Regresyon Analizi Basit Do rusal Regresyon Analizi En Küçük Kareler Tekni i Varyans n(v 2 ) Tahmini Basit Do rusal Regresyonda Aral k Tahmini

Transkript

1 5 STAT ST K-II Amaçlar m z Bu ütey tamamlad kta sora; k de flke aras dak lflky aç klaya do rusal model kurablecek, k de flke aras dak lflk dereces belrleyeblecek blg ve becerlere sahp olacaks z. Aahtar Kavramlar Regresyo Aalz Bast Do rusal Regresyo Aalz E Küçük Kareler Tek Varyas (v ) Tahm Bast Do rusal Regresyoda Aral k Tahm Regresyo Katsay s Alaml l k Test Korelasyo Aalz Korelasyo Katsay s Belrllk Katsay s Korelasyo Katsay s Alaml l k Test çdekler statstk-ii Regresyo ve Korelasyo Aalz G R f REGRESYON ANAL Z KORELASYON ANAL Z

2 Regresyo ve Korelasyo Aalz G R f Regresyo term köke Sör Fracs Galto a daya r. Galto br de flke üzerde meydaa gele de flm baflka br ya da daha fazla de flke taraf da aç kla p aç klaamayaca kousuda çal fla lk araflt rmac lardad r. 885 y l da kal t m kousuda çal fl rke babalar ve o ullar boylar kousuda yapt araflt rmas da, o ullar boylar ortalamaya do ru yöled ( glzce karfl l regressed ) belrterek regresyo kelmes temel oluflturmufltur. Güümüzde se regresyoa, de flkeler aras dak lflk modellemes fllemler tümüü çere gefl br alam yüklemfltr. Korelasyo se brlkte de flm gösterme e lmdek de flkeler aras dak lflk dereces temsl ede br katsay d r. Bu katsay de flkeler aras dak lflk dereces ya s ra lflk yöüüde belrler. k de flke aras da yüksek korelasyo olmas ble, k de flkede br d er ede olablece göstermez. Korelasyo aalz k de flke aras dak edesellk ç kulla lamad da, edesellk araflt rmas ç d er farkl statstk tekkler kulla lmas gerekr. REGRESYON ANAL Z Regresyo aalzde k veya daha fazla de flke aras dak lflk hag matematksel modelle fade edlece araflt r l r. Sözü edle k de flke aras dak lflk geellkle ede-souç lflks bçmde ortaya ç kar: Gelr, Harcama; Yafl, Boy; Gübre mktar, Verm mktar ; Toprak kaltes, Verm mktar ; Çal flma süres, K - dem tazmat kller aras da ede-souç lflks bulumaktad r. Bu de flkelerde souç durumudak de flke ba ml de flke ede durumudak de flke se ba ms z de flke olarak smledrlr. Regresyo aalzde ba ml de- flke üzerde olufla de flmler aç klamas a çal fl l r. Öre yukar dak kller lkde, br brey harcamas ba ml de flke olarak ele al m flt r. Ba- ms z de flke se ede durumuda ola gelr de flkedr. Geellkle ba ml de flke Y sembolüyle ba ms z de flke se X le fade edlr. De flkeler aras dak lflky gösterme lk yolu grafk yötemdr. X ve Y gözlem kller br grafk üzerde brer okta hâlde gösterlr. flaretlee bu oktalar oluflturdu u flekl serplme dyagram olarak smledrlr. Farkl (X,Y) kller ç fekl 5. deke bezer görüümler elde edleblr. Yatay ekse X; düfley ekse Y de flke olmak üzere (X,Y) koordatl oktalarda olufla fe- X ve Y gözlem kller grafk üzerde brer okta hâlde flaretled flekl serplme dyagram olarak smledrlr.

3 8 statstk-ii fekl 5. Serplme Dyagramlar kl 5. de verle grafkler brer serplme dyagram d r. fekl 5. de k de flke aras da ald klar de erlere göre gözlemleeblecek 4 farkl serplme dyagram öreklemfltr. Serplme dyagram üzerde ba ml ve ba ms z de flke aras dak lflk yap s gözleeblmektedr. fekl 5.(a) ve 5.(b) de k de flke aras da do rusal olmaya lflk, 5.(d) de do rusal lflk görülmektedr. fekl 5.(c) de se k de flke aras da lflk olmad söyleeblr. Noktalar oluflturdu u flekle bakarak lflk yöü ve dereces tahm etmek de mümküdür. Buu ç oktalar e d flta kalalar brlefltrlerek br flekl elde edlr. Söz kousu flekl durumua göre lflk dereces hakk da tahmde buluulur. E er flekl dar br elpse bezyorsa lflk kuvvetldr, elps geflledkçe lflk zay flar. (a) (b) (c) (d) Bast Do rusal Regresyo Regresyo aalzde ba ms z de flke say s br olmas durumuda bast regresyo aalz; brde fazla ba ms z de flke olmas durumuda se çoklu regresyo aalz söz kousu olmaktad r. Bu ütede sadece bast do rusal regresyo aalze yer verlecektr. Serplme dyagram sadece lflk tp üzerde br fkr vereblmektedr. Bu lflk matematksel br fades gelfltrlmes gerekr. Bu deklem elde edld de, ba ml de flke Y ba ms z de flke X olmak üzere, Y de erler tahm ç X de erler kulla l r. X, Y de flkeler aras dak do rusal lflk fadesde kulla la efltl e do rusal regresyo model ya da k saca regresyo deklem der. Bast do rusal regresyo model, Y = α + βx + ε =,,3,...,N fleklde stokastk (olas l kl ) br modeldr. Model de

