(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)

Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar yapmakla, aslnda matematiksel yaplar üzerinde çal³m³ olduk. Bu bölümde yap kavramn formal olarak tanmlayaca z. Aslnda matematiksel yaplar bu dersin konusu de ildir. Bu yaplar zaten ilgili derslerde ayrntlaryla incelenmektedir. O nedenle, burada, temel cebirsel yaplarn tanmlarn vermekle yetinece iz. [18], [21], [19], [23], [29] Matematik soyut dü³ünme sanatdr. Soyut dü³ünme, içinde bulundu umuz çevre ko³ullarndan ve her tür somut nesneden syrlp dü³ünce üretme eylemidir. Be³ elma, be³ kitap, be³ masa,... gibi nesneye ba l 5 kavram yerine soyut 5 kavramn koyabilmektir. Soyutlama insan aklnn eri³ti i en yüce yerdir. Matematik hep o yerdedir. Matematikçi hep orada dü³ünür. Matematik, gündelik ya³amda kar³ kar³ya oldu umuz olay ve nesneleri soyutlar. Nesneleri soyut ö eler olarak görür, onlardan kümeler olu³turur. Nesneler arasndaki ili³kileri fonksiyonlarla ifade eder. Belli özeliklere sahip olanlar snandrr. Snarn özeliklerini ortaya koyar. Herhangi bir küme matematikçi için pek ilginç olmayabilir. Ama küme üzerinde belirgin özeliklere sahip baz ba ntlar ya da i³lemler tanmlanabiliyorsa, bu, matematikçi için incelenmesi gereken bir konu olur. Bunu biraz daha somutla³tralm. R gerçel saylar kümesini dü³ünelim. R bir küme olarak bize hiç ilginç gözükmeyebilir. Ama R kümesi, üzerindeki toplama i³lemi, çkarma i³lemi, çarpma i³lemi, bölme i³lemi, sralama ba nts, uzunluk, açk aralk, kapal aralk, snrl alt küme, snrsz alt küme, sonlu alt küme, sonsuz alt küme vb. gibi günlük hayatmzda bile önemli rolleri olan özelikleriyle birlikte dü³ünülünce, birdenbire matematikçinin ilgisini çeken bir önem kazanr. Matematiksel yaplar, bak³ açmza ya da amacmza ba l olarak farkl snandrabiliriz. Klâsik snandrmaya göre cebirsel, analiz ve geometrik yap deyimlerini hepiniz duydunuz. Kümelerin ö eleri arasndaki ili³kileri, i³lemlerle 145

146 BÖLÜM 13. MATEMAT KSEL YAPILAR (fonksiyon) ortaya koyan yaplara cebirsel yaplar diyoruz. Grup, halka, cisim, vektör uzaylar cebirsel yaplarn iyi bilinen örnekleridir. Küme aileleri arasndaki il³kileri konu edinen yaplara analiz yaplar diyoruz. Diferensiyel ve integral hesap, ölçüm kuram, topoloji klâsik analiz yaplardr. Hemen belirtelim ki, ça da³ matematik, bir yandan matematiksel yaplar daha çok ayr³trrken öte yandan da farkl tür yaplar daha üst snarda birle³tirmeye u ra³r. Orada klâsik snandrmann snrlar çok a³lm³tr. Örne in, topoloji cebir, analiz ve geometri içeren büyük bir alan haline gelmi³, çe³itli dallara ayrlm³tr. Elbette bütün bu ayrntlar bu kitabn kapsamn çok a³ar. O nedenle, bu bölümde, matematiksel yap kavramn tanmlayp, temel cebirsel yaplar listelemekle yetinece iz. Tanm 13.1.1. Bir X kümesi verilsin. α,β,γ,...,τ bu küme üzerinde birer ba nt olsun. X kümesi bu ba ntlarla birlikte bir matematiksel yap olu³turur. Bu yapy, ksaca ile gösterece iz. (X,α,β,γ,...,τ) (13.1) Matematiksel yaplarn ço u, say kümelerinden esinlenmi³tir. Örne in, saylar üzerinde yaplan dört i³lem grup, halka, cisim gibi cebirsel yaplarn do - masna neden olmu³tur. ki say arasndaki fark, metrik ve topolojik uzaylara giden yolu açar. Saylar arasndaki büyük, küçük kavram kafes (lattice) yapsn yaratr. 