GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 : 1 Pozitif terimli ve ilk terimi 50 geometrik dizinin 7. terimi 15 çarpan ı kaçtır? olan bir ise ortak 5 Örnek...1 : () = (.3 n ) dizisinin geometrik dizi olup olm adığını incele yelim. Örnek...5 : Ortak çarpanı 1 olan bir geometrik dizinin 8. terimi 51 ise ilk terimi kaçtır? 1 6 GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ () ortak farkı r olan bir aritmetik dizi olsun özellik 1 a 1 a.r a 3 =a. r.r a 4 r 3 :.r n 1 Örnek... : ( ) = (, 10, 50,...) geom etrik di zisinde 5. terim kaçtır? 150 Özellik.r n 1 olarak ise a x a y =r x y Örnek...6 : a 1 =r n 1 veya daha genel Bir () geometrik dizisinin ilk terimi 1/ ve 5 ortak çarpanı olan dizinin 16. terimini bulalım. 4 Örnek...3 : İlk terimi 3, ortak çarpanı olan bir geometrik di zinin 6. terim i kaçtır? 96 Örnek...7 : Bir () pozitif terimli geometrik dizide, a = 4 ve a 7 = 18 olduğuna göre, a)5. terimi b) genel terimini bulunuz. 8, n 11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 1/5
Örnek...8 : /3 ile 1/48 arasına bu sayılar hariç 4 sayı yerleştirilerek 6 terimli azalan bir geometrik dizi elde ediliyor. Bu dizinin. terimi kaçtır? 1/3 Örnek...11 : Üçüncü terimi 0 olan bir geom etrik dizinin ilk 5 terimi çarpım ı kaçtır? 0 5 Özellik 3 Bir geometrik dizide a p =a p k. a p+k yani geometrik bir dizide bir terim kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalam asıd ır. Örnek...1 : Bir geom etrik di zide, a 3 7. a 4 3 = A olduğuna göre, a 4 0,A türünden nedir? (A 0) A Örnek...9 : Onuncu terimi 8 olan bir geom etrik dizinin 7. ve 13. terimleri çarpım ı kaçtır? 64 Örnek...13 : Bir geometrik dizinin ardışık üç teriminin toplam ı 6, çarpım ı 16 dır. Bu üç terimden en küçük olanı nedir? Örnek...10 : Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi x -1,x, x + 3 ise göre x kaçtır? 3/ Örnek...14 : Bir () geometrik dizisinde a 7 =log15,a 17 =1+log 5 ise a 1 kaç olabilir? ± 3 Özellik 4 Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki herhangi iki terimin çarpımı aynı sabit sayıya eşittir. () sonlu geometrik dizi olsun. () = (a 1,a, ) a 1. = a. - 1 =... = a k. - k + 1 = 11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı /5
Örnek...15 : Bir geometrik dizinin ardışık altı terimi sırasıyla x, y, 60,1/3, z, t olduğuna göre, x.y.z,t çarpımının değeri kaçtır? 400 Örnek...19 : İlk n terim toplamı S n = 1- - n olan bir geom etrik dizinin beşinci terimi k aç olur? 1/3 Örnek...16 : ( a, a-, b- 4) sonlu dizisi hem aritm etik hem de geometrik dizi olduğuna göre, a.b nin değeri kaç olur? 1 Özellik 5 (x n) geometrik dizi ise,bu geometrik dizinin ilk n terim toplamı S n =x 1.( rn 1 r 1 ) Burada r 1 için toplam sınırsız olarak büyür. 0 r<1 İse toplam bir gerçek sayıya yaklaşır. Örnek...17 : Bir () geometrik dizisinde, a 1 = 4 ve ortak çarpan ise ilk on terim toplam ını bulunu z. 1 4 1+r+r +...+r N N = r k biçiminde kısaca k=0 toplam sembolü kullanılarak da ( ) gösterilebilir. Örnek...0 : 3 k= ( k+1) toplam ının değeri kaçtır? Örnek...1 : N x k toplam ının x= 1 k=0 bü yürk en nasıl değişir? 1 ve x=, N sayısı, Örnek...18 : Bir pozitif terimli () geometrik dizisinde, a 4 = 3, a 6 = 147 ise ilk 4 terim toplamını bulunu z. 100/ 343 1+r+r +...+r N +...= 1 1 r, r <1 11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 3/5
Örnek... : Bir kenarı 1 cm olan eşkenar üçgeninin k enarlar ın ın ortok talar ı birleştirilerek iç içe yeni eşkenar üçgenler elde ediliyor. Oluşan üçgenlerin Özellik 6 () geometrik dizi ise,bu geometrik ilk n terim çarpım ı Ç n = (. a 1 ) n Örnek...4 : Bir () geometrik dizisinde, a 1 = ve ortak çarpan 8 ise ilk altı terim çarpımını bulunuz. 5 1 a) toplam çevreleri kaç birim dir? b) toplam alanları kaç birim k aredir? 7,48 3 Örnek...3 : Bir top 7 m yükseklikten bırak ılıyor ve yere her çarpışında bir önceki yüksekliğinin /3 ü kadar yükseliyor.topun durana kadar aldığı yatay yol kaç birimdir? 360 11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 4/5
DEĞERLENDİRME 1) (x n )=( 1 3 +( 1 3 ) +...+( 1 3 )n ) ise a 3 kaçtır? 5) (x, y, x x) sonlu dizisi hem aritmetik hem geometrik diziyse x+y en çok kaçtır? 4 13/7 ) Bir geometrik dizinin terimleri için a 8 +a 13 =16, a 4 +a 9 = ise bu dizinin ortak çarpan kaçtır? -3,+3 6) Pozitif terimli ( ) geometrik dizisinde ilk 7 terim çarpımı e 1 ln6 olduğuna göre,dizinin 4. terimi kaçtır? 16 3) Bir () geometrik dizisinin ilk terimi 1 ve 8 ortak çarpanı olan dizinin 65. terimi kaçtır? 8 7) Bir geometrik dizinin ilk 8 terim toplamının ilk 4 terim toplamına oranı 66 ise, bu dizinin ortak çarpanı kaçtr? +5,-5 4) Bir () geometrik dizisinin ilk terimi 1/56 ve ortak çarpanı ise bu dizinin ilk 0 terimi çarpımı kaçtır? 3 0 8) Bir kenarı 8 cm olan karenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Bu işlem sonsuz kere tekrar ediliyor. Elde edilen karelerin alanları toplamı kaç birim karedir? 18 11.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/5