1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d : R R R +, d(x, y) = x y (a, b) = (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) = {x R : d(x, x 0 ) < ɛ} olacak biçimde ɛ > 0 ve x 0 R vardır. Bu durumda yazarız. O halde (a, b) = B d (x 0, ɛ) B = {B d (x, ɛ) : x R, ɛ > 0} dır. R üzerinde tabanı B olan topolojinin özellikleri, aşağıda tanımlanan d fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri ile birebir ilişkilidir. (i) d(x, y) = 0 x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) (iii) d(x, y) d(x, y) + d(y, z) Bu bölümde yukarıdaki üç koşulu sağlayan ve tanım kümesinde R yerine X alarak tanımlanan d fonksiyonunun ürettiği topolojiyi tanımlıyarak temel özelliklerini vereceğiz.
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi 3 1.1 Metrik ve Metrik Topolojisi Aşağıdaki tanımla başlayabiliriz. Tanım 1.1. Boş kümeden farklı X kümesi üzerinde tanımlı gerçel değerli d : X R fonksiyonu, her x,y, z X için aşağıdaki özellikleri sağlıyor ise, d ye metrik denir. (M1) d(x, y) = 0 x = y. (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). (X, d) ikilisine metric uzayı denir. Tanımda geçen (M 3) özelliğine üçgen eşitsizliği denir. Bu eşitsizliği sağlayan f : X R fonksiyonu, her x,y, z X için f(x, y) f(x, z) sup{d(y, z), d(z, y) dir. Ayrıca d metriği için, x,y, z X olmak üzere sağlanır. d(x, y) d(x, z) d(y, z). Metrik uzaylar ile ilgili bilinen metrik örnekleri alıştırmalar kısmındadır. En temel ve mütevazi metrik örneği ise tartışılmaz bir şekilde aşağıdakidir. Örnek 1.1. d : R R R, d(x, y) = x y olarak tanımlanan fonksiyon bir metriktir. R de tanımlı sınırlı açık ve kapalı aralık kavramı aşağıdaki gibi genellenebilir. Tanım 1.2. (X, d) bir sözde metrik uzay olmak üzere, x X ve r > 0 verilsin. x merkezli ve r yarıçaplı (i) açık küre: B(x, r) = {y X : d(x, y) < r} (i) kapalı küre: B[x, r] = {y X : d(x, y) r} olarak tanımlanır. Aşağıdaki teoremden de anlaşılacağı üzere açık küre kavramı önemlidir. Teorem 1.1. (X, d) bir sözde metrik uzay olmak üzere, X üzerinde B = {B(x, r) : x X, r > 0} bir topoloji tabanıdır. Tabanı bu olan topolojiye d tarafından üretilen metric topoloji denir.
4 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Kanıt: x X,r>0 B(x, r) = X olduğu açık. z B(x, s) B(y, r) verilsin. t = min{s d(x, z), r d(y, z)} olmak üzere, sağlanır. Bu kanıtı tamamlar. B(z, r) B(x, s) B(y, r) τ, X üzerinde d metriği tarafından üretilmiş topoloji ise, olduğu açıktır. T = {U X : x U r > 0 such that B(x, r) U} Tanım 1.3. Topolojisi metrik topoloji olan topolojik uzaya metrikleşebilir topolojik uzay ya da denir. d : X X R metrik olsun. X kümesinin boş kümeden farklı her alt kümesi için d A A, A kümesi üzerinde bir metrik olduğundan, aşağıdaki teoremin kanıtı barizdir. Teorem 1.2. Metrikleşebilir topolojik uzayın topolojik altuzayı metrikleşebilir uzaydır. Metrikleşebilir topolojik uzayın temel özelliklerinden birisi Hausdorff olmasıdır. Teorem 1.3. Metrikleşebilir topolojik uzay T 2 -uzayıdır. Kanıt: (X, τ), d metriği tarafından üretilen topolojik uzay olsun. x,y X, x y verilsin. diyelim. r > 0 ve r = d(x,y) 3 B(x, r) B(y, r) = sağlanır. Açık küreler açık, x B(x, r) ve y B(y, r) olmamsından kanıt tamamlanır. (X, d) metrik uzay olmak üzere her x X nın A X kümesine olan uzaklığı d(x, A) := inf{d(x, a) : a A} olarak tanımlanır. Her x, y X ve A X için
