OPTİMİZASYON Bir işletmede, tasarımda, işletilmesinde, fabrika makina ve techizatların analizinde, endüsstriyel proseslerde, üretimin planlanmasında, herhangi bir harcamanın yapılmasında ve gelirin sağlanmasında hemen hemen bütün problemler birkaç değişkene ait fonksiyonun en büyük veya en küçük değerinin bulunmasına indigenebilir. Buna maksimizasyon ve minimizasyon denilmektedir. Kısıtlılık hallerinde maksimizasyon ve minimizasyon aranıyorsa buna optimizasyon denir. Optimizasyon, belirli şartlar altında, bir amaca yönelik olarak en uygun çözümü bulmak ve bu çözümü elde edebilmek için durumlar setinin bulunması işlemidir.
Optimizasyon Probleminin Özellikleri Optimizasyon probleminin bir amacı olmalıdır. Problem girdilerinin tümünün özellikleri belirlenmiş olmamalı, en az bir veri kesin olarak tarif edilmemiş ve elastik olmalıdır. Bulunan çözüm, verilen şartlar içerisinde, alternatifler arasındaki en iyi çözüm olacaktır
Optimizasyonun Bazı Uygulama Alanları; İşletme ve Teknik Projelerin Seçimi Minimum maliyet ve maksimum kar elde etmek için verilen sınırlar içerisinde, sabit miktarda üretim yapmak için bir ünite ya da komple bir fabrikanın dizaynı İşçilerin verimliliğinin artması için duvarların, renklerinin, müziğin ısı ve ışığın seçimi, İşletme masraflarını azaltmak için tamir-bakım ve yenileme yatırımlarının yapılması, Ulaşım giderlerinin azaltılması için dağıtım merkezlerinin kurulması, Etkin inşaat ve imalat faaliyetlerinin planlanması ve yürütülmesi
Kullanılan Matematiksel Kavramlar; Fonksiyonlar; 1)Lineer Fonksiyonlar: Y= a+bx şeklinde verilen fonksiyonlara lineer fonksiyonlar denir. Lineer fonksiyonlar düzlemde birer doğru ile ifade edilirler.
Bir Doğrunun Eğimi, İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğru Denkleminin Çıkarılması Düzlem üzerindeki y=a+bx doğrusunun herhangi iki noktasının koordinatları P1(x 1,y 1 ) ve P1(x 2,y 2 ) olsun. Bu iki noktanın koordinatları y=a+bx eşitliğini sağlayacağından y1=a+bx 1 y2=a+bx 2 yazılabilir. Doğrunun eğimi b, bu iki eşitliğin çözümüyle elde edilir. b y x 1 1 y x 2 2
İki nokta arasındaki uzaklık Pisagor teoremi ile; d ( x y 2 2 1 x2 ) ( y1 2 ) Bir doğru denkleminin diğer şekillere dönüştürülebilen genel ifadesi; Ax+Bx+C dir.bu denklem; A C y x B B şeklinde yazılabilir. Burada A/B doğrunun eğimini, C/B is y eksenini kestiği noktaları göstermektedir
Çok Değişkenli Lineer Denklemler: Birden çok değişkeni içeren lineer denklemlerdir. y a1x1 a2x2 a3x3... a n x n bağıntısında a1, a2, a3, an notasyonları birer sabiti ve y, x1, x1, x3,.., xn birer değişkeni göstermek üzere lineer bir bağıntı söz konusudur.
1)Lineer Olmayan Fonksiyonlar: a)parabol 2 y ax bx c b)polinomial Fonksiyonlar n n1 n2 y an x an 1 x an2x... a1x a c)üssel Fonksiyonlar y ab x d)logaritmik Fonksiyonlar 0 y log a x
Türev; Bir fonksiyonun bir noktasındaki teğetinin eğimi fonksiyonun o noktadaki türevidir. y' f '( x) lim x0 y x İntegral; Türev işleminin ters işlemine integral denir.
Doğrusal Programlama; Yöneylem araştırmasının önemli bir matematik aracını, doğrusal programlama metodu oluşturmaktadır. Doğrusal Programlama metodu, optimum kılma amacı ve sınırlayıcı şartların doğrusal fonksiyon ile ele alınması varsayımına dayanmaktadır. Ekonomik kararın optimum kılınması, mevcut şartlar altında ekonomik amaca en iyi şekilde ulaşmasının sağlanmasıdır. Burada ekonomik kararın amacı ve sınırlayıcı şartları matematik eşitlik ve eşitsizlikler yardımıyla doğrusal fonksiyon şeklinde formüle edilecektir.
Doğrusal Programlamanın Biçimsel Yapısı; Doğrusal Programlamanın biçimsel yapısını genel olarak, amaç fonksiyonu, sınırlayıcı şartlar ve değişkenlerin negatif olmama şartlarından ibaret olan eşitlik ve eşitsizlikler oluşturmaktadır.
