T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER YÜKSEK LİSANS İstatstk Aablm Dalı Mart-06 KONYA Her Hakkı Saklıdır

v

ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER Selçuk Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma: Doç. Dr. Buğra SARAÇOĞLU 06, 63 Sayfa Jür Doç. Dr. Buğra SARAÇOĞLU Bu tez çalışmasıda Webull, Epoetal Power ve Odd Webull dağılımlarıı, blmeye parametreler ç e çok olablrlk tahm edcler Newto raphso methodu kullaılarak hesaplamış ve karesel hata, le ve geel etropy kayıp foksyoları altıda, jeffrey geşletlmş ösel ve Terey Kadae yaklaşım methodu kullaılarak bayes tahm edcler elde edlmştr. Farklı öreklem boyutları ç, ML ve Bayes tahm edcler Mote Carlo smulasyou kullaılarak hata kareler ortalamaları bakımıda karşılaştırılmıştır. Aahtar Kelmeler : Bayes, Epoetal power, Jeffrey ösel, Kayıp foksyoları, Mote Carlo smulato, Odd webull dağılımı Terey-Kadae s appromato, Webull. v

ABSTRACT MS THESIS COMPARISON OF PERFORMANCES OF MAXIMUM LIKELIHOOD AND BAYESIAN ESTIMATORS UNDER DIFFERENT LOSS FUNCTIONS FOR SO DISTRIBUTIONS Gülca GENCER THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN STATISTICS Advsor: Assoc. Prof. Dr. Buğra SARAÇOĞLU 06, 63 Pages Jury Assoc. Prof. Dr. Buğra SARAÇOĞLU I ths thess, have obtaed mamum lkelhood estmators (MLEs) usg Newto Raphso method ad Bayes estmators usg eteso of Jeffreys pror formato ad Terey-Kadae s appromato method uder squared error loss, Le loss ad geeral etropy loss fuctos for Webull, Epoetal Power ad Odd Webull dstrbutos. These methods are compared usg mea square error usg Mote Carlo smulato method wth varyg sample szes. Keywords: Bayesa, Epoetal power, Jeffrey s pror, Loss fuctos, Mote Carlo Smulato, Odd webull dstrbuto, Terey Kadae s appromato, Webull. v

ÖNSÖZ Farklı kayıp foksyoları kullaarak parametre tahm üzere hazırladığım bu tez çalışması boyuca yardımıı hç esrgemeye daışma hocam Doç. Dr. Buğra SARAÇOĞLU hocama, bu süreçte maev destekleryle yaımda ola başta eşm Kerem GENCER ve kocama aleme çok teşekkür ederm. Gülca GENCER KONYA-06 v

İÇİNDEKİLER ÖZET... Hata! Yer şaret taımlamamış. ABSTRACT... v ÖNSÖZ... v İÇİNDEKİLER... v SİMGELER VE KISALTMALAR... ÇİZELGELER VE ŞEKİLLER....GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI....TEL KAVRAMLAR...4. Kovekslk ve Kokavlık...4. Kayıp Foksyoları...4.. Beklee Kayıp...6.. Sıklıkçı Rsk...6.3 Tahm ve Nokta Tahm...6.3. E Çok Olablrlk Tahm Edcs...7.3. Bayes Tahm Edcs...8.3.. Karesel Hata Kayıp Foksyou (SELF)...9.3.. Le (Leer Epoetal) Kayıp Foksyou... 0.3..3 Geel Etropy Kayıp Foksyou... 3.3..4 Terey-Kadae Yaklaşımı... 6.3..5 Jeffrey Ösel... 7.4 Hata Kareler Ortalaması ()... 8 3. BAZI KAYIP FONKSİYONLARI İÇİN BAYES TAHMİNLERİ... 9 3. Karesel Hata Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm... 9 3. Le Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm... 0 3.3 Geel Etropy Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm... 0 4. BAZI SÜREKLİ DAĞILIMLARIN FARKLI KAYIP FONKSİYONU ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI 4. Webull Dağılımı... 4.. Webull Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm... 3 4.. Webull Dağılımı ç Terey Kadae Yaklaşımı Altıda Bayes Tahm.4 4..3 Smulasyo Çalışması... 8 4. Epoetal Power Dağılımı... 30 4.. Epoetal Power Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm... 3 4.. Üstel Power Dağılımı ç Terey Kadae yaklaşımı Altıda Bayes Tahm.3 4..3 Smulasyo Çalışması... 36 4.3 Odd Webull Dağılımı... 39 4.3. Odd Webull Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm... 40 4.3. Odd Webull Dağılımı ç Terey Kadae Yaklaşımı Altıda Bayes Tahm... 4 4.3.3 Smulasyo Çalışması... 48 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 50 5. Souçlar... 50 5. Öerler... 50 v

KAYNAKLAR... 5 ÖZGEÇMİŞ... 53

SİMGELER VE KISALTMALAR Smgeler F(t) f(t) B B B L l ( ) : Örek uzay : Dağılım foksyou : Olasılık yoğuluk foksyou : parametres e çok olablrlk tahm : parametres yaklaşık Bayes tahm : β parametres yaklaşık Bayes tahm : parametres yaklaşık Bayes tahm : θ parametrese bağlı olablrlk foksyou : θ parametrese bağlı olablrlk foksyouu logartması : θ parametrese bağlı ösel (pror) dağılım foksyouu / : θ parametrese bağlı sosal (posteror) dağılım foksyouu : Parametre uzayı : Yaklaşık Kısaltmalar MLE/ EÇO ML o.y.f o.o.yf. d.f EPD OW BS BL BGE SELF LİNEX : E çok olablrlk tahm edcs : E çok olablrlk - Mamum lkelhood : Olasılık yoğuluk foksyou : Ortak olasılık yoğuluk foksyou : Dağılım foksyou : Üstel Power dağılımı : Odd Webull dağılımı : Mea Squares Error Hata Kareler Ortalaması : Karesel kayıp foksyou altıda yaklaşık bayes tahm : Le kayıp foksyou altıda yaklaşık bayes tahm : Geel etropy kayıp foksyou altıda yaklaşık bayes tahm : Karesel Hata Kayıp Foksyou : (Leer Epoetal)

ÇİZELGELER VE ŞEKİLLER Çzelgeler Çzelge 4. : Webull dağılımı ak, 0.8 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması Çzelge 4. : Webull dağılımı ak,.5 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması Çzelge 4.3 : Epoetal Power dağılımı ak, 0.8 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması Çzelge 4.4 : Epoetal Power dağılımı ak,. değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması Çzelge 4.5 : Odd Webull dağılımı a0.6, k 0.7 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması Şekller Şekl.. : a ı seçle değerler ç a ep a ı grafğ Şekl 4.. : Webull dağılımı ç hazard foksyou grafğ Şekl 4.. : Epoetal Power dağılımı ç hazard foksyou grafğ Şekl 4.3. : Odd Webull dağılımı ç hazard foksyou grafğ

. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI İstatstk, rasgelelk çere olaylar, süreçler, sstemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modeller geçerllğ sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekl bazı blg ve yötemler sağlaya ve rasgelelk ortamıda hesap yapma le lgle br blm dalıdır (Öztürk, 0). Fakat rasgelelk kavramı tam olarak açıklaamamıştır. Tüm blmler gerçek düyadak olaylar hakkıda saları blgledrmek ç çalışır. Gerçek düyadak olaylar tamame rasgele gelşe olaylardır. Br paraı havaya atılması deeyde soucu e olableceğ söyleeblr. Fakat kaç defa tura kaç defa yazı geleceğ söyleememese rağme yazı gelmes olasılığı söyleeblr. Buu yaparke de gerçek düyadak olayları bldğmz br düyaya aktararak şlem yaparız çükü, para deey öreğde olduğu gb yazı le turayı e toplayablrz, e de çarpablrz. İşte gerçek düyadak olayları bldğmz düyaya götüre foksyo rasgele değşke olarak taımlaır. İstatstkte esas amaçlarda br, çalıştığımız ktley alayablmek ç statstksel souç çıkarımı yapmaktır. Blmeye özellkler olarak taımlaa parametreler hakkıda herhag br statstk souç çıkarımı yapmak demek hakkıda yapılacak ola tahmler ve bu tahmler geçerllğ sıamak alamıa gelr. Ktle parametreler tahm etmek ç, bu ktlede rasgele seçlecek örekleme htyaç vardır. Blmeye parametreler hakkıda blg, bu öreklem çde gzldr. Öreklemdek blg kullaılarak br parametre ç brçok tahm edc öerleblr. Bu tahm edcler elde etmek ç br çok yötem gelştrlmştr. Bularda bazıları mometler yötem, e çok olablrlk yötem, bayes yötem ve e küçük kareler yötemdr (Akd, 005). Geellkle tahm edcler elde etme yötemlerde parametreler rasgele olmaya sabt değerler olduğu varsayılır. Bayes yötemde se bu parametreler alablecekler değerlere uygu br ösel dağılıma sahp rasgele değşkeler gözüyle bakılır. Bayes tahmde parametres br ösel dağılıma sahp olduğu varsayılır. Daha sora hakkıda sahp olua bu blg kullaılarak ı sosal dağılımı elde edlr. Bayes tahm edcler T(X) br statstk olmak üzere, seçlmş br k(,t) kayıp foksyoua dayalı olarak R(,T) rsk foksyouu beklee değer e küçük yapa tahm edc olarak taımlamaktadır. Lteratürde brçok kayıp foksyouda