13.2 YAPI TÜRLER (13.1) gibi bir ba nt verilmi³ olsun. Bu yapy incelemek demek, α,β,γ,...,τ ba ntlar ya da i³lemlerinin her birisinin X üzerindeki özeliklerini, birbirleri arasndaki ili³kileri ve bunlardan çkarlabilecek bütün sonuçlan incelemek demektir. Her küme, her ba nt ve her i³lem için bu i³i yapmak elbette çok zaman alr ve üstelik gereksiz olabilir. Bu nedenle, bir küme üzerindeki yaplar, sahip olduklar özeliklere göre belirli türlere ayrlr. Sonra her bir türün bütün özelikleri incelenir. Böylece, bir ba³ka küme üzerinde bu türden bir yap varsa, onu ayrca incelemeye gerek kalmaz; o yapnn da birincide bulunan özeliklere sahip oldu u hemen söylenebilir. Matematik yaplar bu kitapta incelemeyi amaçlamad mz söylemi³tik. Zaten bütün yaplar snandrmak da olanakszdr. Ama konunun daha somut olarak anla³labilmesi için temel cebirsel yaplarn tanmlarn yermeyi yararl görüyoruz. 13.2.1 Cebirsel Yaplar Grup Tanm 13.2.1. Bir G kümesi üzerinde i³aretiyle gösterece imiz bir ikili i³lem tanml olsun. E er bu i³lem grup aksiyomlar denilen a³a daki özelik-

13.2. YAPI TÜRLER 147 lere sahipse (G, ) yapsna bir grup, denilir. [G1] ³lem birle³me özeli ine sahiptir. [G2] ³leme göre G nin birim ö esi vardr. [G3] G nin her ö esinin bu i³leme göre bir ters ö esi vardr. Ayrca a³a daki özelik de sa lanyorsa (G, ) yapsna de i³meli (komutatif) bir gruptur, denilir. [G4] ³lem yer de i³tirme özeli ine sahiptir. De i³meli gruplar ilk inceleyen Norveçli ünlü matematikçi Niels Henrik Abel (1802-1829) dir. Bu nedenle, bu tür gruplara ço unlukla abel gruplar denilir. Örne in, Z tamsaylar kümesi + (toplama) i³lemine göre bir abel grubudur. Halka Tanm 13.2.2. Bir H kümesi üzerinde ve i³aretleriyle gösterece imiz iki tane ikili i³lem tanml olsun. E er bu i³lemler halka aksiyomlar diyece imiz a³a daki üç özeli e sahipse (H,, ) yapsna bir halka denilir. [H1] (H, ) bir abel grubudur. [H2] i³lemi birle³me özeli ine sahiptir. [H3] i³leminin i³lemi üzerine soldan ve sa dan da lma özeli i vardr. Bu üç özelik ile birlikte [H4] i³lemine göre H nn birim ö esi var. aksiyomu da sa lanyorsa, (H,, ) halkasna birim ö eli halka ya da, ksaca, birimli bir halka, denilir. lk üç özelik ile birlikte [H5] i³lemi yer de i³tirme özeli ine sahiptir, aksiyomu da sa lanyorsa, bu halkaya de i³meli bir halkadr, denilir. Yukardaki be³ özeli i sa layan bir halkaya birimli ve de i³meli bir halkadr, denilir. Örne in, Z tamsaylar kümesi + (toplama) ve (çarpma) i³lemlerine göre birim ö eli ve de i³meli bir halkadr.

