İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk Pro. Dr. Mehmetçk Bayazıt, Pro. Dr. Beyha Oğuz Uygulamalı Temel İstatstk Yötemler Pro. Dr. Özka Üver, Pro. Dr. Hamza Gamgam SPSS Uygulamalı İstatstk Tekkler Vas Nadr Tek -
Bölüm İSTATİSTİK İstatstk hakkıda bugüe kadar blmsel yada blmsel olmaya pek çok taım yapılmıştır. Blmsel olmaya taım ve bezetmelerde bazıları cddyet dışı görümelere karşı, gerçekte bazı öeml oktaları ortaya koymaktadır; Öreğ "Üç türlü yala vardır: yala, kuyruklu yala ve statstk" bezetmes her şey statstk le spat edlemeyeceğ vurgulamaktadır. Dar alamda İstatstk; geçmş ve şmdk durumla lgl toplamış sayısal verler gelştrlmş ola bazı tekklerle aalz ederek gelecek hakkıda karar vermemz kolaylaştıra br blm dalıdır. 7. Yüzyıla kadar sadece blg kaydetme şeklde gerçekleşe statstk çalışmalar, 8. ve 9. Yüzyıllarda J. Beroull (645-705 ve K.Gauss'u (777-855 katkılarıyla matematk temeller üzere oturtulmuş, htmal teors gelştrlmştr. Sosyal ve atropolojk olaylara statstğ kapsamlı br şeklde uygulaya lk matematkç ola Adolphe Quételet (796-874 se moder statstğ kurucusu olarak kabul edlmştr. 0. Yüzyılı başıda R. A. Fsher, K. Pearso ve W. S. Gosset' katkılarıyla tahm yapma ve karar verme kouları ö plaa çıkarak statstk artık sayısal verler yorum ve değerledrmes yapa br blmsel metodlar topluluğu hale gelmştr. Bu gelşmeler ışığıda statstğ tekrar tar edecek olursak, İstatstk; verler toplaması, orgaze edlmes, özetlemes, suulması, tahll edlmes ve bu verlerde br souca varılablmes ç kullaıla blmsel metotlar topluluğudur. İstatstk; br belrszlk blmdr. İstatstkçler, "Nedr?" sorusuyla değl, "Ne olablr?" veya "Ne muhtemeldr?" soruları le lglerler. Aşağıdak adey göz öüe alalım: "KCHOL hsse seed yatı altı ay sora şmdkde azla olacak." Bu ade br keslk çermektedr. İspat stedğde gerçeklklerde em oluamadığı görülecektr. Br aalst, KCHOL hsse seed yatıı gelecek brkaç ayda artacağıa asa ble em olamaz. Alam bakımıda ele alıdığıda bu ade şöyle olacaktır: "KCHOL hsse seed yatı altı ay sora şmdkde yüksek olablr." Bu öreğe dayalı olarak statstkte "Gereksz belrszlkler çere adeler" yere "garatsz keslkte adeler" kullaıldığı görülmektedr. - BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
Dl blm, belrszlğ "mkasızda kes'e kadar" ade etmek ç yeterldr, akat bazı olayları belrszlğ kousuda yetersz kalablmektedr. Burada kullaıla dl "Olasılık (probablte " olmaktadır. Dğer yada, statstğ celedğ olaylar gelşgüzel (rasgele, radom olaylar olduğuda deey yada gözlemlerde elde edle souçlar kes şeklde değl de htmal olarak ade edlr. Şöyle k statstğ verdğ souçları değerledrlmes probablte teors lkelere göre yapılır. Geel ve kaba br ade le probablte teors, herhag br olayı meydaa gelme htmal celer. Bu htmal 0 le veya yüzde olarak 0 le 00 arasıda değşe br sayı le ade edlr. İstatstk; verler toplaması, aalz, suulması ve yorumlaması le lgl lkeler ve yötemler çere ve bu şlemler souçlarıı probablte lkelere göre objekt br şeklde değerledre br blm dalıdır. İstatstk matematğ br dalı olmakla beraber matematk le arasıda öeml br ark vardır. Matematk dedükt, statstk se dükt br blmdr. Dedükt blmler geelde özele, ya geel durumlar ç elde edlmş souçları ve lkeler özel hallere uygulamaya çalışa; dükt blmler se özelde geele yöelk ya özel durumlar ç elde edlmş ola souçlara dayaarak, geel haller ç br tahmde bulumaya yardımcı ola blmlerdr. Matematk le statstğ ortak özellğ, her ks de sayılarla şlem görmelerdr. İstatstkte deey veya gözlemlerle elde edle sayılara ver delr. İstatstkte, küme (yığı (aa kütle ve umue (örek (örek kütle olmak üzere k öeml kavram vardır. Küme (populato ayı özellklere sahp ola breyler topluluğua der. Numue (sample, küme çde aalz ç seçle breyler topluluğudur. Bu kavramlara dayaarak statstk blm; Belrl br kümede umue alma şlem le, Numuelerde elde edle souçlara göre küme hakkıda karar verme şlem lke ve yötemler celer. - BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
