ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN
İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7 i
T e ş e k k ü r Mrmr Üiversiteside so yıllrd düzeli olrk verdiğim Aliz III dersii ders otlrı, öğrecileri yrrlmsı mcıyl burd birry getirilmektedir. El yzmsı meti Lte de öze ve titizlikle yz sevgili öğrecim Doç.Dr. Fruk Uçr ile Durmuş Albyrk ve bu otlr yzılırke gösterdiği destek ve sbır içi sevgili eşim Ysemi Ergu içtelikle teşekkür ederim. Bu otlrı, bbmı sevgili küçük krdeşi ol, yşm 99 yılıd heüz yşıd ved ede, kedisii mhzu fotogrflrıd tıdığım,oul yı dı tşıdığım sevgili mcm H.Nuretti e ithf ederim. Nuretti Ergu Arlık 4 Doğı muzzm kitbıı dili mtemtikdir. Glileo Glilei ii
Bölüm Foksiyo Dizi ve Serileri Foksiyo dizileride belli bşlı iki tür ykısklık vrdır: Noktsl ykısm ve düzgü ykısm. Bu bölümde bu kvrmlrl ilgileeceğiz. Öce gerekli olduğu içi supremum ve ifimum bilgilerii ımsylım ve örekler verelim. Bilidiği gibi, A R lt kümesi verildiğide, ck ve ylız i α A, ii ε >, ε A, α ε < ε koşullrıı gerçekleye bir α R gerçel syısı vrs tımlbilirse sup A eküs A α yzılır. i koşulu α R gerçel syısıı A kümesii bir üst sıırı olduğuu, ii koşulu ise od dh küçük hiçbir gerçel syıı A içi bir üst sıır olmdığıı söyler, çükü y < α ise uygu bir ε > içi y < y + ε < α ε bulrk dikkt : < ε < α y lmk yeterlidir ve ii kullılrk y < α ε < gerçekleye e z bir A vrdır, y gerçel syısıı A içi bir üst sıır olmdığı lşılır, böylelikle α gerçel syısı A kümesii üst sıırlrıı e küçüğü olur. Bu krşılık, eğer, her M > içi M A, M < M oluyors, hiçbir gerçel syı A kümesii bir üst sıırı olmz, çükü bu so koşul gereği, her y R içi y < y + < y olck biçimde e z bir ve slıd sosuz te y A vrdır; ck bu durumd sup A + yzılır. Öte yd iii β A, iv ε >, ε A, ε < β + ε koşullrıı gerçekleye bir β R vrs if A ebs A β yzılır. R. Dedekid i ülü teoremi kıtlmsı çok ciddi bir iştir boşt frklı ve üstte sıırlı tüm A R lt kümelerii tek türlü belirleebile bir supremumuu ve bezer biçimde boşt frklı ve ltt sıırlı lt kümeleri de ifimumuu vr olduğuu söylemektedir. Eğer A R lt kümesi içi γ A koşuluu gerçekleye bir γ R vrs, Dedekid Teoremi gereği vr ve iyi tımlı ol sup A α A R içi α A γ geçerlidir, çükü eğer tm tersie γ < α A olsydı ε R +, γ +ε < α A ε böylece A, γ < γ +ε < α A ε < γ çelişkisi doğrdı. Demek ki γ A bilgiside sup A γ soucu, bezer biçimde β A bilgiside de β if A soucu çıkrsır. Şimdi bzı kümeleri supremum ve ifimumlrıı belirleyelim. Örek: sup N + geçerlidir, çükü N kümesi üstte sıırlmz, gerçekte eğer Koş: R,
N koşulu gerçekleşseydi souçt Koş : + N böylece N buluur, yi gerçel syısı ve bezer biçimde gerçel syısı,... N kümesi içi birer üst sıır olur, supremum özelliğie ship R kümeside N kümesii e küçük üst sıırı sl belirleemezdi, çelişki! Bu gözlemde şu öemli souçlr çıkr. Arşimet İlkesi: R, N, < olur. Bu yukrıdki kıtlmı koly bir soucudur ve dikkt edilirse şğıdki ilke elde edilir: Tım Arşimet İlkesi: y R, R +,,y N, y < olur. Gerçekte bu souç y gerçel syısı yukrıdki ilke uygulrk kolyc buluur. Okuyucu yukrıdki ilkeleri birbirie eşdeğer olduğuu kolyc gösterebilmelidir. Temel Bilgi: lim geçerlidir, çükü herhgi < ε verildiğide Arşimet İlkesi ile ε N, < ε ε ε ε böylece < < ε ε buluur, buys isteedir. Yrdımcı Teorem : Gerek Q gerekse R Q kümeleri gerçel syılr kümeside yoğudurlr. İspt: Öce < y gerçekleye ve y gerçel syılrı e olurs olsu, e z bir r Q rsyoel syısıı < r < y gerçeklediğii Arşimet İlkesi kullrk gözleyelim. Öce < y uutmd bu ilke gereği < y yi + < y gerçekleye N ve sor < N gerçekleye N N doğl syılrı vr, böylece Z {k Z : < k} Z lt kümesi N Z edeiyle boş olmdığıd ve gerçel syısı ile ltt sıırlı olduğud şğıd yer l bilgi edeiyle iyi tımlı ol k mi Z Z Z tm syısı syeside r k rsyoel syısı < r < y gerçekler, çükü Z kümesii e küçük elemı k olduğud k / Z fkt k Z edeiyle hem k < k hem de < k + < y böylece istee < k r < y soucu buluur. Öte yd k < k gerçekleye k ve k tm syılrı e olurs olsu k < q < k gerçekleye e z bir q R Q vrdır, çükü k < k + q < k + k olmktdır ve q k + / Q gerçekler ede?, o hlde < y gerçekleye ve y gerçel syılrı krşılık öce < r < r < y gerçekleye r i k i i i, rsyoel syılrı ve z öce gözlediği gibi k < q < k greçekleye q irrsyoel syısı vr böylece < r < q q < r < y buluur ve q irrsyoel olup < q < y gerçekler. Bilgi: Z tm syılr kümesii boşt frklı ve ltt sıırlı her lt kümesii miiml elemı iyi tımlıdır. Gerçekte A Z içi eğer A N ise bu iddi bilimektedir, yok eğer A N ise A kümeside, ltt sıırlı olduğu içi, sdece solu te egtif tm syı bulubileceğide olrı e küçüğü pçık
biçimde mi A elemıdır ede? Ayrıc dikkt edilirse m, ] Z [] Z tm syısı herbir R içi iyi tımlıdır. Gerçekte A, ] Z Z kümeside gerçel syısıd büyük olmy tüm tm syılr ve ylızc olr yer lır, üstelik Arşimet İlkesi edeiyle N, < < + < + < gerçekleştiğide < + < + < < geçerlidir, böylece A kümeside sosuz te tm syı yer lır, bu küme R ile üstte sıırlı olduğud kesilikle β sup A gerçel syısı iyi tımlıdır, oys Topoloji dersleride bir A Z lt kümesi içi eğer sup A R gerçel syısı iyi tımlı ise yi A kümesi üstte sıırlı ise sup A A böylece sup A m A gerçekleştiği gösterildiğide β A, ] Z Z olduğu lşılır, bu özel tm syı [] işreti ile yzılır ve bilidiği gibi gerçel syısıı tm kısmı dıı lır. tımıd kolyc < [] < [] + R eşitsizlikleri elde edilir sıl?. Demek ki her gerçel syı iki uygu rdışık tm syıı rsıd yer lır, üstelik / Z ise < [] < < [] + eşitsizlikleri buluur. Örekler : A { [ ] : N} içi mi A < sup A gösterelim. Dikkt edilirse [ ] A ve zte [ ] < N gözleyerek mi A buluur. Ayrıc < + < + N ve q + R Q içi < q < + ve böylelikle [q ] ve [ ] + + + + + > + + + + + böylece + + < + + q ξ ve her N içi + 3 < + 3 + + < + + 3 + + + + bulup kök lıırs ξ + + + ξ + < < lim ξ olduğud ε >, ε N, ε < ξ + < [ + + ] A < ε ve böylelikle sup A 3
