TĐCARĐ MMATEMATĐK - 5. Basit Faiz

5.3.ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: TĐCARĐ MMATEMATĐK - 5. Basit Faiz Örnek 5.3.1:Bir adam 75.000 YTL sini yıllık %60 faiz oranı üzerinden 5 aylığına bir bankaya yatırıyor.vade sonunda adamın elde edeceği faiz tutarını hesaplayınız? a=75.000ytl F= 1. 200 75.000.60.5 n=%60 60 alınacak F= 22.500.000 t=5 ay F= 18. 750 YTL I PV=75.000YTL i=%60=0,6 alınacak F=75.000.0,6.0,417 n= 5 = 0, 417 F=18.750 YTL 12 II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 12 ayda 60YTL faiz getirirse 75.000YTL 5 ayda X YTL faiz getirir.12.x=75.000.5.60 75.000.5.60 X=.12 22.500.000 X= X = 18. 750 YTL Örnek 5.3.2:40.000 YTL yıllık %40 faiz oranı üzerinden 72 günlüğüne bir bankaya yatırılıyor.buna göre belirtilen sürenin sonunda alınacak olan faiz tutarını hesaplayınız? a=40.000 YTL F= 36.000 40.000.40.72 n=%40=40 alınacak F= 36.000 115.200.000 t=72 gün F= F = 3. 200 YTL 36.000 I PV=40.000 YTL i=%40=0,4 alınacak F=40.000.0,4.0,2 150

n= 72 = 0, 2 F=3.200 YTL 360 II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 360 günde 40YTL faiz getirirse 40.000YTL 72 günde X YTL faiz getirir.360.x=40.000.72.40 40.000.72.40 X=.360 115.200.000 X= X = 3. 200 YTL 36.000 Örnek 5.3.3: 30.000 YTL nin yıllık %75 faiz oranı üzerinden 1 yılda getireceği basit faizi hesaplayınız? a=30.000ytl F= n=%75=75 alınacak 30.000.75.1 F= t=1 yıl 2.250.000 F= F = 22. 500 YTL I PV=30.000 YTL i=%75=0,75 alınacak F=30.000.0,75.1 n=1 F=22.500 YTL II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 1 yılda 75 YTL faiz getirirse 30.000 YTL 1 yılda X YTL faiz getirir.1.x=30.000.1.75 30.000.75 X= 2.250.000 X= X = 22. 500 YTL 151

Örnek 5.3.4:Yıllık %56 faiz oranı üzerinden 3 aylığına bankaya yatırılan bir miktar para belirtilen sürenin sonunda 3.500 YTL faiz getiriyor.buna göre bankaya yatırılan para ne kadardır? n=%56=56 alınacak F= 1. 200 a.56.3 t=3 ay 3.500= F=3.500 YTL 3.500.= a.56. 3 3.500. a=? a = 56.3 4.200.000 a = 25.000 YTL 168 I i=%556=0,56 alınacak n= 3 = 0, 25 3.500=PV.0,56.0,25 12 3.500 F=3.500 YTL PV= 0,56.0,25 3.500 PV=? PV= PV = 25. 000 YTL 0,14 II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 12 ayda 56 YTL faiz getirirse X YTL 3 ayda 3.500 YTL faiz getirir.12.3.500=x.3.56.12.3.500 X= 3.56 4.200.000 X= X = 25. 000 YTL 168 Örnek 5.3.5:Yıllık %48 faiz oranı üzerinden 45 günde 1.500 YTL faiz getiren anaparayı bulunuz? n=%48=48 alınacak F= 36.000 a.48.45 t=45 gün 1.500= 36.000 F=1.500 YTL 1.500.36.000= a.48. 45 1.500.36.000 a=? a = 48.45 54.000.000 a= a= 25. 000YTL 2.160 I 152

i=%48=0,48 alınacak n= 0, 125 360 1.500=PV.0,48.0,125 F=1.500 YTL 1.500 PV = 0,48.0,125 PV=? 1.500 PV= PV = 25. 000 YTL 0,06 II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 360 günde 48 YTL faiz getirirse X YTL 45 günde 1.500 YTL faiz getirir.360.1.500=x.45.448.360.1.500 X= 45.48 54.000.000 X= X = 25. 000YTL 2.160 Örnek 5.3.6:Bir bankaya 2 aylığına yatırılan 40.000 YTL nin 2 ayın sonunda 2.000 YTL faiz getirmesi için uygulanacak olan yıllık faiz oranını bulunuz? t=2ay F= 1. 200 40.000. n.2 a=40.000 YTL 2.000= F=2.000 YTL 2.000.= 40.000. n. 2 2.000. n=? n = 40.000.2 2.400.000 n = n= 30 yani %30 80.000 Örnek 5.3.9:Yıllık %64 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan 105.000YTL belirtilen sürenin sonunda 20.160 YTL faiz getiriyor.buna göre para bankaya kaç günlüğüne yatırılmıştır? n=%64=64 alınacak F= 36.000 a=105.000ytl 105.000.64. t 20.160= 36.000 F=20.160 YTL 20.160.36.000= 105.000.64. t t=? 20.160.36.000 t = 105.000.64 725.760.000 t = t = 108 gün 6.720.000 153

