..5 El Alınc An Konulr LI sismlrin rmşı üsl işrlr ynıı Sürli-zmn priyodi işrlrin Fourir srisi gösrilimi Hf 5: Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Fourir srisinin yınslığı Sürli-zmn Fourir srisinin özllilri LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı LI sismlrin nlizind fydlı bir ylşım, işrlri şğıdi ii özlliği sğlyn ml işrlrin doğrusl ombinsyonu şlind msil mir:. ml işrlr, gniş v fydlı bir işr ümsini oluşurbilmlidir.. Bir LI sismin ml bir işr ynıı bsi olmlıdır. Böylc, LI sismin bir giriş ynıı, bsi ynılrın doğrusl ombinsyonu olcır. Bu ii özlliği, hm sürli hm d yrı durumd rmşı üsl işrlr sğlmdır. LI bir sismin çıışı {y( vy y[n] }, girişin { vy x[n] }, rmşı bir sbil çrpımın şis giriş SİSEMİN ÖZFONKSİYONU, rmşı sbi SİSEMİN ÖZDEĞERİ dnilir. s v z rmşı syılr olm üzr, şğıd gösrildiği gibi sürli-zmnd s, yrı-zmnd z n LI sismlrin özfonsiyonudur. LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı İmpuls ynıı h( oln bir sürli-zmn LI sismin girişin s uygulndığınd sismin çıışı y( onvolüsyon ingrlindn hsplnbilir: s( τ y( h( τ τ dτ h τ dτ ( s sτ h( τ dτ Eşiliğin sğındi ingrlin yınsdığını vrsylım. İngrlin dğri s bğlıdır v rmşı bir syıdır. İngrlin sonucunu H(s il gösrlim: s H ( s h( τ τ dτ O hld, y( H(s s (çıış, girişin rmşı bir syı H(s il çrpımın şiir. Böylc, rmşı üsl s işrinin sürli-zmn LI sismlrin özfonsiyonu olduğu gösrilmiş olur.
..5 LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı Bnzr işlmlr yrı-zmnd ypılbilir. İmpuls ynıı h[n] oln bir yrı-zmn LI sismin z n girişin oln ynıı onvolüsyon oplmındn hsplnır: n y[ n] h[ ] x[ n ] h[ ] z n z h[ ] z Eşiliğin sğındi oplmnın yınsdığını vrsylım. oplmnın dğri z y bğlıdır v rmşı bir syıdır. oplmnın sonucunu H(z il gösrlim: H ( z h[ ] z O hld, y[n] H(zz n (çıış, girişin rmşı bir syı il çrpımın şiir. Yni, rmşı üsl z n işrinin yrı-zmn LI sismlrin özfonsiyonu olduğunu gösrmiş oldu. LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı İmpuls ynıı h( oln bir sürli-zmn LI sism üç rmşı üsl işrin oplmın şi oln bir giriş uygulylım. + + Özfonsiyon özlliğindn, sismin rmşı üsl işrlr ynıı şöyldir: s Sism doğrusl olduğundn, rmşı üç üsl işrin oplmındn oluşn giriş oln ynıı üsl işrlr oln ynılrının oplmın şiir: H ( s H ( s H ( s ( H( s + H ( s + H ( s y 5 6 LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı Yurıdi sonucu gnllşirbiliriz. Bir sürli-zmn LI sismin girişi, rmşı üsl işrlrin ğırlılı oplmı (doğrusl ombinsyonu olsun: x ( s Doğrusllı v özfonsiyon özllilrindn, sismin çıışı şğıdi gibi olur: Bnzr şild, bir yrı-zmn LI sismin girişi x[n], yrı-zmn rmşı üsl işrlrin doğrusl ombinsyonu olsun: y ( H ( s x [ n] n z Sismin çıışı şğıdi gibi olur: y [ n] H ( z z n LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı GÖZLEM: Bir LI sismin girişi rmşı üsl işrlrin doğrusl ombinsyonu is, çıışı d ynı üsl işrlrin doğrusl bir