ÇEMBER Düzlemde verilen bir noktadan, verilen uzaklıkta bulunan bütün noktaların kümesine çember denir. Verilen nokta merkez, verilen uzaklık yarıçaptır. ABCD kare. A ve B merkezli çemberler B,D ve A,C noktalarından geçiyor. Kesim noktaları olan P nin AB den uzaklığı kaç cm.dir? Ç={P : OP r, O, r st, } AP = PB = AB =8 APB eşkenar üçgen. a 8 h= 4 O merkezli çemberin verilen bir P noktasına en yakın noktası A, en uzak noktası B dir. Y.G: BDE, DEA, AEC ikizkenar üçgen. Y: o Y.G: OEC, DOE ikizkenar üçgen. Y:6 o - 06 -
DOĞRU VE ÇEMBER: ( AO PD ) Doğru ile çemberin ortak noktası yoktur. OB = OC = OP =5 OCD dik üçgeninde Pisigor teo. DO =0 +5 DO =5 5 DP =5 5-5!!! Teğet, yarıçapa değme noktasında diktir. AH = HB AP =, AT =-x, PT =6-x ATP dik üçgeninde. =(-x) +(6-x) x =, x =8 Merkezden kirişe inilen dikme, kirişi ve bu kirişin yaylarını ortalar. Merkezden eşit uzaklıktaki kirişler eş, eş kirişlerin yayları da eştir. Paralel iki kiriş arasındaki yaylar eştir. Doğrusal olmayan üç noktadan bir ve yalnız bir çember geçer. - 07 -
AHB dik üçgeninde: 5 =9 + AH, AH = OBH dik üçgeninde: r =9 +(-r), r=75/8 Y.G: PQ//AB, PQ =. AB Y:48 Yarı çapı 0 birim olan çemberin, 6 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik yeri nedir? Orta noktaların merkezden uzaklıkları: 0 =d +8, d=6 Y: O merkez, r=6 PA = AC, PC = PD, CD =. AB ABC dik üçgeninde. 5 = + BC, BC =4 r 4 r OEC ABC (AA),, r= 5 DK =5, DK =5, OD = OC =x OKL dik üçgeninde. R =(5+x) +5 ODE dik üçgeninde. R =x +(x) x +0x+50=5x, x -5x-5=0, x=5, 4x =00 4 COD eşkenar üçgen. OE = - 08 -
ÇEMBERDE AÇILAR: MERKEZ AÇI: Gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Verilen bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri; O doğru parçasını çap kabul eden çemberdir. Dik üçgende hipotenüsün orta noktası çevrel çember merkezidir. Hipotenüse ait kenar ortay, hipotenüsün yarısına eşittir.!!! Yarıçap uzunluğundaki kirişi gören merkez açı kaç derecedir? TEĞET-KİRİŞ AÇI: Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. AOB eşkenar üçgen. mo =60 o UYARI: Yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açı RADYAN dır. ÇEVRE (ÇEMBER) AÇI: Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. İÇ AÇI: Gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısıdır. Çapı göre çevre açı dik açıdır. DIŞ AÇI: Gördüğü yayların ölçülerinin farkının yarısıdır. - 09 -
mbc =.5=70 o mad 70 5=, mad =0 o mbd=80 o -0 0 =60 0 x=0 o mbcf =maeb (gördükleri yayların ölçülerinden) x 9 BCF CEB (AA), 4 x, x=6 Diğer yaylarların ölçüleri o dir. o o z, y 56 o o 56 o t 84 o o o ( 56 ) x 8 o BCDF dörtgeninde; mb = 0 +x, md =40 0 +x mb +md =80 o, 0 +x+40 0 +x=80 0 x=54 o mcba =70 o, madc =40 o mcb =40 o mcdb =0 o olur ki, DCB ikizkenardır. DC = CB = Y.G: AEP BCP ve ACP BDP (AA) - 0 -
İKİ ÇEMBER: Büyük çemberde; mbad =macb Küçük çemberde; mcab =madb (Aynı yayı gören teğet-kiriş ve çevre açılar.) İç içedir. Kesişmezler. BAD BCA (AA) x 4 9 x x=6 İçten teğettirler. Farklı iki noktada kesişirler. AOB ikizkenar dik üçgen. Dıştan teğettirler. AO = OB =r= Biri birinin dışındadır. Kesişmezler. - -
Teğet çemberlerin merkezleri ile değme noktaları doğrusaldır. Kesişen iki çemberin merkezler doğrusu, ortak kirişi dik olarak ortalar. Kesişen iki çemberin ortak noktasındaki teğetleri dik ise çemberler dik kesişiyor denir. Dik kesişen çemberlerde; d r r dir. O, C, T doğrusal. OC =R-r, OH =r B, K, C doğrusal. BC =R+r, HB =R-r OC - OH = CH = BC - BH (R-r) -r =(R+r) -(R-r), R =6Rr, R=6r UYARI: BD//CE dir. BC =4=+- DE, DE = mabd =6 o, mbad =8 o =mdbe x+8 o =80 o, x = 4 o x R R CO = BO =r-x, (r-x) =x r + r x= 8 - -
B merkezli çemberin yarıçapı: x C merkezli çemberin yarıçapı: y AB =-x BC =x+y AC =-y Ç(ABC)=4 HK AD (merkezler doğrusu, ortak kiriş) HMD, HLD ve DLK, DNK dik üçgenlerinde Pisagor; KN - HM = LK - LH 8-4 =x - x= EP = EK =r=, FT = FS =R AF açıortay. AEP, AFT 0, 60, 90 diküçgeni AE =, AF =+R=R, R= AF =6=h BC =4 Ç(ABC)= COD diküçgeninde; CO =-x CD =+x (+x) =(-x) + x= / - -
TEĞET: r = AC. BD, r =9.4, r=6 Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaları eştir. Teğetlerin oluşturduğu açının açıortayı, bu noktayı merkeze birleştiren ışın olup, değme kirişini dik olarak ortalar. ABC dik üçgeninde AB =r, AC =-r, BC =9-r (r) =(-r) +(9-r) 4r -84r+5=0 6 x= 6 AB CD d r r EF HK d r r QO QO PO PO r r KA = KP = KB, APB dik üçgen. - 4 -