4 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 9 Y ; ba ml de flke c gözlemlee de er, X ; ba ms z de flke c gözlemlee de er, ε ; hata term, α : blmeye sabt parametre, β : blmeye regresyo parametresdr. α, do rusal model sabt termdr ve X=0 oldu uda regresyo do rusuu dkey ekse Y y kest oktay göstermektedr. β se do rusal model e m vermektedr ve regresyo aalzde, ba ms z de flke X dek br brmlk de flme, ba ml de flke Y de e kadarl k br de flmeye yol açaca göstere regresyo parametresdr. Y = α + βx + ε flekldek do rusal model, X ve Y de flkeler evreler ç geçerldr. statstksel çal flmalar ço uda oldu u gb, regresyo aalzde de aakütleye lflk verler tümüe ulafl lamad da bu evrede seçle öreklem verleryle aalz yap l r. Öreklem verlerde hareketle aakütle parametreler α ve β tahmler elde edeblmek ç EKK yötemde yararla lablr. Buu ç öcelkle, gözlem kller br serplme dyagram da gösterd mz varsayal m. Serplme dyagram celed de do rusal br e lm görülüyorsa, Y X e göre matematk foksyouu do rusal oldu ua (kes olmasa da) karar verleblr. Acak gözlem oktalar aras da çok say da do rusal foksyo geçrleblr. Bu do rusal foksyolarda e uyguu Y gözlem de erlere e yak kuramsal (tahm) Ŷ de- er vere do rusal foksyo olacakt r. Br baflka fadeyle belrl br X de er ç, elmzde k ordat de er olacakt r; brcs gözlem de er, kcsyse bu okta do ru ya da e r üzerde teork olarak hesaplaacak ordat de erdr. flte, Ŷ kuramsal de erlerle Y gözlem de erler aras dak farklar hata termler oluflturur. e =Y -Ŷ fleklde hesaplaa hata termler poztf ya da egatf ya da s - f r de erlere sahp olurke, bu farklar cebrsel toplam s f ra eflttr. e = ( Y Yˆ )= 0 = = EKK Yötem esas α ve β tahmler ola a ve b y söz kousu farklar kareler toplam mmum ya e = ( Y Yˆ ) = = = m EKK Yötem (Y -Ŷ ) art klar kareler toplam e küçük yapable α ve β tahmler elde edlmese lflk br yötemdr. olacak fleklde belrlemektr. α ve β EKK tahmler, yukar dak e küçük kareler yötem ç, ( ) = = = Y Yˆ ( Y a bx ) fades a ve b ye göre türevler al p s f ra efltleerek:

5 0 statstk-ii e = ( Y a a bx )= 0 e = ( Y b a bx )= 0 buluur, elde edle bu k efltlkte; Y = a+ b X = = XY= a X + b X deklemler buluur. Bu deklemler ormal deklemler olarak smledrlr. Do ru deklemler ve katsay lar e küçük kareler koflulua uygu olarak hesaplamas, bu k deklem çözümüyle gerçeklefleblr. Normal deklemlerdek d er de erler, X, Y, X ve X Y d r ve deklemlerdek X ve Y de erler s f r orje göre fade edlmfllerdr. Bu de erler hesaplad kta sora bast do rusal regresyo modeldek α ve β tahmler ola a ve b y ormal deklemlere dayaarak kolayl kla çözmek mümküdür. a ve b gb k blmeyel k deklem sstemde bu katsay lar hesaplad da Y X e göre tahm edle do rusal regresyo deklem, Ŷ = a + bx fleklde fade edlr. Bu deklemde araflt rmac regresyo deklem kullaarak herhag br X de- er ç Ŷ tahm de er hesaplayablr. Bu fleklde deklemde X yere lgled de er yaza araflt rmac Y modele göre beklee de er hesaplam fl olur. Terse, Y ba ml de flke stee belrl br de er üretecek br X ba- ms z de flke ç beklee de er de hesaplaa Y yere lgled de er yaza araflt rmac, deklem çözerek X soucuu elde edecektr. Tahm edle bast do rusal regresyo modeldek b katsay s s f rda farkl olmas Y le X aras da br ba t oldu uu göstermektedr. b katsay s flaret se X le Y aras dak lflk yöüü belrler. Bu flaret poztf se k de flke aras da ay yölü egatf se ters yölü br lflkde söz edlr. ÖRNEK Br araflt rmac br ma aza ç rastgele seçt 0 güde gözlem yapm fl ve güler tbar yla gele gülük müflter say s ve elde edle cro (T 000 ) de erler gözlemlemfltr. Bu verler Tablo 5. de yer almaktad r. a. Serplme dyagram çzz? b. Crou, müflter say s a göre, bast do rusal regresyo deklem tahm, e küçük kareler tek yle elde edz.