İSTATİSTİK VE BİLGİSAYAR PROGRAMLARI Güümüzde blgsayar ve blgsayar programlarıı gelşmes le brlkte statstk ve probablte (olasılık hesapları le lgl özel programlar vardır. Öreğ; SPSS blgsayar programı, 967 yılıda bu yaa verdek gzl blgler keşetme ve stratejk karar desteğ sağlama yöüde predkt aalz çözümler sumaktadır. Buu yaı sıra, Ecel, Lotus gb blgsayar programları da statstk ve olasılık hesapları ç kullaılablmektedr. Bu programlar; Çok kolay ve hızlı br şeklde karmaşık sayısal hesapları yapablrler. İstatstk ve probablte hesapları le lgl, br düğme tıklaması le çalışmaya başlaya, br çok deklem ve bağıtı çerrler. Çok hızlı br şeklde çeştl grakler oluşturablrler. Souçlar ve grakler veya buları br kısmı, dkkatler çekmek ç özel olarak ormatlaablrler. Verler, grakler ve ver toplulukları hızlı br şeklde değştrleblr, slr, br yerde başka yere kopya edlr veya taşıablr. Başka programlarla ver tabloları, grakler ve şekller le lgl alış-verş yapılablr. Tüm şlemler makro sayesde br düğmeye basarak tekrarlaablr. Tüm şlemler özellkle Vsual Basc dle dayaarak program hale getrleblr. MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİK Mühedslkte statstk; tasarım ve üretm sürec, ürü güvelrlğ ve kalte kotrolü gb alalarda kullaılmaktadır. Mühedslğ çeştl dallarıda karşılaşıla br çok problem acak olasılık teors ve statstk yötemler le celeeblecek yapıdadır. Öreğ şaat mühedslğde yapı malzemeler özellkler, hdrolojk değşkeler, trak değşkeler, zemler özellkler gb çeştl büyüklükler rasgele değşke telğde olup determstk br yaklaşımla ele alımaları br çok hallerde yeterl olmamaktadır. Olasılık teors kavramlarıı ve statstk yötemler blmes mühedsler verecekler kararlarda belrszlk ve rsk etkler göz öüe almalarıa olaak verr. Böylelkle daha gerçekç projeler hazırlaması sağlaablr. Çükü, blglermz tümü br tahmler ağıda başka br şey değldr. Doğrular ve değer yargıları da mutlak değldr. Dü ç doğru ola bu gü ç doğru olmayablr, bu gü doğru bulduğumuz br blg yarı yalış olduğua karar vereblrz. Blmsel blgler ve blm açık uçlu br yapısı vardır. Bu yüzde rsk yada tehlke aıla belrszlkler doğal soucudur. Tüm sa etklkler, plalamaları, tasarımları yapısıda/büyesde kedlğde, kaçıılmaz bçmde varola potasyel br -3 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
usurdur. Şu halde olablr eylemlerde br seçlmes ve gerçekleştrlmese karar verlmes, oula lgl rsk göze alıması alamıa gelr. Yalı br taımla rsk; stemeye br olayı oluşması, br tehlke gerçekleşmes olasılığıdır. Heüz gerçekleşmemş olması, dama geleceğe lşk olablrlklerle lgl olması dolayısıyla rsk, br alamda kurgusaldır- hpotetktr. Belrszlkler örtüsü altıda kala rskler, determstk (gerekrc paradgmalarla/yaklaşımlarla belrleyemeyz. Rskler yalızca ve yalızca statstksel çıkarsamalarla elde ettğmz blgler olasılık yasalarıa göre değerledrerek tahm edeblrz. Mühedslk plalaması ve tasarımı evrelerde karşılaşıla sorular, br belrszlk ortamıda çözülür. Belrszlk, bu süreçler gerçekleşmes ç gerekl ola çoğu blg hç yada eksksz elde edlememesde ve soruları çerdğ zksel değşkeler yada parametreler