buluur. Siz her N içi q + 3 gerçel syılrıı tımlyıp dikkt: < içi q R Q gözleyiiz. E {q [q ] : N} [, ] lt kümesi içi sup E, mi E gösteriiz. Buu içi q q < q + N ve q < N gözleyiiz B { + m :, m N, m} içi m B 3 ve if B gösteri. Dikkt: m içi r,m + m r m, yzılırs kolyc her N ve her m > içi r,m r, 3 m B gözleir, çükü m + böylece r,m + m + + + + 3 N geçerlidir. Ayrıc her N içi B {r,m : m > } tımlırs B B ve m B r,+ + + > +3 ++ r +,+ m B + gözleyip m B m B r, 3 buluur. ε >, ε N, < ε ε yi < ε < ε olduğud Arşimet İlkesii kullı + ε ε + < ε + ε ε olur. Her, m N içi zte < + olduğud bu souç pçık biçimde if B verir. m m 3, m N içi r,m + + m olsu. sup{r,m :, m N} ve if{r,m :, m N} edir. r, 3 m m + m + + m r,m edeiyle r ifimum r, 3 olur. Öte yd r, + > 3 N gözleyip + sup{r,m :, m N} sup{r, : N} sup{ 3 : N} + edeiyle r supremum + olur. 4 f + R+ ise sup fr + sup R + f +, if fr + olur, çükü if fr + mi fr + mi R + f f olur. Dikkt: Her R+ içi < < + ve böylece + gözleyiiz. 5 g + R + ise sup gr + + olur, çükü her N içi < bilgisiyle M >, M N, M < M < M < g M olur. Ayrıc ülü b + b, b R + eşitsizliği kullılırs g + + f f f 4 g if gr + g 4 olur. 6 sup, çükü her, içi < < ve souçt < ε < verildiğide ε < y ε <, gerçekleye y ε R + syeside ε y ε tımlırs, kolyc < ε < ε < olur, böylelikle ε,, ε,, ε < ε < buluur, bu isteedir. Siz sup gösteriiz., 7 A {cos : N} {cos, cos, cos 3,...} [, ] kümesi içi if A < sup A geçerlidir, çükü slıd A {cosπ + k : k Z} {cos k : k Z} {cos : N} {} A {} kümesi birzd göreceğimiz ülü Dirichlet Teoremi i koly bir soucu olrk [, ] rlığıd yoğu olduğud, yi < y gerçel syılrı e olurs olsu, y rlığıd A kümeside sosuz syıd elem yer ldığıd,, y rlığıd A kümeside de sosuz syıd gerçel syı yer lır bkz. Yrdımcı Teorem, bu edele < ε < e olurs olsu cos < + ε < 4
< ε < cos N gerçekleye sosuz te ve N doğl syısı vrdır, bu souç ise isteei verir. Dikkt: A kümesii elemlrı ikişer ikişer frklıdır, çükü < y gerçel syılrıı cos cos y gerçekleyebilmesi içi y uygu bir k Z içi y k π y d uyguı bir k Z içi k π y k π olmsı gerektiğide ede? r < r gerçekleye r, r rsyoel syılrı e olurs olsu, sl cos r cos r gerçekleşmez ede?. 8 A, ve sup A γ A R olsu. Aşğıdki gerçekleşir gösteriiz: sup {l : A} lγ A Gerçekte her A içi < γ A böylece l lγ A olur. Ayrıc her ε > içi < e ε böylece γ A e ε < γ A ve γ A sup A olduğud δ ε >, ε A böylece logritm rt olduğud istee buluur: γ A e ε + δ ε < γ A δ ε < ε γa γa lγ A ε l e ε < l e ε + δ ε < l ε. Temel Bilgi: Sbit < < gerçel syısı e olurs olsu, şğıdki A kümesi R kümeside yoğudur: A {k : k Z, N}. Gerçekte < y gerçel syılrı verildiğide, uygu bir k Z ve N içi < k < y gözlemek güç değildir, çükü < δ y syeside + edeiyle N N, < < δ N olur; böylece sbit bir > N doğl syısı seçerek, Arşimet İlkesiyle m N, < m buluur, böylelikle m Λ {k Z : < k } gözleyip, syf deki Bilgi kullılrk, kesilikle k mi Λ Λ tm syısı iyi tımlıdır, k / Λ olduğud k < k < y buluur, dikkt edilirse, eğer y k olsydı k < y k ve souçt < δ y k k çelişkisi doğrdı! Ödev: {ε } dizisi ε + gerçeklesi. Gösteriiz: A {kε : k Z, N} kümesi R kümeside yoğudur. Tım : A R lt kümesi ve f : A R N gerçel değerli foksiyolrı verilsi. A kümesii A { A : {f } dizisi ykısk} { A : l R, lim f l } kümesi boşt frklı ise l A biçimide tıml foksiyo, dh çık biçimde f l 5
lim f A gerçekler ve f gerçel değerli foksiyou {f } foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou deilir. T f A olduğu dikkt edilmelidir. Örekler Şu temel bilgileri tzeleyerek bşlylım: Her, içi lim ve her, içise lim + geçelidir. Gerçekte, yi < ise, uygu bir ε > syısı syeside < N, bu krşılık < ise, bu kez uygu bir δ > syeside δ < N ε geçerlidir, çükü < ise ε >, < + ε < ε < böylece < + ε + ε + ε < N buluur çükü ε + ε ε < ve ε > ε olduğud her N içi + ε + k k ε k > + ε > ε > böylece hem ε < hem de + ε + ε < N buluur, souçt < N ε ε eşitsizliklerii kullrk ülü Sıkıştırm Lemmsı yrdımıyl istee lim lim soucu çıkrsır. Bu krşılık < ise bu kez δ >, < + δ < δ < böylece δ < + δ < N bulrk lim + buluur. O hlde f si [, ], N biçimide tıml {f } foksiyo dizisii oktsl limiti f [, ve f gerçekleye böylece f f edeiyle süreksiz ol f foksiyoudur, çükü her [, ] içi ve her N içi < π olduğud si geçerli olup, ülü si y y y R bilgisiyle şğıdkiler buluur: f si si f si [,, N si N böylece f lim f oktsl limit foksiyou içi isteeler elde edilir. Uyrı : Demek ki sürekli foksiyolrı oktsl limit foksiyou süreksiz olbilmektedir. A [, ] ve f A, N ise, her > içi lim + olduğu, kıscsı herbir, ] içi {f } dizisi ykısk olmdığı içi A [, ] olur ve kolyc f lim f oktsl limit foksiyou şğıdki foksiyodur ve f foksiyou oktsıd süreksizdir: f lim f ; [, ; 3 A R ve g + A, N ise g lim g oktsl limit foksiyou tüm A kümeside tımlı ve g lim g lim + e A gerçekler. 6
Gerçekte öcelikle herhgi R içi lim l g gerçeklediğii göstermek kolydır, çükü dikkt edilirse Arşimet İlkesi ile N, < böylece < yi < g ve şğıdki 7 öreğide gösterileceği gibi + <. l + l g <., < l g < + + olduğud her iki yd limit lrk istee buluur. Burd e lim g çıkrsır. 4 A [, ] ve h si π A, N ise A {, } olur, çükü her, gerçel syısı içi {h } dizisi ırksktır. Gerçekte r Q ise r olck biçimde rlrıd sl ve N { N doğl syılrı vrdır ve {h r} si π } dizisii, iki frklı limite ykısy iki lt dizisi vr N olduğud bu dizi ırksr bilidiği gibi bir { } gerçel syı dizisi ykısk ve sözgelimi lim l ise, bu dizii herhgi bir { m } m lt dizisi de lim m m l gerçekler. Dikkt edilirse her N içi N π h N r si si π böylece N h N r h N r h 3N r, h N +r h 4N +r h 6N +r si πr > olur, sözgelimi h N +r si N +π N si π + πr si πr > olur, çükü < πr < π geçerlidir, kıscsı {h N r} lt dizisi sıfır, bu krşılık {h N +r} lt dizisi pozitif si πr syısı ykısr. Öte yd herhgi bir q R Q [, ] irrsyoel syısı içi {h q} {si πq} sıırlı dizisii ırksmsı iddisı çok ciddidir ve Dirichlet i şğıd yzılı teoremi yrdımıyl gösterilir. Apçık biçimde her A {, } içi h lim h olur. ; [, 5 A [, ] ve f + ; [, ] A, N ise f lim f oktsl limit foksiyou f A gerçekler, çükü herbir A içi lim f olur, çükü lıdığıd, her N içi [, ve f edeiyle f lim f olur; herhgi, ] lıdığıd Arşimet İlkesi ile N, < 7