OP O BCO dik yamuğunda; OP OP =5/, ABC 0, 60, 90 dik üçgeni AC = 6 = ED = PK. EP yayının uzunluğu= DK yayının uzunluğu=.9. İpin uzunluğu=. 6 4 AOP dik üçgeninde; 5 = AP = 4 + AP, PO A ve PO B 0, 60, 90 dik üçgeni. O A =6, PO =, O B =8, PO =6 A(OADC) = A(OAC)+A(ADC) O O = PO - PO = 6- = 4 = 8(-r)+ 8. = 4-4r A(OADC) =.A(ODC) =. r.5 4-4r = 5r, r = 8/ - 5 -
KUVVET AQ = AP =4, BT = BQ =, CR = CT =6 DS = DR =6, ES = EP =5, u=68 A(ABCDE) = u.r = 4.0 = 680 br p TA. TB TC. TD TE değerine noktanın çembere göre kuvveti denir. BD =u-b, CD =u-c, BD = 9 5 KUVVET EKSENİ: İki çembere göre aynı kuvvette olan noktaların geometrik yeri merkezler doğrusuna dik bir doğrudur. ADO dik üçgeninde; OD =r, AD = 6r 9 ABC dik üçgeninde; CD = CB =9 r r ADO ABC (AA) ; 9 9 6r 9 r 6r 9 7, r=9/ IH r r O O Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni, çemberlerin ortak noktalarından geçen doğrudur. - 6 -
Teğet çemberlerin kuvvet ekseni, ortak teğettir. Üç çembere göre aynı kuvvette olan noktaya kuvvet merkezi denir. Üçgenin kenarlarını çap kabul eden üç çemberin kuvvet merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesim noktasıdır. ABCD kare. Çemberin yarıçapı? DT = DC. DE ; =6.(6+ CE ), CE =8 BCE dik üçgeninde; 4r =6 +8, r= 0 AD. AE AD BD. DC AB. AC ABD AEC (AA) ; AD AB AC AE AD. AE = AB. AC AD. AE = AD ( AD + DE ) = AD + AD. DE 6 =z(z+7+5+4), z +6y-6=0, z= 8.y=4(5+7), y=6 8.6=(4+x).5, x=8/5 AD. DE = BD. DC [DE], ABC üçgeninde orta taban. DE =+4.4= ( x ), x=4-7 -
KA. KB = KC. KD 4.=6. KD, KD =8 UYARI: AB + CD =8.r -4. OP AB + CD = 8.6-4.4 = 88-64 = 4 UYARI: KA + KB + KC + KD = 4r 4 + +6 +8 = 4r, r =60, r= 65 PA = PA ; PA. PA = BP. PC PA =6.9 ; PA = 6 OEB dik üçgeninde; OE =4, EB = AOB dik üçgeninde; OE = AE. EB 4 = AE., AE =6/ AO = AE. AB, 6 AO 6 6.5 0 =, AO = 9 AC = A0 - OC = 0 4 8 A, C, D doğrusal. BC AD. ACB AED (AA) AC AB ; AC. AD =.8 = 6 AE AD AC. AD = AT ; AT =6 UYARI: AT = AE. AB - 8 -
xoy sabit bir açı. C noktası [Oy ışını üzerinde hareket eden bir nokta. ACB açısının ölçüsü en büyük iken OC kaçtır? OR. OA = OS. OQ 4. OA =. ; OA =9/4 9 AR = OR - OA ; AR = 4 4 RB. RS = RA. RP 7 4 RB.5=. 8 RB = 4 5 UYARI: PQ + PS = PA. PR 7 4 [AB] çaplı çember ile [Oy nin ortak noktaları aranan noktalardır. OCD dik üçgeninde; OC = OD BC, AC BC ODB dik üçgeninde ; BD = 4 AC =4, ACD dik üçgeninde ; AD = 4 DA. DE = DB. DC 8 4. DE = 4.4 DE = UYARI: AB =. EC +. ED CPE ve EKD ikizkenar dik üçgen. CE = 6 =. +. ED, ED = 0 DK = 5-9 -
AP DE ve BK DE çizelim. DEC DFA (AA) ; DC DE AD DF DC. DF = AD. DE APC dik üçgeninde; AC =x +(7-a) BKC dik üçgeninde; BC =x +(-a) AC + BC =x +58-0a+a x =a(0-a) x +a =0x olduğundan DC ( FC - DC )=( AE - DE ) DE DC. FC - DC = AE. DE - DE DC. FC = AE. DE + DC - DE DC. FC = AE. DE + CE = AE. DE + AE. EB = AE ( DE + EB )= AE. DB AC + BC =58 UYARI: AC + BC =(R + OC ) - 0 -
KİRİŞLER DÖRTGENİ: AN = NP ise manb=? Y.G: ON AP çiz. ONCB kirişler dörtgeni. mcob=45 o Köşeleri aynı çember üzerinde olan dörtgene kirişler dörtgeni denir. Karşılıklı açıları bütünlerdir. Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk birer kirişler dörtgenidir. BATLAMYUS TEOREMİ: mpct =.p +ma+t=mbcd ma +mbcd =80 o.p+ma +t=80 0 -ma (p+ma +t)=80 0 p+ma +t = x, x=80 0, x=90 0 e.f=a.c+b.d e f ad bc ab cd a.c=b.d ise Harmonik dörtgen adını alır. A ABCD ( u a)( u b)( u c)( u d) ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberi üzerindeki herhangi bir P noktası için: PB PA PC dir. Y.G: PABC kirişler dörtgeninde; PA.a+ PC.a= PB.a, PA + PC = PB - -
maic =5 o, ADCI kirişler dörtgeni. x=miac =0 o AB = AC iken Ç(ABDE)=? ABC ikizkenar. mabc =macb medb =.macb, mdec =mecd EDC ikizkenar. CD = DE = EA =4 CD. CB = CE. CA CE ( CE +4)=4.5=60, CE =6 CA = AB =0 Ç(ABDE)=0++4+4=9 PEA üçgeninde; p+0=meab CPF üçgeninde; p+mpcf =x ABCD kirişler dörtgeninde; mdab +mdcb =80, x=70 0 ABCD bir kare. PA + PA. PC = PD + PD. PB ACDB kirişler dörtgeninde; mbdc = 0 mcdt =60=mATE, x=50 Y.G: PADC ve PBAD kirişler dörtgenlerinde Batlamyus teo. uygulanırsa eşitlik doğrulanır. UYARI: AB//EF dir. - -
