N Dalga Sayısının Bir Fonksiyonu Olarak N H ma/h 1/3 Değerleri H ma H 1/ 3 1 1.53 1.641 5 1.77 1OOO 1.866 1.956 5.97 1.15.8 5.38 1.41 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page 1
Şekil 5.6 Açık Deni Dalga Kayıtlarından Elde Edilen Normalie Edilmiş Dalgaların Histogramı ile Rayleigh Dağılımının Karşılaştırılması Eylül 1961 Kuey Atlantik fırtına dalga kayıtlarının olasılık yoğunluğu Şekil 5.6 'da Rayleigh dağılımı ile karşılaştırılmıştır. Bu histogram bir kaç gün boyunca fırtına koşullarında kayıt edilen çok sayıda dalga kaydının ortalamasıdır. Bu histogram için her dalga kaydının rms dalga yüksekliği hesaplanmıştır. Daha sonra bu kaydın dalga yükseklileri H rms değerine göre normalie edilmiştir. Bu H/ H rms, normalie edilmiş değerler bütün dalga kayıtlan için. değerinde artan sınıf aralıklarında gruplandınlmıştır. Her grubun olasılık yoğunluğu her gruba düşen dalga sayısının toplam dalga sayısına bölünerek elde edilmiştir. Bu histogram altındaki alan 1. değerine eşittir. Bir dalga kanalında beneştirilen düensi dalga kayıtları ile Rayleigh dağılımının aşılma olasılıkları Şekil 5.7 ' de noktalanmıştır. eorik aşılma olasılıkları Rayleigh olasılık kağıdı üerinde dü bir çigi olarak gösterilmiştir. Laboratuvar datası Rayleigh dağılımıyla korelasyonu oldukça iyi çıkmıştır. Noktalanan aşılma olasılıkları aşağıdaki ilişkiden elde edildiğine dikkat edilmelidir. Q(=l-P( (5.76 Burada Q(, aşılma olasılığıdır. Kaynak: Hydrodynamics of Offshore Structures- S. K. Chakrabarti, Sayfa ; 18-165 Dalga İklimi Dersi/Kıyı Bilimleri Mühendisliği 59/n.erdem.unal@gmail.com Page