statstksel değşm göstermelerde, rasgele değşke karakterde yapıya sahp olmalarıda kayaklaır. İstatstksel değşmler yer aldığı olaylarda se rsk kaçıılmazdır. Bu bağlamda rsk, mühedslk sstemler yapısıda varola, azaltılable ama yok edlemeye tehlke olasılığıdır. Dolayısıyla olasılık ve statstk teorler, mühedslk problemler sağlıklı ve gerçekç çözümü ç meset alıması zorulu dspllerdr. Blg kayakları; Zamala gelşe ve çoğala blmsel ve tekk blgler, araştırmalar yapısal tasarım yötemler ve yapım tekolojler etkler. Bu bağlamda, özellkler ve sıırlarıı açıkça algılaablmes ç yapısal tasarım müheds blg kayakları beş arklı şeklde sııladırılablr; meslek blg, ulusal yöetmelkler, ve stadartlar, tcar ürülerle lgl blg, deeym, şaatı yeryle lgl blg. Yapısal tasarımda model belrszlkler; yapısal tasarım, hesap modeller ve stokastk modeller kullaılarak gerçekleştrlr. Hesap model belrszlkler; yapısal sstemler tasarımı gerçeğ dealleştrlmş betmlemeler ola lmt durum deklemler, algortmalar, blgsayar bezeşm programları gb matematksel modellere yada bezeşm modellere dayaılarak yapılır. Bu teork modeller, deeysel ve/veya teork araştırmalar soucu gelştrle ve gerçeğ olabldğce doğru yasıta karmaşık (kompleks, sostke modeller mühedslk hayal gücü, sezgs ve deeym le, dolayısıyla özel (sübjekt değerledrmeler ve kabullerle bastleştrlmesyle oluşturulur. Bastleştrme tasarım çözümlemeler matematksel şleeblrlğ sağlamak ç gerekldr. Örekse; zamala ve mekala değşe yükler eşdeğer üorm statk yüke döüştürülür; üç boyutlu yapı k boyutluymuş gb çözümler; brleşmler rjt, mesetler tam akastre olduğu varsayılır; parametreler arasıdak korelasyo (statstksel lşk hmal edlr ve km parametreler hesaba katılmaz; malzeme doğrusal (leer olmaya davraışı (- lşkler gb doğrusal varsayılır; zamaa bağlı etkler göz öüe alımaz... -4 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
Bu bakımda yapısal sstemler tasarımıda kullaıla hesap modeller, araştırma modeller yetklğe, dealleştrme ve bastleştrme doğruluk derecese ve kapsamıa göre gerçeğ yakıda yasıtablr yada yasıtmayablr. Araştırma modeller yetklğ se sağlaable blgler güveeblrlğe (depadablty bağlıdır. Güveeblrlğ model sıaablrlğ, testedleblrlğ belrler. Testedleblrlk modele lşk blgler doğrulaablrlk ve deeyler tekrarlaablrlk derecesyle ölçülür. Stokastk model belrszlkler; Öte yada, araştırma ve hesap modeller çerdğ parametreler geellkle rasgele değşkedr. Belrl değerler alablmeler yalızca belrl olasılıklarla ade edleble statstksel, stokastk büyüklüklerdr. Örekse; tasarım temel değşkeler ola yükler, malzeme mukavemetler, boyutlar ve bezerler gb. Yapısal tasarımda bu büyüklükler olasılık dağılımları le hesaba katılırlar. Normal dağılım, logormal dağılım, ekstrem dağılımlar gb stokastk modellerle betmlerler. Stokastk modeller de hesap modeller gb yetk değldr. Yetk olmamalarıı çeştl edeler vardır. Başlıca ede statstk verler yetersz oluşudur. Bu yüzde rasgele değşkelere lşk blgler çoğu zama buları ortalama değerler ve stadart sapmaları le sıırlı kalmakta, stokastk modellerde belrszlkler oluşmaktadır. Bu belrszlkler stokastk model belrszlğ termyle adladırılır. Belrszlkler ortamıda tasarım; hesap model ve stokastk model belrszlkler çeştl yötemlerle kısme yada tamame ortada kaldırılablr. Ama tasarım temel değşkeler yapısıda varola rasgelelkte kayaklaa belrszlkler her zama kalıcıdır yok edlemez. Bu yüzde br yapıda stemeye br durumu (tehlke ortaya çıkma htmal (rsk her zama vardır, ortada kaldırılamaz. Yapısal tasarımda aıla durum lmt