Doğrusal Programlama Modelinin Çözümü; Doğrusal programlama modeli genel olarak, grafik metodu ve simpleks metodu ile çözülmektedir. Her iki metod da şu esasa dayanmaktadır; bir doğrusal programlama probleminin optimum çözümü geçerli çözüm alanının köşeleri veya çözüm alanının yatay veya dikey eksenle kesiştikleri noktalar olabilir.
1. Grafik Metodu Grafik Metodu, iki boyutlu yani iki değişkenli doğrusal programlama problemleri çözülebilir. Bir Maksimum Model Örneğinin Grafik Metod ile Çözülmesi: Z(kar)=500X 1 +800X 2 maksimum A 5X 1 +2X 2 24 B X 1 +5X 2 24 C 6X 1 +6X 2 36 X 1, X 2 0
A kısıtı için; 5X 1 +2X 2 = 24 B kısıtı için; X 1 +5X 2 = 24 C kısıtı için; 6X 1 +6X 2 =36 X 1 =0 için X 2 =12 X 2 =0 için X 1 =24/5 X 1 =0 için X 2 =24/5 X 2 =0 için X 1 =24 X 1 =0 için X 2 =6 X 2 =0 için X 1 =6
B noktası, X 1 +5X 2 = 24 ile 6X 1 +6X 2 =36 eşitliklerinin kesişmesiyle elde edilecektir; X 1 =3/2 ve X 2 =9/2 C noktası, 5X 1 +2X 2 = 24 ile 6X 1 +6X 2 =36 eşitliklerinin kesişmesiyle elde edilecektir; X 1 =4 ve X 2 =2
2. Simpleks Metodu; Bir doğrusal programlama probleminin değişken sayısı ikiden fazla olduğu takdirde, problemin grafik ile çözümü mümkün değildir. Çeşitli sayısal metodlardan en tanınmış ve en yaygın kullanılanı Dantzig tarafından geliştirilen Simpleks metodudur. Simpleks metodu, çok sayıda değişkeni içeren doğrusal programlama problemleri için genel nitelikte bir çözüm metodudur. Simpleks metodu, köşegen teoremine dayanmaktadır. Buna göre çözüm alanının en azından bir noktasında optimum bulunmak zorundadır. Optimumu belirleyebilmek için bütün köşelerin bilinmesi gerekli değildir.
SORU 1 Mühendis Soner, sıhhı tesisat malzemeleri satışı yapacak bir adet mağza açarak yıllık ortalama %25 karla çalışabileceğini beklemektedir. Eğer ilk olarak mağzasına 500 YTL sermaye koyarsa 18 yıl sonra 30.000 YTL lik yatırımın ne kadarını karşılayabilir. 1. Yıl P(1+i) 2. Yıl P(1+i) P(1+i) N. Yıl P(1+i) N F=500(1+0.25) 18 =27.756 YTL 18 yıl sonra 27.756-30.000= 2244 YTL ek sermaye gerekli
SORU 2 Harita mühendisi bayan NEVİN yapmış olduğu 20 ölçme işlemi için 50 YTL ve 50 ölçme işlemi için 80 YTL almıştır. Bayan NEVİN in gelir fonksiyonunu bulunuz. 20 ölçüm 50 YTL P1(20,50) 50 ölçüm 80 YTL P2(50,80) olmak üzere iki nokta verilmiş. Y = a + bx m = (y 1 -y 2 )/(x 1 -x 2 ) = (50-80)/(20-50) = 1 olarak eğim bulunur. Doğru denklemi Gelir 1 = (y-50) / (x-20) 30 Y = 30 + 1x olarak bulunur Ölçüm
SORU 3 Denizli Belediyesi dikdörtgen şeklinde 15.010 m 2 büyüklüğünde bir alanı park yapmak istemektedir. Parkın uzun kenarı boyunca 10 m, kısa kenarı boyunca 6 m genişliğinde yaya yolu yapılacaktır. Park boyutları ne olmalıdırki park alanı maksimum olsun b PARK a Park alanına S dersek S=axb= 15010 m 2 S=(a-20)x(b-12) maks b=15010/a S=15010-12a-(300200/a)+240 fonksiyonun türevini alırsa ΔS/ Δa = -12+(300200/a 2 )=0 a=70.71 m b=212.27 m
SORU 4 Bir mobilya fabrikasında geçmiş yıllara ait veriler kullanılarak aşağıdaki birim maliyet eğrisi oluşturulmuştur. Buna göre 0,3800 y=ax 2 +bx+c ve x=0 y=3800 ise c=3800 x 0 =-b/2a 20=-b/2a b=-40a 1100 = a(-b/2a) 2 + b(-b/2a) + c 20,1100 Brim maliyet 5000 TL den satışta toplam kar ne olur? Maksimum kar kaç birimde elde edilir? K=pq-C(q)= 5000x - 6.75x 3 270x 2 + 3800x K=83343,75 35 birim için ΔK/ Δx = -20.25x 2 + 540x + 1200 x 1 = 28.72 1100 = 1600a 2 /4a 1600a 2 /2a + 3800 a= 6.75 b= -270 y = 6.75x 2 270x + 3800 birim maliyet Toplam maliyey için C(q)= yx = 6.75x 3 270x 2 + 3800x X=35 C(q)=91656,25
Çözüm: Bahçenin alanı A=x.y=2400m² Y=2400/x olur. Toplam maliyet C olsun. C=3*x + 3*y + 3*y + 6*x olur. C=6*y + 9 *x C=6*2400/x + 9*x = 14400/x + 9*x => y=2400/x yerine yazarsak C nin 1.türevini alarak max. veya min. noktasını bulabiliriz. C =9 14400/x² = 0 x=40 bulunur. C =28800/xᶟ = 0 ve C >0 eşitliğinde C nin bir optimum noktası olduğunu ve bu noktanın minimum nokta olduğunu gösterir. X=40m y=2400/40=60m olur C=6*y + 9*x=6*60 + 9*40=360+360=720 YTL min. maliyet
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA KARAR VERME VE MODELLER