148 BÖLÜM 13. MATEMAT KSEL YAPILAR Cisim Tanm 13.2.3. Bir F kümesi üzerinde ve i³aretleriyle gösterece imiz iki tane ikili i³lem tanml olsun. E er bu i³lemler cisim aksiyomlar diyece imiz a³a daki iki özeli e sahipse (F,, ) yapsna bir cisim, denilir. [C1] (F,, ) birimli ve de i³meli bir halkadr. [C2] F kümesinden i³leminin birim ö esi atlnca, geri kalan küme i³lemine göre bir abel grubudur. Örne in, (Q, +, ) rasyonel saylar kümesi bir cisimdir. Vektör Uzaylar Tanm 13.2.4. F bir cisim, (V, +) bir abel grubu ve e ö esi, F nin çarpma i³lemine göre birim ö esi olsun. E er F V den V ye a³a daki ko³ullar sa layan ve adna sayl çarpm (sayyla çarpma, skalerle çarpma) denilen bir (s, v) sv (13.2) i³lemi tanmlanm³sa, V ye F cismi üzerinde bir vektör uzay, denilir. Her s,t F ve her u,v V için (i) s(v +u) = sv +su (ii) (s+t)v = sv +tv (iii) s(tv) = (st)v (iv) ev = v Say kümelerinden gelen bir al³kanlkla, F cisminin ö elerine say, V vektör uzaynn ö elerine de vektör diyece iz. ³lemlerde basitli i sa lamak için, bir v vektörünün s saysyla sayl çarpmn sv ile gösteriyoruz. Örnek 13.2.1. [0,1] kapal aral üzerinde tanml bütün gerçel de erli ve sürekli fonksiyonlarn olu³turdu u kümeyi C = C[0, 1] ile gösterelim. C[0, 1] kümesi üzerinde fonksiyonlarn toplama i³lemi (f,g) C C = [(f,g) [f +g]] x [0,1] = (f +g)(x) = f(x)+g(x) biçiminde tanmlanr. Benzer olarak, C[0, 1] kümesi üzerinde fonksiyonlarn sayl çarpm i³lemi (sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x) biçiminde tanmlanr. C[0, 1] kümesi, anlan bu toplama ve sayl çarpm i³lemlerine göre bir vektör uzaydr.

13.2. YAPI TÜRLER 149 Örnek 13.2.2. U ile V ayn F cismi üzerinde birer vektör uzay olsunlar. Her x,y U ve her s,t F için, bir f : U V fonksiyonu f(sx+ty) = sf(x)+tf(y) (13.3) ko³ulunu sa lyorsa, f ye U dan V ye do rusal (lineer) bir dönü³ümdür, denilir. U dan V ye olan bütün do rusal dönü³ümlerin kümesini L = L(U,V) ile gösterelim. L kümesi üzerinde toplama i³lemini L L den L ye (f,g) L L = [(f,g) [f +g]] x U = (f +g)(x) = f(x)+g(x) biçiminde tanmlyoruz. Benzer olarak, L kümesi üzerinde sayl çarpm i³lemini F L den L ye diye tanmlyoruz. L = L(U,V) bir vektör uzaydr. (s,g) F L = [(s,f) sf x U = (sf)(x) = sf(x) Örnek 13.2.3. Örnek 13.2.2 deki L(U, V) vektör uzaynn ö eleri arasndan bütün bbö olanlarn kümesini B = B(U, V) ile gösterelim. Ayn i³lemlere göre B kümesi L nin bir alt vektör uzaydr. Örnek 13.2.4. Örnek 13.2.3 deki B(U, V) vektör uzaynda V = U alnrsa, D = D(U, U) kümesi U dan U ya tanml bütün bbö do rusal dönü³ümlerin olu³turdu u küme olur. Ayn i³lemlere göre D kümesi bir vektör uzaydr. Örnek 13.2.5. Örnek 13.2.4 deki D = D(U, U) vektör uzaynda, bile³ke i³lemi (g f)(x) = g(f(x)) diye tanmlanyor. (D, +, ) yaps bir halkadr. Cebir Tanm 13.2.5. V kümesi F cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. E er V V den V ye a³a daki ko³ullar sa layan (toplama (+) ve sayl çarpm i³lemlerine ek) üçüncü bir (u,v) u v (13.4) i³lemi tanmlanm³sa, V ye F cismi üzerinde bir cebir, denilir. (i) Her s F ve her u,v V için s(u v) = (su) v = u (sv) (ii) (V, +, ) bir halkadr.