bahsedlmektedr. Bularda bazıları karesel hata, le ve geel etropy kayıp foksyolarıdır. Lteratürdek çalışmalarda bazıları aşağıdak gbdr. Vara (000), bu ktapta kullaılmakta ola kayıp foksyolarıı gayr mekul değerleme ç uygu olmadığı ortaya çıkarılarak, leer üstel (le) kayıp foksyou öerlmştr. Zeller (986), asmetrk kayıp foksyou özellkler alatılarak, bayes tahm edcs asıl buluacağı gösterlmektedr. Schbe (99), farklı asmetrk kayıp foksyoları ç bayes tahmler asıl yapılacağı öerlmş ve yardımcı souçlar ortaya çıkarılmıştır. Jasm (00), karesel ve le kayıp foksyou altıda tek parametrel gamma dağılımıı bayes tahm yapılmıştır. Padey ve ark. (0), bu çalışmada şekl parametres bldğ varsayımı altıda webull dağılımıı ölçek parametres e çok olablrlk tahm edcs bulumuş, le kayıp foksyou altıda jeffrey öblgs kullaılarak bayes tahm edcs bulumuş ve smulasyo çalışması yapılmıştır. Ahmed ve ark. (0), bu makalede sasürlü verlerle çalışılarak Webull dağılımı parametreler e çok olablrlk tahm edcler le jeffrey ö blgs ve jeffrey geşletlmş ö blgs kullaılarak bayes tahm edcler buluup, karşılaştırmalar yapılarak performasları gösterlmştr. Alkutub ve ark. (0), webull dağılımıda jeffrey ö blgs ve jeffrey geşletlmş ö blgs kullaılarak parametre tahm yapılmış, bu tahm edcler performası smulasyo çalışması yardımıyla, ve MPE le lgl olarak Jeffrey ö blgs le bayes tahm edcler karşılaştırılmış ve jeffrey geşletlmş ö blgs kullaıldığıda e y bayes tahm edcs elde edldğ gösterlmştr. Rasheed (0), mawell dağılımıda ö blgsz prorlar le, gerçek verler ve ayı zamada smule verler kullaılarak farklı kayıp foksyoları altıda bayes tahm edcler bulumuştur. Guure ve ark. (0), k parametrel webull dağılımıı e çok olablrlk tahm edcler bulumuş ve jeffrey ö blgs ve jeffrey geşletlmş ö blgs kullaılarak le, geel etropy ve karesel kayıp foksyoları ç bayes tahm edcler buluarak smulasyo çalışmaları yapılmıştır. Rasheed ve Sulta (05), le kayıp foksyou altıda ters gamma dağılımı ı ölçek parametres bayes tahm edcs elde edlerek ve MPE ler performasları bakımıda karşılaştırılmıştır.

3 Cooray (006), geelleştrlmş webull dağılımıa Odd webull ales olarak atıfta bulumuştur. Webull ve ters webul dağılımlarıı oralarıı dağılımı Cooray tarafıda elde edlmş ve odd webull dağılımı olarak smledrlmştr. Bu dağılım ç bazı statstksel özellkler celemştr. Bu tezde se; k parametrel Webull dağılımı, lteratürde kayıp foksyoları le lgl olarak herhag br çalışma bulumaya k parametrel Epoetal power ve üç parametrel Odd Webull dağılımlarıı blmeye parametreler ç e çok olablrlk tahm edcler elde edlp, Terey- Kadae yaklaşım yötem kullaılarak elde edle bayes tahmler smetrk kayıp foksyolarıda ola karesel hata ve asmetrk kayıp foksyolarıda ola le ve geel etropy kayıp foksyoları altıda ler (Hata Kareler Ortalaması) bakımıda karşılaştırılacaktır.

4. TEL KAVRAMLAR verlecektr. Bu bölümde, tez çersde sık kullaıla taım ve temel kavramlara yer. Kovekslk ve Kokavlık f() verle br kümede taımlı ke bu küme farklı ve oktaları ve 0, ç; f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) verlr. Eğer; se f() e dış bükey (koveks) foksyo adı f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) se f() e kes dış bükey (kes koveks) foksyo adı verlr. Bu taıma göre f() gösterdğ eğr üzerde alıa k oktayı brleştre doğru parçası, foksyou üstüde kalıyorsa veya çakışıyorsa f() koveks (dışbükey) br foksyo olmaktadır. f() verle br kümede taımlı ke bu küme farklı ve oktaları ve 0, ç; f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) se f() e dış bükey (koveks) foksyo adı verlr. Eğer; f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) se f() e kes ç bükey (kes kokav) foksyo adı verlr. Bu taıma göre f() gösterdğ eğr üzerde alıa k oktayı brleştre doğru parçası, foksyou altıda kalıyorsa veya çakışıyorsa f() kokav (çbükey) br foksyo olmaktadır (Schrjver, 998).. Kayıp Foksyoları İstatstksel aalzlerde br kayıp foksyouu bemsemes lk olarak Abraham Wald tarafıda gerçekleştrlmştr. Ayrıca Abraham Wald karar teors lk çalışalardadır.

5 Karar teorsde adıda da alaşıldığı gb karar verme problemler le lglelrke statstksel karar teors se; var ola karar problemlerde belrszlk çere durumlara ışık tuta statstksel blgler kullaarak karar vermeyle lgler. Karar teorsde bu belrszlkler blmeye sayısal değerler oldukları varsayılır ve (vektör yada matrs) le gösterlr. Br örek vermek gerekrse; br laç şrket ye br laç pyasaya sürüp sürmek stemedğ ele alısı. Bu durumda bu kararı etkleye brçok faktörlerde br lacı etks kaıtlayacak kş oraı ( ) dğer lacı pyasaya sürülme oraı ( ) olsu. Geellkle bu faktörler hakkıda statstk blgler bulusa ble hem hem de blmez. Burada problem lacı pazarlamak step stememes, pazara e kadar sürüleceğ, fyatıı e olacağı gb durumlardak karar teorlerde brdr. İstatstkte klask olarak bu durumda hakkıda çıkarım yapmak ç örek blg (statstksel araştırmalarda ortaya çıka ver) kullaılır. Dğer yada da karar teorsde e y kararı vermek ç örek blg, problemle lşkl dğer durumlarla brleştrlmeye çalışılır. Örek blgye ek olarak blg dğer k tp doğal olarak lşkldr. Bularda lk kararı tüm olası souçlarıı blgsdr. Sıklıkla bu blg bütü olası kararları ve ı olası değerler çere kayıplar belrleerek ölçülür. İlaç öreğde olduğu gb; lacı pazarlaıp pazarlamama kousu kararıdak kayıplar hem, ve dğer faktörler karışık foksyolarıdır. Burada bu lacı pazarlamada öcek reklam kampayası öreğ verls laç burada olduğuda kötü görüürse beklelede çok daha yüksek br değer çıkablr. Yukarıda alatıldığı gb elmzde br örek blg yok se örek çermeye durumda se blg kc kayağı ö blgdr. Ö blg hakkıda dğer statstksel araştırmalarda ortaya çıka blgdr. Geellkle ö blg le bezerlk çere bezer durumlar hakkıda geçmş deeymlerde elde edlr. Örek vermek gerekrse laç öreğdek ve de farklı fakat bezer ağrı kescler hakkıda çok büyük orada muhtemel öblgler buluablmektedr. Souç olarak; kayıp foksyoları karar verme olgusu çere belrszlk durumlarıda ortaya çıkmaktadır. Ya gerçek beklee kayıp ola k(, ˆ) da belrllk durumlarıda söz edemeyz. Br belrszlk durumuyla karşı karşıya