ve dolyısıyl, ] gözleyip bu içi f + > böylelikle f lim +, ] buluur, burd so dımd bir { } dizisi, eğer ykısk bir { } dizisi rcılığıyl gerçeklerse lim lim olur, bilgisi kullılmıştır, erede?. Dikkt edilirse her [, ] ve her N içi, ister [, [ isterse, ] olsu f gözleyerek de lim f soucu buluur. 6 A R ve p 3 3! + 5 5! + + + A, N poliom dizisii! oktsl limit foksiyouu lim p si A olduğu ilerde gözleecektir. 7 R +, N içi f yzılsı. R + içi f lim f oktsl limit foksiyou tımlıdır, vrdır. Buu içi öce şu temel bilgileri gözleyelim: Bilgi : Her N içi, çrpımlrı ol te pozitif gerçel syıı toplmı gerçekler. Gerçekte iddi içi pçıktır, iddi içi doğru vrsyıldığıd + gerçekleye k pozitif gerçel syılrı içi + + + + + + olur, çükü içleride e z birisi ise iddi ici dım vrsyımıd elde edilir, sözgelimi ise 3 4 + edeiyle, bu so çrpım ktıl çrp syısı olduğud, ici dım vrsyımı ile + 3 + + + ve souçt + + + + + + buluur. Eğer k pozitif syılrıd hiçbirisi değilse, tümü k < y d tümü < k gerçekleyemeyeceğide ede? i < < k gerçekleye i ve k vrdır sözgelimi < < + olsu. Souçt 3 + ve ici dım vrsyımı ile + 3 + + + ve her y ekleyip + + ++ + + + + + + buluur çükü < + ve < edeiyle < + yi + + < + + olur. O hlde Bilgi tümevrıml gösterilmiştir. Dikkt: Eğer ve çrpım ktıllrd e z birisi de frklıys sözü edile toplm > gerçekler. Bu iddi Bilgi kullılrk tümevrıml gösterilir sıl?. Bilgi : Solu syıd pozitif gerçel syıı geometrik ortlmsı ritmetik ortlmsıd büyük olmz. Gerçekte,,, pozitif gerçel syılrı içi, Bilgi yrdımıyl + + + k k olur, çükü sğ ydki toplm ktıllrı hepsi pozitif ve çrpımlrı olmktdır. Dolyısıyl şu çıkrsır: + + + 8 k k
Üstelik k lrd birisi k yi k gerçeklerse so eşitsizlik biçimii lır ede?. < + + + O hlde herhgi > verildiğide bu so gözlem yrdımıyl, üstelik < N ve + + edeiyle + + < + + ve böylelikle < + + < N bulrk ltt sıırlı { } zl dizisii ykısdığı lşılır. Demek ki > ise lim l R vrdır tımlıdır. içi, bu dizii tüm terimleri ve souçt limiti olur., ise [ ] N ve birz öce gözlediği gibi, > edeiyle köşeli prtez içideki dizii limiti vr olduğud { } dizisi < < durumud d ykısmktdır. Demek ki gerçekte R + içi f lim f lim oktsl limit foksiyou iyi tımlıdır. Mtemtikte bu f oktsl limit foksiyou doğl logritm foksiyou deilir, kıscsı şğıdki geçerlidir: l lim R + Dikkt edilirse, y R + pozitif gerçel syılrı e olurs olsu, y R + ve souçt yukrıdki tım kullılrk l y lim y lim y y + y lim y + lim y l + ly buluur, çükü iyi bilidiği gibi, her R + içi lim lim bilgisiyle yukrıdki ilk 9
limit l olur. Bu koud so olrk şuu gözleyelim : < ise < l çükü < l + > + geçerlidir. Dikkt edilirse ise + +...++ böylece < içi < + olup bu so özdeşlikte ve limit lıp < + + + ++ +...++ + < + < + + N < +, l + lim + buluur. O hlde < ise δ > syeside şu souç buluur. l l + δ δ +δ >. Doğl logritm foksiyouu tüm özellikleri tımıd çıkrsır. Bulrı Aliz I dersleride ypıldığıı vrsyıyoruz. 8 Her > içi lim + olur. Çözüm: Gerçekte ε >, < + ε < ε < böylece her içi böylece ile bölerek ε ε < + < ε + k ε k + ε < k gözleyip içi limit lıp istee buluur. Yrdımcı Teorem : A [, b] lt kümesi [, b] rlığıd yoğu ise < y b gerçekleye her, y gerçel syı çiftii rsıd A kümeside sosuz syıd okt vrdır. Kıtlm: A kümesii yoğu olmsıı gereği olrk öce < < y gerçekleye A elmıı, sor bezer gerekçeyle < 3 < gerçekleye 3 A ile < < y gerçekleye A elemıı belirleme işlemii tümevrıml sürdürerek, souçt < < + < < 3 < < < 4 < < < + < < y gerçekleye, A gerçel syılrı her N içi belirleir, böylece, y A kesişim kümeside, ikişer ikişer frklı ol, e z syılbilir sosuz te A elemı bulumuş olur. Yrdımcı Teorem 3: Bir { : N} kümesi [, b] rlığıd yoğus, herbir [, b] gerçel syısı, { } dizisii uygu bir lt dizisii limitidir. Kıtlm: Kıslık mcıyl A { : N} {,,...} yzlım. Herhgi bir [, b] lısı, öce < b olmsı durumud bir kıtlm verelim. Bu durumd < +δ < b δ < b olck biçimde bir δ vr, A yoğu üstelik < + δ < +δ < b gerçeklediğide, birici şmd < < + δ olck biçimde A, sor + ε < ε olck biçimde ε > vr olduğud < δ < ε δ
pozitif syısı içi hem δ < ε hem de δ < δ ve böylece < + δ < + ε < gözleyip bu kez < < + δ < + δ gerçekleecek biçimde bir > doğl syısı ve A vrdır, çükü, + δ A kesişimi sosuz elemlı olduğud bu kesişim kümeside +, +, +3,... elemlrıd sosuz tesi buluur Dikkt: < + δ < gözleyiiz. Sor + ε < ε ve < δ 3 < ε δ 3 syılrı rcılığıyl, +δ 3 A kesişim kümeside sosuz elem buluduğud, e z bir 3 > içi 3, + δ 3 A vrdır, < 3 < + δ 3 < + δ 3 ve 3 < + δ 3 < + ε < gözleyiiz. Bu işlem tümevrıml sürdürülürse her m N içi < m < + δ m ve m < m+ ve m+ < m olck biçimde m A elemlrı tımlır ve < m < + δ m N eşitsizlikleri m kullılıp limit lırk, zl { m } m lt dizisi içi lim m m buluur. b içi bu kez rtrk b gerçel syısı ykısy bir lt dizi tımlır. Bitti! Teorem Dirichlet Teoremi: Sbit q R Q verilsi. Eğer q ve gerçel syılrı Q üzeride lieer bğımsız iseler A q, {q + k : N, k Z} kümesi gerçel syılrı yoğu bir kümesidir. Kıtlm: q ve syılrıı Q cismi üzeride lieer bğımsız olmsı demek, r, r Q rsyoel syılrı içi ck ve ylız, r r olduğud r q + r gerçeklemesi demektir. Herhgi bir irrsyoel syı ile, sıfırd frklı herhgi bir rsyoel syıı bu itelikte olduğu ve yrıc A q, A q, olduğu dikkt ediiz., çükü q + k A q, içi q + k q + k A q, gözlemek yeterlidir. Dolyısıyl, geelliği bozmksızı > vrsybiliriz, çükü < ise A q, kümesii yoğu olduğu gösterildiğide A q, kümesii yoğu olduğu gösterilmiş olur. Demek ki > olmktdır ve [ ] q k Z N tm kısım değerleri her N içi k q < k + ve k q < k + gerçekler. O hlde δ q k A q, N gerçel syılrı < δ < N ve yrıc m içi δ δ m gerçekler, çükü δ δ m mq + k m k olur, çükü ı ktsyısı sıfır olsu y d olmsı q ı ktsyısı sıfır değildir. Dikkt: < m ve N N, k Z ise Nδ m δ + k Nm q + k + Nk k m A q, gözlemi gözlemelidir. Şimdi, herhgi iki frklı gerçel syı rsıd A q, buluduğuu göstermek istiyoruz. Bu eşdeğer iddi şğıdkidir: kümeside e z bir elem R, ε >, ε, + ε A q,.
