İST65-0-02-OLASILIK I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK). A ve B olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise, bu olayların bağımlı olduklarını tanıtlayınız. A ve B ayrık olaylar oldukları için (A B) dir. Bu durumda, P ( ) 0 olur. 0 ve 0 ise, 0 olarak elde edilir. Buna göre, yazılabilir. Olaylar bağımlıdır. 2. A, B ve C ayrık olmayan olaylar ise, yazılabileceğini gösteriniz. P [ (A B/C) ] P (A/C) + P (B/C) P [ (A B/C) ] A, B ve C ayrık olmayan olaylar ise, (A B C) dir. Bu koşul altında aşağıdaki işlemler gerçekleştirilir: P [ (A B/C) ] P [ (A B) C ] P (C) P [ (A C) (B C) ] P (C) P (A C) + P (B C) P [ (A C) (B C) ] P (C) P (A C) P (B C) P (A B C) + P (C) P (C) P (C) P (A/C) + P (B/C) P [ (A B/C) ] 3. P (A/B) > ise, P (B/A) > olduğunu gösteriniz. Koşullu olasılığın tanımından, P (A/B) P (B/A) P (A/B) () P (B/A) (2) yazılabilir. () ve (2) denklemlerinden P (A/B) P (B/A) P (A/B) P (B/A) (3) elde edilir. P (A/B) > ise, denklem (3) ten, bulunur. P (A/B) > P (B/A) > P (B/A) > HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ
İST65-0-02-OLASILIK I 4. A ve B olayları, birbirinden bağımsız ve ayrık olaylar olarak tanımlansın. Bu durumda, bu olaylardan en az birisinin ortaya çıkması olasılığının 0 a eşit olduğunu gösteriniz. A ve B ayrık sonuçlar olduğundan 0 dır. A ve B birbirinden bağımsız olaylar oldukları için, dir. A ve B birbirinden bağımsız ve ayrık olaylar olduğundan, 0 yazılabilir. Bu durumda, 0 ya da 0 ya da hem 0 hem de 0 olmalıdır. 5. Bir denemeye ilişkin A ve B olayları için, 3, P (B/A) 2 ve P (A/B) 3 tür. (a) P (A/B) 2 eşitliğinin yazılıp yazılamayacağını gösterelim. 3 (b) A ve B bağımsız olaylar mıdır? (a) Koşullu olasılık tanımından, elde edilir. Bu durumda, P (A/B) P (B/A) P (A/B) ( 3 + 2 6 2 P (A B) ) 2 3 3 2 6 6 3 [ + P (A B) ] (b) A ve B olaylarının birbirinden bağımsız olmaları için eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, 3 2 ve 6 6 olduğundan dolayı, eşitlik sağlanmaktadır. A ve B olayları birbirinden bağımsızdır. 6. Bir para ilk yazı ya da dört tura arka arkaya gelinceye dek atılıyor. (a) Örneklem uzayını yazınız. (b) İlk yazının bir turadan ya da üç turadan sonra gelmesi olasılığını bulunuz. (c) Üç ya da daha çok tura geldiğinde oyuncu 30 TL kazansın, aksi durumda 25 TL kaybetsin. Bu durumda, oyuncunun beklenen kazancını ya da kaybını bulunuz. (a) S Örneklem uzayı, S {Y, T Y, T T Y, T T T Y, T T T T } olarak elde edilir. HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 2
İST65-0-02-OLASILIK I (b) A {İlk yazının bir turadan ya da üç turadan sonra gelmesi} {T Y, T T T Y } olduğuna göre; P (T Y ) + P (T T T Y ) 2 2 + 2 2 2 2 5 6 (c) A {Üç ya da daha çok tura gelmesi} {T T T Y, T T T T } olarak tanımlansın. P (T T T Y ) + P (T T T T ) 2 2 2 2 + 2 2 2 2 6 + 6 8 olarak elde edilir. Bu durumda, beklenen kazanç: Beklenen Kazanç 30 25 30 8 25 7 8 8.25TL olarak elde edilir. Negatif bir beklenen kazanç mevcuttur. Uzun vadede oyunun oynanması, oyuncunun zarar etmesine neden olacaktır. Oyuncu, ortalama olarak 8.25 TL kaybedecektir. 