6 kaldığımızda beklee kayıp düşüülür ve daha sora bu beklee kayıpla lgl olarak e y karar seçlmek zoruda kalıır (Berger, 985)... Beklee Kayıp düşüülür. Beklee kayıp yukarıda da belrtldğ üzere ı blmedğ durumlarda ( ) ı karar verme sırasıda ı olasılık dağılımı olduğu kabul edlr.(, parametres uzayı) Br ˆ eylem bayescl beklee kaybı se; ˆ ˆ,, E L L df (.) olarak fade edlr (Berger, 985)... Sıklıkçı Rsk Karar teorsde alıa rasgele X ler üzerde oldukça farklı beklee kayıpları olduğu kabul edlr. Bu beklee kaybı taımlamak ç lk olarak karar kurallarıı taımlamak gerekr. Karar kuralları tahm problemlerde, br tahm edc olarak adladırılmaktır ve ˆ olarak gösterlecektr. Br karar kuralı ola foksyou;, ˆ X, ˆ, ˆ X \ ˆ ı rsk R E L L df dır.( örek uzay) (.) Br karar kuralı ola ˆ ı bayescl rsk foksyou üzerde ç ösel dağılımı le lgl olarak ortalama rsk;,, ˆ r E R şeklde fade edlr (Berger, 985). (.3).3 Tahm ve Nokta Tahm İstatstksel çıkarımlarda k öeml problemde br tahm dğer se hpotez testlerdr. Nokta ve aralık tahm olmak üzere çeşt tahm yötem vardır. Bu tezde, okta tahme ve okta tahm yötemlerde e çok olablrlk (EÇO) ve Bayes

7 tahm yötemlere yer verlecektr. Parametre tahmde stele şey e y özellklere sahp tahm edcy elde etmektr. Nokta tahm üzerde çalışıla ktle br veya brde fazla özellğ hakkıda blg sahb olmak ç br yığıı örekte tahm edlmes soruuu çözümlemes ç kullaıla yötemlerde brdr. Nokta tahmde k yötem vardır. Blmeye parametreler ç tahm edcler elde etmek; kcs; olası tahm edcler arasıda e y tahm edcler bulmaktır. Nokta tahm edcler bulmak ç çeştl yötemler gelştrlmştr. Bu tezde e öemllerde ola e çok olablrlk ve bayes tahm edclere değlecektr..3. E Çok Olablrlk Tahm Edcs Parametreler tahm etmek ç öeml br metod ola e çok olablrlk metodu, 9 yılıda geetkç ve ayı zamada statstkç ola Roald A. Fsher tarafıda suulmuştur. Bu tezde yer verlmeye tahm edc elde etme yötemlerde ola mometler yötem uygulamada sezgyle alaşılable ve kolay br metod olmasıa rağme geellkle y tahm edcler alaı değldr. Pratkte bu metod geş boyutlu verlerde daha y souçlar vermektedr ve verler statstksel modellere uyguluğuu ölçe e uygu metodlardadır. E çok olablrlk presb ı değer gerçekte gözlemlee değerlerde maksmum olasılığa sahp değer olmasıı ster (Tucker ve Boas, 96). X,...,, X X ; f dağılımıda alıa öreklem ve bu öreklem o.y.f.,...,... f f f olmak üzere ; L( ;,,... ) f (,,... ; ) L( ) = f( ; ) (.4) bçmde taımlaa L( ) foksyoua olablrlk foksyou der. Bu foksyou maksmum yapa değere ı EÇO tahm der. Geelde olablrlk foksyouu maksmze edlmes yere olablrlk foksyouu logartması (Akd, 005). ( ) log L,,... maksmze edlerek EÇO tahm edcs elde edlr

8.3. Bayes Tahm Edcs Bayescl yaklaşımda parametreler, ösel br dağılıma sahp rasgele değşkeler olarak görülür. Ösel blg özeldr, çükü so deeymlere, so verlere dayaır yada herhag br statstkç acı ösel blgy oluşturablr (Shao, 00). Eldek öblg ve öreklem blgs kullaılarak blg elde edlr (Ramachadra ve Tsokos, 009). bldğde öreklem geldğ o.y.f u f olsu. parametres bayes tahm edcs bulmak ç belrlee ösel dağılım ( ) yardımıyla; X, X,..., X ve ı o.o.y.f u oluşturulur., = f f (... f =L,,... f f (.5) Burada; o.o.y.f da, X marjal olasılık yoğuluk foksyou ola f() belrlemek ç parametrese göre tegral alıır. f L(,,... ) ( ) d (.6) X bldğde ı koşullu olasılık yoğuluk foksyou ya ı sosal dağılımı; ( \ ) = f(, ) f( ) L,,... L,,... d elde edlr. ı sosal dağılımıı beklee değer olarak taımlaır., (.7) L bçmde taımlaa karesel kayıp foksyou altıda bayes tahm edcler, ( ) dayalı, T X br statstk olmak üzere, seçlmş br k, T,, kayıp foksyoua R T k T f d (.8) rsk foksyouu,, r T R T d (.9) beklee değer e küçük yapa tahm edcdr.

9.3.. Karesel Hata Kayıp Foksyou (SELF) Karesel hata kayıp foksyou Legedre ve Gauss tarafıda çalışıla e yaygı değerledrme krter olarak kullaıla br kayıp fosyoudur. Bu kayıp foksyouu karar vermede çok sık kullaılmasıı brçok ede vardır. Bu foksyo lk olarak,, R ˆ E L ˆ E ˆ foksyou tahm edc varyası olduğuda; ı yasız tahm edcler buluduğu problemlerde kullaılmıştır. SELF terch edlmes dğer br ede klask e küçük kareler teors le lşkl olmasıda dolayıdır. Souç olarak çoğu karar aalzlerde bu foksyo kullaıldığıda k hesaplamalar hem tutarlı hem de kolay olmaktadır (Berger, 985). Dğer yada bu foksyou çok az alam fade ettğ göstere edelerde vardır. Acaba bu foksyo gerçekte düşüüle olguda doğru br kayıp foksyoumudur? Başlagıç olarak yaıt tab k hayırdır. Öreğ ekoomde rskte kaçıa yatırımcılar kokav fayda foksyoua sahp olmak ve ayı zamada buu sıırladırılablr olmasıı sterler. Karesel hata kayıp foksyou bu ks de değldr. Hatta bu foksyou kovekslğ özellkle rahatsız edc boyuttadır (Jasm, 00). Karesel kayıp foksyou ayrıca leer karesel optmal kotrol problemlerde kullaılır. Sıklıkla kayıp foksyouu stele değerlerde sapması karesel olarak fade edlr. Bu yaklaşım leer olduğu ç uygudur (H.A., 0). Karesel kayıp foksyou aşağıdak gbdr., ˆ ˆ L (.0) İk parametrel br dağılım ç; α ve ı herhag br foksyou u, ı bayes tahm edcs; Karesel hata kayıp foksyou L (u ˆ,u ) (uˆ u ) BS BS (.) olmak üzere bu foksyou beklee değer mmze edlmes le u, ç bayes tahm edcs aşağıdak gb elde edlr.

0,, ub E u 0 0,,,, 0 0 u,, 0 0 dd u, e dd e dd Burada, log olablrlk foksyouu,, (.) ortak ösel foksyouu logartmasıı fade etmektedr. Üç parametrel br dağılım ç; Karesel hata kayıp foksyou L (u ˆ,u ) (uˆ u ) BS BS (.3) olmak üzere bu foksyou beklee değer mmze edlmes le u,, ç bayes tahm edcs aşağıdak gb elde edlr.,,,, ubs E u 0 0 0 0 0 0 0 0 0,,,,,,,, f,,,,,, 0 0 0,,,,,,,, 0 0 0 u f u,, ddd u,, e ddd ddd u f dd d f dd d,,,, 0 0 0 e ddd (.4).3.. Le (Leer Epoetal) Kayıp Foksyou Vara le kayıp foksyouu öerrke, gayrmekul değerlemey ele almıştır. Gayr mekul değerlemecler amacı mevcut pyasa değer verle yaşam

alaı gb ev karakterstk özellkler ve yatak odası sayısı gb özelkler kullaarak, br ev değer tahm etmektr. Değerlemec tahm değerlerde a y olarak fade edlp kayıpları L( y, y ) olarak gösterlmştr. e a y e olarak ve gerçek Eğer değerlemec br ev değer olduğuda daha düşük tahm ederse kayıp bu aradak farka eşttr. Acak Calfora da br değerlemec ev olduğuda daha fazla tahm ederse ev sahb k başvuru yer vardır. Brcs değerlemec şyer şkayet etmek, kcs se eştlk heyete başvurmaktır. Buu soucuda bu heyet her k tarafı suduğu verlere göre doğru tahm yapmaya çalışır. Bu k seçeekte k taraf ç oldukça uzu ve malyetl süreçlerdr. Dava kazaıldığı takdrde se eyalet, mahkeme malyetler ödemektedr. Vara se böyle durumlarda karesel kayıp foksyouu gayrmekul değerleme kayıplarıı tahm etmede uygu olmadığı ç le kayıp foksyouu öermştr. Çükü SELF de az tahm edldğ zama le fazla tahm edldğ zama arasıdak kaybı ayı olduğu soucua varmıştır. Vara, bu durumda yce düşüdüğü zama, gayrmekul değerleme de değerlemec kayıp foksyou asmetrk olması gerektğe karar vermştr. Bu foksyo L, ˆ b ep a ˆ a ˆ (.5) şeklde taımlamıştır. Burada a0, b 0. a şekl parametres şaret asmetr yöüü ve a ı büyüklüğü asmetr dereces fade etmektedr. Ayrıca bu kayıp foksyouu özellkler Zeller tarafıda ayrıtılı olarak celemştr (Zeller, 986). Şekl.. a ı seçle değerler ç a ep a ı grafğ