O hlde R, ε > verilsi. Ülü Arşimed İlkesi : R, y R +,, y N, < y kullılrk < ε ε ve < gerçekleye ε ve doğl syılrıı belirlersek < < [ + olur. Oys [, [, ε [ ε, ε ε ε, birleşimide, birleşime ktıl rlıklr ikişerli yrık ve syılrı tm ε te, bu krşılık, hepsi pozitif ol δ, δ,..., δ ε, δ ε+ ε + tedir, üstelik < δ < N böylelikle < δ [ k ε, k ε tümü, [, ε k [ k ε, k ε rlığıı elemı olur çükü ksi hlde herbir I k gerçel syılrı < N olduğud, bulrı kümesii elemıdır, souçt bulrd e z iki tesi yı bir [ k ε, k ε rlığıd bulrd e fzl bir te ve souçt [, rlığıd bulrd e fzl ε te buluurdu, oys bu kesirler tm ε + tedir; [ k ε, k ε yi hem k ε δ < k ε hem de dolyısıyl < m ε + olmk üzere δ, δm < k ε ve böylece δ δm ε yi δ δ m < ε olur. k ε δm Şimdi irdelemesi gereke iki durum vrdır: Durum : δ < δ m ise < + [ ] + olur, N tm kısmı N + < N + δ m δ δ m δ δ m δ gerçekler ve ξ N + δ m δ A q, içi Nδ m δ + < N + δ m δ ve < ξ < + ε yi ξ, + ε A q, ε, + ε A q, olur, çükü Nδ m δ edeiyle ξ Nδ m δ + δ m δ + δ m δ + δ m δ < + ε geçerlidir ve ξ > pçıktır. Durum : δ m < δ ise, bu kez < ve δ m δ < ve < [ ] gözleyip N δ m δ δ m δ içi N + δ m δ < N δ m δ ve N olur, < m edeiyle, yukrd gözlediği gibi ξ N + δ m δ + A q, gerçekleye ξ gerçel syısı içi ε < δ δ m +δ m δ < N δ m δ +δ m δ + ξ < yi ξ ε, A q, ε, +ε A q, olur. Her iki durumd d ε, + ε A q, bulumuştur, kıscsı A q, kümesi yoğudur. Souç : Her q irrsyoel syısı içi, Dirichlet Teoremi A π,πq {π + kπq : N, k Z} kümesii gerçel syılrd yoğu olduğuu söyler, çükü π irrsyoel syısı ile πq syısı Q üzeride lieer bğımsızdır ede?. O hlde bu yoğu kümei sürekli siüs foksiyou ltıdki görütüsü ol ε E {siπ + kπq : N, k Z} {si kπq : k Z} {, si πq, si πq,...} kümesi de [, ] rlığıd yoğudur, böylelikle [, ] rlığıdki her gerçel syıy, bu kümede seçile ikişer ikişer frklı terimlerde oluş ykısk bir dizi ykısr. Bu edele {si πq } dizisi kesilikle
ırksr, çükü eğer ykıssydı, l lim si πq gerçel syısı tımlı olur dikkt: her N içi si πq edeiyle l [, ] gözleyiiz. ve E kümesii elemlrıyl, ylızc l ve l gerçel syılrı ykısbilirdi, çükü {si πq } dizisii tüm lt dizileri l ve { si πq } dizisii tüm lt dizleri ise l syısı ykısr ve sosuz terimi birici dizide, sosuz terimi ise ikicide seçilmiş tüm dizilerse ırksktır ede?. Bezer biçimde q irrsyoel syısı e olurs olsu {cos πq } dizisi ırksr, çükü {cosπ + kπq : N, k Z} {cos kπq : k Z} {cos πq : } kümesi [, ] rlığıd yoğudur. Ödev: Q rsyoel syısı e olurs olsu, her [, ] gerçel syısı krşılık, doğl syılrı öyle uygu bir rt < < 3 < < m < m+ < dizisi vrdır ki lim cos m gerçekleşir. Dikkt: Yukrdki örek 8 i dh geeli şğıdki souçtur: lim +,, R Çözüm: içi iddi pçık olduğud, < durumu irdeleecektir. Arşimet İlkesiyle m N, < + < m ve < edeiyle δ >, + δ < geçerlidir. m gözleyiiz. Dikkt edilirse her m içi ve üstelik m > + δ.δ m δm m!.m k δ k >.δ m k m.. m m olduğud, kıslık mcıyl, sdece > sbiti ile gerçel syısı bğlı şğıdki M δm m! > pozitif sbitii tımlyıp m > + edeiyle m >. gözleyerek kolyc > M.b.. m 3
buluur, burd pçıktır ki, herbir m içi b.. m m.... m.. m yzılmıştır ve sğ yd çrpım ktıl tm m te yi sbit syıd terim vrdır. Böylece lim M b M > ve > M.b. m olduğud istee souç çıkr. Uyrı: Bu soru dh koly bir biçimde, bu Bölüm de ilerde gösterilecek ol şu temel bilgiyle çözülür: Bilgi: Eğer pozitif terimli { } dizisi içi gerçekleşir. lim + < lim + < ise lim, ise lim + Yukrdki sorud < ve N içi > biçimide tıml dizi pçıktır ki ikicisii gerçekler! Uyrı: İleri düzeyde Aliz kitplrıd her > içi, ülü Guss bğıtısı lim!. +... + e t.t dt ı isptıı okuyuuz! Sğ yd yer l özge olmy Riem tümlevi Γ ile yzılır, bkz Bölüm3. Uyrılr: Sürekli foksiyolrı oktsl limit foksiyou süreksiz olbilir, buu içi Örek. e bkmk yeterlidir. Bu örekte f poliomlrı sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou f f gerçeklediği içi süreksizdir. Bilidiği gibi, bir f foksiyou içi, ck ve ylız lim ε, f l R koşulu gerçeklediğide, f foksiyouu oktsıdki sol limiti vrdır deilir ve f l yzılır. 4
f + sğ limiti bezer biçimde tımlır. Aliz i e temel teoremleride birisi şu temel gerçeği söyler: f foksiyouu T f oktsıd sürekli olbilmesi içi gyk f f f + eşitliklerii geçerli olmsıdır. Süreksiz foksiyolrı oktsl limit foksiyou sürekli olbilir. Gerçekte Örek.5 de tıml f foksiyou r rsyoel syısıd f r + f r + gerçeklediği içi süreksizdir. Oys {f } süreksiz foksiyolrıı oktsl limit foksiyou A [, ] içi f lim f gerçekler, sbit foksiyodur, süreklidir. 3 Sürekli sıırlı foksiyolrı oktsl limit foksiyou sıırsız olbilir. Gerçekte bilidiği gibi, ck ve ylız şğıdki eşdeğer koşullrd birisii gerçekleye bir f gerçel değerli foksiyou sıırlı foksiyo deilir: Koşul :, b R, < b ve ft f [, b]. Koşul : M >, ft f [ M, M]. Birici koşulu yerie < b ve f b T f, ikici koşulu yerie f M T f yzılbilir. Dikkt edilirse Koşul geçerli ise M ve b M lrk Koşul i geçerli olduğu, tersie Koşul geçerliyse M b m{, b } tımlyrk M f b b M ve böylelikle M f M T f yi f M T f ;, ] buluur kıscsı Koşul elde edilir. Şimdi A, ] ve f ; [ A, N, ] olsu. Dikkt: f f + N ve f, ] [, ] N edeiyle tüm f foksiyolrı sürekli ve sıırlıdır. Oys herbir A, ] +, ] içi, tıpkı Örek.4 ypıldığı gibi N, [, ] > ve f > edeiyle f lim f A buluur. Bu oktsl limit foksiyou sıırsızdır, çükü zte f A olduğud f M A gerçekleecek biçimde M > sbiti yoktur, çükü M > e olurs olsu M M +, ] A içi f M M + > M olmktdır, kıscsı f oktsl limit foksiyou sıırsızdır. Yukrıdki Uyrı ve Uyrı 3 de görüle griplikleri gerçekleşmediği ykısm türü düzgü ykısmdır. Tım 3: A R lt kümesi, f : A R N foksiyolrı ve olrı A kümeside tımlı f lim f oktsl limit foksiyou verilsi. Ack ve ylız Koş: ε >, ε N, sup f f < ε ε A koşulu gerçeklediğide {f } foksiyo dizisie f lim limitie düzgü ykısıyor deilir ve f d lim d y d f f yzılır. Bu tımdki koşul yerie o eşdeğer ol Koş: ε >, ε N, sup f f ε ε A 5
Koş3: ε >, ε N, f f < ε A, ε koşullrıd herhgi birisi de yzılbilirdi. Gerçekte tımdki koşul geçerliyse, pçık biçimde Koş koşulu geçerlidir, çükü iyi bilidiği gibi c d içi gerek yeter koşul gyk c < d ve c d bğdşmz iddilrıd tm birisii geçerli olmsıdır; tersie Koş geçerliyse, özel olrk ε > verildiğide ε N, sup f f ε A ε olur, burd ε N, sup f f < ε ε bulrk A Koş koşulu elde edilir. Koş ve Koş3 koşullrıı eşdeğerliğii siz gösteri, çükü şğıdki çıkrsm geçerlidir. E içi sup E Öte yd bir A R lt kümeside tımlı f gerçel değerli foksiyou eğer sıırlıys, yi f M A koşulu gerçekleecek biçimde bir M > sbiti, eğer vrs, f y d bze f A işretiyle yzıl f f A sup A f M supremumu kesilikle vr ve iyi tımlıdır. Özellikle A [, b] ve f foksiyou bu rlıkt tımlı, gerçel y d kompleks değerli ve sürekli ise sup f supremumu iyi tımlıdır, htt [, b] kplı-sıırlı rlığıd sürekli gerçel değerli f içi Weierstrss ı ülü teoremi ile [, b], f m f olur ve [,b] [,b] her mksimum supremum olduğud dikkt: E R içi m E y tımlıys y sup E olur, ede? f sup f m f f olur. f sürekli olms bile f syısı, egtif olmy [,b] [,b] f gerçel syılrıı supremumu olduğu ve böylece her A içi f f gerçekleştiğide, kesilikle f geçerlidir. f egtif olmy gerçel syısı f foksiyouu supremum ormu deilir. Dikkt: her A içi f f f olduğud f f gözleyiiz. Norm bilgisi kullılrk, Tım yeide ve kıs bir biçimde şöyle yzılır: Ack ve ylız ε >, ε N, f f A < ε ε koşulu geçerliyse {f } foksiyo dizisie f foksiyou A kümeside düzgü ykısıyor deilir. Dikkt edilirse f f f f A < ε A, ε gerçekleştiğide, herbir A içi {f } f A olduğu lşılır, yi {f } dizisii limitii vr ve f olduğu, kıscsı f lim foksiyo dizisi A kümeside f foksiyou eğer düzgü 6