7. Bir torbada beş siyah ve altı kırmızı top vardır. (a) Bu torbadan, çekileni yerine koyma koşulu altında, ardı ardına üç top çekiliyor. i. İlk çekilen topun kırmızı, ikinci çekilen topun siyah ve üçüncü çekilenin kırmızı olması olasılığını bulunuz. ii. İki kırmızı, bir siyah top çekme olasılığını bulunuz. (b) Bu torbadan, çekileni yerine koymama koşulu altında, ardı ardına iki top çekiliyor. i. Birinci topun kırmızı, ikinci topun siyah olması olasılığını bulunuz. ii. Bir kırmızı, bir siyah top çekme olasılığını bulunuz. iii. İki siyah top çekme olasılığını bulunuz. S {Siyah top çekme} ve K {Kırmızı top çekme} olayları olarak tanımlansın. (a) i. Çekileni yerine koyma koşulu altında, P (S) 5 ve P (K) 6 dir. Buna göre, elde edilir. P (KSK) 6 5 6 80 33 ii. A {İki kırmızı, bir siyah top çekme} {KSK, SKK, KKS} dir. Buna göre, P (KSK) + P (SKK) + P (KKS) 6 5 6 + 5 6 6 + 6 6 5 540 33 ya da ( 3! ) 6 }! {{ 2! } 5 6 540 33 bir siyah, iki kırmızının düzen sayısı (b) i. P (KS) 6 5 0 30 0 ii. A {Bir kırmızı, bir siyah top çekme} {KS, SK} dir. Buna göre, ya da P (KS) + P (SK) 6 5 0 + 5 6 0 60 0 }{{} 2! 6 5 0 60 0 bir siyah, bir kırmızının düzen sayısı HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 3
İST65-0-02-OLASILIK I iii. P (SS) 5 4 0 20 0 8. Bir ailede n sayıda çocuk vardır. Olaylar: A {Ailede iki cinsiyetten çocuk vardır.} B {Ailede en çok bir kız vardır.} olarak tanımlansın. (a) n 2 için, A ve B olayları birbirinden bağımsız mıdır? (b) n 3 için, A ve B olayları birbirinden bağımsız mıdır? (a) n 2 ise, S örneklem uzayı S {KK, EK, KE, EE} olur. Yukarıda tanımlanan A ve B olayları ve olasılıklar aşağıdaki gibidir: A {KE, EK}, P (KE) + P (EK) 2 2 + 2 2 2 B {KE, EK, EE}, P (KE) + P (EK) + P (EE) 2 2 + 2 2 + 2 2 3 4 Ayrıca, (A B) {KE, EK}, P (KE) + P (EK) 2 2 + 2 2 2 olarak elde edilir. A ve B olaylarının birbirinden bağımsız olmaları için, eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, 2 3 4 3 8 ve 2 olduğundan dolayı, eşitlik sağlanmamaktadır. A ve B birbirlerine bağımlı olaylardır. (b) n 3 ise, S örneklem uzayı S {KKK, KEK, KKE, EKK, EEE, EKE, EEK, KEE} olur. Yukarıda tanımlanan A ve B olayları ve olasılıklar aşağıdaki gibidir: Ayrıca, A {KEK, KKE, EKK, EKE, EEK, KEE} P (KEK) + P (KKE) + P (EKK) + P (EKE) + P (EEK) + P (KEE) 6 8 B {EEE, EKE, EEK, KEE} P (EEE) + P (EKE) + P (EEK) + P (KEE) 4 8 (A B) {EKE, EEK, KEE}, P (EKE) + P (EEK) + P (KEE) 3 8 olarak elde edilir. A ve B olaylarının birbirinden bağımsız olmaları için, eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, 6 8 4 8 3 8 ve 3 8 olduğundan dolayı, eşitlik sağlanmaktadır. A ve B birbirinden bağımsız olaylardır. 9. den 20 ye kadar tamsayılara bunların büyüklükleriyle orantılı olasılıklar bağlanmıştır. HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 4
İST65-0-02-OLASILIK I (a) Olasılıkları bulunuz. (b) 2 ya da 8 çekildiği bilindiğine göre, 2 nin koşullu olasılığını bulunuz. (a) S örneklem uzayı, S {, 2, 3,..., 20} dir. Örneklem uzayı noktalarının olasılıkları, bu noktaların büyüklükleri ile orantılı oldukları için aşağıdaki gibi ifade edilir: Buna göre, P (i) k i, i, 2, 3,..., 20 için. 20 i P (i) k + k 2 + k 3 +... + k 20 k( + 2 + 3 +... + 20) k ( 20 2 22 ) k 20 elde edilir. Bu durumda, örneklem uzayı noktalarının olasılıkları aşağıdaki gibi bulunur: P (i) i i, 2, 3,..., 20 için. 20 (b) P [ 2/(2 8) ] P [ 2 (2 8) ] P (2 8) 20 2 2 20 + 8 20 5 P (2) P (2) + P (8) NOT: A {2 çekme} {2} A 2 {2 ya da 8 çekme} {2, 8} A A 2 {2} 0. Bir elli lira ve bir yüz lira birlikte atılıyor. (a) Elli lira yazı geldiğine göre, her ikisinin de yazı gelmesi olasılığını bulunuz. (b) En az bir yazı geldiği bilindiğine göre, her ikisinin de yazı gelmesi olasılığını bulunuz. S örneklem uzayı, S {Y T, T Y, Y Y, T T } dir. Buna göre, aşağıdaki olaylar tanımlansın: A {Elli liranın yazı gelmesi} {Y T, Y Y } A 2 {En az bir yazı gelmesi} {Y T, T Y, Y Y } A 3 {Her ikisinin de yazı gelmesi} {Y Y } (a) (b) elde edilir. elde edilir. P (A 3/A 2) P (A 3/A ) P (A3 A2) P (A 2) P (A3 A) P (A ) P (Y Y ) P (Y T ) + P (Y Y ) 4 4 + 4 2 P (Y Y ) P (Y T ) + P (T Y ) + P (Y Y ) 4 + + 3 4 4 4 HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 5
İST65-0-02-OLASILIK I. Bir ofiste 00 hesap makinesi vardır. Bu makinelerin bazıları kollu, diğerleri elektrikli ve bazıları yeni, diğerleri kullanılmıştır: E (Elektirikli) Kol (Kollu) Toplam Y (Yeni) 40 30 Kul (Kullanılmış) 20 0 30 Toplam 60 40 00 Bir kişi, bir makineyi rastgele seçiyor ve yeni olduğunu görüyor. Bu makinenin, elektrikli olması olasılığını bulunuz. Koşullu olasılık tanımından, P (E/Y ) P (E Y ) P (Y ) 40 00 00 4 7 2. kişilik bir sınıfta 0 öğrenci matematik dersinde, 5 öğrenci fizik dersinde, 5 öğrenci de hem matematik hem de fizik dersinde başarısızdır. (a) Matematik dersinde başarısız olan bir öğrencinin fizik dersinde başarılı olması olasılığını bulunuz. (b) Matematik dersinde başarısız olma ile fizik dersinde başarısız olma durumlarının birbirinden bağmsız olup olmadıklarını inceleyiniz. M {Matematik dersinde başarısız olma} ve F {Fizik dersinde başarısız olma} olayları olarak tanımlansın. (a) olarak elde edilir. P (M) 0 0 P (M) P (M) 60 P (F ) 5 5 P (F ) P (F ) 55 P (M F ) 5 P (F /M) P (F M) P (M) P (M) P (M F ) P (M) 0 5 0 (b) M ve F olaylarının birbirinden bağımsız olmaları için P (M F ) P (M)P (F ) eşitliği sağlanmalıdır. Buna göre, P (M)P (F ) 0 5 50 ve P (M F ) 5 4900 olduğundan dolayı, eşitlik sağlanmamaktadır. M ve F birbirlerine bağımlı olaylardır. 2 3. Bir torbada 0 siyah, 8 kırmızı top vardır. Bu torbadan toplar, çekileni yerine koymama koşulu altında, birer birer çekiliyor. İlk kırmızı topun beşinci çekilişte çıkması olasılığını bulunuz. Bu durumda, ilk dört çekilişte siyah top, beşinci çekilişte kırmızı top çıkmalıdır. olur. P (SSSSK) 0 8 9 7 8 6 7 5 8 4 HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 6
İST65-0-02-OLASILIK I 4. A, B ve C tam bağımsız olaylar ise, B ile (A C) olaylarının da bağımsız olduklarını gösteriniz. A, B ve C tam bağımsız olaylar olsun. Bu durumda, P (A B C) P (C) P (A B C) P (C) yazılabilir. B ile (A C) olaylarının bağımsız olmaları için P [ B (A C) ] P (A C) eşitliğinin sağlanması gerekmektedir. Buna göre, (4) ve (5) denklemlerinden P [ B (A C) ] P [ B (A C) ] P (C) (4) P (A C) P (A C) P (C) (5) P [ B (A C) ] P (A C) (6) elde edilir. Denklem (6), B ve (A C) olaylarının da birbirinden bağımsız olduklarını göstermektedir. HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ, İSTATİSTİK BÖLÜMÜ 7