Şekl. de de görüldüğü gb Vara ı taıttığı le kayıp foksyou gayr mekul değerleme çalışmalarıda çok yararlıdır. Çükü sıfır yöüde tek yölü olarak üstel şeklde artarke dğer yada da heme heme leer olduğu görülmüştür (Padey ve ark., 0 ). Grafk celedğde a= durumuda foksyou olması gerektğ gb olduğu görülmekte, ya büyük tahm olduğu zama k malyet küçük tahm olduğu zama k malyetde daha fazla olduğu, a<0 ve 0olduğu zama heme heme üstel br şeklde arta 0 olduğu zamada se heme heme leer arta olduğu görülmektedr (Schbe, 99). Ayrıca asmetrk kayıp foksyou aşağıdak özellkler taşımaktadır. Kayıp foksyou büyük egatf hatalar ç leerdr. Kayıp foksyou daha doğrusal br orada poztf hatalar ç artadır. Mahkeme malyetler sürekl olsa ble, suula br şkayet olasılığı aşırı yapıla değerleme le ayı orada artar ve böylece kayıp foksyou poztf hatalar ç mooto olarak artmaktadır (Vara, 000). Bu foksyo aşağıdak özellkler taşıdığıda le kayıp foksyou olarak adladırılmıştır, ep L ye ya b a ye ya c ye ya b (.6) c= ç ve b a, y e a y olduğu zama mmum kayba sahptr. Çok büyük orada fazla tahm ve az tahm durumlarıda üsteldr. Verle L kayıp foksyou altıda beklee kayıp aşağıdak gb fade edlr., E L L y y p y dy E( L) f ( y e ) tahme ulaşmış oluur. e a a a İk parametrel br dağılım ç; (.7) y e beklee kaybıı mmze edlmesyle mmze kayıplı α ve ı herhag br foksyou u, ı bayes tahm edcs; Le kayıp foksyou; L ( ) ep(a )-a-; a 0, şekldedr. (.8) u uˆ,, ç, (.9) Le kayıp foksyouu sosal beklee değer; E ˆ ˆ ˆ L u u ep au E [ep au ] a u E u (.0)

bçmdedr. uˆ uˆ, ve u u, 3 olmak üzere; eştlk (.0) mmze edlmes le u, ç bayes tahm edcs aşağıdak gb elde edlr. uˆ BL, l E ep au, a,, ep au, e dd 0 0 a,, 0 0 e dd (.) Üç parametrel br dağılım ç;, ve ı herhag br foksyou u,, aşağıdak gb elde edlr. Le kayıp foksyou; u ç sosal beklee değer L ( ) ep(a )-a-; a 0 olmak üzere; (.) u uˆ,,,, (.3) ç Le kayıp foksyouu sosal beklee değer; E ˆ ˆ ˆ L u u ep au E [ep au ] a u E u, (.4) şekldedr ve uˆ uˆ,, ve u u,, olmak üzere Eştlk (.4) ü mmze edlmes le u,, ç bayes tahm edcs aşağıdak gb elde edlr. uˆ BL,, l E ep au,, a,,,, ep au,, e d d d l 0 0 0 (.5) a,,,, e ddd 0 0 0.3..3 Geel Etropy Kayıp Foksyou Etropy Kayıp Foksyou James ve Ste tarafıda 96 yılıda çok değşkel ormal dağılımı (multormal) varyas kovaryas matrs tahm ç taıtılmıştır (James ve Ste, 99).

4 Daha sora ayı kayıp foksyou Brow, Haff ve Dey le Srvasa tarafıda ormal dağılımı (multormal) varyas kovaryas matrs tahm yada varyas kovaryas matrs ters tahmde, Dey ve arkadaşları p değşkel bağımsız gamma ölçek parametreler yada bu parametreler tersler eş zamalı tahmde etropy kayıp foksyouu, Ighodaro le Sather ve Ighodaro u arkadaşları bağımsız k terml ve çok terml oraları eş zamalı tahmde, Ghosh ve Yag bu foksyou p değşkel Posso ortalamalarıı eş zamalı tahmde, Rukh ve Aada etropy kayıp foksyou le brlkte karesel kayıp altıda çok değşkel ormal vektörü blmeye varyasıı tahm problemlerde, Yag bağımsız Posso ortalamalarıı rdge tahm ç ve so olarak Weczorkowsk ve Zelsk bu kayıp foksyouu k terml olasılıkları mma tahm ç kullamışlardır. (Sgh ve ark. 0). Etropy kayıp foksyou daha az kayıp çermesde dolayı karesel kayıp foksyoua alteratf olarak öerlmştr. Bu foksyo Kullback Lebler (Kullback Lebler İformato umber) blg sayısı temel alıarak elde edlmştr ve, ˆ f t ya karşı f t, ortalama blg etropy uzaklığı olarak taımlamıştır. olablrlk foksyouda ˆ ˆ ˆ L, l foksyou etropy foksyou olarak adladırılmıştır. Daha sora etropy kayıp foksyou Calabra ve Pulc tarafıda geelleştrlerek se; Geel Etropy Kayıp foksyou; k ˆ ˆ ˆ L, kl olarak taımlamıştır. (Calabra ve Pulca, 996). Şekl parametres ola k sabt, ayı zamada kayıp foksyouu smetrklkte uzaklaştığıı gösterr. Geel etropy kayıp foksyou altıda ı k bayes tahm edcs aşağıdak gbdr. Burada E ( ) ı mevcut olması bekler. (Parsa ve Nematollah, 996). ˆ k [ ( )] ( / k ) (.6) G E Ayrıca k olduğu zama karesel hata kayıp foksyouu da sağladığı görülür. İk parametrel br dağılım ç; α ve ı herhag br foksyou u, olmak üzere; Geel etropy kayıp foksyou;

5 k uˆ uˆ ˆ 3 k l L (u,u ) olmak üzere; (.7) u u Geel etropy kayıp foksyouu sosal beklee değer; k uˆ E L3 uˆ, u E ke l uˆ l u u (.8) uˆ uˆ, u u, olmak üzere Eştlk (.8) mmze şeklde elde edlr. ve edlmes le, aşağıdak gb elde edlr. u ç Geel Etrop kayıp foksyou altıda bayes tahm edcs uˆ BGE, E u, k k,, 0 0 Üç parametrel br dağılım ç; k u, e dd,, e dd 0 0, ve ı herhag br foksyou u,, değer aşağıdak gb elde edlr. Geel etropy kayıp foksyou; k uˆ uˆ ˆ 3 k l k (.9) u foksyou ç sosal beklee L (u,u ) olmak üzere; (.30) u u Bu kayıp foksyouu sosal beklee değer; k uˆ E L3 uˆ, u E ke l uˆ l u u (.3) uˆ uˆ,, u,, olmak üzere Eştlk (.3) mmze şekldedr. ve u edlmes le,, u ç Geel Etropy kayıp foksyou altıda bayes tahm edcs aşağıdak gb elde edlr. uˆ BGE,, E u,, k k,,,, 0 0 0 k u,, e ddd,,,, e ddd 0 0 0 k (.3)

6 (.), (.4), (.), (.5), (.9) ve (.3) eştlklerdek tegral oralarıı çözümü çok zor olduğuda bu tür tegraller Terey- Kadae yaklaşımı le kolayca çözüleblr..3..4 Terey-Kadae Yaklaşımı Terey ve Kadae (986) k tegral oraıı yaklaşık çözümü ç aşağıdak çözümü öermştr. (Terey ve Kadae, 986).,,..., olmak üzere parametrel herhag br dağılımı olablrlk foksyou ( ); ortak ösel foksyouu logartması se ( ) olmak üzere; l( ) { ( ) ( )}, l ( ) log U( ) l( ) (.33) Ayrıca tek parametrel dağılım ç farklı kayıp foksyoları altıda ı herhag br foksyou ola u( ) ç bayes tahm Terey Kadae yaklaşımı kullaılarak aşağıdak gb elde edlr.. Karesel hata kayıp foksyou ç ' ı herhag br foksyou ola u( ) ç Terey Kadae yaklaşımı altıda bayes tahm edcs; uˆ ( ) E u( ) BS şekldedr. e l ( ) l ( ) e d (.34) det ˆ ˆ d l l l ep l det. Le kayıp foksyou ç ' ı herhag br foksyou ola u( ) ç Terey Kadae yaklaşımı altıda bayes tahm edcs; uˆ BL l E ep au a det BL l ep ˆ l ˆ BL l l l (.35) BL a det Burada; BL l ( ) log ep au l( ) (.36)