AD = DC = CB olmalıdır. Bu durumda; AOD, DOC, COB eşkenar üçgen olur. ABPE kirişler dörtgeninde Batlamyus teo. BP. AE + EP. AB = AP. EB UYARI: AP = AB dir. A(ABCD)=. 4 AOD, DOC, COB birer eşkenar üçgendir. AD = BC = Ç(ABCD)=5 PDC PAD (AA) ; PBC PAB (AA) ; DC AD BC AB PD = PB olduğundan ; olur ki, DC. AB = BC. AD bulunur..x=9.4, x= PD PA PB PA DC AD PC PD PC PB BC AB UYARI: Karşılıklı iki köşesindeki teğetleri diğer köşegeni üzerinde kesişen kirişler dörtgenine Harmonik dörtgen denir. AB. CD = AD. BC dir. - -
TEĞETLER DÖRTGENİ: Kenarları bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir. Karşılıklı kenar uzunluklarının toplamları eşittir. ( AB + CD = BC + AD ) Kare, eşkenar dörtgen, deltoit birer teğetler dörtgenidir. A(ABCD)=u.r Hem kirişler, hem de teğetler dörtgeni olan dörtgende A(ABCD)= abcd EF ortak teğetini çizdiğimizde ; EF =r ve AEFD, EBCF kirişler dörtgeni ; AE + FD =r+0, EB + FC =r+0 AE + FD + EB + FC =4r+0, 4r+0=, r= UYARI: EF = AB - BC dir. Kenarları 0 ve 5 cm. olan paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan bir doğru, paralelkenarı öyle iki yamuğa bölüyor ki, bu yamuklardan her ikisine de iç teğet çember çizilebilmektedir. Bu durumda paralelkenarın alanı kaç cm dir? Her iki yamukta kirişler dörtgeni olacağından EF =5-0=5=.r=h A(ABCD)=a.h=5.5=75 ABCD kirişler dörtgeni olduğundan ; mb +md =80 o ABCD teğetler dörtgeni olduğundan ; [BO ve [DO açı ortaydır. mabo +mado =90 o ABOD dörtgeninde ; x=mabo +70+mADO =60 o A(ABCD)=u.r, AB + CD = AD + BC =9 u=9, 9.r=0, r=0/9-4 -
ÇEVRE VE ALAN: ÇEVRE = πr ALAN = πr COP ; 0,60,90 üçgeni. mcod =0 o. 6 COD diliminin alanı= maob = derece cinsinden verilirse :. r AB yayının uzunluğu =. 60. r AOB diliminin alanı =. 60 A(COD)= 4 6 Y: 4 raydan cinsinden verilirse : AB yayının uzunluğu = r. =l AOB diliminin alanı = r. l AOB daire diliminin çevresi 7 cm., alanı cm ise dairenin yarıçapı kaç cm.dir? l r 7 ve r. l, r. l 6 l 7 r, r ( 7 r) 6 r -7r+6=0 r = veya r =,5 Dairelerin yarıçapları ; r, r, r Taralı alan =.(r) -.r =.r Büyük dairenin alanı = (r) = 9.r - 5 -
OCDE Dikdörtgen. OA = AC =x, BF =r dersek ; AB =x+r, OB =x-r (x+r) -(x-r) =(x-r) -r x=r olur. Y:6 OE =x, OC =y dersek ; x+y=, x +y =0, (x+y) =x +xy+y =69, xy=69/ 69 T=5 4 AHB CHA (AA) benzerlik oranı = /4 Alanlar oranı=(benzerlik oranı) = 9/6 Karenin köşegen uzunluğu = kenar uzunluğu= Yarım dairelerin alanları toplamı = Büyük dairenin alanı = Taralı alanlar= =(yarım daireler+kare)-büyük daire = - 6 -
S noktasında dıştan teğet A ve B merkezli çemberlerin yarıçapları br.dir. A ve B den diğer çemberlere çizilen teğetler CD dış ortak teğeti P ve Q da, birbirlerini T de kesmektedir. Buna göre; A(PTQ) kaç br dir? A, B ve C noktalarının çembere gore kuvvetleri yazıldığında ; AD. AE = AP. AH BF. BG = BE. BD CH. CP = CG. CF AEB ve BFA üçgenleri AB =6, AE = BF = olduğundan 0 0-60 0-90 0 dik üçgenleridir. ATB ve PTQ üçgenleri taban açıları 0 0 olan ikizkenar üçgenlerdir. AB =6, ST = PTQ üçgeninin yüksekliği : PQ = 6 6 bulunur. A(PTQ)= (6 6)( ) 8 br. AB = BC = AC =K dersek AD (K- BE )= AP (K- HC ) BF (K- GC )= BE (K- AD ) CH (K- AP )= CG (K- BF ) AD.K- AD. BE = AP.K- AP. HC BF.K- BF. GC = BE.K- BE. AD CH.K- CH. AP = CG.K- CG. BF eşitlikleri taraf tarafa toplandığında ; AD + BF + CH = AP + CG + BE bulunur. 8+4+9=x+6+, =x+9, x= dir. - 7 -
ANALİTİK GEOMETRİ O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Düzlemde her noktaya bir gerçel sayı ikilisi, her gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta karşı gelir. Bir noktanın y-ekseninden uzaklığına, noktanın apsis i denir. x ile gösterilir. x-ekseninden uzaklığına, noktanın ordinat ı denir. y ile gösterilir. (x,y) ikilisine noktanın koordinatı denir. x+y+=0 doğrusunun; Ox eksenine göre simetriği: x-y+=0 Oy eksenine göre simetriği: -x+y+=0 O noktasına göre simetriği: -x-y+=0 y=x doğrusuna göre simetriği: y+x+=0 y=-x doğrusuna göre simetriği: -y-x+=0 x ekseni üzerinde bulunan, A(,) ve B(4,) noktalarından uzaklıkları toplamı en az olan C noktasının apsisi kaçtır? A(x,y) noktasının: Ox eksenine göre simetriği: A (x,-y) Oy eksenine göre simetriği: A (-x,y) O noktasına göre simetriği: A (-x,-y) y=x doğrusuna göre simetriği: A 4 (y,x) y=-x doğrusuna göre simetriği: A 5 (-y,-x) ADC BEC (A.A) x 4 x x=/5 AD BE DC EC, 8-x=x-, 5x=, Toplamın en küçük değeri: AC + CB = A C + CB = A B A B = +4 =5 A B =5-8 -
