BÖLÜM 7 BORULARA GERÇEK AKIM
Enkesitin tamamen dol olarak aktığı akımlara basınçlı akım denir. Basınç altında sıvı nakleden kapalı akış yollarına bor adı verilmektedir. Borlar çeşitli enkesitlere sahip olabilirler, dairesel enkesit. Yapım kolaylığı Gerilmelere karşı dayanıklı olması Aynı alanlı geometrik şekiller arasında minimm çevreye sahip olmaları. Sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybı minimm. Borlardaki gerçek akımlarda viskozite ve türbülans gerilmeleri, ayrıca sınır tabakasının ayrılması nedeniyle bir kısım enerji, sürtünmeler yolyla (ısıya çevrilerek ) kaybolr. B kayıplar Sürtünme Kayıpları Yerel Kayıplar. Borlardaki gerçek akım hesaplarında Bernolli denklemi yazılırken b iki kayıp göz önüne alınmalıdır..
V 1 / g P 1 /γ P.Ç E.Ç h s1 h y h s V h k / g 1 V 1 V P /γ z 1 Referans düzlemi z 1- noktaları arasındaki Bernolli denklemi: V 1 g + P 1 γ + z 1 V g + P γ + z + h s1 + h y + h s h + h + h h h h + h s1 y s k k s y Toplam kayıp yüksekliği Sürtünme kayıpları+yerel kayıplar
ReV/υ 000 akım laminer Re>4000 akım türbülanslı Reynolds değişik boytlarda krşn borlarda yaptığı deneylerde sürtünme kayıplarını incelemiş, deneyler sonc belirlenen kayıpların akımın ortalama hızı arasındaki ilişkiyişekil deki gibi belirlemiştir. Logh s Geçiş bölgesi 45 LogV Türbülanslı akım (h s V ) Laminer akım (h s V) Laminer akım: h s -V ilişkisi 45 lik doğr, τ 0 ά V olmaktadır. Türbülanslı akım: eğim ~ 1.83 hs sürtünme kayıplarının hızın karesi V orantılı olmaktadır. Türbülanslı akımda sürtünme kayıpları laminer akıma göre çok daha büyük olmaktadır.
Laminer Akım Hagen (1839) ve Poiseille (1841) ayrı ayrı yaptıkları çalışmalarda laminer bor akımlarını incelemişlerdir. Hız dağılımı Borlar içinde laminer akışta, eksene doğr sıvı partikülleri arasındaki viskoz tesirler gittikçe azaldığından, maksimm hız, eksende meydana gelmektedir ve hız dağılımı parabolik bir görünüme sahiptir. τ 0 (p+ p)πr τπr L r pπr τ Kayma gerilmesi dağılımı L Hız dağılımı V mak
Akımda r yarı çaplı ve L znlkl silindirik bir akım parçasına gelen kvvetler için denge denklemini yazalım: ( P + P) πr Pπr τπr L 0 τ P L r Newton n kayma gerilmesi ifadesi : τ µ d dy µ d dy P L r d P L r µ dr İntegre edilirse; P L r 4µ + C
r/ de 0 sınır şartı kllanılarak integrasyon sabiti elde edilir. C Ykarda yerine konlarak; ) /16 L) ( P / ( C µ µ r 4 4 1 L P Laminer akımda parabolik hız dağılımı elde edilir.
Kayma gerilmesi dağılımı Maksimm hız dağılımı kanal ekseninde, r0, olşr yani; mak P L 16µ Parabolik hız dağılımında ortalama hız; V U mak P L 3µ P 3µ V Bradan; L P / L kayma gerilmesi ifadesinde yerine konrsa dağılım: τ P r 16µ Vr L şeklinde elde edilir ki b ifade r0 için bor ekseninden geçen doğr denklemini göstermektedir.
Sürtünme Kaybı Kayma gerilmesi ifadesinden yük kaybı aşağıdaki gibi elde edilebilir; Enerji kaybı : U ort V denirse V U mak / ( paraboloid özelliğinden ) P γ h s 3µ V γ L veya L znlğndaki bor akımında yük kaybı; h s 3υVL g HAGEN POİSEUİLLE enklemi olarak bilinen ifade elde edilir. Görüldüğü gibi laminer akımda enerji kaybı sınır yüzeyinin pürüzlülüğünden etkilenmez.