durum, gerçekleşme htmal göçme rsk yada göçme olasılığı, gerçekleşmeme htmal güvelrlk yada kalıcılık olasılığı termleryle adladırılır. Burada göçme (tükeme, alure term e geel alamda, herhag br lmt durumu belrtmek ç kullaılmaktadır. Örekse; br yapısal sstem kısme yada tamame servs dışı kalması yada çökmes; br betoarme su deposuda mukavemet bakımıda sakıcalı olmaya, akat depou su sızdırmasıa (şlev yapamamasıa ede ola çatlakları oluşması; br betoarme krşte gözle görüleble eğlme ve/veya kesme çatlaklarıı oluşması yada krş aşırı sehm yapması olablr. -5 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
İSTATİSTİK İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR İstatstk blm temel amacı plalamış br çalışmada yada blmsel br araştırmada ortaya çıka (gözlee rasgele souçları taıtılması, yorumlaması ve değerledrlmesdr. Bu bağlamda kayda geçrle belgelee herhag br değer gözlem termyle adladırılır. Sayılable yada ölçüleble, topladığı bçmyle kayda geçrle ve kayak olarak kullaıla blglere şlememş ver (düzelememş ver, kaba ver der. İstatstkte kaba verler elde edlmes sağlaya süreç ç deey term kullaılır. Yaklaşık özdeş koşullar altıda yapıla statstksel deeyler tüm souçları geellkle brbrde arklı olur. Bu edele bu deeyler rasgele deeyler termyle adladırılır. Herhag br rasgele deey yada olayı mümkü olable tüm souçlarıı oluşturduğu ortama deey ortamı yada yaygı termle toplum ve olayı br bölümüe lşk souçları elde edlmes şleme örekleme elde edle souçlara da örek uzay yada kısaca örek der. Öreğ taımlaya sayısal br değere statstk der; örek ortalaması değer ve stadart sapması gb. Toplumu belrte sayısal br değer de parametre termyle adladırılır. Br örek e az k statstkle, dolayısıyla lgl toplum e az k parametreyle taımlaablr: ortalama değer ve stadart sapma. Ortalama değer; Br merkezdek (br değer dolayıdak yığışımı ölçüsüü belrtr. Olasılık teorsde daha çok beklee değer termyle adladırılır. Gözlee değerler dzs artmetk ortalaması alıarak belrler. Br öreğ ortalama değer; (... / (/,,. değerler sırayla,, gb rekasları varsa örek ortalama değer şöyle de belrleeblr;... (/... Br statstksel ver takımıa lşk ötek merkezsel değerler mod ve medyadır. Mod, ver takımıda e azla yelee rekası e yüksek ola değerdr. Medya, büyüklüklere göre sıralamış verler lstesdek orta değerdr. Ver sayısı tek se medya ortadak değer, çt se ortadak k değer ortalaması olur. Varyas ve stadart sapma; Deey yada gözlem souçlarıı ortalama değere göre dağılımıı belrte br başka statstk varyas yada varyası karekökü ola stadart sapmadır. Dağılımı ölçüsüü belrlemek ç ortalama değere göre sapmaları kareler toplaır ve örek boyutua bağımlılığı yok etmek ç bu toplam deey yada gözlem sayısıa bölüür. Bu şeklde hesaplaa değer varyas (Var(X termyle adladırılır. Var ( X (/ ( Bu bağıtı le belrlee değer, rasgele değşke boyutuu kares olur. Bu edele, zksel br alamı olması ç, pratkte çoğu zama varyası karekökü kullaılır. -6 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
Böylece belrlee ve rasgele değşke le ayı boyutta ola beklee değer stadart sapma (s termyle adladırılır. s / / [ Var ( X ] (/ ( Bu bağıtı toplum stadart sapmasıı eğlml (taralı tahmcsdr. Aıla eğlm (hatalı yaklaşımı ortada kaldırmak ç eğlmsz stadart sapma kullaılmalıdır. Bu değer bağıtıda yere - koularak elde edlr. Bu durumda karel termlerde açılırsa bağıtı şu şekl alır; s / ( / ( Varyasyo katsayısı (değşm katsayısı ; Özellkle ayı br rasgele değşke le lgl arklı toplumlara lşk dağılımları karşılaştırılmasıda kullaıla br başka öeml statstk de varyasyo katsayısıdır (V. Bu boyutsuz katsayı, stadart sapmaı ortalama değere bölümesyle elde edle orala taımlaır. Örek ve toplum ç aşağıdak bağıtılar le taımlaır. V s / V / m İk Dağılımı Hkayes Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 Std. Sapma: 0 Dağılım: 0,6, Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 Std: Sapma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek -7 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