!!! Geometrik yer denklemi olarak bulunan doğru denklemi, [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemidir. A(x,y ) ve B(x,y ) olmak üzere [AB] yi verilen k oranında bölen nokta C(x o,y o ) olsun. x o x kx y ky, y o k k (k < 0 ise C[AB] dir.) dir. C(x o,y o ), [AB] nin orta noktası ise: x o x x, y o y y A nın, x eksenine göre simetriği A, B nin, y eksenine göre simetriği B olsun. A PTB yolu aranan yoldur. A B =5 birim. A(x,y) noktasının P(a,b) noktasına göre simetriği: A (a-x, b-y) A(x,y ) ve B(x,y ) noktaları arasındaki uzaklık: AB x x y y A(,) ve B(-,4) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının geometrik yerinin denklemi? PA = PB ( x ) ( y ) ( x ) ( y x -x++y -4y+4 = x +6x+9+y -8y+6 x-y+5 = 0 4) A(,4) noktasının, B(6,) noktasına göre simetriği? A nın, B ye göre simetriği C ise; B noktası, [AC] nin orta noktasıdır. x 4 y 6=, x=9 ve =, y=0 C(9,0) - 9 -
A(x,y ), B(x,y ), C(x,y ) olmak üzere ABC üçgeninin kenar ortaylarının kesim noktası G(x o,y o ) ise: x o x x x, y o y y y DOĞRU DENKLEMİ: Bir doğrunun Ox ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı, eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi denir. A(0,0) ; B(-,5) ; C(4,) olmak üzere, ABC üçgeninin kenar ortaylarının kesim noktası? x x x x o y y y y o G(,) 0 ( ) 4 0 5 A(x, y ) ve B(x,y ) noktalarından geçen doğrunun eğimi: m y x y x A(x,y ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi: y-y = m(x-x ) Paralelkenarda karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı ve karşılıklı köşelerin ordinatları toplamı eşittir. A(x,y ) ve B(x,y ) noktalarından geçen doğru denklemi: x +x =x +x 4 ve y +y =y +y 4 y y y y x x x x (-,-) ; (0,) ; (-,) ; (m,n) noktaları bir paralel kenarın köşeleri ise m+n=? x +x =x +x 4 -+(-)=0+m m=-4 y +y =y +y 4 -+=+n n=- m+n=-5 UYARI: Dikdörtgen,Kare ve Eşkenar dörtgen için de kural geçerlidir. x x y 0 x y y x eksenini p de, y eksenini k da kesen doğru denklemi: x p y k - 0 -
x = a y eksenine paralel doğrudur. (x=0 doğrusu, Ox ekseni.) A(x,y) noktasının x = a ya göre simetriği A (a-x, y) dir. y = b x eksenine paralel doğrudur. (y=0 doğrusu, Oy ekseni.) A(x,y) noktasının y=b ye göre simetriği A (x, b-y) dir. A(-,) noktasının; x= ve y=- doğrularına göre simetrikleri? ax+by+c=0 kapalı doğru denklemi. a Eğimi m= dir. b Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir. d // d m m Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı - dir. d d m. m ax+by+c=0 ve a x+b y+c =0 doğruları için: (4,) ; (-,-5) a a b b kesişirler. y = mx merkezden geçen, eğimi m olan doğrudur. y=x I. Açı ortay doğrusu. y=-x II. Açı ortay doğrusu. a a c a a b b b b c c c paraleldirler. çakışıktırlar. x-4y-=0 doğrusunun, y=x ve y=-x doğrularına göre simetrikleri: y-4x-=0 ve -y+4x-=0 dır. y=mx+n eşitliğinde: m değişir, n sabit kalırsa doğrular (0,n) noktasından geçerler. m sabit kalır, n değişirse doğrular paraleldir. ax+by=0 merkezden geçen, a eğimi m= b olan doğrudur. y=mx+n açık doğru denklemi. Eğimi m dir. ax+by+c=0 ve a x+b y+c =0 doğrularının kesim noktasından geçen bütün doğruların denklemi: (doğru demeti) ax+by+c+k(a x+b y+c )=0 dır. - -
Denklemleri x+y-8=0 ve 7x+y+6=0 olan doğruların kesim noktasından ve koordinat başlangıcından geçen doğrunun denklemi? 7x+y+6+k(x+y-8)=0 doğrularından O(0,0) noktasından geçen için : 6+k(-8)=0 ve k= dir. 7x+y+6+(x+y-8)=0 x+8y=0 olur. ax+by+c=0 ve a x+b y+c =0 doğrularının oluşturduğu açıların açıortaylarının denklemi: ax by c ax b y c a b a b Eğimleri m ve m olan iki doğru arasındaki açı Θ ise: m m tan m m A(x,y ) noktasının ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı: d ax by a b c A(x,y ), B(x,y ), C(x,y ) olmak üzere: x. A( ABC ) x y dir. x y y ax+by+c=0 doğrusunun orijinden uzaklığı: d a c b Üç noktanın doğrusal olması için: A(ABC)=0 olmalıdır. Paralel iki doğru olan ax+by+c=0 ve ax+by+c =0 doğruları arasındaki uzaklık: d c c a b ALIŞTIRMALAR: x>, y<, x< 0, 0< x<, -< y< x ve y 4, x ve y x +y =, x +y <, x +y > x ve y 4, x-5 y x + y =, x.y=0, x +x= y +y koşulunu sağlayan (x,y) noktalarını analitik düzlemde gösteriniz. - -