ombinsyonudur. Çıış işrinin gösrilimindi syılr, giriş işrinin gösrilimindi syılr il rmşı üsl işrlr rşılı gln sism özdğrlrinin çrpımın şiir. x ( s ( y H ( s Bu gözlm, Fourir v ndisindn sonr glnlrin hrhngi bir işrin rmşı üsl işrlrin doğrusl ombinsyonu şlind nsıl yzılbilcği hınd rşırm ypmlrın ön y olmuşur. Bu v önümüzdi hflr, soruyu sırsıyl sürli v yrı-zmn priyodi işrlr için ynılyc, dh sonri hfd priyodi olmyn işrlr durumunu l lcğız. s v z hrhngi bir rmşı syı olbilir. Anc, Fourir nlizind s v z sırsıyl s jω v z jω vrsyılcır. Lplc v z-dönüşümü onulrınd s v z hrhngi bir rmşı syıy gnllşirilcir. 7 8
..5 LI Sismlrin Krmşı Üsl İşrlr Ynıı ÖRNEK: Bir sürli-zmn LI sismin girişi il çıışı rsındi ilişi y(- v sism uygulnn giriş j olsun. Sismin çıışışöyldir: Uygulnn giriş bir özfonsiyon olduğundn bu sonucu slınd bliyordu. Giriş rşılı gln özdğri hsplylım. Sismin impuls ynıının h( δ(- olduğu çıır. O hld, Örnğimizd s j olduğundn, giriş rşılı gln özdğr H(j -j6 olr ld dilir. Görüldüğü gibi çıış, giriş il giriş rşılı gln özdğrin çrpımın şiir.. y( j( j6 j H ( s h( τ dτ δ ( τ dτ sτ sτ s Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Hrmoni ilişili rmşı üsl işrlrin doğrusl ombinsyonu şlind yzıln bir sürli-zmn işri l llım: jω j ( π / Hrmoni ilişili üsl işrlrin hrbirinin il priyodi olduğunu görmüşü. O hld, d il priyodiir. (Bnz..hf sly 7-8 için, oplmdi üsl işr sbiir. ± için üsl işrlrin ml frnsı ω dır v bu rimlr EMEL vy BİRİNCİ HARMONİK bilşnlr dnir. ± için üsl işrlrin ml frnsı ω dır v bu rimlr iinci hrmoni bilşnlr dnir. Gnl olr, ±N için oplmdi rmşı üsl işrlr N. HARMONİK bilşnlr dnir. Priyodi bir işrin yurıdi gibi oplm şlind ifd dilmsin FOURİER SERİSİ gösrilimi dnir. 9 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Hrmoni bilşnlrin işri nsıl oluşurduğu şğıd gösrilmişir. ÖRNEK: ml frnsı π oln bir sürli-zmn priyodi işrin Fourir srisi gösrilimi şğıd vrilmişir:, j π,, Ksyılr oplmd yrin onulr işrin nlii ifdsi ld dilbilir: + jπ jπ jπ jπ j6π j6π ( + + ( + + ( + Eulr ilişisi ullnılr, işr rigonomri fonsiyonlr cinsindn d yzılbilir:. + cos(π + cos(π + cos(6π
..5 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Sürli-zmn grçl priyodi işrlr için Fourir srisinin diğr bir gösrilimi vrdır. Grçl bir işr için x*( olduğundn * jω jω * jω * jω ( Son ifd, Fourir srisi gösrilimi il rşılşırılırs * - vy şdğr olr * - sonucu çır. Bu sonuçn yrrlnılr Fourir srisi şğıdi gibi yzılbilir: + + R jω jω jω + [ + ] jω * jω [ + ] jω { } Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Son ifdd uupsl oordinlrd A jθ şlind yzılırs şğıd vriln şdğr rigonomri gösrilim ld dilir: x + R jθ jω { A } ( + A cos( ω + θ rzyn oordinlrd B + jc şlind yzılırs şğıd vriln diğr bir rigonomri gösrilim ld dilir: x + R ( B + jc jω { } ( + ( B cos( ω C sin( ω Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Şimdi d, priyodi bir işr için Fourir