ykısıyors öcelikle oktsl ykısr. Bşk bir söyleyişle düzgü ykısm geçerliyse oktsl ykısm soucu çıkrsır. Oys {f } foksiyo dizisi eğer f lim f limitie oktsl ykısıyors, düzgü ykısmı gerçekleşmesi gerekmez. Öreği, f foksiyolrı sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou süreksiz ise, bu ykısm kesilikle düzgü ykısm olmz, çükü şğıdki temel Teorem geçerlidir. Sözgelimi f, ], N biçimide tıml {f } foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou f lim f ;, olup, bu foksiyo pçık biçimde f f sğldığı içi, ] rlığıd sğ uç oktsıd süreksizdir, dolyısıyl f foksiyou A, ] rlığıd {f } dizisii oktsl limitidir, fkt düzgü ykısk limiti olmz, çükü f foksiyolrıı hepsi A kümeside sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou A kümeside sürekli değildir, bu edele şğıdki Teoremi kullılır. Ayrıc r rsyoel syılrı içi lim r lim fkt lim f r lim e f olduğud Teorem ii edeiyle de{f } foksiyo dizisii, ] kümeside f oktsl limitie düzgü ykısmdığı lşılır. Ayrıc her [, içi f ve f f böylece sup [,] f f sup [, f f olduğud, N e olurs olsu şğıdki gözleerek de yı souc ulşılır: sup sup f f [, [,. Teorem : i Sürekli foksiyolrı düzgü ykısk limiti süreklidir. ii Düzgü sürekli foksiyolrı düzgü ykısk limiti düzgü süreklidir. iii Sürekli ve sıırlı foksiyolrı düzgü ykısk limiti sürekli ve sıırlıdır. Kıtlm: i A kümeside f d lim f geçerli ve tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli olsu. Amcımız f foksiyouu herbir A oktsıd sürekli olduğuu göstermektir. O hlde uygu bir δ ε > yrdımıyl ε > verildiğide < δ ε f f < ε çıkrsmsıı göstermeliyiz. Oys düzgü ykısm edeiyle ε N, f f < ε 3 ε geçerli olduğud, keyfi seçile bir ε doğl syısı lırk, f foksiyou A oktsıd sürekli olduğud δ ε >, < δ ε f f < ε 3 geçerli ve üstelik ε edeiyle f f < ε 3 gözleyerek souçt < δ ε ise kıscsı δ ε, + δ ε ise şğıdkiler buluur: 7
f f f f + f f + f f f f + f f + f f f f + f f < ε 3 + ε 3 ε. ii Bilidiği gibi A T f kümeside tımlı gerçel değerli bir f foksiyou, ck ve ylız, ε >, δ ε >,, y A ve y < δ ε f fy < ε çıkrsm koşuluu gerçeklerse A kümeside düzgü süreklidir deir. Bu tımd ε > syısı krşılık belirlee δ ε pozitif syısı, ε syısı krşı belirlee düzgü süreklilik sbiti deilir. A kümeside düzgü sürekli foksiyo pçık biçimde A kümesii her oktsıd süreklidir ede?, oys düzgü sürekli olmy sürekli foksiyolr vrdır. Öreği, her > içi p R poliomlrı bu iteliktedir, öreği p foksiyou R kümeside hiçbir ε > syısı krşılık bir düzgü süreklilik sbiti belirleyemez, çükü δ > e olurs olsu, + δ < δ ve ε < p + δ p gerçekleye syılmz sosuz te R belirlemek çok kolydır, çükü ülü Arşimet İlkesi edeiyle, ε > ve δ > e olurs olsu ε δ 4 < δ ε olck biçimde bir ε N belirleebildiğide, souçt ε < gerçekleye her R içi ε δ 4 < δ ε < δ ve böylece ε < δ + δ 4 p + δ p buluur. Siz p 3 3 ve p 4 4 poliomlrıı R kümeside düzgü sürekli olmdığıı bezer yötemle gösteriiz. Bu krşılık ülü Ortlm Değer Teoremi edeiyl < y ise l ly y ξ,y olck biçimde < ξ,y < y vr olduğud, f l doğl logritm foksiyou < e olurs olsu [, sıırsız rlığıd düzgü süreklidir, çükü M > olmk üzere,, y [, e olurs olsu l ly M y gerçekler ede?, böylece y < δ ε ε ise l ly < ε buluur. M Şimdi, tüm f foksiyolrı A kümeside düzgü sürekli ve f d lim f olsu. İddi: f foksiyou d A kümeside düzgü süreklidir; çükü i kıtlmsıd kullıl f düzgü sürekli olduğud, ε > verildiğide ε 3 syısı krşılık uygu bir δ ε > syeside y < δ ε ve, y A ise f f y < ε 3 ve ord ypıldığı gibi f fy f f + f f y < ε buluur. Kıscsı f foksiyou her ε > syısı krşılık bir düzgü süreklilik sbiti belirleyebilmektedir. iii Hem A kümeside f d lim f oluyor ve tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli ve sıırlıys, yi herbir N içi f sürekli ve f M A olck biçimde bir M > sbiti vrdır ede?, zte i şıkkı edeiyle f süreklidir. 8
Şimdi, şğıdki Teorem de öce sıklıkl yrrlcğımız şu temel bilgiyi görelim: Yrdımcı Teorem 4: Bir f : A R foksiyouu A oktsıd sürekli olbilmesi içi gyk bu oktd dizisel sürekli olmsı, yi terimleri A kümeside lııp lim gerçekleye her { } dizisi içi lim f f koşuluu gerçeklemesidir. Kıtlm: Gereklik: f foksiyou A oktsıd sürekli yrıc lim olsu. ε > verildiğide süreklilik gereği δ ε >, f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε olur, yi her δ ε, + δ ε A içi f ε < f < f + ε kıscsı f f < ε gerçekleşir. Oys lim edeiyle δ ε < < + δ ε ε olck biçimde bir ε N vrdır. Souçt her ε içi δ ε, + δ ε A böylelikle f f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε yi f f < ε ε olur, buys lim f f demektir. Yeterlik: Yeterlik vrsyımı geçerliyke f foksiyou A oktsıd sürekli olmsydı, şğıdki süreklilik koşulu gerçekleşmezdi: ε >, δ ε >, f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε O hlde şu koşul gerçekleşirdi: Koş: ε >, δ >, f δ, + δ A f ε, f + ε. Dolyısıyl δ + gerçekleye pozitif terimli herhgi bir {δ } dizisii terimleri içi f δ, + δ A f ε, f + ε N olur, böylelikle şğıdki souç buluurdu: N, δ, + δ A, f f ε, f + ε Bu souç ise yeterlik vrsyımı ile çelişirdi, çükü < δ N ve lim δ olduğud, ülü Sıkıştırm Lemmsı kullılrk lim yi lim bulurk yeterlik vrsyımı edeiyle lim f f olmsı gerekirke bu gerçekleşmezdi, çükü f ε < f < f + ε gerçekleye tek bir f bile yoktur, çelişki! Demek ki yeterlik vrsyımı geçerliyke f foksiyou A oktsıd sürekli olmk zoruddır, bitti! Teorem 3: i A kümeside f d lim f olmsı ile lim f f A koşullrı eşdeğerdir. ii A kümeside f d lim f ise ve tüm f foksiyolrı sürekli ve üstelik { } Aω dizisi içi lim A limiti vrs şğıdki geçerlidir: lim f f f lim. iii {f } sürekli foksiyolr dizisii f lim f oktsl limiti A kümeside tımlı, fkt uygu bir ykısk { } Aω dizisi içi lim f f lim oluyors f lim f ykısmsı düzgü ykısm değildir. 9