Köşegenlerinin kesim noktası (0,/) olan ve bir kenarı x ekseni üzerinde bulunan karenin köşegen uzunluğu kaç birimdir? Köşegenlerin kesim noktasının x ekseninden uzaklığı karenin kenarının yarısıdır. y=/ olduğundan a= dir. e= a= Analitik düzlemde Ox ekseninden, Oy ekseninden ve (,6) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktalar? P(x,y) noktası eksenlerden eşit uzaklıkta olduğundan; x=y=a diyelim. PA =a olacağından; ( a ) ( a 6) a a -6a+9+a -a+6=a a -8a+45=0 (a-)(a-5)=0 a = a =5 Y:(,),(5,5) A(-,4), B(,), C(-,-) için ΔABCde mb=? 4 m AB = ( ), m BC = ( ) (m AB )(m BC )=(-)()=- olduğundan AB BC dir. m,nz olmak üzere, O merkezli, 5/ birim yarıçaplı çemberin içinde kaç tane (m,n) noktası vardır? OP < 5/ ( x 0) ( y 0) 5/ x +y < 5/4 eşitsizliğini doğrulayan x +y = çemberi üzerindeki hangi noktalar (,) ve (-,) noktalarından eşit uzaklıktadır? P(x,y) noktası (,) ve (-,) noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan; ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) y=-x bulunur. x +y = eşitliği ile ortak çözümü; x +(-x) = 5x -x=0 x =0 x =/5 y = y =-4/5 Y:(0,),(/5,-4/5) (,) ve (,) noktalarından geçen doğru y eksenini (0,b) de kesiyorsa b=? y x, y=x- tane tamsayı ikilisi vardır. b=.0-, b=- - -
x+5y-0=0 doğrusu ile koordinat eksenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı kaç br dir? x=0 için y=4 ve y=0 için x=0 olduğundan eksenleri kestiği noktalar (0,4) ve (0,0) dır. 0.4 Oluşan dik üçgenin alanı: 0 br. 5x-y= doğrusuna dik olan öyle bir doğru bulunuz ki, bu doğru ile eksenlerin oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı 5 br olsun? y=x+ doğrusu üzerinde bulunan, (0,0) ve (-,4) noktalarından eşit uzaklıkta olan nokta? AOB DOC (A.A) A(AOB)=/0 y=x+ doğrusu üzerindeki nokta, P(x,x+) ( x 0) (x 0) ( x ) (x 8x-7=0 x=7/8 y=/6 Y:(7/8, /6) A(0,0), B(9,0) olacak şekilde verilen ΔABC için a=0, b=7, c=9 olduğu biliniyor. Buna göre I. Bölgedeki C noktası? AC =7, x y 7, x +y =89 BC =0, ( x 9) y 0, x -8x+8+y =00 8x=70, x=5, y= 8 Y:(5,8) 4) 0 5 OC OC = 5 5x-y=0, m =5 m.m =- m = 5 y x Y: y x 5 5 mr + için x+y=700 ve y=mx- doğrularının koordinatları tamsayı olan bir noktada kesişmeleri için m=? x+y=700 ve y=mx- denklem sisteminden; 7 x+(mx-)=700, x= m m=6-4 -
y=x ve y=7x doğrularının oluşturduğu açılardan birinin oçı ortayının eğimi kaçtır? x y 7x y 5 x+y=0 m =-/ x-y=0 m = x + y koşulunu sağlayan (x,y) noktalarının oluşturduğu alan kaç br dir? x y, x y x y, x y AB =l olan [AB] nin uç noktaları eksenler üzerinde kayarken P orta noktasının geometrik yeri? AOB dik üçgeninde; hipotenüse ait kenar ortayın uzunluğu,hipotenüsün yarısı olacağından OP =l/ dir. O dan l/ birim uzaklıkta bulunan noktalar, O merkezli ve l/ birim yarıçaplı çember üzerindedir. Y:O merkezli. l/ yarıçaplı çember A(,) noktasından geçen, eğimi /5 olan doğrunun denklemi nedir? y-y =m(x-x ), y-= 5 (x-) 4.4. Taralı alan = 6 birim kare. Köşeleri (,0),(0,4),(4,6) olan üçgenin çevrel çemberinin merkezi? OA = OB = OC ( x ) y x ( y 4) ( x 4) ( y 6) x-5y+=0 x+4y=000 doğrusu O dan kaç br. uzaklıktadır? c d a b 000 4 000 00 5 x= ve y= - 5 -
Denklemi x-5y+=0 olan doğru ve koordinat eksenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? x=0 ve y=0 doğruları ile verilen doğrunun kesim noktaları; (0, /5) ve (-/, 0) dır. Oluşan üçgensel bölgenin alanı: (. ) birim kare. 5 0 A(5,) noktasının, x+y-=0 doğrusu üzerindeki dik izdüşümü? x+y-=0, m =- m.m =-, m = (5,) den geçen, eğimi m = olan doğru denklemi y-=.(x-5), x-y-4=0 dır. Verilen doğru ile kesim noktası A (, -) aranan noktadır. UYARI: A noktasının x+y-=0 doğrusuna göre simetriği; A nın, izdüşümü olan A e göre simetriğidir. A (,-) x+y-4=0 doğrusunun x=- doğrusuna göre simetriğinin denklemini yazınız. (x,y) noktasının x=- doğrusuna göre simetriği (.(-)-x, y)=(--x, y) olduğundan x+y-4=0 doğrusunun x=- doğrusuna göre simetriği (--x)+y-4=0 x-y+6=0 dır. a) BC doğrusu üzerinde bulunan ve AP + AQ toplamının en küçük olmasını sağlayan A noktası? P ve Q noktalarının d doğrusu üzerindeki dik izdüşümlerini bulalım: d: x+y=4 P den, d ye çizilen dikme: y=x+7 Q dan, d!ye çizilen dikme: y=x-5 P (-/, /) Q (9/, -/) [P Q ] in orta noktası A dır. A(/, 5/) b) a daki A noktasından geçen ve PQ doğrusuna paralel olan d doğrusuyla x=4 doğrusunun kesim noktasının ordinatı? m PQ =-/, 5 y ( x ) x=4, y=5/4 c) b deki kesim noktası D olsun. d doğrusu ile y ekseninin kesim noktası E ise A(OCDE)=? x=0 için y=/4 E(0, /4) D( 4, 5/4) 5 ( ).4 A(OCDE)= 4 4 9 br - 6 -