srisi syılrının nsıl hsplnbilcğini rışcğız. jnω Fourir srisi gösrilimind, şiliğin hr ii rfı il çrpıldın sonr çrpımın [,] rlığınd ingrli lınırs şğıdi ifd ld dilir: jnω jω jnω j[ n] ω [ ] Köşli prnz içindi ifd Eulr formülü ullnılr ynidn düznlnbilir: j[ n] ω n cos[( ω + j n ] sin[( ω ] Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi j[ n] ω n cos[( ω + j n ] sin[( ω ] n için cos[(-nω ] v sin[(-nω ] işrlri / -n ml priyodu il priyodiir. İngrlın lındığı rlı uzunluğund olup ml priyodun -n ıdır. Sinüs v osinüs işrlrinin bir priyodund, işrlrin sıfırın üsünd v lınd ln ısımlrı ynı ln ship olup bu işrlrin bir priyod v dolyısıyl d bir priyodun msyı ı uzunluğundi bir rlıi ingrli sıfır şiir. Özl, n için hr ii ingrl sıfır şiir. n için, ingrl olup ingrlin sonucu y şiir. Sonuç olr, j[ n] ω n,, n O hld, sri gösrilimindi syılr şöyl hsplnır: 5 n jn ω 6
..5 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Yurıd bulunn sonucun, uzunlulu hrhngi bir rlı için gçrli olduğun di diniz. uzunlulu hrhngi bir rlı boyunc ingrl nosyonu il gösrilm üzr, sürli-zmn priyodi işrin Fourir srisin çılımı v çılımdi syılrın hsbı şğıdi şililrd vrilmişir: jω j( π / jω j ( π / İşrin sri şlind gösrilimin SENEZ, syılrın nsıl hsplncğını vrn şiliğ is ANALİZ dnlmi dnilir. syısı, işri sbi vy DC bilşn olup işrin bir priyod boyunc orlm dğridir: 7 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi ÖRNEK: ml priyodu v ml frnsı ω π/ oln priyodi r dlgnın Fourir srisi gösrilimini ld diniz. ÇÖZÜM:İşrin bir priyodunun mmisl ifdsişöyldir:,, < < < / Fourir srisi syılrını bulm için uzunlulu hrhngi bir rlı sçilbilir. İşr, rfınd simri olduğundn rlı olr / / sçilmsi mnılıdır. 8 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi İl önc ı blirlylim. / / Diğr syılr (, bnzrşild hsplnır: / jω jω / π jω jω sin( sin( ω sin( ω ω j ω π π syılrı sbi bir v dğişi dğrlri için şğıd çizilmişir. Bu örn için syılr grçl çıığındn syılr için bir grfi (gnli grfiği yrli olmuşur. Ksyılrın rmşı syı olmsı hlind ii grfiğin (gnli v fz grli olcğın di diniz. 9 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi için syılrını hsplylım. π sin(.. π için.8 π sin(.. π için π sin(.. π için.6 π sin(.. π için 5
..5 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi ÖRNEK: Sinüzoidl işrlr için Fourir srisi doğrudn hsplnbilir. Aşğıd vriln işrin Fourir srisi gösrilimini ld dlim. π + sin( ω + cos( ω + cos(ω + Çözüm: Eulr ilişisidn işr rmşı üsl işrlrin oplmı şlind yzılbilir: + + + + + j ( jω jω ( jω jω ( j( ω + π / j( ω + π / + + + + + j j jω jω jπ / j ω jπ / j ω O hld nin Fourir srisi syılrı ifdy bılr doğrudn yzılbilir, + j, + j j j jπ / jπ / ( + j, ( j,. Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Ksyılrın gnliği v fzı, y bğlı olr şğıd çizilmişir. j.8.66 + j.8.66 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi ÖRNEK: Örnlm bhsind ullnılc priyodi impuls dizisinin Fourir srisi syılrını bullım. x ( δ ( ( + j.5.785 ( j.5.785 ÇÖZÜM: İşr, nliz dnlmind yrin onulr syılr hsplnbilir. İşr simri olduğundn ingrl rlığı olr / / lm uygundur. π j / π j / / rlığınd δ( olduğundn, / / π π j j / δ ( No: Yurıdi sonucu bulurn şu özlliği ullndı: / δ ( f ( f ( / 6