I i=%64=0,64 alınacak PV=105.000YTL 20.160=105.000.0,64.n F=20.160YTL 20.160 n = 105.000.0,64 n=? 20.160 n = n= 0, 3 yani 108 gün 67.200 108/360 ın değeri 0,3 olduğundan 108 gün alınır. II Orantı kurarak çözüm yapalım: YTL 360 günde 64 YTL faiz getirirse 105.000YTL X günde 20.160YTL faiz getirir.360.20.160=105.000.x.64.360.20.160 X= 105.000.64 725.760.000 X = X = 108 gün 672.000 Örnek 5.3.10=Yıllık %25 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir miktar para kaç ay sonra kendisinin 2 katı kadar faiz getirisi sağlar? I.yol : N= %25 =25 alınacak F= a=a a. 25. t F=2a 2a= 1. 200 t=? 2 a.= a.25. t t = 2a. a.25 2.400 t = 25 t=96ay II.yol: Đ=%25=0.25alınacak PV=PV 2PV=PV.0.25.n 154

F=2PV N=? 2PV n= pv.0.25 2 n= n = 8 0.25 Bu bulunan değer yıl olarak dönem sayısıdır. Bu değer 12 ile çarpılırsa 8.12=96 ay bulunur. III.yol: orantı olarak çözüm yapalım: YTL 12 ayda 25 YTL faiz getirirse X t ayda 2X YTL faiz getirir.12.2x=x.t.25 /12 / 2X t= X.25 2.400 t= 25 t=96 ay Örnek : 5.3.1.1 : yıllık %72 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir miktar para kaç gün sonra kendisini 2/5 kadar faiz getirisi sağlar? Çözüm : II.yol: n=%72 alınacak F= 36.000 a=a 2a a. 72. t = 5 36. 000 2a 2a.36.000 F= t = 5 5a.72 T=? 72.000 t = t=200 gün 360 i= %72=0,72 alınacak PV=PV 2PV F= 5 2PV =PV.0,72.n 5 2PV=5.PV.0,72.n 155

2PV n=? n= 5. PV.0,72 2 n= n = 0, 556 3,6 Bu bulunan değer yıl olarak dönem sayısıdır. 360 ile çarpılırsa; 0,556.360=200 gün bulunur. III. yol. Orantı kurarak çözüm yapalım : ytl 360 gün 72 ytl faiz getirirse X ytl t günde 2X =YTL faiz getirir. 5.360..360.2X t= 5. X.72 72.000 t= 360 2X =X.t.72 5 t = 200 gün. Örnek 5.3.12: Yıllık %80 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan bir miktar para kaç yıl sonra kendisinin %60 ı kadar faiz getirisi sağlar? n=%80=80 alınacak F= a=a a.60 F= a. 60 a.80. t = a. 60= a.80. t a.60 60 t=? t = t = t = 0, 75YTL a.80 80 I i=%80=0,80 alıncak 156

PV=PV 60Pv. F= n=? 60. PV = PV.0.8. n 60. PV =. PV.0.8. n 60. V n=. PV.0.8 60 n= n= 0.75yıl 80 III.yol : Orantı kurarak çözüm yapalım: ytl 1 yılda 80 ytl faiz getirirse X ytl t yılda 60X. ytl faiz getirir. 60. X.1. = X. t. 80 : 60. X =. X. t.80.60. X 60 t = t = t = 0,75 yıl. X 80 80 Örnek 5.3.13 : Herhangi bir X bankasına yılık %24 faiz oranı üzerinden 3 aylığına yatırılan bir miktar para bu sürenin sonunda bankadan 79.500 YTL olarak çekilmiştir. Buna göre anapara ve faizi bulunuz? I. Yol: ant.. n=%24 =24 alınacak FV=F+a FV = + a a.24.3 t=3 ay 79.500= + a 72a FV=79.500ytl 79.500 = + a 1. 200 79.500= 0. 06a+a 79.500 A=? 79.500= 1.06a a= a= 75. 000 ytl 1,06 FV=F+a 79.500=F+75.000 F=79.500-75.000 F=4.500ytl II.yol : i=%24=0.24 alınacak FV=PV+F FV=PV+PV.i.n 157