y+x+=0 ve y+ax+=0 doğruları dik kesiştiğine göre a kaçtır? a m =, m = ve a a=-6 x+y=, x+y= doğruları ve eksenlerle sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir? 4x+ay-4a=0 doğrusu, x-y+4=0 doğrusuna diktir. Bu iki doğru ve x ekseninin oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? m =- a 4, m = ve (- a 4 ).=- a=8 Doğruların eksenleri kestiği noktalar: (-,0), (8,0) ve (0,4) olduğundan, taban=0 birim, yükseklik=4 birimdir. 0.4 Alan = 0 br x-4y+=0 ve 6x-8y-6=0 doğrularını kenar kabul eden dikdörtgenin alanı 56 br ise çevresi kaç birimdir? x-4y+=0 ve x-4y-8=0 paralel doğruları arasındaki uzaklık: ( 8) d 8 br. 4 8.b=56, b=7 Ç=(7+8)=0 br. Taralı alan= (.) (.) br y=-4 ; x=0 ve x+4y+k=0 doğruları ile sınırlı üçgensel bölgenin alanı 4 br ise k nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? y=-4 ve x+4y+k=0 doğruları ; 6 k (, -4) x=0 ve x+4y+k=0 doğruları ; k (0, ) noktalarında kesişirler. 4 Oluşan dik üçgenin dik kenar uzunlukları: 6 k 6 k ve birim, 4 6 k 6 k. 4 4 (6-k) =576 6-k=4, k=-8 ve 6-k=-4, k=40-7 -
.. Analitik düzlemde O başlangıç noktasından uzaklığı 5 birim ve koordinatları tamsayı olan kaç tane nokta vardır? Verilenlere göre ACDB yolunun en küçük değeri kaç birimdir? O merkezli, 5 br. yarıçaplı çember üzerindeki koordinatları tamsayı olan noktalar aranıyor. x + y = 5 koşunu sağlayan (x,y) tamsayı ikilileri isteniyor. (5,0),(4,),(,4),(0,5),(-,4),(-4,),(- 5,0),(-4,-), (-,-4),(0,-5),(-,-4),(-4,-) olmak üzere tane nokta vardır. Aranan en kısa yol : A nın y eksenine simetriği olan A ile, B nin x eksenine göre simetriği olan B yü birleştiren A CDB yoludur. UYARI: B nin O ya göre simetriği olan P yi, A ile birleştiren ACP yolu A CDB ile aynıdır. A B = ( 8) (5 ( )) 70-8 -
. 4. Analitik düzlemde ; x y ve x y eğrileri ile sınırlı düzlemsel bölgenin alanı kaç br dir? AC = CB, CD AB Verilenlere göre ; x in tamsayı olmasını sağlayan kaç tane p tamsayısı vardır? x y x y x-y= ve x-y=- doğruları arasındaki noktalar. x y x y ve x y x+y= ve x+y=- doğruları arasındaki noktalar. CD, [AB] nin orta dikmesi olduğundan AD = BD dir. ( 0 x) (4 0) ( p x) (6 0) p xp 0 0 denkleminde x in hangi tamsayı değerleri için p tamsayı olduğu araştırılacak. 4x 80 x 0 Köşeleri (,0),(0,),(-,0),(0,-) olan karesel bölgenin alanı br dir. x 0 ifadesini tamsayı yapan x in 6 değerleri için p tamsayı olur. P nin ve 0 değerleri için x değerleri de tamsayıdır. - 9 -
5. 7. y= x- ve y=- x eğrileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir? y-x= ve y-5x= doğrularının kesim noktasından geçen, y-x=7 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini yazınız? Kenar uzunlukları ve br. olan bir dikdörtgen oluşur. ALAN =. = 4 br. 6. y-x= ve y-5x= doğrularının kesim noktasından geçen tüm doğruların denklemi: y-x-+k(y-5x-)=0 (+k)y-(+5k)x--k=0 biçimindedir. y-x=7 doğrusunun eğimi m=, dik doğrunun eğimi m = olduğundan 5k olmalıdır. k k= 5 A(0,0) ve B(,4) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının geometrik yerinin denklemini yazınız? 5 5 5 ( ( )) y ( 5( )) x ( ) 0 6y+x-9=0 aranan doğrunun denklemidir. AP = BP ( x 0) ( y 0) ( x ) ( y 4) x y x 6x 9 y 8y 6 x y x 6x 9 y 8y 6 6x 8y 5 0-40 -
KONU TARAMA TESTİ 6.. Bir kenarı x-ekseni üzerinde olan, köşegenleri (0,/) noktasında kesişen karenin alanı kaç birim karedir? A) /4 B) / C) D) E) 4. A(-,) ve B(,-4) noktaları için AB =? A) 58 B) 55 C) 5 D) 7 E) 6. A(0,), B(-,0), C(,-), D(-,), E(0,-) noktalarından hangisi 4. bölgededir? A) A B) B C) C D) D E) E Taralı bölge aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi ile verilmiştir? A) x ve y B) x ve y C) x ve y D) x ve y E) x ve y 7. A(,-) ve B(4,) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? A) / B) / C) D) E) 4. 8. A(-,5) noktasından geçen ve eğimi - olan doğrunun denklemi hangisidir? A) y=-x+ B) y=x- C) y=-x- D) y=x+ E) y= x+ A) / B) 5 C) D) 5/ E) 5. A(0,0) ve B(,4) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x-8y=5 B) 6x+8y=5 C) x-4y=5 D) x+4y=5 E) x+4y=5 9. Eğimi 9 olan ve y-eksenini -7 de kesen doğrunun denklemi hangisidir? A) y=9x+7 B) y=9x-7 C) y=-9x+7 D) y=-9x-7 E) y= 7 9 x- 0. A(-,) ve B(4,-) noktalarından geçen doğrunun denklemi hangisidir? A) x+y+5=0 B) x-y+5=0 C) x-y-5=0 D) x+y-5=0 E) x+y+5=0-4 -