Karar Verme Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim (Kleindorfer ve diğ., 1993) Karar Verici (KV) nin mevcut tüm seçenekler arasından amacına veya amaçlarına en uygun bir veya birkaç seçeneği seçme sürecine girmesi (Evren ve Ülengin, 1992) En genel hali ile karar verme; KV nin mevcut seçenekler arasından bir seçim, sıralama ya da sınıflandırma yapması gibi bir sorunu çözmesi sürecidir
İyi Bir Karar Karar verme kalitesini ölçecek tek bir ortak ölçü saptanamamıştır (Olson ve Courtney, 1992) İyi karar verme sanatı sistematik düşünce ile oluşur (Hammond ve diğ., 1999) İyi bir karar; Mantığa dayanır Tüm mevcut kaynakları kullanır Tüm olası seçenekleri inceler Sayısal bir yöntem uygular
Karar Verme Süreci Dar anlamda karar verme, çeşitli alternatifler içinde en uygun olanının seçiminin yapıldığı bir süreç olarak tanımlanabilir. Karar Verme Süreci, değişik kaynaklarda farklı aşamalarla sıralanmıştır. Ancak farklı yaklaşımların ortak noktaları dikkate alındığında, söz konusu sürecin aşamalarını aşağıdaki gibi ifade etmek yanlış olmaz. 1. Karar probleminin tanımlanması -Karar verecek kişi veya kişiler -Amaç -Alternatif eylem biçimleri -Belirsizlik 2. Karar probleminin modelinin kurulması Problemin kolayca çözümlenebilmesi için diğer bir deyişle problemi en iyi biçimde temsil edecek ve problemin çözümündeki belirsizlikleri en aza indirecek bir modelin kurulması gerekir. Model: Bir sistemin değişen şarlar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında tahminlerde bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağıntıları kelimler veya matematik terimlerle belirten ifadeler topluluğuna model denir. 3. Modelden çözüm elde edilmesi 4. Modelin çözümünün test edilmesi 5. Karar verme ve kararın uygulamaya konulması
Yöneylem Araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Her basamak arasında geribesleme bulunmaktadır 28
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Amaçlar nelerdir? Problem çok dar kapsamlı mı ele alındı? Problem çok geniş kapsamlı mı ele alındı? 29
Problemin tanımlanması Mümkün seçenekler arasından bir faaliyet veya faaliyetler dizisinin benimsenmesine karar denir Karar verici, alternatif stratejiler arasından en uygun olanını seçme konusunda karar verme yetkisine sahip birey ya da topluluğa verilen genel isimdir Karar vericinin ulaşmak istediği bir amacının olması, bu amaca ulaşmada izlenebilecek alternatif stratejilerin bulunması ve alternatifler içinden hangisinin amacı gerçekleştirebileceği konusunda kuşku içinde bulunulması gerekmektedir Ancak bu koşullarda bir problem vardır denir 30
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Hangi veriler toplanmalı? Veriler nasıl toplanmalı? Sistemin farklı parçaları birbirleriyle nasıl etkileşmektedir? 31
Sistemin gözlenmesi Sistem gözlemlenir ve probleme etki eden parametreler tahmin edilmeye çalışılır Bu amaçla veri derlenmesi, bu adımın çok önemli bir kısmını oluşturur Tahmin değerleri sabit sayılar olarak işleme tabi tutulurlar ve matematiksel modelin geliştirilmesinde kullanılırlar Problem elemanlarının duruma en uygun biçimde belirlenebilmesi için sistem yaklaşımı kullanılır 32
Bir sınır içerisinde, Sistem birbirleriyle nedir? etkileşim içinde bulunan ve ortak bir amaca yönelmiş olan öğeler topluluğudur Sistem, girdileri çıktılara dönüştüren birbirleriyle ilişkili faaliyetlerden ve öğelerden (elemanlardan) oluşmaktadır Sistemin çok sayıda girdisi ve çıktısı olabilir Girdiler Prosesler Çıktılar 33
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Hangi tür model kullanılmalı? Model, problemi tam olarak ifade ediyor mu? Model çok mu karmaşık? 34
Problemin kolayca çözülebilecek bir yapıya oturtulması gerekmektedir Model nedir? Model geliştirmek Bir sistemin değişen koşullar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında varsayımlarda bulunmak amacıyla elemanları arasındaki bağlantıları kelimeler veya matematiksek terimlerle belirleyen ifadeler topluluğuna model denir 35