III.yol : TĐCARĐ MMATEMATĐK - 5. Basit Faiz n= 3 = 0. 25 FV=PV.(1+i.n) 12 79.500=PV.(1+0.24.0.25) FV=79.500 ytl 79.500=PV.(1+0.06) 79.500 PV=? 79.500=1.06.PV PV= PV = 75. 000 ytl 1.06 FV=PV+F 79.500=75.000+F F=79.500-75.000 F=4.5000ytl Orantı kurarak çözüm yapalım : ytl 12ayda 24 ytl faiz getirirse X YTL 3 ayda (79.500-X)ytl faiz getirir.12.(79.500-x)=x.3.24.(79.500-x)=72 X 95.400.000-X=72X 95.400.000 95.400.000=1.272X X= X = 75. 000 ytl 1.272 Bu bulduğumuz değer anaparadır.toplam tutardan da bu değer çıkarılarak faiz bulunur F=79.500-75.000 F=4.500 ytl Örnek5.3.14 : bir işletme yıllık %54 faiz oranı üzerinden kredi kartı veren bir bankadan 8 ay sonra geri ödemek üzere bir miktar kredi almıştır. Bu işleme vade sonunda faiz tutarıyla beraber 102.000ytl ödeyerek borcunu kapatmıştır. Buna gore işletmenın odediği faiz tutarı ne kadardır? Çözüm : I.yol : FV. nt. n.=%54=54 alınacak F= + ( nt. ) 102.000.54.8 t =8 ay F= + (54.8) 102.000.54.8 FV=102.000ytl F= + 432 44.064.000 F= F = 27. 000 YTL 1.632 II.Yol : i=%54=0.54alınacak FV=PV+F FV=PV.(1+i.n) 158

n= 8 FV = 0. 667 PV= 12 ( 1+ i. n ) 102.000 FV=102.000 YTL PV= (1+ 0.54.0,667) 102.000 102.000 PV= PV = (1+ 0,36) 1.36 PV=75.000 ytl F=FV-PV F=102.000-75.000 F=27.000 YTL bulunur. III.Yol : Orantı kurarak çözüm yapalım : YTL 12 ayda 54 faiz getirirse (102.000-X)YTL 8 ayda X YTL faiz getirir..12.x=(102.000-x).8.54.x=(102.000-x).432.x=44.064.000-432x 1.632X=44.064.000 44.064.000 X= X = 27. 000 YTL bulunur. 1.632 Örnek 5.3.15 : Bay Z bir bankadan 6 ay sonra geri ödemek şartıyla kredi talebinde bulunuyor. Banka yıllık %63 faiz oranı üzerinden, faiz tutarını peşin kestikten sonra bay Z ye 16.440YTL ödeme yapıyor buna göre bankanın kesmiş olduğu faiz tutarını hesaplayınız.? Çözüm : I. Yol : ant.. t=6 ay F= ( nt. ) 16.440.63.6 F= (63.6) 6.214.320 n=%63=63 alınacak F= 378 6.214.320 a=16.440ytl F= F = 7. 560 822 II.Yol : 159

n= 6 PVi.. n = 0, 5 F = 12 (1 i. n ) 16.440.0,63.0,5 i=%63=0,63 alınacak. F= (1 0,63.0,5) 5.178,6 5.178,6 PV=16.440YTL F= F = F = 7. 560 YTL 1 0,315 0,685 Örnek: 5.3.16: bayan x bir bankaya 10 ay sonra geri ödeme koşuluyla kredi talebinde bulunmuş. Banka yıllık %40 faiz oranı üzerinden faiz tutarını kestikten sonra bayan x e 6000 YTL ödeme yapmıştır.buna göre 10 ay sonra yapılacak olan ödeme tutarını hesaplayınız Çözüm I.Yol : t=10 ay FV=a+F ant.. a=6000 YTL FV=a+ ( nt. ) 6000.40.10 n=%40=40 alınacak FV=6000+ 1200 (40.10) fv=? 6000.40.10 FV=6000+ 1200 400 FV=6000+ 2400000 800 FV=6000+3000 FV=9000YTL II.YOL: N= 10 PV = 0, 833 FV= 12 ( 1 i. n ) PV=6000YTL Đ=%40=0,4 alınacak FV=? 6000 FV= (1 0,4.0,833) 6000 FV= 1 0,333 FV = 6000 0,667 FV = 9000 YTL 160