150 BÖLÜM 13. MATEMAT KSEL YAPILAR 13.2.2 Sra Yaplar Tanm 13.2.6. X herhangi bir küme olsun. E er ba nts X üzerinde bir tikel (ksmî) sralama ba nts ise (X, ) (13.5) bir sralama yapsdr. Sralama ba ntlarnn türlerini önceden incelemi³tik. Örne in, R gerçel saylar kümesi ba ntsna göre bir tam sralama yaps olu³turur. Kafes (K, ) tikel sralanm³ bir sistem olsun. E er her a,b K için iki ö eli {a,b} kümesinin en küçük üst snr (sup) ile en büyük alt snr (inf) var iseler, (K, ) tikel sralanm³ sistemine bir kafes denilir. {a, b} kümesinin en küçük üst snr, varsa, a b simgesiyle, en büyük alt snr ise a b, simgesiyle gösterilir. 13.2.3 PROBLEMLER 1. A herhangi bir küme olsun. A dan A ya bbö bütün fonksiyonlarn kümesi F olsun. Fonksiyonlarn bile³kesi i³lemine göre F nin bir grup oldu unu gösteriniz. Bu grup bir abel grubu olabilir mi? 2. [0, 1] kapal aral üzerinde tanml bütün gerçel de erli ve sürekli fonksiyonlarn olu³turdu u C[0, 1] kümesinin Örnek 13.2.1 ile tanmlanan toplama ve sayl çarpm i³lemlerine göre bir vektör uzay oldu unu gösteriniz. 3. Örnek 13.2.2 ile tanmlanan (L, +) bir gruptur. Gösteriniz. 4. (L, +) bir bir vektör uzaydr. Gösteriniz. 5. Örnek 13.2.2 de V = U konulursa, U vektör uzayndan kendisine tanml olanl = L(U,U) kümesi çkar. Bunun, ayn i³lemlere göre bir vektör uzay oldu unu gösteriniz. 6. Önceki problemdeki L = L(U, U) uzay içinde bütün bbö do rusal dönü³ümlerden olu³an B = B(U,U) kümesi, ayn i³lemlere göre bir alt vektör uzaydr. Gösteriniz. 7. B = B(U,U) kümesi üzerinde bile³ke i³lemi (g f)(x) = g(f(x)) diye tanmlanyor. (B, +, ) yaps bir halkadr. Gösteriniz. 8. (B, +, ) yaps bir cebirdir. Gösteriniz. 9. Bir X kümesinden gerçel saylar kümesine tanml bütün fonksiyonlarn R X kümesi üzerinde, toplama, noktasal çarpma ve sayl çarpm i³lemleri, srasyla, her f,g R X, her x X ve her s R için

13.3. YAPI KORUYAN DÖNÜ ÜMLER 151 (i) (f +g)(x) = f(x)+g(x) (ii) (f.g)(x) = f(x).g(x) (iii) (sg)(x) = sf(x) ³eklinde tanmlanyor. R X in bu i³lemlere göre bir cebir oldu unu gösteriniz. 13.3 YAPI KORUYAN DÖNÜ ÜMLER Uygulamada, bir küme üzerindeki yapy bozmadan ba³ka bir küme üzerindeki yapya dönü³türmek problemiyle sk sk kar³la³rz. Ba³ka bir deyi³le özeliklerini koruyarak yaplar birbirine dönü³türen fonksiyonlar ararz. Tanm 13.3.1. X kümesi üzerinde bir α ba nts ile Y kümesi üzerinde bir β ba nts verilmi³ olsun. E er α ile β ba ntlarnn her ikisi de m li (m = 1, 2,...) birer ba nt ve ayn özeliklere sahipse, bunlara türde³ ba ntlar, diyece iz. Tanm 13.3.2. X ile Y kümeleri üzerinde, srasyla, α ile β türde³ birer ba nt olsun ve bir f : X Y fonksiyonu verilsin. E er her (x 1,x 2,x 3,...,x m ) X m için α(x 1,x 2,x 3,...,x m ) β(f(x 1 ),f(x 2 ),f(x 3 ),...,f(x m )) (13.6) oluyorsa, f fonksiyonu X üzerindeki α ba