Model geliştirmek Sistem Gerçek sistem üzerinde çalışmak Sistem modeli üzerinde çalışmak Fiziksel modeller üzerinde çalışmak Matematiksel modeller üzerinde çalışmak Analitik model üzerinde çalışmak Simülasyon modeli üzerinde çalışmak 36
Model geliştirmek Her modelin kuruluş amacı, belirli bir ekonomik sistemi yönetmekle görevli kişi veya kişilere (karar vericiye) mümkün karar seçeneklerini sunmak, bunların sonuçlarını belirlemek ve karşılaştırmalar yapmaktır Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısı matematiksel modellerdir Bir sistemin davranışlarıyla ilgili kuralların matematiksel olarak ifade edilmesiyle matematiksel modeller kurulur Eğer ele alınan sistem matematiksel modellerle çözülemeyecek kadar karmaşık bir yapıya sahipse sistemin bir simülasyon modeli kurulur. Simülasyon, bir sistemin tüm çalışma zamanı boyunca davranış şeklinin bilgisayar ortamında taklit edilmesidir 37
Matematiksel modellerin elemanları Ekonomik sistemlerin matematiksel modellerinde kullanılan elemanlarını üç ana grupta toplamak mümkündür: 1. Amaç fonksiyonu 2. Karar değişkenleri 3. Kısıtlar Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem dikkatli bir şekilde gözlemlenir ve değerleri kontrol edilebilen ve sistemin performansını etkileyen parametreler belirlenir. Bu parametreler yöneticilerin kontrolü altındadır ve karar değişkenleri olarak tanımlanırlar. Bir üretim sisteminde farklı ürünlerin üretilecek miktarları, bir yerden başka yere taşınacak ürün miktarı, işçi sayısı, makina sayısı vb Karar değişkenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu oluşturulur Kısıtlar, sistemin içinde bulunduğu koşullardan kaynaklanmaktadır (talep kısıtları, kapasite kısıtları gibi) 38
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı En uygun çözüm tekniği nedir? Analitik çözüm Algoritmalar Simülasyon Sezgisel 39
Modelin çözülmesi Analitik çözüm: Problemin Lagrange çarpanları, diferansiyel ve integral hesapları ile koşullu en iyi çözümünün bulunmasıdır. Analitik çözümde sadece matematiğin değil iktisat teorisinin de temel kuralları kullanılır Algoritma çözümü: Analitik çözüm bazen çok zor veya imkansız olabilir. Belirli bir sıra içerisinde gerçekleştirilen matematiksel ve mantıksal işlemler kümesine algoritma denir. Yinelemeli olarak uygulanan algoritmalar her adımda optimuma daha yakın bir çözüme doğru ilerler Simülasyon çözümü: Problem, analitik olarak veya algoritmalarla çözülemiyorsa kullanılır. Sistemin davranış şekli bilgisayar ortamında taklit edilir Sezgisel çözüm: Problem optimum çözümü bulunamayacak kadar karmaşıksa, sezgisel yöntemler sezgiye veya bazı deneysel kayıtlara dayanan karar kuralları ile belirli sayıda adımdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir sonuç verirler 40
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Modelden elde edilen çıktılar sistemin kendisinden elde edilen çıktılarla uyuşuyor mu? Modelden elde edilen çıktılar mantıklı mı? Model hatalı olabilir mi? 41
Modelin geçerliliğinin gösterilmesi Modelden elde edilen çözümü uygulamaya koymadan önce gerçeğe uygunluğunun kanıtlanması gerekir Eğer çözüm sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu bir şekilde sağlıyorsa, modelin geçerli olduğu kabul edilir Eğer sistemin geçmiş dönem sonuçları yoksa simülasyondan yararlanılır Model geçerliliğinin kanıtlanmasında bir başka yol olarak da sistemdeki deneyimli kişilerin görüşlerine başvurulabilir 42
Yöneylem araştırmasının metodolojisi: İyi bir YA uygulamasının altı basamağı Yöneylem araştırması ekibi, uygulama sürecini açıklamalı ve uygulamada yardımcı olmalıdır Uygulamanın nasıl yapılacağı bir rapor halinde yönetime sunulmalıdır 43