Blgler düzelemes/hstogram; Deey ya da gözlem souçlarıı çere düzelemş (küçükte büyüğe sıralamış lsteler celerse, ölçüle yada gözlee değerler geellkle br aralıkta yer aldığı, ve km değerler öteklerde daha azla tekrarladığı görülür. Bu bağlamda, deeysel yada gözlemsel yolla sağlaa blgler br rekas dyagramı le hstogram la grak olarak gösterleblr. Daha belrg br ade le hstogram deey yada gözlem soucu sağlaa blgler değşkelğ betmleye olgusal (emprcal br graktr. Hstogram; br rasgele değşke belrl değer aralıklarıa lşk rekaslarıı ve/veya bağıl rekaslarıı dağılımıı göstere çubuklu br dyagramdır. Abss ekse üzerde, gözlee e büyük ve e küçük değerler çere br uzuluk, verler göz öüde buludurularak eşt ve matıksal aralıklara bölüür, sııladırılır. Ordat eksede se bu aralıklara düşe rekaslar karşılık gelmektedr. Frekas yada Bağıl rekas Sürekl br rasgele değşkee lşk deeysel dağılım Hstogram / Frekas dağılımı / Bağıl rekas dağılımı 0 Bağıl rekas; Br sıı aralığıa düşe ver sayısıı toplam ver sayısıa bölümesyle elde edle oradır. Frekas yoğuluğu; Bağıl rekası aralık uzuluğua bölümesyle elde edle ora. Bağıl rekasları toplamı ve rekas yoğuluğu dağılımıı altıda kala ala.0 e eşt olur. Brkml rekas dağılımı; Ordat eksede her aralığa lşk bağıl rekasları ardışık kısm toplamlarıı gösterlmes le oluşturula grak göstermdr. Deey yada gözlem sayısı arttırılır ve sıı aralığı küçültülür se hstogram sürekl br eğrye yaklaşır ve ver sayısı sosuz olduğu zama lmtte- br eğrye döüşür. Bu eğrye olasılık yoğuluk eğrs yada olasılık dağılım eğrs der. Dağılım eğrs belrte bağıtı olasılık yoğuluk oksyou termyle adladırılır. ( ( Teork dağılım Olasılık dağılımı 0 d -8 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
Frekas FREKANS Brkml Frekas [Uygulama] Br şatyede üretle betoda sldr bçmde 0 umue alıarak br örek oluşturulmuş ve umueler ekseel basıç mukavemetler Tablo dak gb bulumuştur. Örek ortalamasıı, beto toplumuu eğlmsz tahm değer vere stadart sapmasıı ve varyasyo katsayısıı hesaplayıız. Betoa lşk rekas, bağıl rekas ve brkml rekas dağılımlarıı belrleyz. No (Mpa ort -ort (-ort stadartsapma varyasyo katsayısı.7.905 0.05 0.0405 3.45 0.5 4. -.95.67705 3 5.7 -.795 7.805 4 3.5-0.595 0.35405 5 8. 4.705.3703 6.6.305.70305 7 5.5 -.595 6.73405 ort (... / 8 5. 7.705 59.36703 9 3.9-0.995 0.99005 0 9.3 3.605.99603 /.4 0.505 0.5505 s [Var(X] (/..705.90705 3 6.6-3.695 3.65303 4 0..705 7.3705 5 7.5-4.595.403 V s / 6.6 0.305 0.09305 7 4. -.95.67705 8 9. -6.95 39.6703 9 5.7 -.795 7.805 0 8.7 4.05 7.6803 toplam toplam 458. 5.9495 (/ ( / m= 5. sıı aralığı rekas bağıl rekas brkml rekas ma= 9. 5 0 0.00 0.00 8 0.05 0.05 4 0.0 0.5 4 7 0.35 0.60 7 6 0.30 0.90 30 0.0.00 0 8 7 6 5 4 3 0 8 7 7 6 6 5 4 4 3 5 8 4 7 30 0 (MPa 6,5 9,5,5 5,5 8,5.0.00 0.80 0.60 0.40 0.0 0.00 5 8 4 7 30 (MPa BASINÇ DAYANIMI(Mpa -9 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı
-0 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Bau Yağcı Formüller (/ /... ( (/...... ( (/ ( X Var / / ( (/ ] ( [ X Var s / ( / ( s s V /