ntsn Y üzerindeki β ba ntsna dönü³türüyor, diyece iz. Tanm 13.3.3. (X,α,β,γ,...,τ) (13.7) (Y,α,β,γ,...,τ ) (13.8) yaplar verilmi³ olsun. E er α ile α, β ile β,..., τ ile τ türde³ birer ba nt ise (13.7) ile (13.8) yaplarna türde³ iki yapdr, diyece iz. Tanm 13.3.4. (13.7) ile (13.8) ayn türden iki yap olsun ve bir f : X Y fonksiyonu verilsin. E er bu fonksiyon α y α ye, β y β ye,..., τ yu τ ye dönü³türüyorsa, f fonksiyonuna bir benzerlik dönü³ümü (homomorphism), ya da benzer yap dönü³ümü, denilir. Tanm 13.3.5. Ayn türden iki yap arasnda bir benzer yap dönü³ümü varsa, bu yaplara benzer yaplar (homomorph), diyece iz. Tanm 13.3.6. Bire-bir-örten (bbö) benzerlik dönü³ümüne e³yap dönü³ümü (isomorphism, e³yap resmi), diyece iz. Tanm 13.3.7. Ayn türden iki yap arasnda bir e³yap dönü³ümü varsa, bu yaplara e³yapl (isomorph), diyece iz.

152 BÖLÜM 13. MATEMAT KSEL YAPILAR 13.3.1 Sra Koruyan Dönü³ümler (A, ) ile (B, ) tikel (ksmî) sralanm³ iki sistem olsun ve f : A B fonksiyonu verilsin. Her x,y A için x y f(x) f(y) (13.9) oluyorsa f : A B fonksiyonuna sra korur bir dönü³üm, diyece iz. Bu tür dönü³ümler, tanm uyarnca benzerlik dönü³ümleridir. Bunlara azalmayan fonksiyonlar da denilmektedir. Yukardaki ko³ul yerine, her x, y A için x y f(x) < f(y) (13.10) özeli i sa lanyorsa f : A B dönü³ümüne artan bir fonksiyondur denilir. A dan B ye sra korur bir dönü³üm varsa, A ile B nin sra yaplar birbirine benzer ya da, ksaca, A ile B benzer sraldr, diyece iz. 13.3.2 E³srallk f : A B fonksiyonu bbö ve sra korur bir dönü³üm ise f ye A dan B ye e³sra dönü³ümü (order isomorphism), diyece iz. A dan B ye böyle bir dönü³üm varsa A ile B ye e³sral, denilir. A ile B e³sral iseler, bunu A = B simgesiyle belirtece iz. E er A dan B ye e³sra dönü³ümü f ise ve ayrca bunu da belirtmek gerekiyorsa A f = B ya da f : A = B (13.11) yazaca z. Önerme 13.3.1. (A, ) ile (B, ) tikel (ksmi) sralanm³ iki sistem oldu unda A ile B nin e³sral olmas için gerekli ve yeterli ko³ul her x,y A için x y f(x) f(y) (13.12) özeli ini sa layan bir f : A B bbö fonksiyonunun varolmasdr. spat: Gerekli i: A ile B e³sral iseler, tanm gere ince, (13.9) özeli ine sahip bir f : A B bbö fonksiyonu vardr; yani (13.12) ifadesinde sa a do ru gerektirme vardr. Sola do ru gerektirmenin de varl n görmek için f(x) f(y) ko³ulunu sa layan x,y A ö elerini dü³ünelim. E er x y olsayd, y x y x x y f(y) f(x) f(x) f(y) f(y) < f(x)