Başarılı Yöneylem Araştırması Uygulamaları Şirket Yıl Problem Kullanılan Teknik Yıllık Tasarruf Hewlett Packard 1998 Üretim hattında ara stok tasarımı Kuyruk Modelleri $280 million Taco Bell 1998 İşgücü çizelgelemesi Tamsayılı Programlama, Tahmin, Simülasyon $13 million Proctor & Gamble 1997 Üretim ve dağıtım sisteminin yeniden tasarlanması Ulaştırma Modelleri $200 million Delta Airlines 1994 Uçakların rotalara atanması Tamsayılı Programlama $100 million AT&T 1993 Çağrı merkezi tasarımı Kuyruk modelleri, Simülasyon $750 million Yellow Freight Systems, Şebeke Modelleri, Tahmin, 1992 Nakliye şebekelerinin tasarımı Inc. Simülasyon $17.3 million San Francisco Police Dept. 1989 Devriye çizelgeleme Doğrusal Programlama $11 million Bethlehem Steel 1989 Külçe kalıbı tasarımı Tamsayılı Programlama $8 million North American Van Lines 1988 Yükleri şoförlere atamak Şebeke Modelleme $2.5 million Citgo Petroleum 1987 Rafineri operasyonları & dağıtım Doğrusal Programlama, Tahmin $70 million United Airlines 1986 Rezervasyon personelinin Doğrusal Programlama, çizelgelenmesi Kuyruk, Tahmin $6 million Dairyman's Creamery 1985 Optimum üretim seviyeleri Doğrusal Programlama $48.000 Phillips Petroleum 1983 Ekipman yenileme Şebeke Modelleme $90.000 44
Matematiksel Model Türleri Yöneylem araştırmasında karşılaşılabilecek matematiksel model türleri, ilgilenilen karar probleminin yapısına göre şekillenir 45
Matematiksel Model Kısıtsız Kısıtlı Zor laşı yor Statik Dinamik Deterministik Stokastik Tek amaçlı Çok amaçlı Sürekli karar değişkeni Kesikli karar değişkeni Doğrusal programlar Doğrusal olmayan programlar Tamsayılı programlar Kombinatoryel programlar Zorlaşıyor 46
Matematiksel Model Türleri Eğer karar değişkenleri üzerinde hiçbir sınırlama yoksa kısıtsız modeller ortaya çıkar, en azından bir sınırlama olması kısıtlı modelleri ortaya çıkarır. Gerçek hayatta genellikle kısıtlı problemler karşımıza çıkar. Eğer problem tek bir dönem için çözülecekse statik model, birden fazla dönem göz önüne alınarak çözülecekse dinamik model ortaya çıkar. Eğer birden fazla amaç varsa çok amaçlı problemler ortaya çıkar. Eğer tüm karar değişkenleri pozitif reel (gerçel) değerler alıyorsa sürekli optimizasyon problemi söz konusudur Tüm karar değişkenlerinin tamsayı değerler alması gerekiyorsa kesikli optimizasyon problemi ortaya çıkar Bazı karar değişkenlerinin reel, bazılarının tamsayı değer alması durumunda ise karışık kesikli optimizasyon problemi ile karşılaşırız. Eğer karar değişkenlerinin kombinatoryal seçenekleri söz konusuysa kombinatoryal optimizasyon problemleri ortaya çıkar. 47
Matematiksel model türlerine göre kullanılan çözüm yaklaşımları Dinamik modeller için kullanılan yaklaşım dinamik programlamadır. Eğer optimize edilecek birden fazla amaç varsa genellikle kullanılan yaklaşım hedef programlamadır. Modeldeki tüm fonksiyonların doğrusal olması durumunda sürekli optimizasyon problemleri doğrusal programlama yöntemi ile çözülür. Sürekli optimizasyon modelinde en azından bir fonksiyonun doğrusal olmaması durumundaysa doğrusal olmayan programlama yöntemi kullanılır. Eğer kesikli optimizasyon problemlerinde karar değişkenleri herhangi bir tamsayı değer alıyorsa tamsayılı programlama yöntemi kullanılır. Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin belirli bir boyuta kadar olanı tamsayılı programlama yöntemi ile çözülürken, orta ve büyük boyutlu problemlerin sezgisel yöntemlerle çözülmesi gerekmektedir. 48
Doğrusal Programlama Günümüzde, işletme, ekonomi ve muhasebe dallarını en yakından ilgilendiren konulardan bir olan doğrusal programlama, aynı zamanda yöneylem araştırmasında da en önemli konulardan biridir. Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye, maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir. Doğrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir. 1947 de, George Dantzig, doğrusal Programlama problemlerinin çözümünde kullanılan etkin bir yol olan Simpleks Algoritma yı buldu ve bu buluşla birlikte doğrusal Programlama, sıklıkla ve hemen hemen her sektörde kullanılmaya başlandı. Temel olarak, doğrusal Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir. Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veya eşitsizliklerin kısıtlayıcı koşulları altında doğrusal bir amaç fonksiyonunu en iyi (optimum/ maksimizasyon-minimizasyon) kılan değişken değerlerinin belirlenmesinde kullanılan matematiksel programlama tekniğidir.