iv A kümeside f d lim f ve g d lim g ise, b R sbitleri e olurs olsu f + bg olur. d f + bg v α R + sbiti e olurs olsu < ise lim α olur. Bu oktsl ykısm düzgü ykısm değildir. Kıtlm: i Düzgü ykısm tımıd kolyc çıkrsır. ii f d lim f, tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli ve lim ise f f olur, çükü f f f f + f f f f + f f ε Nolur, burd f foksiyo sürekli ede? ve edeiyle Yrdımcı teorem 3 kullılrk f f olduğud, i şıkkı kullılrk yukrıdki {ε } egtif olmy gerçel syılr dizisi sıfır ykısr ede?, böylelikle istee buluur. iii Bir öceki şıkt çıkrsır. iv Öcelikle, A kümeside tımlı gerçel değerli ve sıırlı f ve g foksiyolrı içi, kolyc f + g A f A + g A elde edilmelidir, oys her A içi f + g f + g f + g f A + g A edeiyle kolyc f + g sup f + g f A + g A buluur. Souçt, bu şıktki hipotezler A ltıd, her N içi f + bg f + bg f f bg g f f + b g g δ gerçekleştiği ve δ olduğud istee buluur. v Bu şıkkı kıtlmk içi, isptı ileride verilecek ol şu temel bilgiyi kulllım: Pozitif terimli bir { } R ω dizisi içi eğer lim + < ise lim + olur, özellikle lim < ise lim geçerlidir. O hlde α N ve < < olmk üzere + + α α + α < edeiyle lim yi lim α buluur, buys lim α demektir. içi yrıc α içi, e olurs olsu lim α gözleyiiz. Demek ki,, α R içi lim α olmktdır. Oys, α > yi α R + ise f α sürekli foksiyolrıı A, çık rlığıd oktsl limit foksiyou f lim f lim α olur, fkt bu oktsl ykısm, kesilikle düzgü ykısm değildir, kıscsı f f A koşulu gerçekleşmez çükü, dikkt edilirse α >
olduğuu uutmd geçerlidir. Gerçekte Örek.6 d gözlediği gibi N içi f f A f A α + geçerlidir. f A sup f sup α α,, sup, α α * Teorem 4: f : [, b] R foksiyou ve her N içi f : [, b] R foksiyolrı sürekli olsu. [, b] rlığıd f d lim olbilmesi içi gyk, terimleri [, b] rlığıd lı her ykısk { m } m dizisi ve {f } foksiyo dizisii herbir {f m } m lt dizisi içi lim m m m f lim m m eşitliğii gerçeklemesidir. Kıtlm: Gereklik Teorem. ii edeiyle pçıktır. Tersie yeterlik koşulu gerçeklediğide f d lim f yi lim f f bşk bir yzışl Koş: ε >, ε N, f f < ε ε koşulu gerçekleir, çükü eğer gerçeklemeseydi ε >, N, N >, ε f N f gerçekleir, böylelikle tümevrıml tımlck ol uygu bir kesi rt < < < m < m+ < doğl syılrı syeside ε f m f m N olurdu ede?. Herhgi bir < δ < ε pozitif syısı seçerek kolyc şğıdkiler elde edilirdi: δ < δ + ε δ m < ε f m f sup f m f m N. [,b] Oys δ < sup E ise δ < gerçekleye e z bir E vr olduğud m N, m [, b], δ < δ + ε δ m < f m m f m buluurdu, oys ülü Heie-Borel Teoremi gereği, bu belirlee m [, b] gerçel syılrıı uygu bir lt dizisii ykısdığıı bildiğimizde, krışıklığ yol çmmsı içi, bu lt dizi yerie { m } m dizisi ile çlışıp { m} m dizisii ykısdığıı ve ξ lim m gerçeklediğii vrsylım dikkt: ξ [, b] olur, ede?. Souçt f foksiyou sürekli böylelikle dizisel sürekli m olduğud f ξ f lim m m lim m f m m olduğud δ < lim f m m m f m lim f m m m lim f m f m ξ fξ m yi < δ çelişkisi buluurdu, o hlde yeterlik hipotezi f d lim f soucuu verir, bitti! Uyrılr
f α [, ], N foksiyo dizisi de α > ise, oktsl limitie düzgü ykısymz, ksi hlde her [, ] içi öcelikle lim f limitii vr olmsı gerekirdi oys lim f ve lim f limitleri, birer gerçel syı değildir. Yukrıdki teoremi v şıkkıı kıtlmsıd verile bilgisi kullılrk b +, terimleride oluş {b } dizisii de lim b gerçeklediği lşılır. Bilgisyr yrdımıyl bu dizii ilk bştki olrc terimii çok büyük pozitif syılr olduğu gözleebilir, öreği ilk terimler b., 4857, 6 ve b 3., 34867844, ve b 3 4, 99567, 776 olur, kıscsı dizi, üçücü terimde milyrı geçmektedir ve birkç bi terim boyuc gittikçe rtr. Bu edele doğru dürüst mtemtik bilmeye fizikçi ve mühedisleri yptığı gibi, bir dizii bşt yüzlerce terimii hesplyıp, üstelik bulrı rtrk olğüstü pozitif büyüklüklere eriştiğii gözleyerek, bu dizii + limitie gittiğii zetmek, ylış bir çıkrsm ypmktır. Artık somut öreklere geçilebilir. Örekler : Aşğıdki foksiyolrı [, ] rlığıd oktsl ve düzgü ykısklığıı rştırıız. f +, g +, h. Çözüm: İkici foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou g lim g [, ], birici dizii ise f ve f, ] gerçekleye foksiyodur. Birici dizii oktsl limit foksiyou f f+ gerçeklediği içi süreksizdir, dolyısıyl Teorem i edeiyle birici dizi oktsl limitie düzgü ykısymz. İkici dizi de oktsl limitie düzgü ykısymz çükü r [, ] rsyoel syılr dizisii limiti lim r [, ] oys lim g r fkt g [, ] edeiyle g lim r g ve souçt lim g r g lim r olduğud, Teorem iii kullılır. Ayrıc g g edeiyle lim g olur. Üçücü foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou d sıfır sbit foksiyoudur ve bu dizi içi h + edeiyle, h foksiyou [, + ] rlığıd rt [ +, ] rlığıd zl olduğud h h h sup [,] + + gerçekleştiğide bu soucu ykısm düzgü ykısmdır. h m [,] h h + + + e
Ayı soruyu şğıdki foksiyo dizileri içi çözüüz: f, g 3, h +, ϕ +, q k k k! Çözüm: İlk dizi içi lim f ve her [, içi Teorem v de kıtldığı gibi lim lim f ve souçt ilk foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou f [, ] olur. Oys p + [, ] rsyoel syılr dizisi lim f p p p + + e gerçekler bu krşılık f f lim p e lim f p edeiyle birici ykısm düzgü ykısm değildir. İkici dizi sıfır sbit foksiyou oktsl ykısr ve g g g m g g [,] 7 + 3 + 3 k 33 + + 3 + 3 +3 + 3 7 e edeiyle bu bir düzgü ykısmdır. Üçücü foksiyo dizisi içi h [, ], N + ve böylece h lim h [, ] ve [, ] gözleyerek + h h sup [,] + sup [,] sup + [,] + + edeiyle bu d bir düzgü ykısmdır. So foksiyo dizisi M > e olurs olsu [, M] rlığıd ϕ e üstel foksiyou düzgü ykısr, çükü ϕ ϕ m ϕ ϕ [,M] m [,M] + e m e + [,M] e M + M ε olur, çükü h e + foksiyou [, M] rlığıd zlmydır. Gerçekte her [, M] içi h e + > geçerlidir çükü + + + + + + e [,. + + + 3
Öte yd s si olmk üzere [, ] rlığıd lim! q d s göstermek güç değildir, çükü q s < + + < [, ], N geçerlidir, çükü her [, ] I, her N ve her k > içi k k olduğud q s k k k!! k k k k! k! +! + + 3! + + 5! + k+ k+ + +! + + 3 + + + 3 + 4 + 5 + < + +! + + + 4 + m +! + +! m + + + < +! + + + + 3 + + 3. + + < + + < buluur, böylece q s I sup q s N gözleip lim q s I I istee souç buluur. 3 p, p + p + p R, N idirgee bğıtılrıyl tıml p poliomlrı gözöüe lısı. Her [, ] içi f p [, ] olsu. Bu foksiyo dizisii f foksiyou düzgü ykısdığıı gösteriiz. Not: f A işreti kısıtlm foksiyouu göstermektedir. Çözüm: Öce tümevrıml şuu gösterelim: f + < [, ], N. Bu gösterilirse istee düzgü ykısklık iddisı elde edilecektir. Zte [, ] rlığıd çlışıldığı ve her [, ] içi f p olduğud p + [, ], N 4
+ göstermek yeterli olur, çükü geçerlidir. Her [, ] içi + 4 4 ve + böylece kolyc, < ve p + buluur. O hlde iddisı içi gösterilmiş olumktdır. Bu iddi içi doğru vrsyılsı. Bu vrsyım ltıd + içi doğruluğuu gösterelim. iddisı içi doğru vrsyıldığıd hem p ve hem p + ve böylece p +p [, ] ve dolyısıyl + p yi +p ve p bilgileriyle p + p + p + p p + p, p+ p p + p p [ ] + p yrıc + p + p edeiyle p+ p [ ] + p olduğud + [, ] yrıc ++ gözleyip tüm bulrd eşitsizlikleri eğer içi doğru ise şğıdkii bulrk p + + + ++ ++ eşitsizliklerii + içi de doğru souçt tüm N doğl syılrı içi geçerli olduğu gösterilmiş olur. Siz, tüm p poliomlrıı tüm ktsyılrıı birer rsyoel syı olduğuu, idirgeme bğıtısıd yrrlrk kıtlyıız. O hlde, p f f f f N ve f f edeiyle, r p rsyoel syılr dizisii r yi lim r gerçeklediği yrıc gözlemiş olur. Ayrıc q p R poliomlrıı [, ] rlığıd q foksiyou düzgü ykısdığı lşılır. 4 [, ] rlığıd sürekli bir foksiyo düzgü ykısy süreksiz foksiyolr dizisii vrlığıı gösteri. ; [, ] Q Çözüm: f N, [, ] foksiyolrıı herbiri tüm irrsyoellerde süreksizdir. Gerçekte, herhgi N içi f foksiyou, herhgi bir [, ] Q ; [, ] Q irrsyoel oktsıd süreksizdir, çükü lim r gerçekleye, syılmz sosuz te ykısk ve rsyoel terimli {r } dizisi vrdır. dikkt: tümevrım kullılrk, herhgi iki frklı gerçel syı rsıd sosuz te 5
