İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın ktsyılr, e bilinmeyen denir. Bu denklemi gerçekleyen gerçel syılr denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulm işlemine denklemin çözümü denir. Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. Aşğıd verilen denklemlerin bir bilinmeyenli ikini dereeden denklem olup olmdığını söyleyiniz. = 0 =, b = 0, = 0 5 = 0 =, b = 0, = 5 m m = 0 =, b =, = 0 y y = 0 İkini dereen denklem değil. 4 y y = 0 İkini dereeden bir bilinmeyenli denklem değil. ( =, b = y, = y düşünülürse ikini dereen bir bilinmeyenli denklemdir.) = =, b =, = 5 6 İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ A. = 0 yni 0 b = ve = 0 ise; Ç { } = 0 = 0 = = 0 = 0 bulunur. B. = 0 yni b = 0 ise; = 0 ise, = = =,

Ç = =, = bulunur. ( b = 0 denkleminde b = 0 Simetrik İki Kök Vrdır ) C. b = 0 yni = 0 ise; ( ) = 0 = 0 = 0 vey b = 0 olur. Burdn; b b b b = 0 ve = bulunur. Ç = 0, olur. Soru : Aşğıd verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz?. 6 9 = 0. 4 6 = 0. 9 = 0 4. ( ) ( ) ( ) 6 4 = 0 ( İkini dereeden bir denklem midir? ) m m 4 6 = 0 denkleminin simetrik iki kökü olmsı için m =? D. b = 0 ise; Çrpnlr yrılbiliyors önelikle çrpnlr yrılır. Elde edilen denklem çözülür. 6 = 0 = 0 ise, = 0 vey = 0 bulunur. ( )( ) Burdn = ve = bulunur... {,} Ç K = olur. = ise, ( )( ) 0 = 0 dn = 0 vey = 0 bulunur. Burdn = ve = bulunur. Ç. K. =, olur. ) Genel çözümü; b b b b = = = 4 4 b 0 ( Tm kreye tmmlmk için in ktsyısının kresini bir ekleyip bir çıkrdık.)

4 4 b b b b = = 0 b b 4 = 0 = 4 b b 4 = = 0 4 b b 4 = 4 b b 4 = 4 b b 4 = ± 4 b b 4 = ± 4 ± = 4 b b Burdn; b b 4 = ve b b 4 = elde edilir. Elde edilen bu köklerin gerçel ( Reel ) syı olmlrı için, b ve ktsyılrı rsınd nsıl bir bğıntı olmlıdır? Köklü ifdelerin tnımlı olbilmeleri için kökün içinin işreti ne olmlıdır. Uyrı: Yukrıd elde ettiğimiz köklerin gerçel syı olmlrı için b 4.. 0 olmlıdır. Tnım : b = 0 ikini dereeden bir bilinmeyenli denkleminde diskriminntı denir ve sembolü ile gösterilir. b 4.. değerine denklemin = b 4.. lınır ise denklemin köklerini veren genel ifde şu şekilde elde edilir. b b b ± = ve = kıs;, = Sonuç: b = 0 ikini dereeden bir bilinmeyenli denkleminde; b b ) > 0 ise gerçel iki kök vrdır. Bu kökler = ve = dir. Soru : b = 0 denkleminde ile ters işretli ise kökleri hkkınd ne söyleyebiliriz? Verilen çıkğındn b = 0 denkleminde ile ters işretli ise = b 4.. dim sıfırdn büyük

ile ters işretli ise denklemin gerçel iki kökü vrdır. ) = 0 ise ikini deree denklemin eşit iki kökü vrdır. Bu durumdu denklemin çkışık iki kökü vey iki kt kökü vrdır denir. b ± b ± 0 b = 0 olduğundn = = = = bulunur. b (TAM KARE) olur. = 0 ikini dereeden denkleminde = 0 olduğund denklem b = 0 biçiminde ) < 0 ise yoktur. b ± ifdesinde tnımlı olmyğındn ikini deree denklemin gerçel kökleri YARIM FORMÜL: b = 0 denkleminde b çift syı ise denklemin her iki trfını ye böler ve b ' b b ' = lırsk = 4.. = ( b ') bulunur. Bu zmn kökler ;, b' ± ' = denklemi ile bulunbilir. Sorulr:. Aşğıdki ikini deree denklemleri çözüm kümelerini bulunuz?. b.. d. e. = 0 4 = 0 4 = 0 6 = 0 0 = 0 4