7. Geel Etropy kayıp foksyou ç ' ı herhag br foksyou ola u( ) ç Terey Kadae yaklaşımı altıda bayes tahm edcs; k uˆ BGE E u k det BGE ep l ˆ ˆ BGE l l l BGE det k (.37) Burada; BGE k l ( ) log u l( ) (.38) şekldedr..3..5 Jeffrey Ösel Jeffrey ösel sm Harold Jeffrey de almaktadır. Jeffrey ösel br parametre uzayı ç ö blgsz (objektf) br ö dağılımdır. Ayı zamada Jeffrey ösel Fsher blg matrs determatıı karekökü olarak da fade edlmektedr. Tek parametrel durumda; ( ) ( ) l l ( ) ( d L E ) E ( d L ) d d Çok parametrel durumda; d l L I( ) E( ) d d j olmak üzere; (.39) ( ) det I( ) (.40) şekldedr. Acak bu tez çalışmasıda aşağıda belrtle Jefrrey geşletlmş öseller kullaılacaktır (Jeffreys, 96). c I veya u I ( ) ( ( )), c R ( ) ( ( )) c olmak üzere; ( ) c veya u( ) c bçmdedr.

8.4 Hata Kareler Ortalaması () Smülasyo çalışmasıda, parametrel br dağılım ç ˆ,,..,deeme sayısı tahm değer göstermek üzere ˆ eştlğ ortalama hata kareler ortalamasıı fade etmektedr. deeme sayısı Bu tez çalışmasıda çalışıla dağılımlar e çok olablrlk ve bayes tahmler ölçütüe göre mote carlo smülasyou le karşılaştırılacaktır.

9 3. BAZI KAYIP FONKSİYONLARI İÇİN BAYES TAHMİNLERİ Bu tez çalışmasıda karesel hata kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyoları ç bayes tahm edcler buluacaktır. Bu foksyoları bayes çıkarımları aşağıdak gbdr. 3. Karesel Hata Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm Bayes tahm edcler, seçlmş br k, T kayıp foksyoua dayalı, rsk foksyouu, beklee değer e küçük yapa tahm edc olduğu bayes tahm edcs bölümüde söylelmşt. Bu durum teork olarak fade edlmek sterse; X X X brbrde bağımsız ve ayı,,..., sahp rasgele değşkeler olsu. ; ;,...,... L L f.;, o(y) foksyoua,... olmak üzere karesel kayıp foksyouu ele alısı.,. olasılık yoğuluk foksyoua sahp br rasgele değşke olmak üzere rsk foksyou, ;,... R E =,... f... f d... d şeklde taımlaır ve ortalama rsk, ; r R d ; ; (3.) [ (,... )] f ( ; )... f ( ; ) d... d ( ) d (3.) (,... ) f ;... f ; d... d d (3.3) bçmde fade edlr. m r, problem, (,... )...... ; ; r yı mmze etmek ç; I f f d d d ı mmze edlmes yeterldr.

0,......,... I f f d ; ; fades; ;... ; ;... ; f f d f f d şeklde fade edlrse, t g t at bt c,... mmze ede t değer b/a dır. O halde stee tahm edc;,... ;... ; f f d ;... ; f f d Bayes tahm edcs E (3.4) g t foksyouu dır. (3.5),... / olarak gösterlr (Cert ve Yüksel, 997). 3. Le Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm a ˆ ˆ ˆ L, b e a, a 0, b>0 (3.6) Le kayıp foksyouu rsk foksyou aşağıdak gbdr (Rasheed ve Sulta, 05). ˆ ˆ a c, ˆ (3.7) R b e e a d 0 aˆ a = be E e ab ˆ abe b ˆ ya göre türev alarak mmze edldğ zama bayes çıkarımı; aˆ abe E e a ab ˆ a = - log Ee a olarak buluur (Padey ve ark., 0 ). (3.8) 3.3 Geel Etropy Kayıp Foksyou Altıda Bayes Tahm L 3 ˆ, ˆ ˆ k l olmak üzere; (3.9) k Geel etropy kayıp foksyouu rsk foksyou;

k ˆ ˆ R3 k d ˆ, l 0 a ˆ ˆ ˆ = E ke l E ke l ˆ l bçmdedr. ˆ ya göre türev alarak mmze edldğ zama bayes çıkarımı; ˆ k k k E k olarak elde edlr. ˆ ˆ k (3.0) (3.) k k E

4. BAZI SÜREKLİ DAĞILIMLARIN FARKLI KAYIP FONKSİYONU ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Bu bölümde k parametrel dağılımlarda webull dağılımı ve üstel power dağılımı le üç parametrel dağılım ola odd webull dağılımıı bayes tahm edcler; karesel kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyoları kullaılarak karşılaştırılacaktır. 4. Webull Dağılımı Webull dağılımı ölçek, şekl parametrese sahp parametrel br dağılımdır. 95 de Walodd Webull tarafıda üstel dağılımı geelleştrlmesyle elde edlmştr. Bu dağılım olduğu durumda üstel dağılımı olduğu durumda raylegh dağılımıı vermektedr.bu dağılımı olasılık yoğuluk foksyou ve dağılım foksyou aşağıdak gbdr. ( ) 0, 0, 0 f e (4.) F( ) e 0, 0, 0 (4.) h( ) (4.3) Hazard foksyou; ç azala, ç arta, ç sabttr.

3 Şekl 4.. Webull dağılımı ç hazard foksyou grafğ 4.. Webull Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm X,..., X X parametreler ve ola webull dağılımda alıa br öreklem olsu. Olablrlk foksyou, /, L e e / olmak üzere olablrlk foksyouu logartması;, / l L, / = l l l şekldedr. ve parametreler e çok olablrlk tahm edcler;, 0 (4.4) (4.5) (4.6), l l l 0 (4.7)

4 leer olmaya deklemler Newto-Raphso yötem kullaılmasıyla elde edlr. 4.. Webull Dağılımı ç Terey Kadae Yaklaşımı Altıda Bayes Tahm c c (4.8) (4.9) olmak üzere, c (4.0) ve parametreler ortak ösel foksyou ve sosal dağılımı aşağıdak gbdr (Alkutub ve ark., 0),, c,, f / / 00 f Terey Kadae yaklaşım formüller; l,,,, log,, l u l e e d d şekldedr. Burada α ve ı herhag br foksyou, eştlğdek gb olmak üzere; c c u ve, (4.) (4.) (4.3), (4.5) c c, l, l l (4.4)

5 bçmdedr. u(, ) ç farklı kayıp foksyoları altıda bayes tahm edcler aşağıdak gb elde edlr. u(, ) foksyouu le kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ BL, l E ep au, a det BL l ep ˆ l ˆ, ˆ, ˆ BL l l l l BL lbl a det elde edlr. Burada BL l (, ) log ep au, l(, ) (4.5) (4.6) u(, ) foksyouu geel etropy kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; k uˆ BGE, E u, k det BGE ep l ˆ ˆ, ˆ, ˆ BGE l l l l BGE BGE det bçmdedr. Burada k l (, ) log u, l(, ) BGE k (4.7) (4.8) u(, ) foksyouu karesel hata kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ (, ) E u(, ) BS l (, ) d(, ) l (, ) e d(, ) (4.9) det ˆ ˆ ˆ l ˆ l l l l ep l,, det şekldedr. Burada l, (4.3) eştlğdek gbdr. ˆ ˆ, l, ve,, ˆ ˆ, l ı maksmzesdr. Ayrıca l ve ˆ, ˆ belrtmektedr. se aşağıdak gbdr. l/ l/ l/ l/ e ve ˆ, ˆ se sırasıyla ve sırasıyla l, ve dek. türevler ters egatf (4.0)

6 l ve kısm türevler se; l c c, l l l l l (4.) c l l l (4.) (4.3) c l l (4.4) bçmdedr. Karesel hata kayıp foksyou altıda (4.9) eştlğ Terey Kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs aşağıdak adımlar zleerek elde edlr. U(, ) se; l / l / l / l / l l l det ep l, ˆ, ˆ B l l ˆ ˆ ˆ det l (, ) log l(, ) olmak üzere l ve kısm türevler se aşağıdak gbdr. c l (4.6) (4.5) (4.7)

7 ( ) l( ) ( ) l l c l (4.8) (4.9) U(, ) se; l / l / l / l / ˆ l ˆ l l det ep l,, B l l ˆ ˆ ˆ det l (, ) log l(, ) (4.30) (4.3) olmak üzere l ve kısm türevler se aşağıdak gbdr. c l ( ) l( ) ( ) l l c l (4.3) (4.33) (4.34) Bezer şeklde le ve geel etropy kayıp foksyou altıda bayes tahm edcler (4.5) ve (4.7) eştlkler kullaılarak elde edleblr.