6 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz Gü Gü Gü3 Gü4 Gü5 Gü6 Gü7 Gü8 Gü9 Gü0 Müflter Cro a Tablo 5. Regresyo Model ç Gözlem Vers Tablosu fekl 5. Croya lflk serplme dyagram Kartezye koordat sstemde X ve Y ye at verler flaretled mzde serplme dyagram çzmfl oluruz. Grafk celed de k de flke aras dak lflk do rusal oldu uu göreblrz. b. Bast do rusal regresyo deklem Ŷ = a + bx oluflturablmek ç a ve b katsay lar ormal deklemler yard m yla hesaplayal m. Normal deklemler; Y = a + b X X Y = a X + b X dr. Bu amaçla; X Y, X Y, X, de erler hesaplam fl ve Tablo 5. oluflturulmufltur. Tablou lk sütuu gülük müflter say s (X) ve gülük cro mktar (Y) de flkeler gözlem de erler göstermektedr. Tablo 5. sütular alt da yer ala say lar se lgl sütuu de erler toplam göstermektedr. X Y XY X Tablo 5. Regresyo Deklem Katsay lar Hesaplama Tablosu X=04 Y=369 XY=39098 X =359

7 statstk-ii 369 = 0a + 04b = 04a + 359b Bu k deklemde yer ala a ve b katsay lar ; a = 0,75; b = 3,9 olarak hesapla r. Bua göre tahm edle regresyo do rusu deklem; Ŷ = 0,75 + 3,9X fleklde elde edlr. D KKAT Üte boyuca hesaplamalarda hassasyet sa lamak amac yla olabld ce çok odal kl hae kulla l rke, hesaplama souçlar göstermde yuvarlat lm fl daha az say da odal k haeyle yetlmfltr. Regresyo katsay s 3,9 buludu uda, müflter say s br brm de flt de croda 3,9 brmlk de flme gerçekleflecektr. Regresyo deklem yard m yla araflt rmac gözlemled herhag br X de er ç Y alaca de er tahm edeblr. Öre, ma azay 00 kfl zyaret ett de flletme tahm crosuu blmes steeblr. Bu durumda X=00 olarak gözlemlemfl oldu uda Y tahm, Ŷ = 0,75 + 3,9X = 0,75 + 3,9x00 = 349,40 olarak hesapla r. Bezer bçmde, regresyo deklemde Y belrl br de er vere X de er de tahm edleblr. 600 lük br cro elde etmek ç kaç müflter ma- azaya gelmese htyaç oldu u, Y=600 ç X modele göre beklee de er 600 = 0,75 + 3,9X deklemde X = 76,7 77 olarak buluur. Normal deklemlerde X ve Y de erler yere bular artmetk ortalamalar da sapmalar ola x ve y de erler koulmas yla; deklemler elde edlr. Ta m gere ce x = X -X ve y = Y - Y oldu uda artmetk ortalama temel özellklere göre (armetk ortalamada cebrsel sapmalar toplam s f rd r.) x = 0 ve y = 0 d r. Böylece so k efltlkte b ya da b yx y = a+ b x xy = a x + b x xy x = xy x = elde edlr. a 0 a eflt olmas, ortalamalar orje göre, regresyo do rusuu, de flkeler ortalamalar yla ta mlaa br oktada geçt ortaya koymaktad r. Bu durumda regresyo deklem

8 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 3 ŷ = bx veya ŷ = b yx x fleklde yaz lablr. Br regresyo do rusu ster s f r orje göre yaz ls ster ortalamalar orje göre yaz ls e m de flmez. Bu edele her k orje göre hesaplaa b katsay s ay d r. Bua karfl l k a se; a = Y - bx efltl de hesapla r. Verler ç e y do ru deklem Yˆ = a +bx fleklde yaz lablr. Örek dek verler ç Y X e göre regresyo deklem, ortalamalar orje göre, e küçük kareler tek yle elde edelm. ÖRNEK Bast do rusal regresyo deklem ortalamalar orje göre yazablmek ç, lk olarak X ve Y sers artmetk ortalamalar ve x, y, xy ve x ler elde edelm. _ X 04 X = = = 04, 0 _ Y 369 Y = = = 36, 9 0 x y x y x -33, -,9 3736,99 095,6 -, -8,9 83,09 488,4 6,9-6,9-47, 47,6-9, -37,9 73,89 364,8-5, -34,9 56,99 8,0 5,9 7, 59,89 34,8 6,9 47, 34,99 47,6 6,9 57, 964,99 85,6 4,9 87, 68,79 60,0 7,9, 37,59 778,4 x=0 y=0 xy=339, x =3990,9 a = 0 xy 339, b= byx = = = x 39, 3990, 9 Bu durumda, ortalamalar orje göre, Y X e göre regresyo deklem, ŷ = 3,9x fleklde yaz l r.