. b = 0 denkleminde b = 0 ise köklerden biri diğerinin olduğunu gösteriniz?. b = 0 denkleminde = b ise köklerden birinin diğerinin olduğunu gösteriniz? Soru : = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. m R olmk üzere, m m = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. m m = 0 m m m. m = 0 = m = m bulunur. ise, ( ) ( ) Bun göre Ç. K. { m,m} = olur. = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. b = 4.. = 4.. = 8 < 0 olduğundn.. Ç K = olur. = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ( Ç = {, } ) Uyrı: İkini dereeden bir denklemin köklerinden birisi ± b ise, diğerinin ilk kökün eşleniği olduğun dikkt ediniz. 9 m = denkleminin frklı iki reel kökünün olmsı için m =? ( m < ) 8 0 m m = 0 denkleminin köklerinden birisi ise, diğerini bulunuz. ( ) = ise, bu kök denklemi sğlr. Yni, ( ) ( m )( ) m = 0 ise, 5

m = bulunur. Bun göre denklemimiz. 6 =. = 0 şeklinde yzrsk, Bu denklemi ( ) ( ) Diğer kökü = olrk buluruz. 6 = 0 olur. k = 0 ve k = 0 denklemlerinin birer kökleri ortk ise, k =? İki denkleminde ortk kökünü diyelim bun göre, k. = 0 ( k ) k = k /. = 0 bulunur. m ( m ) ( m) Yni burd syısı her iki denkleminde ortk kökü olur. = için ( ) k. ( ) = 0 k = 4 bulunur. = 0 denkleminin çift ktlı kökünün olmsı için m =? b = 4.. = 0 olmlı. Bun göre, ( ( m )) m ( m) 4.. = 0 ise, m m m m m m 8 4 = 0 5 0 = 0 dn m değerlerini bulbilmek için = ( 0) 4.5. = 80 den 0 80 0 4 5 0 4 5 m = =, m = bulunur..5 0 0 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLER A. ÇARPANLARA AYRILABİLEN DENKLEMLER: ( ) = ( ). ( ) = 0 ( ) = 0 ( ) 0 H P Q P Q = düşünülerek çözüm ypılır. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 8 7 0 6

= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. B. RASYONEL DENKLEMLER: P( ) H ( ) = = 0 P( ) = 0 Λ Q( ) 0 biçiminde düşünülerek çözülür. Q( ) Bu tür denklemleri çözerken;. Denklem birçok rsyonel ifdenin toplmı vey frkı biçimde ise öne pydlrın OKEK leri bulunrk eşitlenir.. İfde bir trft toplnrk sıfır eşitlenir.. Kuvvetler çılır ve prntezler çılrk gerekli çrpımlr ypılır, 4. Benzer terimler toplnrk ifde b = 0şekline getirilir. 5. Dh sonr py sıfır eşitlenerek çözüm bulunur, 6. Bulunn köklerin pydyı sıfır eşit ypıp ypmdığı kontrol edilir. Pydyı sıfır ypn değerler çözüm kümesine lınmz. 8 Soru : = Soru : 5 6 0 = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Ç :{ } 7 6 Soru : = 7 4 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4 7 = 8 Ç:{-7,7} 5 4 4 = Ç:{4,-} 4 = 5 5 Ç:{-/5, 4/5 } = 7 Ç:{} 7