..5 Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı Kr dlgd sürsizlilr vrdır. Hlbui sri gösrilimindi hrmoni ilişili rmşı üsl işrlrin hpsi sürlidir. Sürsiz bir işrin sürli işrlrl msil dilbilcğin şüphyl bılmışır. Fourir in spilri dönmin us mmiçisi Lgrng rfındn vo dilmişir. H, dönmin diğr mmiçilri Lcroix, Mong v Lplc ın Fourir dsği bil rşırmlrın yyınlnmsı için yrli olmmışır. Fourir in rşırmlrı vfındn sonr yyınlnbilmişir. Fourir srisinin gçrliliğini gösrm için, bir sürli-zmn priyodi işrin sonlu syıd hrmoni ilişili rmşı üsl işrl msilini l llım: N ( ylşılı hsını gösrsin: xn ( N N jω N N ( xn ( N jω Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı Frlı ylşılılrı birbiriyl rşılşırbilm için, ylşılı hsının boyuunu vrn bir ölçü ullnmmız grlidir. Ölçü olr, bir priyo boyunc hnın nrjisini ullncğız. ( EN N Hnın nrjisini minimum ypn syılrın jω olduğu gösrilbilir (ödvlrin birind bu sonuç isplncır!. Yni, hyı minimum ypn syılr Fourir srisi syılrın şiir. O hld, nin Fourir srisi gösrilimi vrs, N büyüdüç h zlır v N limi durumund E N sıfır şi olur. Şimdi d priyodi bir işrin hngi oşullr lınd Fourir srisi gösrilimin ship olcğını blirlmy çlışlım. 5 6 Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı İi duruml rşılşm mümündür: (i syılrın hsplnmsın imn vrn ingrl yınsmybilir (bzı syılr sonsuz olbilir, (ii syılrın hpsi sonlu ols bil, bu syılr snz dnlmind yrin onulduğund ld diln sri orijinl işri vrmybilir. Priyodi bir işr, bir priyod boyunc sonlu nrjiy ship, yni < is, Fourir srisi syılrının sonlu olcğı gösrilbilir. Bu durumd, işr il Fourir srisi gösrilimi rsındi hnın nrjisi bir priyo boyunc sıfır olcır. jω ( ( Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı Dirichl, priyodi bir işr il Fourir srisi gösriliminin, işrin sürsiz olduğu nolr hriç şi olbilmsi için oşullrı blirlmişir. Sürsizli nolrınd sri, işrin sürsizli nosınd soldn v sğdn limilrinin orlmsın şi olur. Dirichl oşullrı şğıd vrilmişir. Koşul : İşr bir priyod boyunc mul ingrllnbilir olmlıdır: x ( < Koşul : Bir priyo boyunc, işrin sonlu syıd minimum v msimumu olmlıdır. Bu sonuç, Fourir srisi gösriliminin işr şi olduğu nlmın glmdiğini, nc iisi rsındi fr nrji olmdığını blirmdir. Fizisl sismlr, işrin nrjisin ynı vrdiğindn, bu nlmd işr il Fourir srisi gösrilimi şdğrdir.ilgilndiğimiz çoğu priyodi işrin nrjisi sonlu olup bu işrlr için Fourir srisi gösrilimi mvcuur. 7 Koşul : Sonlu bir rlı, işr sonlu syıd sürsizli olmlı v sürsizli nolrınd işrin dğri d sonlu olmlıdır. Dirichl oşullrını ihll dn işrlr örnlr şğıd vrilmişir. yrıc 8 7