9 4 statstk-ii Yukar dak aç klamalarda Y de flke ba ml de flke, X de flkeyse ba ms z de flke kabul edlmflt. X de flke ba ml Y de flke ba ms z de flke oldu udaysa do rusal regresyo deklem; Xˆ = a + by olarak fade edlecektr. Bu durumda a ve b b ya da b ve xy a=x - by xy y = xy y = formüller yard m yla buluur. b xy ve b yx formüller celed de, her ksde dama ay flaret tafl r fakat ay de erde de ldr. SIRA S ZDE X ba ms z ve Y ba ml de flke olmak üzere br araflt rma gözlemlee de erler zleye tabloda verlmfltr. Verlere lflk serplme dyagram çzz. Serplme dyagram üzerdek oktalar do rusal e lm çde olup olmad klar gözleyz. b katsay - s ve a katsay s hesaplay p regresyo deklem elde edz. Gözlem X Y Varyas (v ) Tahm Bast do rusal regresyo modelde α ve β tahmlere ek olarak, aral k tahmlerde ve hpotez testlerde v tahme gereksm vard r. v, ε hata termler ortak varyas d r. ε tahm e hata term oldu uda e ler varyas da v br tahm olacakt r. Hatalar kareler toplam (HKT), HKT= e HKT = (Y - Y ˆ ) yaz lablr. HKT serbestlk derecese bölümüyle elde edle HKO = HKT k hata kareler ortalamas, (br baflka fadeyle hatalar varyas ), v br tahmdr. Bast do rusal regresyo modelyle hatalar hesaplamas da, α ve β tahmler a ve b kulla ld da, serbestlk dereces (-) olarak yaz l r.

10 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 5 HKO u kare kökü al d daysa deklem stadart hatas elde edlr ve vˆ le gösterlr. σ = HKO σ = ( Y ˆ Y ı ) Örek dek verler kullaarak elde edle regresyo dekleme dayaarak yap lacak tahmler stadart hatas hesaplayal m. ÖRNEK 3 vˆ hesaplayablmek ç öcelkle, Ŷ lar daha sora da s ras yla (Y - Ŷ ), (Y - Ŷ ) lar hesaplayal m. Ŷ = 0,75 + 3,9x burada, Ŷ (Y - Ŷ ) (Y - Ŷ ) 53,93-3,93 5,4 90,4-0,4 0,83 385,6-84,6 759,94 300,0 4,98 64, 33,9 4,8 9,44 38,3 7,68 58,9 385,6 4,38 594,56 48,54,46,3 444,88 5, 6,4 454,75 0,5 409,90 93,5 σ = σ = ( Y ˆ Y ı ) 93, 5 0 = 5, 69 = 33, 94 olarak elde edlr. Bast Do rusal Regresyoda Aral k Tahm statstksel ç karsamalarda yap la tahmler, gerçek de erlerle geellemes aral k tahmleryle yap l r. Regresyo çözümlemes, öreklem verleryle yap ld - da, elde edle a ve b ler aakütle parametreler α ve β ya lflk aral k tahmlerde kulla lmas söz kousudur.

11 6 statstk-ii α ç güve aral ; P (a - t α.s a α a + t α.s a ) = - α fleklde verlr. s a, a stadart hatas d r ve s a = σ + X ( X X) formülüyle hesapla r, t α se α alaml l k düzey - serbestlk derecesde t tablosuda bulua de erdr. β ç güve aral ; P (b - t α.s b β a + t α.s b ) = - α s b = σ ( X X) fleklde hesapla r. ÖRNEK 4 Örek de b=3,9 olarak hesaplam flt r. Bu souca göre, β katsay s %95 güve aral hesaplayal m. b= 3,9 s b = σ ( X X) 33, 94 33, 94 = = = 054, 3990, 9 63, 7 ve o=8 serbestlk derecesde t tablo de er,306 d r. Bua göre β ç %95 güve aral 3,9 ± (,306) (0,54) P (3,9 -,5 β 3,9 +,5) = 0,95 P (,04 β 4,54) = 0,95 olarak hesapla r. Regresyo katsay s β 0,95 olas l kla alablece de erler,04 le 4,54 aras da olacakt r. Regresyo Katsay s Alaml l k Test Bast do rusal regresyo aalzde, br ba ml br ba ms z de flke olmas edeyle, test edlecek parametreler α ve β olacakt r. Daha öce aç klad gb, α tahm a regresyo sabtdr ve b se β tahm olup regresyo katsay s d r. Bast do rusal regresyo modeldek regresyo katsay s a lflk yap la test, regresyo do rusuu alaml l da test etmektedr. föyle k: H o : β=0 H : β 0 hpotezler