= Ç:{} = 5 7 Ç:{7,} 5 = Ç:{ } 4 = 0 4 ( ) ( ) Ç:{ } 5 7( ) 7 = Ç:{ 0, 6/5 } 4 7 4 = 5 Ç:{ -, 5 } 4 = Ç:{ } C. YARDIMCI DEĞİŞKEN KULLANARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER ( DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME ) Verilen denklem içinde tekrr eden ifdeler vrs bu ifde yerine bir hrf (Prmetre ) yzrk denklem dh bsit hle getirilir ve bu bsit denklem çözülür. Soru : 6 78 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Soru : 7 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4 9 0. 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. = diyelim bun göre, 9 ( ) ( ) = = = olur. Yni; Denklemimiz, 0 9 = 0 şeklinde bir ikini dereeden denkleme dönüşür. 8

( )( ) 0 9 = 0 9 = 0 ise, = = 9 = = den, = = 0 ise, Ç = { 0,} bulunur. = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. = diyelim. Bun göre; = = olur. Burdn d; 0 0 0 ( ) = = = ise, 0 = = = = 0 olur. Yni; Ç = { 0} bulunur. 6 Soru : = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Soru : ( ) 66 7 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Soru : = Ç :{, } 4 7 6 0 4 = 0 Ç: { /6 } 6 = 0 Ç:{9} 4 = Ç:{6} 4 4 = 0 Ç:{ -8, 8 } ( ) 0 = Ç:{ 4/, } 9

( ) = 0 Ç:{0,} 8 8 4 = 0 4 4 Ç:{ /, - } D. KÖKLÜ DENKLEMLER: n N olmk üzere; n P( ) ifdesi R için tnımlıdır n P( ) ifdesi ise nk P ( ) 0şrtını gerçekleyen değerleri için tnımlıdır. Köklü denklemleri çözmek için;. Köklü ifde ve ifdeler eşitliğin bir trfın tılır.. Eşitliğin her iki trfının uygun kuvveti lınır. Böylelikle köklerden kurtulunur.. Kökten kurtulmuş denklem çözülür. 4. Bulunn kökler ilk denklemde yerine konulrk sğlyıp sğlmdığı kontrol edilir. Sğlmyn değerler çözüm kümesine lınmz. 6 4 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 6 = 4 (Burd her iki trfınd kresini lk olursk) 6 = 8 6 7 0 = 0 ise, ( )( ) 7 0 = 5 = 0 dn = = 5 olur. Burd her iki değeri de denklemde yerine yzdığımızd, kökün içerisi negtif ypmmsın rğmen 5 bu denklemi sğlmdığındn çözüm kümesinde yer lmz. Yni; Ç = { } olur. 0

= denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Burd her iki trfınd kresini lk olursk, ( )( ) 4. 4 = 4 denklemini düzenleyeek olursk, 4 = ( ) ( ) ( 4 ) 4( ) = 0 8 ( ( )( ) ) ( ) ( ) = ( ) dir. olur. Bun göre Ç = { } bulunur. = Ç:{4} = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. = diyelim. Bun göre; = dn, = 0 ( )( ) = 0 ise, = 0 = = vey = 0 = ( ) 4. ( ).( ) = < 0 olduğundn bu ikini denklemin çözüm kümesi yoktur. {, } değerleri de denklemi sğldığındn, Ç = {,} bulunur. 4 = 0 Ç:{} 9 = Ç:{7} = Ç:{0}

4 0 4 = 4 Ç:{4} Soru : 5 = Ç:{9} Soru : 7 5 = 8 Ç:{9} 5 = 4 5 Ç:{7} 5 8 = 5 6 5 Ç:{ } = 4 Ç:{ / }. = 7 9 = 5 Ç:{ -/4, /4 } = 5 Ç:{} = Ç:{5} E. ÜSLÜ DENKLEMLER P( ) = ise ( ) 0 P = biçiminde, = ise P( ) = Q( ) biçiminde düşünülerek sonu gidilir. P( ) Q( ) 6 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? = 64 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 4 8 0 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

F. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER n N olmk üzere [ ] n n f f ( ), f ( ) 0 ise ( ) = f ( ) = f ( ), f ( ) 0 ise = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?. = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?. 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 4 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ( ) 4 4 = olduğundn, ( ). = 0 = 0 ise, = 0 = = 0 = = olur. Burdn d; Ç = {,, } bulunur. G. DENKLEM SİSTEMLERİ. y = 64 y = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? y y = 4 y = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 6 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? y y = y y 6

y = y = denkleminin çözüm kümesini bulunuz? H. PARAMETRELİ DENKLEMLER İçinde değişkenin dışınd sbit vey sbitler bulunn denklemlere prmetreli denklem denir. Örneğin; ( ) m m m ( ) = 0 denklemindeki prmetre m b. b 0 = denklemindeki prmetreler ve b dir. ( m ) m ( m ). = 0 denkleminin köklerinden biri ( ) ise m kçtır. m m m 5 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökü olmsı için m ne olmlıdır? ( ) m m m = 0 denkleminin birbirinden frklı iki reel kökü olmsı için m in lbileeği en ( ) küçük tm syı değeri ne olmlıdır? m = 0 ve toplmı nedir? 5 m 6 0 = denklemlerinin birer kökleri ortk ise m nin lbileeği değerler ( ) = = n m 6 0 m 0 denklemlerinin çözüm kümeleri eşit ise ( m, n ) =?. r. r = 0 Ç:{ r, r } ( ) 6 5 = 0 Ç:{ /, / } m m m. = 0 Ç:{ m, m } ( ) ( ) b 4 b 4 b = 0 b b Ç :, b b b b b = 0 Ç:{ b, -b } ( )( ) ( ) b = b Ç:{ -b/, /b } 4

= 0 Ç :, İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Bun göre; b = 0 denkleminin diskriminntı b b = = idi. = b 4.. ve kökleri, b b b b. Kökler toplmı : = = =. Kökler çrpımı : b b b b b b b 4. =. = = = 4 4 b b b b. Köklerin frkı : = = = = b b 4. Köklerin çrpm işlemine göre terslerinin toplmı : = = =. 5. Köklerin kreleri toplmı : = ( ) = = b b 6. Köklerin krelerinin çrpm işlemine göre terslerinin toplmı: b b = = = (. ) 7. Köklerin küplerinin toplmı: b b b b = ( ) ( ) =.. = 8. Köklerin küplerinin çrpm işlemine göre terslerinin toplmı : b b b b = = = (. ) 5

Uyrı: Köklerle ktsyılr rsınd verilen bğıntılrdn ilk üçünün ess lınrk, diğerlerinin bunlrdn ve özdeşliklerden yrrlnılrk elde edildiğine dikkt ediniz. 4 m 0 = denkleminin kökleri ve dir. 4 = ise m =? m m m = 0 denkleminde köklerin çrpımı ise köklerin toplmını bulunuz. ( ) 4 = 0 denkleminin kökleri ve olmk üzere,.. =? m 7 = 0 denkleminin kökleri ve olmk üzere, = ise, m =? 4m = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortlmsı ritmetik ortlmsın eşit ise m =? 4m = = m = bulunur.. 7 0 = denkleminin köklerinin er eksiğinin çrpımını bulunuz. = 0 denkleminin kökleri ve dir. =. ise, m =? m m m m 5 = 0 denkleminin, kökleri rsınd 4 = bğıntısı vrs m =? m n = 0 denkleminin bir kökü, diğer kökleri ortk ise m p =? p r = 0 denkleminin bir kökü dür. Bu denklemlerin Ortk köklere diyelim bun göre; = m ve = p olur. Denklemleri trf trf çıkrk olursk; m p = bulunur. m 6 = 0 denkleminin kökleri m = 0 denkleminin köklerinin ikişer ktı ise, m =? KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK Kökleri ve biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, oln ikini dereeden bir bilinmeyenli denklemler, ( )( ) ( ).. = 0 denklemi elde edilir. = 0 6