. x-eksenini - de, y-eksenini 5 de kesen doğrunun denklemi hangisidir? A) 5x+y+0=0 B) 5x+y-0=0 C) 5x-y+0=0 D) 5x-y-0=0 E) x+5y+0=0. x-y+=0 doğrusuna dik olan ve başlangıç noktasından geçen doğrunun denklemi hangisidir? A) x-y=0 B) x+y=0 C) x-y=0 D) x+y=0 E) x+y=0. x+y-=0 ve x-y+=0 doğrularının kesim noktasının apsisi kaçtır? A) 5/ B) 4/ C) D) E) 7. A(,) noktasının x+4y-=0 doğrusundan uzaklığı kaç birimdir? A) B) C) D) 4 E) 5 8. x+y-=0 ve x+4y+=0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 5 B) 7 5 C) 4 5 D) E) 4 9. x+5y-0=0 doğrusu ve koordinat eksenlerinin oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 40 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 4. x+y-=0 ve x+ky+=0 doğrularının paralel olması için k kaç olmalıdır? A) - B) - C) D) E) 4 0. A(,), B(5,7), C(4,8), D(a,b) noktaları bir dikdörtgenin köşeleridir. a+b=? A) B) C) D) 4 E) 5 5. x+5y-7=0 ve 5x+ay+4=0 doğrularının dik olması için a ne olmalıdır? A) -6 B) -4 C) - D) 4 E) 6. A(7,) noktasından geçen ve x- ekseni ile pozitif yönde 45 o lik açı yapan doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 6. A(-4,) ve B(,-) noktaları için [AB] nin orta dikme doğrusunun denklemi hangisidir? A)x+y+5=0 B)x+y-5=0 C)x-y+5=0 D) x-y-5=0 E) x+y+5=0. x-4y= ve 4x-y=- doğrularının oluşturduğu açılardan birinin açı ortayının denklemi hangisidir? A) 7x+7y= B) 7x+7y=- C) 7x-7y= D) 7x-7y=- E) x+y=7-4 -
. (5m+)x+(m-)y+-m=0 doğrularının geçtiği sabit nokta P(x,y) ise x+y=? A) B) 5/4 C) / D) 7/4 E) 8. A(,) noktasının, y=mx+ doğrularına göre simetriklerinin geometrik yerinin denklemi hangisidir? A) x +(y-) =4 B) (x-) +y =9 C) (x-) +y = D) (x-) +(y-) =5 4. P(t+, t-) noktalarının geometrik yerinin denklemi hangisidir? E) x +(y-) = A) y=x+ B) y=x- C) y=x+ D) y=x- E) y=x 5. y=x+ doğrusu üzerinde bulunan, (0,0) ve (-,4) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) 5 B) 4/9 C) 4 D) 5/8 E) 6. A(,) ve B(a,) noktaları x-y+=0 doğrusunun farklı taraflarında ise a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a< 4 B) a< C) a< 9. x-y+=0 doğrusunun x+y=0 doğrusuna göre simetriğinin denklemi hangisidir? A) x+y+=0 B) x-y-=0 C)x-y+=0 E)x+y-=0 D)x+y+=0 0. y=x+ doğrusu üzerinde bulunan ve A(-,) noktasına en yakın noktanın apsisi kaçtır? A) - B) - C) 0 D) E) D) a< E) a > 7. A(,0) noktasından ve x+=0 doğrusundan eşit uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının geometrik yerinin denklemi hangisidir? A) y =x B) y =4x C) y =8x D) y =6x E) y=6x - 4 -
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ: Düzlemde verilen bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine çember denir. MP M(a,b) merkez, r yarıçap x a y b r x a y b r Çember; Ox eksenine teğet ise r= b, Oy eksenine teğet ise r= a, Ox ve Oy eksenlerine teğet ise r= a = b Merkezi O(0,0) olan r yarıçaplı çember: x +y =r Genel çember denklemi: x +y +Dx+Ey+F=0 D a, E b M(a,b) merkez r D E 4F yarıçap D +E -4F > 0 ise gerçel çember D +E -4F =0 ise nokta çember D +E -4F < 0 ise sanal çember D E F F D E F eksenlerine teğet ise Ox eksenine teğet ise Oy eksenine teğet ise Ox ve Oy (x,y ) noktasının x +y +Dx+Ey+F=0 çemberine göre kuvveti: p= x y Dx Ey F dir. Bu noktadan çembere çizilen teğetin uzunluğu: t p x +y =r çemberi ile y=mx+n doğrusu için: r (+m )=n ise doğru çembere teğettir. mr r Değme noktası: (, ) n n x +y =r çemberine üzerindeki (x,y )noktasından çizilen teğetin denklemi: xx +yy =r (x-a) +(y-b) =r çemberine üzerindeki (x,y )noktasından çizilen teğetin denklemi: (x -a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r x +y +Dx+Ey+F=0 çemberine üzerindeki (x,y )noktasından çizilen teğetin denklemi: xx D E x x y y F 0 yy (x,y ) noktası çember dışında ise bulunan denklemler değme kirişinin denklemidir. d Çemberlerin dik kesişme şartı: r r veya DD +EE =(F+F ) F=0 ise orijinden geçer. F(x,y)+kG(x,y)=0 Çember demeti - 44 -
UZAY GEOMETRİ Düzlemin kesişen iki doğrusuna kesim noktalarında dik olan doğru, düzlemin o noktadan geçen her doğrusuna diktir. (Düzleme diktir.) Paralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle arakesit doğruları paraleldir. Kesişen iki düzlemin arakesitine düzlemler içinde çizilen diklerin oluşturduğu açıya İki düzlemli açının ölçek açısı denir. d E, d E, d d, d d ise d E Aynı noktada kesişen üç doğruya kesim noktasında dik bir doğru varsa, bu üç doğru düzlemseldir. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. E F=d, d E, d d, d F, d d iken d Ad açısı ölçek açıdır. Ölçek açısı 90 o birbirine diktir denir. olan düzlemler Paralel iki doğrudan biri düzleme dik ise, diğeri de diktir. Dışındaki bir noktadan düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya dikmeler çizildiğinde dikme ayaklarını birleştiren doğru, düzlem içindeki doğruya diktir. (Üç dikme teo.) [A(ABC)] =[A(AOB)] +[A(AOC)] +[A(BOC)] Bir kübün yüzlerinin belirlediği düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır? PA E, d E, PB d ise AB d dir. Paralel iki düzlem, uzayı üç bölgeye ayırır. Üç çift paralel düzlem, uzayı..=7 bölgeye ayırır. - 45 -