8 4..3 Smulasyo Çalışması Bu bölümde e çok olablrlk tahm edcler ve jeffrey geşletlmş ösel kullaılarak karesel hata kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyou ola üç farklı kayıp foksyou ç yaklaşık bayes tahm edcler webull dağılımıı blmeye parametreler ç Terey Kadae yaklaşım methodu le elde edlmştr ve Mote Carlo smulasyou kullaılarak ler karşılaştırılmıştır. Webull dağılımıda, örek boyutu =0, 30, 50, 00, parametre değerler,.5,.3,.7 ve a,k= 0.8,.5 olarak seçlmştr. Jeffrey geşletlmş değer se c=0. alımıştır. E çok olablrlk ve bayes tahmler 0000 deemede ler bakımıda karşılaştırılmıştır. Çzelge 4. ve 4. celedğde le kayıp foksyou altıda bayes yötem le elde edle tahmler ve ler geel etropy ve karesel kayıp foksyou altıda elde edle tahmlerde ve lerde daha y olduğu gözlemştr.

9 Çzelge 4.. Webull dağılımı ak, 0.8 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması c 0 30 50 00 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 ML BS BL BGE ML BS BL BGE ak 0.8 a k 0.8 0.03469 0.0370 0.0698 0.00466 0.03735 0.03748 0.0304 0.00436.0085.0565.045563.037.004646.054446.06576.04964 0.078973 0.0769 0.03775 0.00736 0.0874 0.078346 0.05335 0.09.39698.383075.3704.356668.39897.38584.4360.379963 0.04637 0.045744 0.00648 0.00604 0.04463 0.045543 0.006733 0.0060.49483.54386.5668.5040.49434.54900.56039.53966 0.39356 0.3448 0.03547 0.0056 0.39655 0.34897 0.05900 0.045.83379.86577.777886.76890.877.83.85634.806095 0.0004 0.03935 0.00760.007089 0.0749 0.0386 0.00777 0.006984.000476.033536.09985.0057.00649.035844.043469.0370 0.0464 0.04570 0.00889 0.006964 0.046640 0.04545 0.008809 0.00707.364397.35530.347874.338887.3637.3540.37004.350367 0.08945 0.03053 0.0046 0.0048 0.08336 0.0300 0.004380 0.004034.4990.5347.50957.5673.500584.533068.544775.530689 0.080435 0.0789 0.008 0.00703 0.077744 0.07567 0.008789 0.00696.78893.778696.75470.748446.78379.773503.800806.769439 0.0859 0.03555 0.004334 0.0045 0.03030 0.03757 0.004447 0.00446.00096.00859.0986.0365.00479.0337.05957.09487 0.04779 0.04334 0.0045 0.004090 0.0553 0.04688 0.00475 0.00457.33745.3385.3796.36.339448.33384.34863.3356 0.07565 0.0809 0.00539 0.00490 0.076 0.07705 0.00557 0.00444.498704.5880.544.509669.499594.5900.5608.57694 0.04597 0.04880 0.004467 0.0049 0.04346 0.040578 0.004640 0.00405.746877.740578.7703.7397.750987.744673.7600.7476 0.006377 0.006567 0.0005 0.00038 0.00640 0.006578 0.007 0.00047.0066.05.00638.007478.0006.00.0450.00995 0.0376 0.056 0.0009 0.00000 0.033 0.0 0.004 0.00006.39785.36903.3556.3507.3848.35603.3994.3447 0.008430 0.008578 0.000 0.0098 0.00855 0.008667 0.004 0.000.499987.50978.50704.505567.498607.50840.598.50770 0.09095 0.08908 0.00055 0.00963 0.097 0.09037 0.0039 0.00993.74503.769.74866.7890.73307.70076.775.78894

30 Çzelge 4.. Webull dağılımı ak,.5 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması c 0 30 50 00 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 0..3.5 0..7 ML BS BL BGE ML BS BL BGE ak.5 a k.5 0.03708 0.03595 0.03868 0.035970 0.0348 0.037079 0.044535 0.036985 0.999643.04993.07367.03366 0.077694 0.07497 0.053068 0.03789 0.0850 0.07969 0.0553 0.039886.0085.05084.08094.06769.39843.385038.34836.33940.39569.3855.43396.395356 0.044 0.045765 0.044 0.05 0.043484 0.04733 0.05538 0.0656.4993.547709.5434.5944.50067.54938.58584.557600 0.38847 0.3397 0.04444 0.039669 0.43650 0.3864 0.060878 0.039865.8346.87573.74855.747999.835069.8049.906590.83503 0.054 0.0459 0.070 0.0540 0.05 0.0350 0.07633 0.04488.00508.034497.0067.0375.00393.034568.053076.04488 0.046899 0.045606 0.08794 0.0509 0.045804 0.044595 0.03058 0.04463.366987.357906.33548.3888.36667.353607.385489.36996 0.0804 0.0947 0.0405 0.0409 0.0837 0.09834 0.0569 0.0497.49658.58779.507386.50654.49874.53075.55436.53679 0.0774 0.07557 0.06333 0.04567 0.07907 0.077009 0.03630 0.04385.77987.768993.7547.7508.7883.77606.84999.789 0.0965 0.0366 0.0586 0.04596 0.0397 0.0403 0.06086 0.048.00047.00.066.006556.007.05.03093.0530 0.0568 0.054 0.06344 0.04963 0.049 0.03777 0.068 0.0435.33845.3383.300.3647.334954.39338.347366.33484 0.074 0.07837 0.008670 0.00866 0.06956 0.07379 0.008946 0.00853.5004.5058.5089.50737.495978.55490.5996.5875 0.04307 0.04340 0.05477 0.047 0.04769 0.04030 0.0763 0.0450.750684.744389.77540.78807.748588.748.77790.747976 0.006467 0.00667 0.00743 0.0078 0.006479 0.006639 0.007546 0.00773 0.99978.009684.00690.00303 0.99974.009707.05036.07 0.05 0.00 0.007 0.006964 0.00893 0.0079 0.00730.006836.3708.3495.30898.30636.36845.33959.36.36400 0.008538 0.008688 0.0049 0.00468 0.00847 0.00856 0.004339 0.00406.50050.50306.50430.503789.499575.509369.5690.5098 0.0958 0.09384 0.007306 0.007 0.0906 0.08878 0.007567 0.00693.75885.7650.70979.7040.73895.70668.734779.73475 4. Epoetal Power Dağılımı

3 Epoetal power dağılımı α ölçek, β şekl parametrese sahp parametrel br dağılımdır. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksyou ve dağılım foksyou aşağıdak gbdr (Smth ve Ba, 975; Che, 999). ;, ep ep ep, >0 (4.35) f ( ) F ;, ep ep h ;, ep( ) (4.36) (4.37) β ç hazart foksyou arta β< ç hazart foksyou küvet eğrs şekldedr. Şekl 3.3. Epoetal Power dağılımı ç hazard foksyou grafğ 4.. Epoetal Power Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm X,..., X X parametreler ve ola epoetal power dağılımda br öreklem olsu. Olablrlk foksyou, (4.38) L, ep ep ep

3 ep ep ep şekldedr. Log-olablrlk foksyou se (4.39) (4.40), l l ep l ve parametreler e çok olablrlk tahm edcler;, 0 ( ep 0 (4.4), 0 l( ) l( ) l( )ep ( ) 0 (4.4) bçmdek Leer olmaya deklemler Newto-Raphso yötem le çözümü kullaılarak buluablr. 4.. Üstel Power Dağılımı ç Terey Kadae yaklaşımı Altıda Bayes Tahm ve parametreler Jefrey öseller; c c olmak üzere ve ı ortak ösel foksyou, olmak üzere sosal dağılım aşağıdak gb elde edlr. c (4.43) (4.44) (4.45)

Burada;, f,, 00 f c k ( ;, )( ) c k( ;, )( ) dd k( ;, ) ep ep ep bçmdedr. Terey ve Kadae yaklaşım formüller l,,,, log,, l u l 33 (4.46) (4.47) şekldedr. Burada α ve ı herhag br foksyou, eştlğde verlmştr., se c c, l, l l u ve, (4.48) (4.37) (4.49) şeklde taımlaır. u(, ) foksyouu farklı kayıp foksyoları altıda bayes tahm edcler aşağıdak gb elde edlr. u(, ) foksyouu le kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ BL, l E ep au, a det BL l ep ˆ l ˆ, ˆ, ˆ BL l l l l BL lbl a det bçmdedr. Burada BL l (, ) log ep au, l(, ) (4.50) (4.5) u(, ) foksyouu geel etropy kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs;

