Ders:... Adı : = Seçilen Sorular = Tarih:... (2011-ilkyaz) Soyadı : Kurallar ve Soruları anlamak sınavın bir parçasıdır. Her tür Soruları iyi anlayıp, en iyi şekilde cevaplayınız. Cevaplarda Tutarlılık aranır. İletişim S1.(% ) Cevaplarınızı, tam ayrılan yerlere, yazınız. Gereksiz karmaşıklıktan kaçınılacaktır. KAPALI Kurallara aykırı cevaplar değerlendirim dışı kalır. SIYASA vardır. Olacaktır S1. (a) Nöronlardaki azami ateşleyiş sıklığı nedir, bu sonuca nereden varılmaktadır. (b) 16-lık düzende 16 olarak yazılan sayı, 10-luk düzende nasıl yazılır: (c) Trafikte, yayalara yeşil-ışık gerektirir özel bir ses-sinyali. Geçerli ise, bu bir âmâya ne derece yardımcı olur, şeklinde işaretleyiniz: Hiç. Ses-sinyali yokken geçmez. Ses-sinyali varsa güvenle geçer. S2. A, B, C, D değerlerini alabilen p, q ve r değişkenlerinin gözlenen her birleşimi, sağda ayrı bir satıra yazılmış. Meselâ bu birleşimlerden birincisi AAC, ikincisi CCD, vs. Bakıyoruz, q= A olmazsa p= A olmuyor. Buradan, p= A için q= A gerekli sonucunu çıkarıyoruz. Buna göre... Gerekli / Yeterli / Her-ikisi de, veya İkisi de değil şeklinde cevaplayınız. p q r p= A için q= A?... A A C q= C için r= A?... p= A için q= A?... q= B için p = D?... D B A p= D için r = A?... p= C veya p= D için r= A veya r= D?. C A B p= C için r = B veya r= C?... S3. Aşağıdakileri, A= {0,1,2,3}, B= {4,5,6,7,8}, C= {9,10,11} kümeleri için değerlendiriniz. Bir sütundan puan alabilmek [Not1] [Not2] için tutarlı oluşu şart bağıntı 1-1 tam örten önalan artalan F 1 = {(5,9), (4,11), (7,11), (8,10)} F 2 = {(5,11), (4,1), (6,3), (8,2)} F 3 = {(9,1), (10,0), (11,3)} F 4 = {(5,6), (4,8), (6,6), (8,7)} F 5 = {, (7,3), (8,1), (6,1)} (F 4 ) -1 (F 2 ) -1 [Not1]: Evet/Hayır ile cevaplayınız. [Not2]: Uygun düşer ise, önalan ve artalan için, A, B, C cinsinden, gerekirse kesişim ve bileşim de kullanan en kısa yazılışlı uygun cevabı bulunuz. (A B yetiyorsa, A B C yazmamak gibi) - 1 -
S4. (a) Hangi delile dayanarak insan beyninin arızaya dirençli, güvenilirliği yüksek bir tasarımı olduğunu söylüyoruz: (b) Eğer bardak dolu ise, kulpu var. Geçerli ise, bu bir âmâya ne derece yardımcı olur (çok kısa): (c) Bir koridoru baştan sona kaplayacak bir yolluğun yeterli ve gerekli uzunlukta oluşu şarttır. Aksi halde doğabilecek sakıncalara birer örnek veriniz: - Uzunluğu gerekli miktarda değil ise ( ) - Uzunluğu yeterli miktarda değil ise ( ) S5. (a) Aşağıda, 4 ün oransal-olmayan bir sayı olduğuna dair bir ispat verilmiştir. İnceleyerek, itiraz edilecek bir tarafı olup olmadığını açıklayınız. İspat(olmayana ergi yöntemi): Farz edelim ki 4 oransaldır. O halde 4, bir tamsayının bir doğal sayıya oranıdır. Bu oranın olabildiğince sadeleştirilmiş bir şeklini a/b olarak gösterelim. 