Kökleri ile oln ikini dereeden bir bilinmeyenli denklemi yzınız. Ktsyılrı rsyonel syı oln ikini dereeden bir bilinmeyenli denklemin köklerinden birisi = dir. Bu denklemi yzınız. Uyrı:, b,, p, q Q olmk üzere = 0 denkleminin bir kökü = p q = p q dur. b Köklerinden birisi oln ikini dereeden denklemi bulunuz. 5 = 0 denkleminin köklerinden üçer fzlsını kök kbul eden ikini deree denklemi bulunuz. 5 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve oln ikini deree denklemi bulunuz. m = 0 denkleminin bir kökü tür. denklemin diğer kökleri eşit ise =? n = 0 denkleminin bir kökü dir. Bu iki = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri ve oln ikini dereeden denklemi yzınız. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Tnım:, b,, d R ve 0 olmk üzere b d = 0 denklemine üçünü dereeden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemin en z bir gerçel kökü vrdır. 5 5 0 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8 0 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Uyrı: = biçimindeki polinom denklemlerin ktsyılrı toplmı sıfır ise n 0... n 0 ( ) 0... n = 0 denklemin köklerinden birisi dir. KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK Kökleri,, oln üçünü dereeden bir bilinmeyenli denklem ( )( )( ) biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, ( ). ( ). 0 edilir. = 0 = denklemi elde 7

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR Kökleri,, biçiminde bulunmuştu... = 0 oln üçünü dereeden denklem ( ) ( ) b d b d = 0 denklemi düzenlenirse = 0 (denklemin her iki ynı ile bölündü) şeklinde düzenlenirse ynı dereeli terimlerin ktsyılrı eşitliğinden, b. Köklerin toplmı : =. Köklerin ikişerli çrpımlrının toplmı : = d. Köklerin çrpımı : = 4. Köklerin çrpm işlemine göre terslerinin toplmı : = = = d d 5. Köklerin krelerinin toplmı: = ( ) ( ) = = b b m 8 = 0 denkleminin köklerinin kreleri toplmı 9 ise m =? m 5 m 0 = denkleminde köklerin çrpımı, köklerin toplmındn fzl ise m =? m 6 = 0 denkleminin kökleri,, tür. = ise m =? m m = 0 denkleminin kökleri rsınd = bğıntısı vrs m =? ( ) m. m 8 = 0 denkleminin kökleri rsınd ( ) =. bğıntısı vrs m =? Kökleri, 0, oln üçünü dereeden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz. m = 0 denkleminin kökleri n k. = 0 denkleminin de kökleri ise k =? 8 m 8 0 = denkleminin kökleri,, tür. = ise =? DÖRDÜNCÜ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Tnım:, b,, d, e R ve 0 olmk üzere bilinmeyenli denklem denir. 4 b d e = 0 denklemine dördünü dereeden bir 8

Üçünü dereeden denklemlerde olduğu gibi dördünü dereeden denkleminin, kökleri ile ktsyılrı rsındki bğıntılr. b = = d = e... = bulunur.. 4. 4 4 4. 4 4 4 4. 4 Benzer sistemle n. dereeden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri ile ktsyılrı rsındki bğıntılrı elde edebiliriz. Uyrı: Denklemler çözülürken köklerden bzılrı birbirine eşit çıkbilir. İki y d ikiden fzl kökün eşit çıkmsın ktlı kök durumu denir. Bir, üç, beş,... ktlı köklere tek ktlı kök; iki, dört, ltı,... ktlı köklere çift ktlı kök denir. 5 m 5 denkleminin bir kökü ise köklerin ikişerli çrpımlrı toplmını bulunuz. ( ) Üç ktlı kökü, bir kökü de - oln dördünü dereeden denklemi yzınız. 9

Dosy dı: IKINCI DERECEDEN DENKLEMLER KONU ANLATIMI Dizin: C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET Şblon: C:\Users\TOLGA\AppDt\Roming\Mirosoft\Templtes\ Norml.dotm Bşlık: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Konu: Yzr: TOLGA KURTYEMEZ Anhtr Sözük: Açıklmlr: Oluşturm Trihi: 08.0.07 6:8:00 Düzeltme Syısı: Son Kyıt: 08.0.07 6:8:00 Son Kydeden: TOLGA Düzenleme Süresi: 0 Dkik Son Yzdırm Trihi: 08.0.07 6:8:00 En Son Tüm Yzdırmd Syf Syısı: 9 Sözük Syısı:.697(yklşık) Krkter Syısı:.074(yklşık)