Türbülanslı Akım Hız ağılımı : Türbülanslı akımda sıvı partiküllerinin düzgün olmayan yörüngeler izleyerek hareket etmelerine ve yine maksimm hızın eksende meydana gelmesine karşın hız dağılımı laminer akıma göre daha basık ve üniform bir görüntüye sahip olmamaktadır. Türbülanslı akımda hız dağılımı daha önce verildiği gibi 1 Ln y + C χ olarak blnmşt. y / bor ekseninde mak, sınır şartı kllanılarak integrasyon sabiti; C mak 1 χ Ln elde edilir. B sabit ykarıdaki hız dağılım ifadesinde yerine konlrsa; mak 1 χ Ln y
B ifade cilalı ve pürüzlü borlardaki türbülanslı akım için Velocity efect dağılımı olarak isimlendirilen hızın genel denklemidir. Nikradse 5.10 3 < Re < 3.10 6 aralığında cilalı ve pürüzlü borlarda yaptığı deneyler için χ0.4 değeri alınarak hız ifadesinin iyi sonçlar verdiğini belirlemiştir. B değer ykarda yerine konlarak ifade aşağıdaki gibi yazılabilir. mak -.5Ln y mak - 5.75 Log y mak Bor ekseni y mak - /
B hız ifadesi iki bakımdan gerçekle bağdaşmamaktadır. I)Bor ekseninde d/dy sıfır etmesi gerektiği halde b ifade sonl bir değer vermektedir. d.5 5.5 dy y y yani hız profili bor ekseninde sivrilmektedir. Ancak sivrilme bölgesi küçük oldğndan sonc pek etkilememektedir. II) B hız dağılımına göre hız y0 da yani katı sınırda - olmaktadır. 0 değeri sınırdan belli bir zaklıkta olşmaktadır. Ancak y0 y1 değeri laminer alt tabakanın içinde kaldığından b da önemli bir dezavantaj değildir. Çünkü laminer alt tabakada zaten b ifade geçersizdir.
Cilalı Borlarda Hız ağılımı : Viskoz Alt Tabakada ; Newton n viskozite ifadesi, b bölgedeki hız dağılımını belirlemede kllanılabilir τ µ d dy τ0 ρυ τ 0 ρ y, yδ v için υ y υ y δ v y v-t Türbülanslı bölge Geçiş bölgesi Viskoz alt tabaka viskoz alt tabakada doğrsal hız dağılımı oldğ görülür. Boytsz hız dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir. υ y
Türbülanslı İç Bölge : Türbülanslı iç bölgedeki hız dağılımında C integrasyon sabiti y δv için hem türbülanslı bölgedeki hız ifadesini, hem de viskoz alt tabakadaki hız dağılımını kllanarak hesaplanabilir. y δv de vt ifadesi viskoz alt tabakanın sınırında her iki bölge için yazılırsa; vt δ υ v vt 1 χ Ln δ v + C Birinci ifadeden δ v çekilerek;, δ v konlarak C integrasyon sabiti çekilirse; vt υ / ikinci ifadede yerine C vt 1 χ Ln vt υ elde edilir. C integrasyon sabiti türbülanslı bölgedeki hız dağılım ifadesinde yerine konlrsa;
1 vt 1 vt υ 1 y vt Ln y + Ln Ln + χ χ χ vt υ B 1 y vt vt Ln + Ln χ υ χ vt olarak gösterilirse; 1 Ln χ vt 1 y Ln + B χ υ 1 Law of the wall (dvar kann) olarak bilinen dağılım elde edilir. Pürüzsüz borlarda Nikradse nin deneysel çalışmalarından χ0.4 ve B 5.5 olarak elde edilmiştir. Böylece dağılım aşağıdaki gibi yazılabilir..5 Ln y + 5.5 υ