ÖRNEK 5.3.17: bay k bir bankaya belirli bir süre sonra ödemek sartıyla 3000YTL kredi talebinde bulunuyor banka bay K ya yıllık %48 faiz oranı üzerinden hesaplanan faiz tutarını düştükten sonra 2700 YTL ödeme yapıyor.buna göre bankadan alınan kredinin vadesi kaç aydır? Cözüm : FV=3000 YTL F=FV-a N=%48= 48 alınancak F=3000-2700 F =300YTL bulunur. ant.. A=2700 YTL F= 1200 ( nt. ) 2700.48. t T=? 300= 1200 (48. t) 129600t 300= 1200 48t 360000-14400t=129600t 360000=144t 360000 t= t = 2. 5ay 144000 II Yol: FV=3000YTL Đ=%48=0.48 alınacak F=FV-PV F=3000-2700 F=300YTL PV=2700YTL PVi.. n F= (1 i. n) N=? 2700.0,48. n 300= 1 0,48. n 300-144n=1.296n 300 300=1.440n n= = 0. 208 1.440 Bir yıl 12 ay olduguna göre 0,208 yıl=0,208.12=2,5 ay bulunur. 161

Örnek 5.3.18: Bir işletme bankaya 8 ay sonra geri odemek uzere 000 YTL kredi talebinde bulunuyor.banka faiz tutarını kestikten sonra işletmeye 85000 YTL ödeme yapılıyor.buna göre bankanın bu işlemde uyguladığı yıllık faiz oranını bulunuz. Çözüm FV=000YTL F=FV-a F=000-85000 F=15000YTL bulunur A=85000YTL ant.. F= 1200 ( nt. ) T=8 ay 85000. n.8 15000= 1200 ( n.8) N=? 18000000-120000=680n 18000000=8000n bulunur. 18000000 n= n= 22,5yani%22, 5 800 I FV=000YTL PV=85000YTL F=FV-PV FV=000-85000 F=15000YTL N= 8 PVi.. n = 0, 667 F= 12 (1 i. n ) 85000. i.0,667 Đ=? 15000= (1 i.0,667) 15000-000i=56666,7i 15000=66666.7i 15000 i= i= 0, 225 yani0,%22,5 bulunur. 66666,7 Örnek 5.3.19: Bir adam parasını %30 yerine %36 faiz oranı üezerinden faize yatırmış olsaydı 6 ayda 720 YTL daha fazla faiz alacaktı.buna göre faize yatırılan para ne kadardır? 162

Cözüm I.Yol Đki faiz söz konusu oldugu için iki ayrı faiz hesabı yapacagız.đkinci faiz ile birinci faiz arasındaki fark 720 YTL olacaktır. ant.. a.30.6 F = F1 F1= 0,15a 1 1200 1200, ant.. a.36.6 F2= F2= F2= 0,18a 1200 1200 F2-F1=720 YTL 720YTL 0,18a-0,15a=720 YTL 0,03a=720YTL a= a= 24000 YTL 0,03 IIYol: F1=PV.i.n F1=PV.0,3. 12 6 f!=pv.0,3.0,5 F1=0,15PV F2=PV.i.n F2=Pv.0,36. 12 6 F2=PV.0,36.0,5 F2=0,18PV F2-F1=720 YTL 0,18PV-0,15PV=720YTL 0,03Pv=720YTL PV= 720YTL PV=24000YTL bulunur. 0,03 Örnek 5.3.20: Bir adam parasının ¼ ünü yıllık %30 faiz oranı üzerinden 4 aylıgına geri kalanınıda yıllık %70 faiz oranı üzerinden y,ine 4 aylığına farklı bankalara yatırıcak olursa 4 ayın sonunda aldığı toplam faiz 960 YTL olutor.buna göre adamın 2 bankaya yatırdığı toplam para ne kadardır? Çözüm Adamın bankaya yatırdıgı toplam para a YTL olsun I.Banka: a.30.4 ant.. F= F1= 4 = F1= 0,025a 1200 1200 II.Banka: 163