34 k uˆ BGE, E u, k det BGE ep l ˆ ˆ, ˆ, ˆ BGE l l l l BGE BGE det k (4.5) bçmdedr. Burada k l (, ) log u, l(, ) BGE (4.53) u(, ) foksyouu karesel hata kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ (, ) E u(, ) BS e l (, ) d(, ) l (, ) e d(, ) (4.54) det ˆ ˆ ˆ l ˆ l l l l ep l,, det Burada l (4.48) eştlğdek gbdr. ˆ,, ı mamzesdr. Ayrıca ˆ ˆ, ve ˆ, ˆ gbdr. ˆ ve ˆ, ˆ se sırasıyla, ve sırasıyla, ve, ve dek. türevler ters egatf belrtmektedr. aşağıdak / / / / l ve kısm türevler se; l l ep l, l cl( ) cl( ) (4.55) (4.56) l ( ) c ( ) e ) (4.57) l ( ) ( ) l( ) ( l( )e ( ) l( )e ) (4.58)

35 c l( ) l ( ) ( ) ( l( ) e ( ) l( ) e )) (4.59) Karesel hata kayıp foksyou altıda (4.54) eştlğ Terey Kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs aşağıdak adımlar zleerek elde edlr. U(, ) se; l / l / l / l / l l l det ep l, ˆ, ˆ B l l ˆ ˆ ˆ det Burada (4.60) (4.6) l (, ) log l(, ) (4.6) olmak üzere l ve kısm türevler se aşağıdak gbdr. l ( ) c ( ( ) e )) (4.63) l ( ) ( ) l( ) l( )e ( ) l( )e (4.64) c l( ) l ( ) ( ) l( ) e ( ) l( ) e U(, ) se; (4.65) l / l / l / l / ˆ l ˆ l l det ep l,, B l l ˆ ˆ ˆ det Burada l (, ) log l(, ) olmak üzere gbdr. (4.66) (4.67) l ve kısm türevler se aşağıdak

36 l ( ) c ( ( ) e )) (4.68) l ( ) ( ) l( ) l( )e ( ) l( )e (4.69) c l( ) l ( ) ( ) l( ) e ( ) l( ) e (4.70) Bezer şeklde le ve geel etropy kayıp foksyou altıda bayes tahm edcler (4.5) ve (4.54) eştlkler kullaılarak hesaplaablr. 4..3 Smulasyo Çalışması Bu bölümde e çok olablrlk tahm edcler ve jeffrey geşletlmş ösel kullaılarak karesel hata kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyou ola üç farklı kayıp foksyou ç yaklaşık bayes tahm edcler epoetal power dağılımıı blmeye parametreler ç Terey Kadae yaklaşım methodu le elde edlmştr ve Mote Carlo smulasyou kullaılarak ler bakımıda karşılaştırılmıştır. Epoetal power dağılımıda, örek boyutu =0, 30, 50, 00, parametre değerler 0.7,,,.3 ve a,k= 0.8,. olarak seçlmştr. Jeffrey geşletlmş değer se c=0. alımıştır. E çok olablrlk ve bayes tahmler 0000 deemede ler bakımıda karşılaştırılmıştır. Çzelge 4.3 ve 4.4 celedğde le kayıp foksyou altıda bayes yötem le elde edle tahmler ve ler geel etropy ve karesel kayıp foksyou altıda elde edle tahmlerde ve lerde daha y olduğu gözlemştr.

37 Çzelge 4.3. Epoetal power dağılımı ak, 0.8 değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması c 0 30 50 00 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 ML BS BL BGE ML BS BL BGE ak 0.8 a k 0.8 0.06553 0.05596 0.00500 0.00877 0.05930 0.04974 0.004774 0.0094 0.7007 0.7094 0.697698 0.685564 0.70994 0.7075 0.70799 0.700860 0.05576 0.056603 0.0856 0.0305 0.05774 0.058647 0.08873 0.098.08377.09366.076898.058575.086770.096670.5388.09796 0.095 0.09458 0.009589 0.00884 0.09966 0.030034 0.0094 0.00797.04847.030970.0448.033.040566.0975.0388.07697 0.093689 0.0465 0.03344 0.03938 0.097066 0.08357 0.03455 0.0368.408709.438600.4094.39569.40533.440498.4746.43544 0.00008 0.009574 0.003059 0.006644 0.009984 0.009560 0.003057 0.006550 0.7056 0.700755 0.69749 0.68946 0.704354 0.69954 0.70305 0.6986 0.03870 0.03337 0.00678 0.008490 0.033338 0.033890 0.00906 0.008409.054987.060788.05089.03809.05866.06449.075788.0694 0.06570 0.0638 0.00545 0.004867 0.07560 0.07363 0.005475 0.00488.05804.07755.0340.005738.06443.0845.03807.0733 0.053783 0.057730 0.08585 0.00859 0.055560 0.059858 0.0988 0.008573.3684.385997.367940.356540.37397.39997.469.38874 0.00568 0.00547 0.00748 0.00377 0.005665 0.005505 0.00764 0.00377 0.70964 0.70006 0.69794 0.69350 0.703404 0.70046 0.70567 0.699704 0.0754 0.07385 0.005546 0.004845 0.0794 0.08075 0.00579 0.00497.03408.035455.0946.0999.033473.03657.04868.035 0.00904 0.008880 0.00849 0.007 0.008908 0.008793 0.00806 0.0067.0565.00475.0073.00344.03839.00870.080.00794 0.0895 0.03033 0.009630 0.00493 0.09578 0.030873 0.00988 0.004903.34303.35084.3486.33493.34980.35743.363384.35084 0.00704 0.00666 0.00085 0.00788 0.0070 0.0066 0.00085 0.00773 0.700848 0.699378 0.69830 0.695953 0.703 0.69964 0.700698 0.69963 0.007834 0.007863 0.0050 0.00333 0.00785 0.00784 0.0055 0.0036.0740.08758.05854.0305.06905.0867.037.0755 0.00476 0.00440 0.00357 0.00336 0.004076 0.00404 0.0093 0.0067.007035.00436.00809.00088.0066.003933.00547.003548 0.03057 0.03335 0.00450 0.00340 0.0685 0.0969 0.00464 0.0049.30904.3539.30470.37008.3803.3686.3330.35356

38 Çzelge 4.4. Epoetal power dağılımı ak,. değerler ç MLE ve bayes tahm edcler karşılaştırılması c 0 30 50 00 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 0.7 0. 0..3 ML BS BL BGE ML BS BL BGE ak. a k. 0.0648 0.05447 0.05 0.04649 0.0698 0.0537 0.0093 0.03338 0.70976 0.70570 0.694743 0.6833 0.70944 0.7066 0.705 0.70449 0.057703 0.05903 0.0465 0.030563 0.057668 0.059075 0.04848 0.096.086990.096905.07585.053797.087574.097489.5660.0363 0.03068 0.03039 0.0687 0.09068 0.0360 0.0386 0.003 0.0896.039705.08793.06067.005895.04535.030774.043533.03798 0.095344 0.06483 0.076878 0.03985 0.09347 0.04340 0.075446 0.09904.40399.44048.39646.38376.408904.438749.486899.4438 0.0006 0.00965 0.00695 0.05050 0.0005 0.009608 0.00699 0.04664 0.705950 0.70085 0.695840 0.686976 0.70670 0.70303 0.706566 0.7056 0.0340 0.03748 0.03434 0.08906 0.03593 0.033068 0.03954 0.0846.054884.060747.044963.033075.05500.060800.077699.06390 0.06654 0.06409 0.090 0.0080 0.0683 0.06565 0.087 0.00740.0487.0689.008733.00086.06343.08300.06335.0963 0.05655 0.060773 0.043784 0.0074 0.05739 0.06674 0.04446 0.0987.37583.393786.36650.35758.374944.399.4990.39688 0.005640 0.00548 0.003936 0.0084 0.005685 0.005530 0.003989 0.008395 0.703353 0.700409 0.69748 0.69996 0.70445 0.69955 0.70677 0.7007 0.0763 0.07764 0.0788 0.08 0.07575 0.07705 0.0796 0.00843.03403 0.03550.06475.0937.0337.03678.0460.03839 0.009035 0.008889 0.00649 0.00640 0.009035 0.00893 0.006393 0.00608.06439.030.00656.0065.04385.00946.03938.000 0.0847 0.09695 0.090 0.00945 0.09706 0.030990 0.0377 0.009.3397.34890 333607.37945.343.35885.36888.354785 0.008 0.00769 0.0099 0.00456 0.00694 0.00654 0.0093 0.003955 0.70965 0.70049 0.698903 0.69630 0.70676 0.70003 0.7079 0.70058 0.007646 0.007664 0.00549 0.00587 0.007547 0.007569 0.005487 0.00503.04339.05686.0355.00785.05077.064.00850.0734 0.00446 0.00403 0.0095 0.00905 0.0047 0.00493 0.00303 0.0094.00808.005403.003075.0045.00659.003854.00666.00438 0.038 0.0345 0.009664 0.0053 0.0935 0.0303 0.009554 0.00579.3993.3444.37058.348.3068.34759.3374.35688