Prandtl katı sınıra çok yakın bölgeler hariç olmak üzere cilalı borlardaki türbülanslı akım için aşağıdaki üstel hız dağılımını vermiştir: y mak / 1/ n brada n deney ile belirlenmesi gereken bir büyüklük olp Reynolds sayısı ile aşağıdaki gibi değişmektedir. Re 4 10 3 1.1 10 5 10 6 n 6 7 10
Pürüzlü Borlar İçin Hız ağılımı Türbülanslı akım hız ifadesinde (1/χ)Ln(k) değerini bir toplayıp bir çıkaralım: 1 y ma k 1 1 Ln + + Ln ( k) - χ / χ χ Ln ( k) Brada k pürüzlülüklerin ortalama yüksekliğidir. 1 χ Ln y 1 + Ln k χ k / + ma k veya A Ln Nikradse'nin k çaplı km taneleri yapıştırarak elde ettiği üniform pürüzlü bor deneylerinde χ0.4 ve B8.5 blnmştr. Bna göre pürüzlü borlardaki hız dağılımı: y.5 Ln + 8.5 k y k + B
Sürtünme Kaybı arcy-weisbach Formülü arcy, Weisbach (1850) yaptıkları deneylere dayanarak türbülanslı bor akımı için sürtünme enerji kaybını veren bir formül geliştirmişlerdir. B formül, akımın silindirik bir parçasına dinamik denge denkleminin yglanması ile elde edilebilmektedir τ 0 π L (p+ p) π π p 4 4 L π π (p + p) - p - τ0 4 4 π L 0 π p τ0 4 π L γ 4 τ L ρ g p 0 hs
eney blglarına göreτ 0 cv değeri yerine konrsa: h s 8c ρ L V g 8c/ρλ kllanılarak denklem bir L znlğ için integre edilirse türbülanslı bor akımında sürtünmeden doğan enerji kaybı yüksekliği L V hs λ arcy-weisbach formülü g λ boytsz bir değer olp sürtünme faktörü olarak adlandırılmaktadır. Yapılan deneylerde λ nın basit bir katsayı olmayıp, çeşitli değişkenlere bağlı oldğ görülmüştür. Bornn birim znlğ için sürtünme kaybı yüksekliği: h L s V S λ g
λ için Nikradse iyagramı Nikradse nin 1930 yıllarında, yapay olarak pürüzlendirilmiş borlar üzerinde yaptığı deneylerde λ nın değişiminin Şekil 7.8 deki gibi oldğ görülmüştür. Gözlenen b farklı değişimler aşağıda ayrı ayrı açıklanmıştır. (a) Laminer Akımda (Re 000): Laminer akım bölgesinde λ sürtünme faktörü bor pürüzlülüğünden etkilenmemekte ve sadece Re sayısına göre değişmektedir: λλ(re). Laminer akım için λ değeri Hagen-Poiseille ve arcy-weisbach formüllerinin eşitlenmesi ile blnabilir: h s 3 ν g V L λ L V g λ 64 ν V 64 Re
0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 k 1/30 λ 0,05 0,04 0,03 1/61 1/10 1/5 1/504 0,0 Laminer Akım Türbülanslı Akım 1/1014 0,01 10 3 10 4 10 5 10 6 ReV/υ Şekil 7.8 Nikradse diyagramı
(b) Türbülanslı Akımda (Re 4000) : Türbülanslı akımda λ aynı pürüzlülük şartları için üç farklı davranış sergilemektedir. Bnlar: 1. Hidrolik bakımdan cilalı bor drm : λλ(re). Hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş drm : λλ(re, k/) 3. Hidrolik bakımdan pürüzlü bor drm : λλ(k/) k/ rölatif pürüzlülük değerini göstermektedir. Şekil 7.8 de görüldüğü gibi S şeklindeki λ(re,k/) geçiş drm eğrileri, λ(re) cilalı drm eğrisine ve λ(k/) pürüzlü drm doğrlarına asimtotik biçimde yaklaşmaktadır. Rölatif pürüzlülük büyüdükçe geçiş eğrilerinin daha küçük Re sayılarında cilalı drmdan ayrıldığı görülmektedir.