12 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 7 t h b = s b statst de yararla larak test edlr. α alam düzeyde - serbestlk derecesde t tablosuda bulua de er hesaplaa t test statst de büyükse H o : β=0 hpotez kabul edlr ve regresyo do rusu alaml de ldr. D er br fadeyle Y dek de flmler X dek de flmelerde kayaklamamaktad r (X ve Y aras da do rusl br lflk yoktur). t statst de er t tablo de erde büyükse H o reddedlr, ya regresyo do rusu alaml d r. Elde edle do rusal regresyo model amaca uygu olarak kulla lablr. Örek de elde edle regresyo katsay s α=0,05 alam düzeyde alaml l k test yapal m. H o : β=0 H : β 0 b Hpotezler test edelm th = öreklem küçük oldu u ç bemsee t, sb o= - = 8 serbestlk derecesde t da l r. ÖRNEK 5 t h = b s = 39, 054 = 609,, b α=0,05 ve 8 serbestlk dereces le t 0,05 =,306 oldu uda t h > t 0,05 dr ve H 0 reddedlecektr, b katsay s statstksel olarak alaml d r. KORELASYON ANAL Z fu aa kadar çal flmalar m z regresyo aalz bafll alt da br aç klay c (ba ms z) d er aç klaa (ba ml ) olmak üzere k de flke aras dak do rusal lflkye at deklem üzerde yo ulaflm flt r. Buda sorak kesmde, k de flke aras dak do rusal lflk dereces celeecektr. Bast Do rusal Korelasyo Katsay s k cel de flke aras dak lflk dereces ve yöüü belrlemek ç r le gösterle Pearso korelasyo katsay s veya bast korelasyo katsay s hesapla r. Bu katsay, - r aral da de er al r. Poztf korelasyo katsay s de flkelerde br de er artt da d er de de er artt ; egatf korelasyo katsay s se de flkelerde br de er artarke d er de er azald belrtr. r = ± oldu uda, söz kousu k de flke mükemmel/tam lflk çdedr. Bua karfl l k r = 0 olmas k de flke hçbr lflk çde olmad klar gösterr. r -0,50 ya da +0,50 etraf da br de er ald da se de flkeler aras da orta düzeyl br lflk varl da söz edlr. Korelasyo e az k de flke ç ta mlasa da, br de flke keds le korelasyou + dr. Korelasyo katsay s r belrtt lflk derece ve yöü fekl 5.3 te özetlemektedr.

13 8 statstk-ii fekl 5.3 Pearso Korelasyo Katsay s lflk Yö ve Dereceler Tam Mükemmel Negatf (Ters Yölü) lflk Korelasyo Yok Tam Mükemmel Poztf (Ay Yölü) lflk Güçlü Negatf Zay f Negatf lflk Zay f Poztf lflk Güçlü Poztf - 0 Bast do rusal korelasyo katsay s k de flke aras dak do rusal lflk dereces ve yöüü belrler. X ve Y gb k de flke aras dak bast do rusal korelasyo katsay s farkl formüller yard m yla hesaplaablr. Bularda brcs S x, S y s ras yla X ve Y de flkeler stadart sapmas olmak üzere, X ve Y de flkeler aras dak. Pearso ( X X)( Y Y) korelasyo katsay s r = = olarak hesaplamas d r. kc olarak ( ) sxsy ( X X)( Y Y) do ruda k de flkee lflk verlerde hareketle r = = ( X X) ( Y Y) = = formülüyle hesaplaablr. Korelasyo katsay s hesaplarke yararlaablece mz br d er formül se flu flekldedr: r=+ b b yx xy Formüldek; b yx = Y X e göre regresyo katsay s b xy = X Y ye göre regresyo katsay s d r. Burada dkkat edlmes gereke okta regresyo katsay lar poztfse korelasyo katsay s poztf, e er her k regresyo katsay s flaret egatfse korelasyo katsay s da egatf olacakt r. ÖRNEK 6 Örek dek X ve Y de flkelere lflk Pearso korelasyo katsay s stadart sapma de erler kullaarak buluuz. X ve Y de flkeler stadart sapmalar kullaarak korelasyo katsay s - hesaplaablmes ç zleye tabloda verld gb s ras yla (X - X ), (Y - Y ) ve (X - X ) (Y - Y ) hesaplamas gerekr.