3a.70.4 ant.. F= F2= 4 F2= 0,175a 1200 1200 Burada birinci banka parasının 1/4 ünü yatırdıgı için ikinci bankaya parasının 3/4 ünü yatıracagına ve iki bankanın faizleri toplamının 960 YTL olacagına dikkat ediniz. IIYol: F1+F2=960 YTL 0,025a+0,175a=960 YTL 960 0,2a =960YTL a= a = 4800 YTL bulunur. 0,2 Adamın bankaya yatırdığı toplam para PV olsun.birinci bankaya Pv/4 ve ikinci bankayada 3PV/4 yatırılacak ve yine iki faizin toplamı 960 YTL olacaktır. I.Banka: F1 pv 4 4.0,3 12 F1= 0,025PV II.Banka: 3PV F 4 4. 12.0,7 F2= 0,175PV F1+F2=960YTL 0,025PV+0,175PV=960YTL 960YTL 0,2PV=960YTL PV= PV 0,2 = 4800YTL Örnek 5.3.21 : 5.00 YTL nin bir kısmını %60 faiz oranı üzerinden geriye kalan kısmı da yıllık %40 faiz oranı üzerinden 1 yıllığına farklı bankalara yatırılacak olursa bir yılın sonunda eşit miktarlarda faiz alınıyor. Buna göre %60 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan miktar ne kadardır? Çözüm : I. Yol : I. Bankaya yatırılan miktara a YTL dersek II. Bankaya yatırılan miktar (5000-a) YTL olacaktır. Faizler bulunarak birbirine eşitlenecektir. 164

I. Banka : II. Banka : ant.. a.60.1 F= F1= F1= 0,6a a. nt. (5000 a).40.1 F= F 2= 200.000 40a F2 F 2= 2000 0,4a F1=F2 0,6a= 2000 0,4a a= 2000 YTL bulunur. II. Yol : Birinci bankaya yatırılan miktara PV YTL Đkinci bankaya yatırılan miktara da (5000-PV) YTL diyeceğiz. Bulunan faiz miktarları da birbirine eşit olacaktır. I.Banka: F1=PV.0,6.1 F1=0,6P V II. Banka: F2=(5000-PV).0,4.1 F2=2000-0,4PV F1=F2 0,6PV=2000-0,4PV PV=2000 YTL bulunur. Örnek 5.3.22 : Bir adam 50.000 YTL sinin bir kısmını yıllık %40 faiz oranı üzerinden 6 aylığına geri kalan kısmını da %60 faiz oranı üzerinden yine altı aylığına farklı bankalara yatırıyor. 6 ayın sonunda adamın eline geçen para 64.000 YTL olduğuna göre yıllık %40 faiz oranı üzerinden bankaya yatırılan miktar ne kadardır.? Çözüm : I. Yol : F=FV- a 165

F=64.000-50.000 14.000 YTL bulunur. Bu bulunan faiz değeri belirtilen süre sonunda her iki bankadan elde edilecek olan toplam faizdir. Yine birinci bankaya yatırılan miktara a YTL ikinci bankaya yatırılan miktara da (50.000-a) YTL diyelim. I. Banka : ant.. a.40.6 240a F= F1= F1= F1= 0,2a II. Banka : a. nt. (50.000 a).60.6 18.000.000 360a F 2= F 2= F= 1. 200 F 2= 15.000 0, 3a F1+F2=14.000 YTL 0,2a+15.000-0,3a=14.000 YTL 1.000YTL 0,1a=0 YTL a= a= 10. 000 YTL 0,1 II. Yol : F=FV-PV F=64.000-50.000 F=14.000 YTL bulunur. Toplam faiz 14.000 YTL dir. Birinci bankaya yatırlan miktara PV YTL ve ikinci bankaya yatırılan miktara da (50.000-PV) YTL diyelim. I. Banka : II. Banka F1=PV.0,4. 6 12 F1= 0, 2PV 6 F2=(50.000-PV).0,6. F2= (50.000 PV ).0, 3 12 F2=15.000-0,3PV Bulunur. F1+F2=14.000 YTL 166

0,2PV+15.000-0,3PV=14.000 YTL 0YTL 1.000YTL=0,1PV PV= PV = 10. 000 YTL bulunur. 0,1 Örnek 5.3.23 : 3.000 YTL nin yıllık %40 faiz oranı üzerinden 3 ayda getireceği faiz başka bir bankaya 8 aylığına yatırılan aynı miktar para tarafından getiriliyor ise ikinci bankanın uyguladığı yıllık faiz oranı % kaçtır? Çözüm : Önce 3.000 YTL nin yıllık %40 faiz oranı üzerinden 3 ayda getireceği faiz hesaplanır daha sonra ikinci faiz yerine bulunan bu değer anapara yerine yine 3.000 YTL ve süre yerine de 8 ay yazılarak ikinci bankanın faiz oranı bulunur. I.Yol : ant.. 3.000.40.3 360.000 F= F = F = F = 300 YTL 3.000. n.8 300= 300.= 3.000. n. 8 300. 360.000 n= n = n= 15 yani %15 i bulunur. 3000.8 24.000 167