13.3. YAPI KORUYAN DÖNÜ ÜMLER 153 den bir çeli³ki do ard. Bu çeli³ki olamayaca na göre y x kabulümüz yanl³tr; yani f(x) f(y) x y dir. Yeterli i: (13.12) ko³ulunu sa layan bir f : A B bbö fonksiyonu varsa, bu fonksiyon e³srallk tanm gere ince, A dan B ye bir e³sra dönü³ümüdür. Uyar 13.3.1. (A, ) ile (B, ) tikel (ksmî) sralanm³ iki sistem olsun. A ile B nin e³sral olmas için gerekli ve yeterli ko³ul her x,y A için x y f(x) < f(y) (13.13) özeli ini sa layan bir f : A B bbö fonksiyonunun varolmasdr. spat : Gerekli i: A ile B e³sral iseler (13.12) özeli ine sahip bir f : A B bbö fonksiyonu vardr. Buradan x y (x y) (x y) (f(x) f(y)) (f(x) f(y)) f(x) < f(y) çkar. Yeterli i: A dan B ye (13.13) özeli ine sahip ve bbö bir f fonksiyonu verilsin. Öyleyse x y (x y) (x = y) (f(x) < f(y)) (f(x) = f(y)) f(x) f(y) olur, ki bu, Önerme 13.3.1 gere ince, f nin A dan B ye bir e³sra dönü³ümü olmas demektir. Önerme 13.3.2. (A, ) ile (B, ) tikel (ksmî) sralanm³ iki sistem olsun. A ile B nin e³sral olmas için gerekli ve yeterli ko³ul kendisi ve tersi artan birer dönü³üm olan bir f : A B fonksiyonunun var olmasdr. spat: Gerekli i: A ile B e³yapl iseler, (13.13) özeli ine sahip bir f : A B bbö fonksiyonu vardr. f fonksiyonu bbö oldu undan, f 1 : B A ters fonksiyonu vardr ve bu da bbö dir. Ayrca, her x A için dir. Buradan ve (13.13) den f 1 (f(x)) = x f(x) < f(y) x y f 1 (f(x)) f 1 (f(y))

154 BÖLÜM 13. MATEMAT KSEL YAPILAR çkar. f örten oldu undan, bu sonuncu, f 1 tersinin artan bir dönü³üm olmas demektir. Yeterli i: f : A B ile bunun tersi f 1 : B A artan birer fonksiyon olsunlar, f 1 tersi var oldu undan f : A B bbö dir. Öyleyse bu fonksiyon e³srallk tanmnn ko³ullarn sa lar. 13.4 Problemler 1. Ayn cisim üzerinde tanml iki vektör uzaynn türde³ iki yap oldu unu görünüz. 2. Örnek 13.2.2 ile tanmlanan L(U, V) uzayna ait her do rusal dönü³ümün U dan V ye bir benzerlik dönü³ümü oldu unu gösteriniz. 3. B(U,V) ye ait her do rusal dönü³ümün U dan V ye bir e³yap dönü³ümü oldu unu gösteriniz. 4. Z 6 = Z/6 kümesinde tanml i³leminin i³lemi üzerine da lma özeli i oldu unu gösteriniz. 5. Z 6 kümesinde tanml i³lemine göre birim ö enin 0 oldu unu gösteriniz. 6. Z 6 kümesinde tanml i³lemine göre birim ö enin 1 oldu unu gösteriniz. 7. Z 6 kümesinde tanml i³lemine göre bütün ö elerin terslerini bulunuz. 8. Z 6 kümesinde tanml i³lemine göre, 1 ve 5 den farkl ö elerin terslerinin olmad n gösteriniz. 9. (Z 6, ) sisteminin birer de i³meli grup oldu unu gösteriniz. 10. (Z 6, ) sisteminin bir grup olmad n gösteriniz. 11. (Z 5, ) sisteminin bir grup olmad n gösteriniz. 12. ((Z 5 )\0), ) sisteminin bir grup oldu unu gösteriniz. 13. ((Z 6 )\0), ) sisteminin bir grup olmad n gösteriniz. 14. m bir sayma says ise, (Z m, ) sisteminin de i³meli bir grup oldu unu gösteriniz. 15. p asal bir say ise, ((Z/p)\0), ) sisteminin de i³meli bir grup oldu unu gösteriniz. 16. A kümesinde tanml bir i³lemi verilsin. a,b A,a 0,b 0 için, a b = 0 oluyorsa a ile b ye i³leminin "sfr bölenleri" denilir. Z 4,Z 6,Z 9 kümelerinde i³leminin sfr bölenlerini bulunuz. 17. Say kümeleri üzerinde 0 (sfr) n çarpmaya göre tersi yoktur. Niçin?