PRİZMA: EĞİK PRİZMA: Ç :dik kesit çevresi K:dik kesit alanı l :yanal ayrıt :yanal ayrıtın taban düzlemiyle yaptığı açı Y=Ç.l (yanal alan) A=Y+T (alan) T: taban alanı V=T.h=K.l =T.l.sin (hacim) DİKDÖRTGENLER PRİZMASI: Y=(a+b)c A=(ab+ac+bc) V=abc Cisim köşegeni= a b c Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları 64, 80 ve 0 cm ise hacmi kaç cm tür? a.b=64, a.c=80, b.c=0 a.b.c =64.80.0=0, a.b.c=0 AA =l, DEF dik kesit DİK PRİZMA: Y=Ç.h A=Y+T V=T.h Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları, 5, 7 sayıları ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm olduğuna göre hacmi kaç cm tür? a b c k 5 7 a=k, b=5k, c=7k (ab+ac+bc) = (5k +k +5k ) = 4k = 568, k= abc=6.0.4=840-46 -
KÜP: A = 6a ; V = a Yüz köşegeni = a Cisim köşegeni = a AB B dik üçgeninde: AB = +( ) = 4 AB = PQ = 4 PQ = PR = QR a A(PQR)= 4 4 4 7 Yatay bir masa üzerinde duran dikdörtgenler prizması şeklindeki bir akvaryumun genişliği 5 cm, yüksekliği 0 cm dir. Masa eğildiği zaman içindeki su 0x5 lik yüzü tamamen örttüğü anda, tabanın ancak dörtte üçünü kapatıyor. Buna göre masa yatay durumda iken suyun yüksekliği kaç cm. dir? AB = BC = CD = DA 5 5 AB =5 +( ) = 4 5 5 Ç(ABCD)=4. 5 5 4 5 5, AB = su=4x.5.h eğildiğinde=(0.x:)5 00xh=750x h=7,5 cm. - 47 -
PİRAMİT: Y= Ç.h A=Y+T V= T.h KESİK PİRAMİT: h' h k V ' h' V h V k h, k T' T h' k, h T. h T TT' T' k k DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen a 6 h ; a V DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen a OP ; A a ; a V AB en kısa yol. ACB dik üçgeninde: AB = AB = 7 7 4 DÜZGÜN ONİKİYÜZLÜ: Yüzler düzgün beşgen DÜZGÜN YİRMİYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen!!! yüz sayısı+köşe sayısı-ayrıt sayısı= - 48 -
SİLİNDİR: KONİ: T=πr ; Y=πrh ; Y=πra ; A=πr(r+a) ; A=πr(r+h) ; V=πr h V= πr h a =h +r ; =60 a r Yanal alanı 0 cm, yüksekliği 0 cm. olan silindirin hacmi kaç cm olur? Y=. r. h. r.0 0, V=. r 5. h.( ).0 r Eşit yükseklikleri olan bir koni ile silindirin hacimleri de eşittir. Taban yarıçaplarının oranı kaçtır? V k =.r. h, V s =.R. h r. r. h. R. h, R Boyutları a ve b olan bir dik dörtgenin uzun ve kısa kenarları etrafında döndürülmesi ile oluşan dönel silindirlerin yanal alanları ve hacimleri oranı nedir? Y =πba V =πb a Y Y Y =πab V =πa b V b V a. AB yayının uzunluğu = Taban çevresi =. r, r= a =h +r, =h +, h= V=. r. h.. - 49 -
- 50 - KESİK KONİ: k r r h h ' ' ' ' ' r r h h T T =k ' ' ' k r r h h V V a =h +(r-r ) Y=π(r+r )a A=π(r+r )a+π(r +r ) ' ' ' ' T TT T h r rr r h V k KÜRE: A=4Πr ; V= 4 Πr KÜRE KUŞAĞI ve KÜRE KAPAĞI ALANI: πrh KÜRE PARÇASI HACMİ: Πh (r- h ) KÜRE TABAKASININ HACMİ: 6... h r r h Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden R/ uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesitin alanı kaç ΠR dir. R =d +r, R = r R r = 4 R A= 4. R r
Yarıçapları 0 cm. ve 40 cm. olan kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık 50 cm. ise bu kürelerin arakesit çemberlerinin yarıçapı kaç cm. dir? PAPPUS-GULDİN TEOREMİ: l uzunluğundaki bir düzlem eğrisinin kendisini kesmeyen bir eksen etrafında dönmesinden oluşan cismin alanı=.r. l Alanı S olan bir düzlem parçasının kendi düzlemi içinde bulunan ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi=.r. S 0 +40 =50 olduğundan küreler dik kesişiyor. R +R =d ve R.R =d.r dir. 0.40=50.r, r=4 Bir kürenin, birbirine dik iki düzlemle ara kesit çemberlerinin yarıçapları 8 cm. ve 5 cm. dir. Çemberlerin arakesit noktaları arasındaki uzaklık 4 cm. olduğuna göre, küreni yarıçapı kaç cm.dir? 4x4x4 birim küpten oluşan küpte kaç farklı küp vardır? xx küplerden : 4x4x4=4 =64 tane xx küplerden : xx= =7 tane xx küplerden : xx= =8 tane 4X4x4 küplerden :xx= = tane 5 =7 + OO, OO =4 R =4 +8, R=0 0lmak üzere : + + +4 = 00 tane - 5 -