DP Modelinin Yapısal Unsurları-devam 1.Amaç fonksiyonu Karar vericinin ulaşmak istediği hedef doğrusal bir denklem ile açıklanır. Amaç fonksiyonu olarak bilinen bu denklem, karar değişkenleri ile karar vericinin amacı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. n Z enk/enb =c 1 x 1 + c 2 x 2 +...c n x n Zenb/ enk C jx j 2. Kısıtlayıcı fonksiyonlar (kısıtlayıcılar/kısıtlar) Karar değişkenleri ve karar değişkenleriyle parametrelerin birbirleriyle olan ilişkilerinde sağlanması zorunlu olan ilişkilerin matematiksel olarak açıklanmasıyla elde edilen denklemlere kısıtlayıcı fonksiyonlar denir. Kısıtlayıcıların değerleri kesin olarak önceden belirlenmiş olup sistemin tanımlanmasında kullanılır. Kısıtlayıcı fonksiyonlar sadece kaynakların sınırlarını değil, gereksinim ve yönetim kararlarını ifade etmekte de kullanılır. n a 11 x1+a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1 a 21 x1+a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2 aijx j ( ; ; )bi (i 1, 2, 3,..., m) j1 a m1 x1+a m2 x 2 +...+a mn x n =b m 3. Negatif olmama koşulları Karar değişkenlerinin değerleri negatif olmaz. x 1, x 2,...x n 0 veya kısaca x j 0 (j=1, 2, 3,, n) j1
DP Modelinin Yapısal Unsurları-devam 4. Karar değişkenleri Karar vericinin denetimi altında olan niteliklere karar değişkenleri denir. Bunlar modele ilişkin bilinmeyenler olup değerleri modelin çözümünden sonra belirlenir. Bu değişkenler karar vericinin denetimi altında olduklarından bunlara kontrol değişkenleri de denir. x j : Belirli bir zaman döneminde j inci ürünün üretim miktarı veya faaliyet düzeyi. j=1, 2, 3, n : Ürün çeşidi, faaliyet sayısı. 5. Parametreler Alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol dışı değişkenler denir. Belirli koşullarda belirli değerler alan parametreler problem için veri durumundadır. C j : j inci karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısı (parametre)-(birim kar, birim fiyat, birim maliyet vs.). a ij : j inci üründen bir birim üretmek için i inci kaynaktan tüketilen kaynak miktarı veya girdi katsayısı b i : n sayıdaki ürün için elde bulunan i inci sınırlı kaynak miktarı. i= 1, 2, 3,, m : Üretim bölümlerinin veya üretim kaynaklarının sayısı.
DP Modelinin Genel Görünümü Amaç Fonksiyon Z enk/enb =c 1 x 1 + c 2 x 2 +...c n x n Kısıtlayıcı fonksiyonlar a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m Negatif Olmama Koşulu x 1, x 2,...x n 0
DP Modelinin Matris Gösterimi b Ax Cx ) ; ; ( b. b b ) ; ; ( x. x x a. a a.. a a...... a a.. a a Fonksiyonlar ı Kıısıtlayı x... x x C... C C Z Fonksiyonu Amaç m 2 1 n 2 1 mn 2n 1n m2 m1 22 12 12 11 n 2 1 n 2 1 enb/ enk
DP nin Varsayımları 1.Doğrusallık (veya Oransallık) Varsayımı: Modeldeki fonksiyoların hepsi doğrusaldır. Bu varsayım gerçekleşmediği takdirde DOP söz konusudur. 2.Toplanabilirlik Varsayımı 3.Kesinlik Varsayımı: Bu varsayım, tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayısı, sağ el tarafı ve teknolojik katsayı) kesin olarak bilindiğini ve ilgili dönemde değişmeyeceğini öngörür. Eğer bu değerler tam olarak bilinmiyorsa, sonuç güvenilir olmayacaktır. Böyle bir durumda duyarlılık analizine başvurulabilir. 4. Negatif Olmama Varsayımı Karar değişkenleri negatif değerler alamaz. 5. Bölünebilirlik Varsayımı Bu varsayım, her karar değişkenlerinin ondalıklı bir sayı alabileceği anlamına gelir. Bu varsayım ortadan kalktığında tamsayılı programlama söz konusu olur.
DP nin Uygulama Alanları Ulaştırma ve dağıtım kanallar Beslenme ve karıştırma problemleri Üreim planlaması Yatırım planlaması Görev dağıtımı Arazi kullanımı planlaması Kuruluş yeri seçimi Oyun teorisi
DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir. 1. Karar değişkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi 2. Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak yazılması 3. Tüm kısıtlamaların karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması 4. Negatif olmama koşullarının yazılması.
Örnek DP Modeli-1 İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz.
Örnek DP Modeli-1-devam Problemde karar değişkenleri, x 1 = Üretilecek X ürününün miktarı ( litre ) x 2 = Üretilecek Y ürününün miktarı ( litre ) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160x 1 + 240x 2 dir. İstenen gerekli minimum miktar ise x 1 6 ve x 2 2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3x 1 + 5x 2 30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır: Min z = 160x 1 +240x 2 x 1 6 x 2 2 3x 1 +5x 2 30 x 1, x 2 0
Örnek DP Modeli-2 Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde 120.000 kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az 10.000 kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir. Yağ bölümü günde 60.000 kg., süt şişeleme donanımı günde 40.000 kg., peynir donanımı ise günde 30.000 kg. süt işleyebilir. Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz.