14 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 9 Müflter Cro X -X Y -Y (X -X )(Y -Y ) X Y ,058 76,355-33, -,9 3736,99 -, -8,9 83,09 6,9-6,9-47, -9, -37,9 73,89-5, -34,9 56,99 5,9 7, 59,89 6,9 47, 34,99 6,9 57, 964,99 4,9 87, 68,79 7,9, 37,59 339,0 = 0, ( X X)( Y Y) = 339, 0 olarak hesaplam flt r. Korelasyo katsay s ç = gerekl ola X ve Y de flkeler stadart sapmalar s x =,058 ve s y = 76,355 d r. Bu de erler formülde yere koularak buluur. Hesaplaa bu korelasyo katsay - s a göre; k de flke aras da güçlü ay yölü (poztf) lflk oldu u söyleeblr. Örek dek X ve Y de flkelere lflk Pearso korelasyo katsay s afla dak efltl kullaarak hesaplay z. SIRA S ZDE r = ( X X)( Y Y) = ( X X) ( Y Y) = = Belrllk Katsay s De flkeler aras dak lflk dereces korelasyo katsay s yard m yla belrlerke bu katsay de ere ba l olarak zay f, orta ve güçlü lflk gb telemeler söz kousu olur. Ba ml de flkede meydaa gele de flmeler e kadar ba- ms z de flkedek de flmelerle aç klaablece belrlemek amac yla belrllk katsay s kula l r. Belrllk katsay s Pearso korelasyo katsay s r kares al mas le hesapla r ve 0 le aras da de erler al r, r sembolü le gösterlr. Belrllk katsay s, Ba ml de flkede meydaa gele de flmeler e kadar ba ms z de flkedek de flmelerle aç klaablece gösterr. 0 r r = se Y dek de flm %00 üü X ba ms z de flke taraf da aç klaabld kabul edlr. r = 0 se X ba ms z de flke, Y ba ml de flke hç aç klayam yor demektr.

15 30 statstk-ii ÖRNEK 7 Örek de verle gülük elde edle cro de flke e kadarl k br bölümüü gülük müflter say s le aç klaablece buluuz. Bu soruu cevaplamas ç korelasyo katsay de ere htyaç bulumaktad r. Bu de erde öcek örekte r=0,908 olarak bulumufltu. Bu say kares belrllk katsay s olaca da (0,908) =0,8 olarak hesapla r. Söz kousu ma aza gülük crosua, gülük müflter say s etks %8 oldu u söyler. Gerye kala %8 se müflter say s a ba l olamaya k s md r. Korelasyo Katsay s Alaml l k Test Evre korelasyo katsay s ρ (ro) le sembolze edlr. Evre korelasyo katsay s ρ=0 ola br aa kütlede seçle öreklemler r katsay lar ormal da l ma sahptr. Bu edele, H 0 : ρ= 0 H : ρ 0 hpotezler test edlr. Hpotezler kurulmas ard da öreklem korelasyo katsay s yard m yla r t = statst hesapla r. r Daha sora belrlee alam düzey ve - serbestlk derecese göre t tablosuda krtk de er belrler. Belrlee bu krtk de er yard m yla (-krtk de er, +krtk de er) aral ta mla r. Hesaplaa t de er, söz kousu bu aral kta yer ald da H 0 hpotez kabul, bu aral kta yer almad da se reddedlr. H 0 reddedlmes alam hesaplam fl korelasyo katsay s statstksel olarak alaml oldu udur. ÖRNEK 8 Örek de verle probleme lflk olarak aa kütle korelasyo katsay s de er 0 a eflt mdr? %5 alam düzeye göre test edz. lk olarak H 0 : ρ = 0 (Evre korelasyou 0 d r.) H : ρ 0 (Evre korelasyou 0 de ldr.) hpotezler yaz l r. Daha sora tabloda gerekl krtk de erler elde edlr. t da l m tablosu yard - m yla %5 alam düzey ve -=0-=8 serbestlk dereces ç elde edle krtk de- erler le belrlee H 0 hpotez red bölgeler fekl 5.4 tek gbdr.

16 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 3 fekl 5.4 S f r Hpotez Red Bölges S f r Hpotez Kabul Bölges S f r Hpotez Red Bölges %5 Alam Düzey ve 8 Serbestlk Dereces le Korelasyo Katsay s Alaml l k Testde H o Kabul ve Red Bölgeler Souda test ç gerekl ola gözlemlee t statst de er hesapla r. r 0, Bu de er t = = 6, 9 olarak buluur. Hesaplaa bu 6,9 r 0, 908 de er fekl 5.4 te gösterle krtk de erler aral da, ya H 0 kabul bölgesde yer almad da lglele de flkeler aras dak korelasyo s f rd r. hpotez reddedlr. De flkeler aras da aa kütle düzeyde de lflk bulumaktad r. 0 kfllk br s ftak ö recler statstk ve matematk derslerdek baflar pualar tabloda verlmfltr. Bu s ftak ö recler statstk ve matematk derslerdek baflar sevyeler aras da br lflk olablece düflüülmektedr. Bu lflk belrlemes ç, ö recler zleye tabloda verle statstk ve matematk s avlar baflar pualar celeecektr: 3 SIRA S ZDE Ö rec statstk Baflar Pua Matematk Baflar Pua a. statstk ve matematk dersler baflar pualar yla lgl korelasyo katsay s - hesaplay z. b. statstk ders baflar pua e kadarl k k sm matematk ders baflar pua taraf da aç klaablece hesaplay z. c. Korelasyo katsay s statstksel olarak alaml olup olmad %5 alaml l k düzeye göre test edz.