λ için ykarıda belirlenen farklı değişimler bor akımındaki üç farklı sürtünme koşln temsil etmektedir. Yapılan deneylerden elde edilen blglara göre b koşllar Reynolds pürüzlülük sayısı Rk/υ değerine göre aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: R 5 5<R<70 70 R : Viskoz sürtünme : Viskoz-türbülanslı sürtünme : Türbülanslı sürtünme Viskoz alt tabaka kalınlığı δv ile pürüzlülük yüksekliği k nın rölatif büyüklüğü türbülanslı bor akımındaki farklı sürtünme koşllarının açıklanmasında bir ölçüt olarak kllanılabilir. Viskoz alt tabaka kalınlığı, viskoz alt bölge ve türbülanslı bölgedeki hız dağılımlarında yδv için eşitlenerek blnabilir: δ υ v.5 Ln δ υ v + 5.5
B denklemin çözümü ileδv için aşağıdaki bağıntı elde edilir: δ υ v 11.6 α orantı sabitini göstermek üzere ykarıdaki denklemdeδvkα yazılırsa: k α 11.6 υ R α 11.6 R 5 için α 11.6/5.3 veya k 0.43δv, b drmda λλ(re) ve bor hidrolik bakımdan cilalı olmaktadır (Şekil 7.9a). R 70 için α 11.6/70 0.17 veya k 6δv, b drmda λλ(k/) ve bor hidrolik bakımdan pürüzlü olmaktadır (Şekil 7.9b). 5<R<70 için 0.43δv<k<6δv, b drmda λλ(re,k/) ve bor hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş drmndadır.
δ v δ v Şekil 7.9 Cilalı ve pürüzlü bor kavramları bornn fiziki pürüzlülüğünden ziyade bordaki sürtünme koşllarını yansıtan deyimler olmaktadır. Bir bor, akım şartları bakımından hem cilalı, hem pürüzlü, hem de geçiş bölgesinde blnabilir. Nikradse nin λ için Şekil 7.8 de verilen deneysel blgları kllanılarak türbülanslı bor akımındaki farklı sürtünme koşlları için aşağıdaki ampirik formüller verilmiştir.
Cilalı Bor Kann : Hidrolik bakımdan cilalı koşllarda 4000 Re 3x106 için aşağıdaki Karman-Prandtl formülü kllanılabilir: 1 Re λ log λ.51 Re 105 için aşağıda verilen Blasis formülü daha pratik olabilir: λ 0.316 Re 0.5 Pürüzlü Bor Kann : Hidrolik bakımdan pürüzlü koşllar için Karman-Prandtl formülü: 1 λ log 3.7 k/
Cilalı-Pürüzlü Geçiş Kann : Colebrook ve White, 1937 yılında endüstriyel borlar üzerinde yaptıkları deneylerde geçiş bölgesindeki λ eğrilerinin S şeklinde olmayıp, Şekil 7.10 da görüldüğü gibi cilalı ve pürüzlü bölgelere asimtotik bir şekilde tedrici olarak yaklaştığını görmüşlerdir. B verilerden hareketle Colebrook ve White (7.18) ve (7.0) denklemlerini ygn bir şekilde birleştirerek aşağıdaki Colebrook-White geçiş formülünü vermişlerdir: 1 λ - log k/ 3.7 +.51 Re λ
λiçin Moody iyagramı Moody 1944 yılında, Colebrook-White formülünü kllanarak endüstriyel borların hidrolik hesapları için Şekil 7.10 da görülen ve Nikradse diyagramından biraz farklı görünümdeki diyagramı vermiştir. Moody diyagramındaki k değeri Nikradse deneylerinde kllanılan aynı sürtünme etkisine sahip km tanelerinin çapına eşittir. k değeri eşdeğer km pürüzlülüğü dür. Tablo da çeşitli malzemelerden üretilmiş borlar için k değerleri verilmiştir. Bor Malzemesi k (mm) Cam cilalı Tnç, bakır 0.0015 Plastik 0.007 Asbestli çimento 0.05 Kaplamasız çelik 0.03 Kaplamalı çelik 0.06 Asfalt kaplamalı font 0.1 Galvanizli demir 0.15 Kaplamasız font 0.6 Beton 0.3-3
λ Geçiş bölgesi Pürüzlü bor k Cilalı bor Türbülanslı akım R 70 R 5 ReV/ ν Şekil 7.10 Moody diyagramı
arcy-weisbach Formülünün airesel Olmayan Borlara Uyglanması airesel olmayan borları da kapsayacak nitelikte bir sürtünme faktörü λ mevct değildir. Ancak kesit şeklinin eksenel simetrik drmdan çok fazla zaklaşmadığı dairesel olmayan borlarda çapı yerine aşağıda tanımlanan hidrolik yarıçap parametresi kllanılarak sürtünme kaybının hesabında arcy-weisbach formülünden yararlanılabilir. airesel borda hidrolik yarıçap: R Akim kesit alanı, A Akim ıslak çevresi, P π / 4 π 4
bradan elde edilen 4R değeri arcy-weisbach denkleminde kllanılırsa: h s λ L 4 R V g veya h L s S λ V 8 g R airesel olmayan kesitlerde Re ve k/ değerleri aşağıdaki gibi yazılabilir: Re 4 V R υ, k k 4 R Bna göre, herhangi bir geometriye sahip kesit şekli için yerine R kllanılacaktır.