Çözüm: Karar Değişkenleri x1 = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) x2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı ( kg ) x3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı ( kg ) İşletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maksimum z = 4x1 + 8x2 + 6x3 Kısıtlar ise; x3 10.000 x1 60.000 x2 40.000 x3 30.000 x1 + x2 + x3 120.000 Negatif Olmama koşulu; x1, x2, x3 0
Grafik Çözüm Yönteminin Aşamaları Bir doğrusal programlama probleminin grafik çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Değişkenlerin koordinat sisteminin yatay ve dikey eksenlerine yerleştirilmesi, 2. Kısıtlayıcı fonksiyonların grafiğinin çizilmesi, 3. Uygun çözüm bölgesinin belirlenmesi, 4. En iyi çözümün araştırılması.
Amaç fonksiyonu: Örnek 1 Z enb = 6x 1 + 8x 2 Kısıtlayıcı fonksiyonları: 7x 1 + 3x 2 21 (1) 6x 1 + 7x 2 42 (2) x 1 3 (3) x 2 4 (4) Negatif olmama koşulu: x 1, x 2 0 olarak verilen doğrusal programlama problemininin en iyi çözümünü grafik çözüm yöntemiyle bulunz.
Örnek 1-devam x 1 değişkenini yatay, x 2 değişkenini dikey eksen üzerinde gösterelim. Negatif olmama (x 1 0, x 2 0) koşulundan dolayı uygun çözümler x 1 x 2 düzleminin birinci bölgesinde bulunacaktır. Kısıtlayıcı fonksiyonların oluşturduğu sınır, bu bölgeyi (x 1 0, x 2 0) iki kısma ayırır. Bölgelerden biri negatitif olmama koşulu dahil tüm kısıtlayıcıları sağlarken, diğeri yalnızca negatif olmama koşulunu sağlayan noktalardan oluşur. Çözüm bölgesini belirlemek için kısıtlayıcı fonksiyonları sırasıyla ele alalım ve kendilerine karşılık gelen doğruların x ve y eksenlerini kestikleri noktaların koordinatlarını belirleyelim. Koordinat belirleme ilgili tüm işlemler aşağıda verilmiştir. (1) 7x 1 + 3x 2 = 21 eşitliğinde, x 1 = 0 için x 2 = 7, x 2 = 0 için x 1 = 3 olur. (2) 6x 1 + 7x 2 = 42 eşitliğinde, x 1 = 0 için x 2 = 6, x 2 = 0 için x 1 = 8 olur. (3) x 1 = 3 eşitliği, yatay ekseni (3, 0) noktasında kesen ve dikey eksene paralel olan bir doğru tanımlar. (4) x 2 = 4 eşitliği, dikey ekseni (0, 4) noktasında kesen ve yatay eksene paralel doğru denklemidir.
Örnek 1-devam Bu belirlemelerden sonra kısıtlayıcı fonksiyonlarla ilgili doğruları çizebiliriz. Sayıları dört olan kısıtlayıcı fonksiyonların her biri için bir doğru çizilmesi ve eşitsizliklerin yönlerinin dikkate alınmasıyla uygun çözüm bölgesi Şekil 3.5 deki taralı alan olarak belirir. x 2 7 x 1 = 3 6 5 4 A B x 2 = 4 3 2 1 0 Uygun Çözüm Bölgesi O 7x 1 + 3x 2 = 21 C 1 2 3 4 5 6 6x 1 + 7x 2 = 42 7 x 1 Şekil 3.5 Örnek 3.5 in Gösterimi Şekil 3.5 deki taralı alanın içindeki (koyu renk çizilmiş sınırları dahil) tüm noktalar kısıtlayıcıları aynı anda sağladığından, OABC dörtgeni uygun çözüm bölgesidir. Bu alan içindeki sınırsız sayıdaki noktaların her biri uygun çözüm olarak nitelendirilir. Şekilden görüldüğü gibi 6x 1 + 7x 2 42 kısıtı olsa da olmasa da uygun çözüm bölgesi OABC alanı olacaktır. Çözüm bölgesini etkilemeksizin modelden çıkartılabilen bu tür kısıtlayıcılara gereksiz (fazlalık) kısıtlayıcılar denir. x 1 3 kısıtının da gereksiz olduğu görülebilir. Taralı alanın içinde ve sınırları üzerindeki tüm noktalar bütün kısıtlayıcı fonksiyonları (negatif olmama koşulu dahil) sağladığından uygun çözüm bölgesi bir konveks (dış bükey) alan olarak ortaya çıkar. Geometrik olarak konveks alan kenarlarında çukurlaşmalar olmayan ve içinde delikler bulunmayan bir alandır. Bu alanın A, B gibi herhangi iki noktası göz önüne alındığında AB doğru parçasının tamamı alan içinde kalır.