17 3 statstk-ii Özet A MAÇ k de flke aras dak lflky aç klaya do rusal model kurmak Regresyo aalz lflk çde bulua de flkeler aras dak lflk do as belrlemek ve bu lflky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato) ya da kestrmler (predcto) yapablmek amac yla kulla la statstksel br tekktr. Regresyo aalzde ba ml de flke üzerde olufla de flmler aç klamas a çal fl l r. Regresyo aalz yal zca br aç klay c de flkele yap lmas düflüülemez. Gerçekte de regresyo aalz brde fazla ba ms z de flke üzerde de yap lablr. Br ba ms z de flke olmas durumuda bast do rusal regresyo aalz; brde fazla ba ms z de flke olmas durumuda çoklu do rusal regresyo aalz söz kousu olmaktad r. X, Y de flkeler aras dak do rusal lflk fadesde kulla la efltl e do rusal regresyo model ya da k saca regresyo deklem der. Do rusal regresyo deklem tahm ç kulla lable farkl tekkler aras da e çok ble e küçük kareler tek- dr. Bast do rusal regresyo model, A MAÇ k de flke aras dak lflk dereces belrlemek k ya da daha fazla ve e az aral kl ölçe e uygu fleklde ölçümlemfl de flkeler aras dak lflk dereces belrlemek ç r le gösterle Pearso korelasyo katsay s le hesapla r. Korelasyo katsay s, - r aral da de er al r. Poztf korelasyo katsay s de flkelerde br de er artt da d er de de er artt ; egatf korelasyo katsay s se de flkelerde br de er artarke d er de- er azald belrtr. r = ± oldu uda, söz kousu k de flke mükemmel/tam lflk çdedr. Bua karfl l k r = 0 olmas k de flke hçbr lflk çde olmad klar gösterr. Y = α + βx + ε olarak yaz l r. E küçük kareler tek de, bast do rusal regresyo modelde yer ala aa kütle parametreler α ve β ç eldek ver yard m yla Y b X XY X Y a = ve b = X ( X) tahmler hesapla r. Böylelkle bulua a ve b parametre tahmler do ru deklemde yerlere koarak bast do rusal regresyo deklem Ŷ = a + bx olarak yaz l r.

18 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 33 Kedmz S ayal m. Afla daklerde hags de flkeler aras dak lflk yap s hakk da geel br bak fla mka sa lar? a. Hstogram b. Serplme dyagram c. Frekas polgou d. Normal e r e. Pasta grafk. Hag yaklafl mda ba ml ve ba ms z de flkeler aras dak do rusal lflk matematksel foksyou ortaya komaya çal fl l r? a. Hpotez test b. Aral k Tahm c. Regresyo aalz d. Korelasyo aalz e. Varyas aalz 3. Ba ml de flkele (Y ) gözlem de erleryle regresyo deklemde hesaplaa (Ŷ ) de er aras dak farka e ad verlr? a. Hata Term b. Varyas c. Korelasyo d. Katsay e. Parametre 4. Ŷ = + 5X Regresyo deklemde (b) regresyo katsay s afla daklerde hagsde do ru olarak fade edlmfltr? a. X dek br brmlk de flm Y de 5 brmlk de flme ede olur. b. X dek br brmlk art fl Y de brmlk art fla ede olur. c. X de brmlk azalma Y de brmlk azal fla ede olur. d. X de br brmlk de flm Y de brmlk de flme ede olur. e. X de erdek de flm Y de ere etks yoktur. Afla dak tabloyu celeyz. 5-6 ve 7. Sorular afla dak blglere göre cevaplad r lacakt r. X Y Ŷ =a+bx Yukar dak tablodak verlerde oluflturula regresyo modelde a = 6 oldu uda, regresyo do rusuu e m afla daklerde hagsdr? a. - b. 0 c. d. e Tablo verlere göre HKT de er edr? a. 4,6 b. 6,8 c. 0 d. -6,8 e. -4,6 7. Tablo verlere göre tahmler stadart hatas (σ) edr? a. 3, b. 6,4 c. 3 d. 6 e. 0

19 34 statstk-ii 8. Afla daklerde hags serplme dyagram öre dr? a. b Br araflt rmada X ve Y de flkeler ç gözlem de- erler afla dak tabloda verlmfltr. X Y c. d X ve Y de flkeler aras dak korelasyo katsay s edr? a. -0,9 b. -0,45 c. 0,0 d. 0,55 e. 0, Sorudak gözlem verlerde hareketle hesaplaacak belrllk katsay s edr? a. 0,8 b. 0, c. 0. d. 0,4 e. 0,77 e