4= a/b olduğuna göre, a 2 / b 2 = 4; a 2 = 4b 2 çıkar. Demek oluyor ki a 2 çifttir; o zaman, a da çift olmak zorundadır. Hal böyle olunca, a 2 /4= b 2 de çift olmaktadır. Buna göre, b de çift olmak durumundadır. Fakat a ve b, ikisi de çift ise a/b, 2 ile sadeleştirilebilir. Halbuki yukarıda a/b olabildiğince sadeleştirilmiş demiştik. Bu bir çelişkidir. Demek oluyor ki 4 ün oransal olduğu yanlıştır, yani 4 oransal-olmayan bir sayıdır. S6. K = {r a>5 ve b > 5 olan bazı a, b tamsayıları için r = a/b } şeklinde tanımlanan küme ile Oransal sayılar kümesini kıyaslayınız. Fark varsa tam ne olduğunu belirtiniz. S7. Gerekli / Yeterli / Her-ikisi de, veya İkisi de değil şeklinde cevaplayınız. p q r p= A için q= A?... p= C için r = A?... p= A için r = D?... q= B için r = D?... q= C için r= D?... p= C için r= A veya r= C?... A A D A B D C C C C C A C C C S8. Aşağıdakileri, A= {0,1,2,3}, B= {4,5,6,7,8}, C= {9,10,11} kümeleri için değerlendiriniz. [Not1] [Not2] F 1 = {(5,9), (4,11), (7,11), (8,10)} F 2 = {(5,11), (4,1), (6,3), (8,2)} F 3 = {(9,1), (10,0), (11,3)} F 4 = {(5,6), (4,8), (6,6), (8,7)} F 5 = {, (7,3), (8,1), (6,1)} [Not1]: Bu sütunda, işlevse, örten, vs. gibi özelliklerini, değilse, bağıntı olup olmadığını belirtiniz. [Not2]: Bu sütunda, işlev veya bağıntı ise, hangi kümeden hangi kümeye olduğunu belirtiniz. - 2 -
S9. Neden bazı dendritler ve aksonların boyları uzun olmak zorundadır; boy uzunluğunun getireceği gecikim ve genlik kaybı sorunları nasıl çözülmektedir? S10. Gerekli / Yeterli / Her-ikisi de, veya İkisi de değil şeklinde cevaplayınız. p q r p= A için q= A?... p= C için r = B veya r= C?... p= D için r = A?... q= B için p = D?... q= C için r= A?... p= C veya p= D için r= A veya r= D?.. C A B A A C D B A S11. Aşağıdaki cümlelerin her birini, anlamı muhafaza etmek kaydıyla, yine Eğer-ise kalıbında, o şekilde yeniden yazınız ki, öncülleri veya öncüllerinin değilleri (hangisi uygunsa) sonuç haline gelsin. (a) Eğer zaman sana uymaz ise sen zamana uyarsın. (b) Eğer sağlıklı isen takım tutmaya ihtiyacın yoktur. (c) Bir yanağına vurulursa diğerini uzatırsın. S12. "Beş yazıyorum" deyip "5" yazdığımızda gerçekten bir sayı yazmış olur muyuz? (Kısa açıklayış) S13. ya işareti koyunuz: Bool cebirinde herhangi bir f ifadesi alındığında, onda görülen her değişken değiliyle değiştirilir (değillenir) ise, elde edilen şu olur: f -nin değili. f -nin çiftdeşi. f -nin çiftdeşinin değili. f -nin değilinin çiftdeşi. Belli olmaz. S14. x, y, z değişkenlerinin her birleşimine karşılık f (x, y, z) aldığı değer, yandaki cetvelde verilmiştir. Aşağıda f (x, y, z) -nin değilini veren eşitliğin doğru olması için gereği ve yeteri kadar terimi iptal ediniz. x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 (iptal etmek için, yuvarlak içine alıp üstüne de çarpı koyunuz.) f (x, y, z) 1 0 0 1 0 1 1 1 f '(x, y, z)= x' y' z'+ x' y' z+ x' y z'+ x' y z+ x y' z'+ x y' z+ x y z'+ x y z S15. x, y, z değişkenlerinin her birleşimine karşılık f (x, y, z) aldığı değer, yandaki cetvelde verilmiştir. Aşağıda f (x, y, z) -nin değilini veren eşitliği doğru yapmak için gereği ve yeteri kadar terimi iptal ediniz. x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 (iptal etmek için, yuvarlak içine alıp üstüne de çarpı koyunuz.) f (x, y, z) 1 0 1 0 1 1 0 0 f '(x, y, z)= x' y' z'+ x' y' z+ x' y z'+ x' y z+ x y' z'+ x y' z+ x y z'+ x y z - 3 -