rsyoel syı yer ldığı içi, < < r 3 < + 3 r r < + r r < + rsyoel syılrı belirleirse buu içi öce < r < + rsyoel syısıı, sor < + r gözleyerek < r < + r rsyoel syısıı,... tımlyı < r + N ve böylece < r r < N edeiyle lim r yi lim r elde edilir. Oys r f fkt lim f r lim lim r olur, kıscsı r olmsı krşı f r f gerçekleşmemektedir, bu edele f foksiyou tüm irrsyoellerde süreksizdir. O hlde herhgi bir doğl syı olduğud, tüm f foksiyolrı tüm irrsyoellerde süreksizdir. {f } süreksiz foksiyolr dizisii oktsl limit foksiyou sıfır sbit foksiyou olup, A [, ] kümeside f f sup f m f f [,] [,] gerçekleştiği içi bu ykısm düzgüdür. 5 f : R R foksiyou her yerde türevleebilir ve üstelik f türev foksiyou R kümeside düzgü sürekli ise g f + f R, N biçimide tıml {g } foksiyo dizisii f foksiyou düzgü ykısdığıı gösteri. Çözüm: Her R ve her N içi, f türetilebilir olduğud g f + f f ξ, ve < ξ, < + koşullrıı sğly ξ, gerçel syılrıı vr olduğu, yrıc f türev foksiyou tüm R kümeside düzgü sürekli olduğu içi, ε > syısı krşılık f foksiyouu belirlediği düzgü süreklilik sbiti δ ε > ise, [ ] Arşimet İlkesiyle < ε δ ε gerçekleye ε N doğl syısıı belirleyip y d + δε ε tımlyrk, her ε içi g f f ξ, f < ε buluur, çükü ξ, ξ, < ε < δ ε geçerlidir, souçt buluur, bu souç isteedir. ε içi g f sup g f ε R R kümeside A A A 3... gerçekleye yi A A + N tekdüze zlmylık koşuluu gerçekleye {A } küme dizisi e olurs olsu, A A yzılmk üzere lim A χ A R gerçekleşir, fkt bu ykısmı düzgü ykısm olmsı gerekmez. Bu öreği kvrybilmek içi öce herhgi bir A R lt kümesi içi χ A : R {, } krkteristik foksiyouu 6
tımlmlıyız: ; A χ A ; R A R biçimide tıml foksiyo A kümesi idisli krkteristik foksiyo deilir. Dikkt: χ A χ B kıscsı χ A χ B R olbilmesi içi gyk A B gerçeklemesidir ede?. Dikkt edilirse χ Q ve χ[,] 7 gerçekleşir. Şimdi herhgi A A lısı, o hlde N, A A + A +... kıscsı her içi A böylelikle χ A edeiyle lim χ A χ A olur, yok eğer R A ise / A A edeiyle hem χ A hem de her N içi / A ve χ A edeiyle lim χ A χ A, kıscsı her R içi χ A lim χ A olmktdır. Bu souç lim χ A χ A demektir. Bu krşılık her N içi A [, ] rlıklrı tımlırs, her N içi r + + +, [ +, ] [, ] A + A ve yrıc A A, ] gözleyerek, her N içi r / A ve χ A r ve r A + A ve χ A r edeiyle, üstelik her R ve her N içi y χ A χ A y d χ A χ A gerçeklediği uutmd χ A χ A sup χ A χ A χ A r χ A r R ve böylece lim χ A χ A olduğu içi χ A lim χ A R oktsl ykısmsıı düzgü ykısm olmsı gerekmediği lşılır. Bu ykısmı düzgü ykısm olbilmesi içi gyk {A } küme dizisii belirli bir idiste sor sbitlemesi kıscsı N, A A + A + gerçekleşmesidir, gösteriiz. Acb... A 3 A A gerçekleye {A } küme dizisii oktsl ve düzgü ykısdığı krekteristik foksiyo edir? [ 6 Her N içi I +, ve f si χ I [, ] olsu. {f } dizisii oktsl limiti edir? Bu oktsl limitie düzgü ykısr mı? Nede? Çözüm: / I N ve si edeiyle f N ve souçt f lim f olur. Ayrıc herbir, ] içi rşimet İlkesiyle N, < < böylece < + < < edeiyle / I ve souçt χ I ve f edeiyle f lim f olur. O hlde f lim f oktsl limit foksiyou f olur. Üstelik bu ykısm düzgüdür, çükü f sup f sup f [,] I sup si si I olur, çükü her I içi < + < < < π böylece < si < si N olur, üstelik siüs foksiyou, π rlığıd rtdır; oys lim lim, 5 ve siüs sürekli olduğud lim si buluur. Bu isteedir! 7
7 Her N ve her I, içi f si ise lim f olduğuu, fkt bu ykısmı düzgü olmdığıı gösteriiz. Çözüm: Her N ve her I içi f edeiyle lim f I buluur. Fkt ülü si > 3 3! > bilgisi kullılırs, kolyc f I f I N böylelikle lim f I + bulmk güç değildir, çükü yukrıdki eşitsizlik kullılırs f 6 3 3! 6 N, I böylece şğıdki souç elde edilir: f I f I sup I burd her içi q sıl?. sup 6 I > if I 6 f sup f I 3 olmk üzere I, q I lt rlığıd 6 gözlemiştir 8 Yukrıdki foksiyo dizisi f ve her, ] içi yie f si biçimide tımlsı. f lim f gerçeklediğii oys her N içi f si edeiyle f lim f gerçekleşemediğii ede? gözleyerek bu durumd d f d olmdığıı çıkrsyıız. Şimdi sırd yrrlı ve ülü bir Teorem vr: R kümeside kplı-sıırlı kümelere tıkız küme deilir. [, ] ve [, ] [ 3, ] ve C Ctor kümesi tıkız küme örekleridir. Teorem 5 Dii Teoremi: A tıkız kümeside sürekli gerçel değerli {f } foksiyolr dizisi, f foksiyou tekdüze ykısıyor, üstelik f sürekli ise, bu ykısm düzgüdür. Kıtlm: Öce f f f 3 f lim f olsu, gerek tüm f foksiyolrı gerekse oktsl limit foksiyou f, A kümeside sürekli olsu. O hlde g f f N foksiyolrı hem A kümeside sürekli ve hem de f f + f N edeiyle g + f f + f f g N ve yrıc lim g olur. Şimdi ε > verilsi. g sürekli foksiyou ltıd ε, ε çık rlığıı ters görütü kümesi temel topoloji bilgisiyle çık kümedir ve g N olduğud g ε, ε g ε, g [, ε g [, ε buluur, çükü hiçbir A içi g < ve böylelikle g ε, olmdığıd g ε, geçerlidir. Üstelik A g [, ε olur, çükü herhgi A lıdığıd lim g edeiyle N, g < ε ve souçt g < ε yi g [, ε edeiyle g [, ε [, ε bulrk A g g [, ε elde edilir, ters kpsm, her N içi g [, ε A edeiyle pçıktır. Oys A R lt kümesi tıkız olduğu ve üstelik N içi g [, ε g+ [, ε geçerli olduğud dikkt: g [, ε ise g + g < ε bulrk g + [, ε yi g + [, ε elde ediiz, souçt A kümesi tıkız olduğud, kedisii örte, çık G g [, ε 8
g ε, ε kümelerii ylızc solu tesiyle bile örtülebilir, böylece yukrıdki kullılıp A g [, ε g [, ε g m [, ε g N [, ε elde edilir, burd N m{,,..., m } lımış ve her k m içi k N ve g k [, ε g N [, ε gözleip yukrıdki souç bulumuştur. O hlde her A içi g N [, ε yi g N < ε olur, böylece N içi f f f f sup A olur, çükü N ise g g N f f sup A g sup g N ε A edeiyle her A içi g g N gözleyip so eşitsizlikler yzılmıştır. Dikkt: her α Λ idisi içi α b α oluyors sup α sup b α geçerlidir ede?. Demek α Λ α Λ ki {f } sürekli foksiyo dizisi tekdüze zlmylık koşuluu gerçekleyerek f sürekli foksiyou tıkız bir kümede oktsl ykısıyors, bu ykısm düzgüdür. Eğer {f } sürekli foksiyo dizisi f lim f f 3 f f gerçekleyerek f sürekli foksiyou A tıkız kümeside ykısıyors bu ykısmı düzgü olduğuu siz gösteri. Örekler 3: Aşğıdki foksiyo dizilerii [, ] rlığıd düzgü ykısdığıı Dii Teoremide yrrlıp gösteriiz. f +, g + + e, h rctg + Çözümler: Hepsii, tekdüze rtmd oktsl limitie ykısdığıı, sözgelimi her N içi f + f ve + + < +, ] yi f + f ve f + < f, ] ve yrıc f + f N,, ] ve lim f [, ] olduğu ve bu tekdüze oktsl ykısm tıkız A [, ] kümeside geçerli olduğu içi, Dii Teoremii kullılcğı dikkt ediiz. İkici dizii, her N ve her [, ] içi + + e < e + ve + + + + e + < + + e böylece g + g N, [, ] ve lim g gerçeklediği içi, bezer gerekçelerle düzgü ykısdığı dikkt ediiz, yukrıdki ilk eşitsizlik + e < 7 < e edeiyle içi doğrudur, bu iddi içi doğru olduğud ++e + ++e + +e + < e++e +e + < ee + +e + < +e + edeiyle + içi ve souçt tüm doğl syılrı içi doğru olduğu lşılır. 9