Borlarda S Akımıİçin Ampirik Formüller Borlardaki s akımı için doğrdan hesap yapılabilecek ve arcy- Weisbach formülüne göre daha basit ve kllanışlı olabilecek ampirik formüller de geliştirilmiştir. B formüller genellikle aşağıdaki formlarda görülür: V a x S y veya V a R x S y brada V akım ortalama hızı, a pürüzlülük katsayısı, bor çapı, R hidrolik yarıçap, S enerji çizgisi eğimi, x ve y deneysel olarak blnan üslerdir. B formüllerin kllanılması sırasında özellikle sürtünme katsayısının doğr tespiti hssnda hatalar yapılabilir.
Hidrolik Cilalı Borlar İçin Hidrolik bakımdan cilalı borlarda λ için Blasis formülü kllanılarak arcy-weisbach denklemi aşağıdaki forma indirgenir: λ 0.316 / Re 0.5 S λ V 0.316 V υ 0.316 g 0.5 Re g V 0.5 V g S için υ1.14 mm /s değeri kllanılırsa: V75 5/7 S 4/7 75 0.71 S 0.57 veya V01 R 5/7 S 4/7 brada m, Rm ve Vm/s cinsindendir.
Geçiş Bölgesi Borlarıİçin B drmda aşağıda verilen Hazen-Williams formülü yaygın olarak kllanılmaktadır: V 0.354C 0.63 S 0.54 veya V 0.85C R 0.63 S 0.54 brada m, Rm ve Vm/s cinsindendir. Pürüzlülük katsayısı C için Tablo 7. de tipik bazı değerler verilmiştir. Tablo 7. C değerleri Bor malzemesi PVC, AÇB 140 Yeni çelik veya font 130 Beton 10 Yeni kaplamalı çelik 110 Eski font 100 Çok eski ve paslı font 80 C
Hidrolik Pürüzlü Borlar İçin Açık kanallarda yaygın olarak kllanılan Manning formülü hidrolik bakımdan pürüzlü borlar için de kllanılabilir: 0.397 1 V /3 1/ S veya V /3 1/ R S n n brada m, Rm ve Vm/s cinsinden olp n pürüzlülük katsayısıdır. Tablo 7.3 n değerleri erleri Bor cinsi n Pirinç ve cam borlar 0.009-0.011 Asbest çimento borlar 0.010-0.01 Kaynaklı çelik borlar 0.011-0.013 Ahşap bor 0.011-0.013 Temiz, içi kaplamalı olmayan font bor 0.013 0.015 Temiz, içi kaplamalı font bor 0.01 0.014 Galvaniz bor 0.015 0.017 İyi cilalı beton bor 0.011 0.01 Kalıptan çıkmış beton bor 0.01 0.014 Künk drenaj bors 0.01 0.014 Sılanmış kanalizasyon bors 0.013 0.015 Perçinli çelik bor 0.015 0.017 Pislenmiş font bor 0.015 0.035 Kıvrımlı demir bor 0.00 0.0
CHEZY Formülü V C R S C: Chezy katsayısıdır ve arcy denklemi yardımı ile sürtünme faktörü cinsinden; C 8g λ m 1/ /s değerine eşittir. Bor ve kanallardaki s akışına ait olmak üzere çok sayıda deneyler yapılmış ve C yi veren formüller ortaya konmştr. Ktter formülü C 100 m + R R veya C 100 m + Brada m; pürüzlülük katsayısıdır.
Tablo 7.4 n değerleri Bor cinsi m Yeni font borlar 0.0 Kllanılmış font borlar 0.5 ökme çelik borlarda 0.0 Yeni greseramik borlar 0.5 Kllanılmış greseramik borlar 0.30 0.35 Pis s kanalları 0.30 0.35 Cilalı sıvalı galeriler 0.0 0.5