S16. Öncelikle /, yuvarlakla belirtiniz. ysa açıklayınız; yanlışsa karşı örnekle gösteriniz. K 1, K 2 : Boş olmayan kümeler. (a) K 1 - K 2 =, E&A K 1 = K 2 (b) K 1, K 2 ne olursa olsun, f: K 1 K 2 şeklinde bir tam işlev varsa, g: K 2 K 1 şeklinde bir tam işlev yoktur. (c) f: K 1 K 1 şeklinde bir işlev tam ise, tersi bir örten işlevdir. (d) İki işlev olup bir tanesi örten ise, bileşkeleri de örtendir. S17. En küçük bilgi öğesi nedir? Bilgisayarın içinde böyle bir fiziksel şey var mıdır, varsa neresinde, nasıl durur. S18. ya işareti koyunuz: Bool cebirinde herhangi bir f ifadesinin çiftdeşinin değili alındığında, onda görülen her değişken değiliyle değiştirilir (değillenir) ise, elde edilen şu olur: f -nin değili. f -nin çiftdeşi. f -nin değilinin çiftdeşi. f -nin kendisi. Başka bir ifade. S19. Öncelikle /, yuvarlakla belirtiniz. ysa açıklayınız; yanlışsa karşı örnekle gösteriniz. sa ve karşı örnek veremezseniz, puan alamazsınız. K 1, K 2 : Boş olmayan kümeler. (a) K 1 ve K 2 -den birisi diğerinin hem altkümesi hem de üstkümesi olamaz. (b) K 1 ve K 2, ikisi de sonsuz ise, birinden diğerine olan her işlev sonsuz olur. (c) İki işlevin bileşkesi örten ise, bileşkeyi oluşturan işlevlerin her biri de örten demektir. (ç) K 1 -den K 1 -e bir örten işlev sonludur demek, K 1 sonludur demektir. (d) K 1 K 2 demek, K 1 -den K 2 -ye bir bağıntı bakışık olamaz demektir. - 4 -
============================================ S20. Aynı anlamdaki ifadeleri, yanlarındaki aynı G işaretini yuvarlak içine alarak guruplayınız. (Ör. İlk ifadeyle aynı anlam gurubundakilerde, G1 i yuvarlak içine alınız.) Gerekmezse, G3 ü kullanmayınız, yetmezse, ek işaretler kullanınız. Eğer y<z ise, w<x olur. G1 G2 G3 w<x, gerektirir y<z. G1 G2 G3 y<z olmazsa w<x olmaz.g1 G2 G3 Eğer w<x ise, y<z olur. G1 G2 G3 y<z, gerektirir w<x. G1 G2 G3 y<z olmazsa w x olur. G1 G2 G3 Ancak w<x ise, x<z olur. G1 G2 G3 y<z için, w<x gerekli. G1 G2 G3 y<z, demek ki w<x. G1 G2 G3 Eğer w x ise, y z olur. G1 G2 G3 w<x, içerir y<z. G1 G2 G3 y<z için w<x yeterli. G1 G2 G3 w<x olmazsa y<z olmaz. G1 G2 G3 y<z, içerir w<x. G1 G2 G3 w<x için, y<z gerekli. G1 G2 G3 Ancak y<z ise, w<x olur. G1 G2 G3 w<x, demek ki y<z. G1 G2 G3 w<x için y<z yeterli. G1 G2 G3 Unutmayınız: Emin olmadığınız işareti koymak, tutarlılığınızı riske sokar! S21. En sade açık gösterimlerini yazınız; fakat { yerine ( koymak veya hiç koymamak vs. gibi işaret hatası yapmayız. İFADE Cevap İFADE Cevap 2 {0} 2 {1} = {-3, { }} 2 {, -3} = 2 {{,{, { }}}} = {2 {1},{{1}},{-3},6} 2 {1, 6, -3} = 2 {1, -3} - 2 {, -3} = {{{1}}}- 2 {{1, -3}} = 2 {5,1, -3} - (2 {5} 2 {1, -3} )= 2 2N kümesinin üç öğeli bir öğesi: S22. Öncelikle /, yuvarlakla belirtiniz. ysa açıklayınız; yanlışsa karşı örnekle gösteriniz. A, B: Sonlu kümeler. (a) Eğer f: A B şeklinde kısmî ve örten bir işlev varsa, g: B A şeklinde örten bir işlev yoktur. (b) Bir işlevin tersi, kendisine eşit olamaz. Bunu da işlev çizimleriyle göstermek mümkündür. (c) Gerçek sayıların sayılamaz sonsuzlukta olduklarının bir delili, büyüklük itibariyle her iki gerçek sayı arasında muhakkak bir başka gerçek sayı oluşudur. S23. 2 nin oransal-olmayan bir sayı olduğuna dair olan ispatı uyarlayarak, 3 ün oransal-olmayan bir sayı olduğunu gösteriniz. - 5 -