20 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 35 Kedmz S ayal m Ya t Aahtar. b Ya t z yal fl se Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz.. c Ya t z yal fl se Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 3. a Ya t z yal fl se Bast Do rusal Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 4. a Ya t z yal fl se Bast Do rusal Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 5. d Ya t z yal fl se Bast Do rusal Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 6. c Ya t z yal fl se Varyas (σ ) Tahm kousuu yede gözde geçrz. 7. e Ya t z yal fl se Bast Do rusal Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 8. d Ya t z yal fl se Bast Do rusal Regresyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 9. e Ya t z yal fl se Korelasyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. 0. e Ya t z yal fl se Korelasyo Aalz kousuu yede gözde geçrz. S ra Szde Ya t Aahtar S ra Szde Verlere lflk serplme dyagram çzld de afla da verle grafk elde edlr Serplme dyagram dak oktalar do rusal e lm çde olduklar gözlemektedr. Öerle efltlk yard - m yla b katsay s hesaplaablmes ç öcelkle x ve y de flkeler ortalamalar bulumal d r. x X = = = = = 5 y Y = = = = = 5 Ard da ara hesaplamalar ç gereke afla dak tablo oluflturulur. Tablou alt dak say lar lgl sütular toplamlar oldu u uutulmamal d r. Tabloda elde edle de erlerle ( X X)( Y Y) b = = 85 = = 06, 730 ( X X) = olarak buluur. Daha sora bu b de er kulla larak y b x 80 ( 0, 6).( 300) a = = =, 089 olarak elde edlr. X Y X -X Y -Y (X -X )(Y -Y ) (X -X ) Ŷ = a + bx =, ,6X bçmde regresyo deklem elde edlr. Bu do ru serplme dyagram üzerde gösterld de se zleye grafk elde edlr y=a+bx ^ y

21 36 statstk-ii S ra Szde Efltl sa taraf dak de erler elde edlmes amac yla zleye tablo oluflturulur. X lgl de erler efltlkte yerlere koarak olarak buluur. S ra Szde 3 a. Pearso korelasyo katsay s hesaplamas ç kulla lacak r = Y X -X Y -Y (X -X )(Y -Y ) (X -X ) (Y -Y ) -33, -,9 3736,99 095,6 746,4 -, -8,9 83,09 488,4 687,4 6,9-6,9-47, 47,6 383,6-9, -37,9 73,89 364,8 436,4-5, -34,9 56,99 8,0 8,0 5,9 7, 59,89 34,8 734,4 6,9 47, 34,99 47,6 8,4 6,9 57, 964,99 85,6 360,4 4,9 87, 68,79 60,0 7586,4 7,9, 37,59 778,4 566,4 339, 0 r = = 0908, ( 3990, 90).( 5470, 90) ( X X)( Y Y) = ( X X) ( Y Y) = = 339,0 3990, ,90 formülüe uygu olarak, gerekl ara de erler çere br tablo oluflturulur. X Y , r = = = 0, , 5x557, , 073 Korelasyo de ere göre; k de flke aras da ay yölü güçlü korelasyo oldu u söyleeblr. b. Belrllk katsay s korelasyo katsay s de er kares ola (0,947)=0,897 olacakt r. Dolay s yla bu s ftak ö recler statstk dersde elde ettkler baflar pualar a matematk dersde elde ettkler baflar pualar etks %89,7 oldu u söyleeblr. Bu, oldukça büyük br de er oldu uda, bu s ftak 0 ö rec matematk dersdek baflar lar statstk dersdek baflar lar a olumlu (poztf) yöde güçlü br etks oldu u söyleeblr. c. H 0 : ρ = 0 H : ρ 0 hpotezler kurulur. X -X Y -Y (X -X )(Y -Y ) (X -X ) (Y -Y ) 6,5 0,5 33,5 4,5 40,5,5 5,5 78,5 3,5 40,5 6,5 5,5 675,75 70,5 650,5-8,5-4,5 3,5 7,5 0,5-8,5-4,5 698,5 8,5 600,5,5-9,5-4,5,5 90,5-3,5-4,5 50,75,5 0,5-43,5-44,5 935,75 89,5 980,5,5 30,5 655,75 46,5 930,5 6,5 5,5 55,75 7,5 40,5 469,5 440,5 557,5 r 0947, , t = = = = 83468, r 0, 897 0, 309 buluur. 8,3468 olarak hesaplaa t de er fekl 5.5 tek s f r hpotez red bölgesde kald da, lglele de flkeler aras dak korelasyo s f rd r hpotez reddedlr. Baflka br fadeyle k de flke aras da statstksel olarak alaml br lflk söz kousudur.

22 5. Üte - Regresyo ve Korelasyo Aalz 37 Yararla la ve Baflvurulablecek Kayaklar Corllo, Perre-Adré ve Matzer-Løber, Érc (007), Regresso Theore et Applcatos, Sprger-Verlag Frace, Pars. Çömlekç, Necla (994), Temel statstk lke ve Tekkler, Blm Tekk Yay ev Yay, Eskflehr. Durucasu, Hasa (003), Excel le Matrs Uygulamalar, Brlk Ofset Yay, Eskflehr. f klar, Emel (000), Regresyo Aalze Grfl, Aadolu Üverstes Yay, Eskflehr. Yüzer, Al Fuat (996), Olas l k ve statstk, Aadolu Üverstes Yay, Eskflehr.