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi 5 d(x, A) d(y, A) d(x, y) eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlik sonucu, A X için, olarak tanımlanan fonksiyon, f : X R, f(x) = d(x, A) f(x) f(y) d(x, y) eşitsizliğini sağlar. Bu noktodan sonra f nin sürekli olduğunu göstermek zor değildir. Bu gözlem sonucu, metrikleşebilir bir topolojik uzayda bir kümenin kapalı olması için gerekli ve yeterli koşulun, o kümenin R nin kapalı bir altkümesin sürekli bir fonksiyon altındaki ters görüntüsü olmasıdır. Daha açık bir söylem ile: Teorem 1.4. τ, X üzerinde d metriği tarafından üretilmiş topoloji olsun. Her A X için dir. A = {x X : d(x, A) = 0} Kanıt: x A olsun. ɛ > 0 verilsin. d(x, A) > ɛ olduğunu varsayalım. diyelim. B(x, r) ve x i içerdiğinden, 0 < r = d(x, A) ɛ d(x, a) < d(x, A) ɛ d(x, a) ɛ elde edilir ki, bu çelişkidir. O halde her ɛ > 0 için d(x, a) ɛ dır. Böylece d(x, a) = 0 elde edilir. Şimde d(x, A) = 0 özelliğinde x X seçelim. ɛ > 0 verilsin. d(x, a) < ɛ özelliğinde a A seçebiliriz. Yani B(x, ɛ) A dır. Böylece x A dır. Kanıt tamamlanır. Metrik uzay kavramı aşağıdaki gibi genellenebilir. Ancak bu kavramların detaylarına girilmeyecektir. Tanım 1.4. d : X X R + fonksiyonu verilsin. (M1), (M2) ve (M3) metrik uzayı tanımında geçen aksiyomlar olmak üzere, d ye (i) sözde mertik : (M2) ve (M3) koşulları ve her x X için d(x, x) = 0 özelliği sağlanıyor ise, (i) simetrik mertik : (M1) ve (M2) sağlanıyor ise,
6 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi (i) yarı mertik 1 (Wilson (1931)) : (M1) ve (M3) sağlanıyor ise. Örnek 1.2. (i) sözde metrik metrik olmayabilir: X, [0, 1] den R ye tanımlı integrallenebilir fonksiyonların kümesi olsun. d(f, g) = 1 f(x) g(x) dx 0 olarak tanımlanan d fonksiyonu sözde metrik fakat metrik değildir. (i) yarımetrik metrik olmayabilir: d : R R R + fonksiyonu { x y x y d(x, y) = 1 x < y olarak tanımlansın. d yarımetrik fakat metrik değildir. (i) simetrik metrik olmayabilir: d : R R R + fonksiyonu simetrik fakat metrik değildir, gerçekten d(x, y) = xy + x + y d(1, 2) d(1, 0) + d(0, 2) (X, d) sözde metrik uzay ise, metrik uzayda olduğu gibi, B = {{x : d(x, y) < ρ} : x X, r > 0} X üzerinde bir topolojik tabandır. Tabanı bu olan topolojik uzaya sözde metrik topoloji denir. Sözde metrik uzayın T 2 -uzay olması gerekmez. Diğer taraftan sözde metrik topolojik uzayın T 2 -olması için gerekli ve yeterli koşul, sözde metriğin metrik olmasıdır. Alıştırmalar 1.3. En az iki elemanlı bir X kümesi üzerinde tanımlı en kaba topolojinin metrik olmayan sözde metrik topoloji olduğunu gösteriniz. 1.4. Bir X kümesi üzerinde tanımlı en ince topolojinin bir metrik topolojisi olduğunu gösteriniz. 1.5. Sözde metrik topolojisinin bir metrik topoloji olması için gerekli ve yeterli koşulun Hausdorff olması gerektiğini gösteriniz. 1.6. X boçkümeden farklı bir küme olmak üzere, her f : X R fonksiyonu için, d f : X R, d f (x, y) = f(x) f(y) olarak tanımlanan fonksiyon bir sözde metriktir. Bu metrik tarafından belirlenen topolojiyi tanımlayınız. Bu sözde metriğin bir metrik olabilmesi için f üzerindeki gerekli ve yeterli koşulu belirleyiniz. 1.7. d : X X R bir sözde metrik olsun. i.) x y d(x, y) = 0 ilişkisi bir denklik bağlantısıdır. ii.) x X nin denklik sınıfı [x] ile gösterilsin. Y = {[x] : x X} olmak üzere, bir metrik tir. 1 quasi metric p : Y Y R, p([x], [y]) = d(x, y)
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi 7 1.8. (X, d) bir metrik uzay olsun. X X den R ye aşağıdaki fonksiyonlar tanımlansın. p(x, y) = min{d(x, y), 1} ve q(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y). i.) p ve q nun metrik olduğunu gösteriniz. ii.) d, p ve q metriklerinin aynı topolojiyi ürettiğini gösteriniz. 1.9. Bir X kümesi üzerinde tanımlı d ve p metriklerinin denk olması, md(x, y) p(x, y) Md(x, y), x, y X özelliğinde m, M > 0 gerçel sayılarının var olmasıdır. d ve p metrikleri denk ise, bunlar tarafından üretilen metrik topolojilerin eşit olduklarını ancak tersinin doğru olmadığını gösteriniz. d(x,y) 1+d(x,y) (Kanıt: d metriıgi sınırlı olmayan metrik olsun. p : X X R, p(x, y) = olarak tanımlanan metrik ile d metriğinin topolojilerinin aynı olmalarına karşın denk değillerdir.)