39 4.3 Odd Webull Dağılımı Odd Webull (OW) dağılımı Cooray tarafıda 006 yılıda ortaya çıkarılmıştır (Cooray, 006). Bu dağılımı karakterstk özellkler se ye Cooray ve Bourgugo tarafıda yaşam zamaı modellerde sıklıkla kullaıla Webull ve bu dağılımı geelleştrlmes le lgl lteratürde brçok çalışma bulumaktadır. (Bourgugo ve ark., 0). Bu çalışmalarda bazıları (Nadarajah ve ark., 0) ve (Pal ve ark., 006) dır. Webull ve ters webul dağılımlarıı oralarıı dağılımı olarak elde edlmş ve odd webull dağılımı olarak smledrlmştr. Bu dağılım, yaşam zamaı verler modellemede kullaılable öeml br dağılımdır. α,β ad parametrel OW dağılımı kısaca OWα,β, şeklde gösterlr. Odd webull dağılımıı dağılım foksyou, olasılık yoğuluk foksyou ve hazard foksyou aşağıdak gbdr (Cooray, 0; C.D., 04; Cooray, 05). ( / ) ( ;,, ) ( ( e ) ) ;0<<, 0<, 0< F X (4.7) f ( ;,, ) e e e (4.7) h( ;,, ) e e e (4.73) 0, 0 yada,, h(t) tek tepel,,, h(t) arta,,, h(t) azala,,, h(t) küvet şekldedr.

40 Şekl 4.. Odd Webull dağılımı ç hazard foksyou grafğ 4.3. Odd Webull Dağılımı ç E Çok Olablrlk Tahm X,..., X X parametreler, ve ola odd webull dağılımıda br öreklem olmak üzere olablrlk foksyouu logartması (log-lkelhood) aşağıdak gbdr.,, l l l l l e l e (4.74), ve parametreler e çok olablrlk tahm edcler;,, e 0 e e e e 0 (4.75)

4 l,, 0 l 0 e e e e (4.76) l,, 0 l l l e e e e 0 e (4.77) leer olmaya deklemler Newto-Raphso yötem le çözümüde buluablr. 4.3. Odd Webull Dağılımı ç Terey Kadae Yaklaşımı Altıda Bayes Tahm Bu bölümde, ve parametreler ç karesel kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyou altıda bayes tahmler terey kadae yaklaşıımı kullaılarak yapılacaktır. c (4.78) c (4.79) 3 c (4.80) Geşletlmş ösel dağılımlar olmak üzere, ve parametreler ortak ösel foksyou ve sosal dağılımı aşağıdak gbdr.

4,, ( ) c (4.8),, Burada; f,,,, 000 f c g (,,, ) c g(,,, ) ddd g( ;,, ) e e e bçmdedr. Terey ad Kadae yaklaşım formüller l,,,, log,, l u l şekldedr. Burada α ve ı herhag br foksyou, eştlğde verlmştr., se c c, l, l l u ve, (4.8) (4.83) (4.37) (4.84) şeklde taımlaır. u(, ) foksyouu farklı kayıp foksyoları altıda bayes tahm edcler aşağıdak gb elde edlr. (4.86),, c c c c,, l, l l l (4.85). (,, ) u foksyouu le kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs;

43 uˆ BL,, l E ep cu,, c det BL l ep ˆ ˆ l ˆ,, ˆ, ˆ, ˆ BL l l l l l (4.87) BL lbl lbl c det şekldedr. Burada BL l (,, ) log ep cu,, l(,, ) (4.88). u(,, ) foksyouu geel etropy kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ BGE,, E u,, k k det BGE ep l ˆ ˆ ˆ,, ˆ, ˆ, ˆ BGE l l l l l BGE BGE BGE det k (4.89) Burada k l (,, ) log u,, l(,, ) bçmdedr. BGE (4.90). u(,, ) foksyouu karesel hata kayıp foksyou altıda terey kadae yaklaşımı kullaarak bayes tahm edcs; uˆ (,, ) E u(,, ) BS e l (,, ) d(,, ) l (,, ) e d(,, ) (4.9) det ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l ˆ l l l l l l ep l,,,, det Burada l (4.83) eştlğdek gbdr. ˆ, ˆ, ˆ l l l,, ve,,,, ˆ, ˆ, ı l ı ˆ l l l belrtmektedr. aşağıdak gbdr. ve ˆ ˆ ˆ l, l, l mamzesdr. ve ˆ, ˆ, ˆ l l l l / l / l / l / l / l / l / l / l / se sırasıyla ve sırasıyla l,, ve dak. türevler ters egatf (4.9) l ve kısm türevler se;

44 l,, l l l l l e l e cl( ) cl( ) cl( ) a ;,, d ;, (4.93) l a ;,, e ;, c ;,, r ;, m ;,, l (4.94) ;, d t ;,, (4.95) e ;, d ;, l a ;,, l l e ;, l l s ;,, (4.96) h ;,, h (4.97) l c ;,, l e

45 l ;, d u ;,, (4.98) e ;, l l ;,, c c ;,, ( )l c + l p ;,, (4.99) Burada; e e e a ;,,, b ;,, e e e c ;,,, d ;, e, e ;, e l e e r ;,, g ;,, e e l e h ;,, e l e k ;,, e

46 ;, d m ;,, b ;,, e ;, ;, d - b ;,, b ;,, e ;, ;, l ;, g;,, e e t ;,, b;,, l e;, s ;,, b ;,, k ;,, l l b ;,, ;,, ;,, b ;,, u k b ;,, ;,, b ;,, p b ;,, l l l e ;, l g ;,, ;, l l ;, e e l e l e ;, l - b ;,, b ;,, l

47 şekldedr. Karesel hata kayıp foksyou altıda Terey Kadae yaklaşımı kullaarak elde edle bayes tahm edcler aşağıdak gbdr. olmak üzere. Eğer u(,, ) se l / l / l / l / l / l / l / l / l / l l l l det ep l, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ B l l l ˆ ˆ ˆ det (4.00) (4.0) şekldedr. Burada l (,, ) log l(,, ) ve l ı kısm türevler aşağıdak gbdr. l l l l l l,,, l l l l l l,, (4.0). Eğer u(,, ) se olmak üzere l / l / l / l / l / l / l / l / l / ˆ l ˆ l l l det ep l,,,, B l l l ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ det (4.03) (4.04) bçmdedr. Burada l (,, ) l l(,, ), ve l ı kısm türevler aşağıdak gbdr. l l l l l l,,,, l l l l l l l,, (4.05). Eğer u(,, ) se

48 olmak üzere l3 / l3 / l3 / 3 l3 / l3 / l3 / l3 / l3 / l3 / ˆ l ˆ l l l det 3 ep l,,,, B l l l ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ det 3 3 3 3 (4.06) (4.07) şeklde elde edlr. Burada l 3 (,, ) l l(,, ), ve l 3 ı kısm türevler aşağıdak gbdr. l3 l l3 l l3 l,,, l l l l l l l 3 3 3,, (4.08) Bezer şeklde le ve geel etropy kayıp foksyou altıda bayes tahm edcler (4.87) ve (4.89) eştlkler kullaılarak elde edleblr. 4.3.3 Smulasyo Çalışması Bu bölümde odd webull dağılımıı blmeye parametreler ç e çok olablrlk tahm edcler ve jeffrey geşletlmş ösel kullaılarak karesel hata kayıp foksyou, le kayıp foksyou ve geel etropy kayıp foksyou altıda Terey Kadae yaklaşım methodu kullaılarak elde edle yaklaşık bayes tahm edcler, Mote Carlo smulasyou kullaılarak ler bakımıda karşılaştırılmıştır.,, parametrel Odd Webull dağılımıda örek boyutu =0, 30, 50, 00, 00, 300 ve parametre değerler 0.8, 0.9, 0.9 ve a= 0.6, k= 0.7 olarak seçlmştr. Jeffrey geşletlmş değer se c=0. alımıştır. E çok olablrlk ve bayes tahmler 5000 deemede ler bakımıda karşılaştırılmıştır. Çzelge 4.5 celedğde le kayıp foksyou altıda bayes yötem le elde edle tahmler ve ler geel etropy ve karesel kayıp foksyou altıda elde edle tahmlerde ve lerde daha y olduğu gözlemştr.