Örnek 3 Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Z enb = x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 8 x 1 + 2x 2 8 x 2 3 x 1, x 2 0
Örnek 3-devam Doğruların çizilmesiyle ilgili aritmetik işlemler aşağıda topluca gösterilmiştir. x 1 + x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 8, x 2 = 0 için x 1 = 8 bulunur. x 1 + 2x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 4, x 2 = 0 için x 1 = 8 bulunur. Şekilden görüldüğü gibi, uygun çözüm bölgesi ABCD konveks kümesidir. Bu bölgenin uç noktalarından en az bir tanesi amaç fonksiyonu değerini en büyükleyecektir. Z = 6, Z = 12 ve Z = 18 eş kâr doğruları Şekil 3.9 da kesikli çizgi ile gösterilmişlerdir. Z = 18 için çizilen eş kâr doğrusu incelendiğinde, bu doğrunun yukarısında tek bir uç noktanın (B) bulunduğu görülebilir. Bu durumda problemin en iyi çözümünün bu noktada ortaya çıkacağını söylemek kehanet olmaz. Z = 24 x 2 Z = 18 Z = 12 Z = 6 8 7 6 5 4 3 2 1 B A Uygun Çözüm Bölgesi D x 1 + 2x 2 = 8 x 1 + x 2 = 8 C x 2 = 3 0 1 2 3 4 5 6 Şekil 3.9 Örnek 3.8 in Uygun Çözüm Bölgesi ve Eş Kâr Doğruları 7 8 x 1
Örnek 3-devam Görüldüğü gibi, B amaç fonksiyonuna en büyük değeri sağlamaktadır. B nin koordinatlarının x 1 = 0, x 2 = 8 olduğu göz önünde bulundurulduğunda Z B (Z enb ) aşağıdaki gibi hesaplanır. Z B = Z enb = 0 + 3(8) = 24 Özetle, karar değişkenlerinin en iyi değerleri x 1 = 0, x 2 = 8 ve amaç fonksiyonunun en büyük değeri 24 olarak belirlenmiştir. Uç noktaların koordinatlarının ayrı ayrı hesaplanıp amaç fonksiyonuna yerleştirilmesiyle hesaplanan Z değerleri aşağıda verilmiştir. Bu hesaplamalar da amaç fonksiyonunun en büyük değerine B(0, 8) noktasında ulaştığını göstermektedir. Z A = Z (0, 4) = 1(0) + 3(4) = 12 Z B = Z (0, 8) = 1(0) + 3(8) = 24 Z C = Z (5, 3) = 1(5) + 3(3) = 14 Z D = Z (2, 3) = 1(2) + 3(3) = 11
Örnek 4 Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz Z enk = 3x 1 + 5x 2 3x 1 + x 2 9 x 1 + 2x 2 8 x 1 + 5x 2 10 x 1, x 2 0
Örnek 4-devam Doğruların çizilmesiyle ilgili aritmetik işlemler aşağıda topluca gösterilmiştir. 3x 1 + x 2 = 9 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 9, x 2 = 0 için x 1 = 3, x 1 + 2x 2 = 8 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 4, x 2 = 0 için x 1 = 8, x 1 + 5x 2 = 10 eşitliğinde x 1 = 0 için x 2 = 2, x 2 = 0 için x 1 = 10 Z A = Z (0, 9) = 3(0) + 5(9) = 45 Z enk =Z B = Z (2, 3) = 3(2) + 5(3) = 21* Z C = Z (20/3, 2/3) = 3(20/3) + 5(2/3) = 23.3 Z D = Z (10, 0) = 3(10) + 5(0) = 30 Z = 30 Z = 21 x 2 8 7 6 5 A 3x 1 + x 2 = 9 Uygun Çözüm Bölgesi Z = 15 4 3 B x 1 + 2x 2 = 8 2 1 0 x 1 + 5x 2 = 10 1 2 3 4 5 6 C 7 8 9 D 10 x 1
Örnek 5 Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafik yöntemiyle çözünüz. Z enk = 2x 1 + 3x 2 3x 1 + 2x 2 6 x 1-2x 2 4 x 1 5 x 2 3 x 1, x 2 0
Örnek 5-devam Uç noktaların koordinatlarının ayrı ayrı hesaplanıp amaç fonksiyonunda yerine konulmasıyla ulaşılan değerler de (aşağıda topluca verilmiştir) E noktasının en iyi çözümü sağlayan nokta olduğunu göstermektedir. Z A = Z (0, 3) = 2(0) + 3(3) = 9 Z B = Z (5, 3) = 2(5) + 3(3) = 19 Z C = Z (5, 0,5) = 2(5) + 3(0.5) = 11.5 Z D = Z (4, 0) = 2(4) + 3(0) = 8 Z E = Z (2, 0) = 2(2) + 3(0) = 4 Z = 12 Z = 6 Z = 4 x 2 4 x 2 = 3 3 2 1 0-1 -2 A 3x 1 + 2x 2 = 6 Uygun Çözüm x 1-2x 2 = 4 Bölgesi E x 1 = 5 D B C 1 2 3 4 5 6 x 1
Grafik Çözümde Karşılaşılan Özel Durumlar 1. Eşitsizliklerin Tutarsız Olması 2. Sınırsız Çözüm 3. Uygun Çözüm Bölgesinin Bir nokta Olması 4. Alternatif Eniyi Çözümün Bulunması