Üçücü dizi slıd, M > sbiti e olurs olsu [ M, M] tıkız rlığıd oktsl limiti ol sbit foksiyou düzgü ykısr. Gerçekte, herhgi gerçel değerli F foksiyolrıı {F } dizisi içi, şu temel d d eşdeğerlik kolyc gösterilir: F içi gyk F. Oys gerek tget gerekse ou ters foksiyou rctg birer tek foksiyo olduğud, her R içi rctg rctg ve souçt h rctg + N, [ M, M] olduğu ve tıpkı tget foksiyou gibi ou ters foksiyou rt foksiyo olduğud ve ++ + h lim rctg + geçerli olduğud, {h } edeiyle h + h N, [ M, M] ve lim rctg olduğu ve bu tekdüze ykısm, tıkız [ M, M] rlığıd dizisi, oktsl limitie Dii Teoremi edeiyle düzgü ykısr. Aslıd {h } sürekli foksiyolr dizisi, tüm R kümeside oktsl limit foksiyou ol sbit foksiyou düzgü ykısr, çükü bu dizi hem [, rlığıd ve hem de, ] rlığıd sbit foksiyou düzgü ykısr, çükü h 4 + + edeiyle h foksiyou [, ] rlığıd rt [, rlığıd zldır, böylece ve bezer biçimde sup h sup h m h h rctg [, [, [, sup h geçerlidir. Bir sorki örek kullılır,] Eğer A kümesi içi A A A oluyor ve üstelik {f } dizisi içi, hem A kümeside f d f ve hem de A kümeside f d f oluyors, A kümeside f d f olur. Çözüm: Gerçekte δ i, sup A i f f i, syılrı tımlır ve m{δ,, δ, } syısı herzmki gibi δ, δ, ile yzılırs, herhgi A içi f f δ, δ, olduğud öreği A ise f f δ, δ, δ, olur, A ise bezer gerekçe geçerlidir, souçt δ, δ, δ, + δ, + δ, δ, olduğud çükü hipotez gereği hem δ, hem de δ, geçerlidir, souçt f f sup f f δ, δ, edeiyle A kümeside f d f soucu ulşılır. 3 Aşğıdki dizileri, ylrıd yzılı kümede düzgü ykısklıklrıı iceleyiiz: A f si cos, A [, π] g, A [, + M] M > h, A [, ] Çözümler: İlk iki dizii, Dii Teoremi kullılrk düzgü ykısklığı iceleir, öreği g l < g + g N, R + 3
gerçeklediği ve g lim g olduğu şğıd gösterilecektir. Aslıd ikici foksiyo dizisii < ε < olmk üzere, ε] rlığıd oktsl limitie düzgü ykısymdığıı göstermek güç değildir. Buu içi öce şğıdki temel bilgileri görmeliyiz: Temel Bilgi : Her, ] içi l l. Gerçekte h l foksiyou, ] rlığıd zlmy g l ise rtmydır, çükü g l l h, ] ve dolyısıyl h h g g, ] buluur. Temel Bilgi : f [,,, foksiyou rtmydır, çükü f + + [ l ] l l l olur, çükü Temel Bilgi ve < < edeiyle l geçerlidir. Temel Bilgi 3: l + + <,, N geçerlidir, çükü Temel Bilgi kullılır. Aslıd herbir, içi, tıpkı Örek.6 d ypıldığı gibi + + + + ve < + + gözleerek de yı eşitsizlik buluur, sıl? O hlde g R +, N foksiyo dizisi her R + içi tekdüzedir ede? dolyısıyl bu foksiyo dizisi [ε, + M] kplı rlığıd Dii Teoremi edeiyle düzgü ykısr oys, ε] rlığıd düzgü ykısymz, çükü ε N rsyoel syılrı lim ε edeiyle < ε < ε < ε < N ε gerçekler ve ε N ε + doğl syısı rcılığıyl ε 3 ve sup g l δ ε,ε] gerçekleşir çükü g l l [ l ] ve böylece sup g l sup [ l ] [ ε l ε ],ε],ε] ε lε ε l + l > l l l3 δ ε 3
olur, çükü herbir ε içi < ε < ε edeiyle ε, ε] olmktdır. O hlde sup g l,ε] + edeiyle istee buluur. İlk dizi içi f π + π f ve her [, π π, π] içi si < edeiyle lim si ve f + si + cos si cos f N ve souçt f + f N, [, π] ve lim f lim f olur. O hlde Dii Teoremiyle f f f olur. Bu souç yrıc f + e bulrk d elde edilebilirdi, çükü kıslık + mcıyl A [, π π, π] yzılırs, her I [, π] içi f si cos si + böylece f π ve her A içi cos ve f si cos tg buluurs, I rlığıd f içi gyk A ve tg tg yi A [, rctg ] [, rctg ] olmsıdır çükü < rctg < π geçerlidir, böylece şğıdki özdeşlikler kullılrk f f rctg + buluur: + cosrctg +, sirctg R. + Şimdi üçücü foksiyo dizisiyle uğrşlım. Üçücü foksiyo dizisi < ε < e olurs olsu [, ε] kplı rlığıd oktsl limitie, Dii Teoremi rcılığıyl düzgü ykısr, çükü lim + edeiyle herbir [, ε] gerçel syısı içi uygu bir ε N syeside ε < ε ε+ + < böylelikle + < ε ve + + < ve üstelik < olduğud, bu eşitsizlikleri bu pozitif syıyl çrprk f + + + f [, ε], ε buluur, oys lim lim f olduğud Dii Teoremiyle [, ε] tıkız rlığıd {f } ε dizisii f oktsl limitie düzgü ykısdığı lşılır. O hlde [, ε] rlığıd f d buluur ede?. Bu ykısm [, ] tıkız rlığıd düzgü değildir ede? 4 Ayı soruyu şğıdkiler içi çözüüz: f l +, A R g l +, A, h +, A R s si 4π +, A [, M] M > Çözümler: İlk üç dizi içi, A kümesi tıkız olmdığıd Dii Teoremi kullılmz şğıdki Örek 5 e 3
bkıız. İlk dizi içi f l + le f ve fkt < ε l l < l f f sup f f f f N R edeiyle, düzgü ykısklık koşulu lim f f kesilikle gerçekleşmez. Dikkt: Uyrı.4 içideki bilgilerle R, N içi + + + ve souçt + + + + + + + + + + + olduğu ve doğl logritm foksiyou rt ve böylece f f + R, N olduğud, ilk foksiyo dizisi, Dii Teoremi edeiyle [ M, M] tıkız rlığıd f oktsl limit foksiyou düzgü ykısr. + İkici foksiyo dizisi A, rlığıd g oktsl limit foksiyou düzgü olmd ykısr, çükü her R + içi + < l + < olduğud, kolyc her N içi + + l + yi + g N geçerli olduğud kolyc lim g buluur, yrıc < l < l l g g g g N geçerlidir, oys {g } dizisi, Dii Teoremi edeiyle g oktsl limit foksiyou, ε > ve M > e olurs olsu [ε, M + ε] tıkız rlığıd düzgü ykısr, çükü Beroulli eşitsizliği kullrk + + + + R +, N göstermek güç değildir. slıd bu eşitsizlik yukrıd ypıldığı gibi Geormetrik Ort. Aritmetik Ort. bilgisiyle de ypılbilirdi. Şimdi dikkt edilirse, her R + ve her N içi + + < + + + + +, + + < + + + + + 33
ve böylelikle ülü Beroulli eşitsizliği y y N, y [, ] kullılrk yi şğıdkiler buluur: + + + < + + + + + + < + + + + + + + + + + + < + + + + + bu souçs + + < + + verir. Böylece, her R + ve her N içi + < + + + ve logritm lıp g l + < + l + g + buluur, hem g foksiyolrı hem g R+ foksiyou sürekli olduğud [ɛ, M + ɛ] + rlığıd {g } dizisie Dii Teoremi uygulır. Üçücü foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou ise, <, b e olurs olsu, ülü lim b bilgisi edeiyle şğıdki sürekli h foksiyoudur: ; [, ] A h ;,, A + b Üstelik hem A [, ] kümeside h d h ve hem de A kümeside h d h gerçekleşir, çükü h + foksiyou [, ] rlığıd rt ve üstelik çift foksiyo ve sup h h sup h A [,] sup h [,] h olduğud, gerçekte A kümeside h d h olduğu lşılır. İkici iddiyı göstermek içi, ülü y y y + y + + y +, y y y + y + + y + özdeşlikleri ve h + eşitliği ve herbir [, içi hem k k N 34
hem de h k ve hem h hem de h foksiyou çift olduklrıd, A R [, ] kümeside sup h h A [ sup [, sup h sup h [, [, h h + h + + h + sup [, h + h + + h + ] edeiyle A kümeside h d h soucu buluur. O hlde A R kümeside h d h soucu elde edilmiştir. So foksiyo dizisi içi, öce si 4π + si 4π + + π R, N eşitliği gözlemelidir, gerçekte si y siy π y R edeiyle si 4π + si π + 4π si π + 4π π si π + 4π si 4π + + π buluur. O hlde her [, M] içi lim s lim si 4π + s buluur, çükü 4π yzıp lim 4 π + + π ve si 4π + si gözleyip, özellikle < içi si 4π + si olur. Şimdi, [, M] rlığıd s π Öcelikle [, M], N içi s 4π gözleyip, yrıc + 4 π + π π 4π + + π si si π 4π d s düzgü ykısm iddisıı göstermek içi, hesplmlr ypmlıyız. 4 π + + π her y [, içi y y3 3! 35 si y y 4π s ve dolyısıyl