..5 Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı Koşul i ihll dn bir işr Dirichl oşullrını sğlmyn işrlrin fizisl sismlrd rşımız çım olsılığının olduç z olduğu örnlrdn görülmdir. 898 yılınd, Amrin fiziçi Albr Michlson, sonlu Fourir srisini N 8 dr hsplyn bir ygı (modrn dıyl hrmoni nlizör glişirmişir. Koşul yi ihll dn bir işr Michlson, ygıını p ço priyodi işr için s mişir. Michlson, r dlg için ummdığı sonuçlr ld dinc glişirdiği ygıın hlı olbilcğini düşünmüş v onuyu mmisl fiziçi Josih Gibbs il pylşmışır. Gibbs, problmi drinlmsin inclmiş v düşünclrini 899 yılınd Michlson il pylşmışır. Koşul ü ihll dn bir işr Priyodi r dlg, Dirichl oşullrını sğldığındn, sonlu sridi rim syısı sonsuz gidrn sürsizli nolrınd srinin limii sürsizli dğrinin orlmsın şi olmlıdır. Diğr nolrd, sri işr yınsmlıdır. Çşili N dğrlri için ylşı işr v r dlg şğıd çizilmişir. 9 Sürli-zmn Fourir Srisinin Yınslığı Michlson un Gözlmi: Sonlu sri, sürsizli nolrınd dlglnmlr vrmdir. Dlglnmlrın p gnliği N dn bğımsızdır v N rıç zlmmdır. Gibbs in Açılmsı:İşrin sürsiz olmdığı bir nosı sürsizli nosın ylşıç hnın üçü olmsı için N büyü olmlıdır. Bu ndnl, N rıç dlglnmlr sürsizli nosı rfınd yoğunlşır nc dlglnmnın msimum gnliği sbi lır. Bu gözlm GIBBS OLAYI dnir. Yni, sürsiz bir işrin sonlu rimli Fourir srisi ylşılığı yüs frnslı dlglnmlr içrir v sürsizli nosınd işrn dh yüs dğr lır. Priyodi r dlg işr için FS syılrı π sin(, π ( Sly 8-9 Sonlu rimli Fourir srisi ullnılcs, dlglnmlrdi oplm nrji ihml dilbilc dr üçü olc şild yrinc büyü N dğri sçilmlidir. Limi durumund, hsının nrjisi sıfır olur v Fourir srisi yınsr. 8
..5 Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri ml priyodu v ml frnsıω π/ oln priyodi bir işrin Fourir srisi syılrının olduğunu blirm için nosyonunu ullncğız. Sürli-zmn Fourir srisinin şğıd vriln özllilri rcılığıyl, Fourir srisi syılrı bilinn işrlr yrdımıyl çoğu işrin Fourir srisi çılımını ld m olylşmdır. Fourir dönüşümü onusund d görcğimiz gibi, çoğu özlli Fourir dönüşümünün özllilrindn ld dilbilir. Bu ndnl, sdc n önmli özllilri sırlyc v yorumlycğız. FS x ( Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri Özlli (Zmnd ölm: FS x ( is, jω j x (π / ( İsp: Priyodi bir işr, zmnd ölnirs priyodiliği orunur v priyodu dğişmz. Ölnmiş y( - işrinin Fourir srisi syılrı b olsun: jω jω b y( İngrld, τ - dğişn dönüşümü yplım., uzunluğu oln bir rlı dğişiyors τ d uzunluğu oln bir rlı dğişcir. O hld, b jω ( τ + jω τ dτ jω j (π / j (π / Yorum: olduğundn, b. FS τ jωτ dτ (Priyodi bir işr ölndiğind Fourir srisi syılrının gnliği dğişmz! Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri FS FS Özlli (Zmnd rsin çvirm: x ( is, x ( İsp: Priyodi bir işr, zmnd rsin çvrilirs priyodiliği orunur v priyodu dğişmz. Fourir srisi çılımındn - işri x j π / ( şlind yzılbilir. oplmd, -m dğişn dönüşümü ypılırs x jm π / ( m m Son şili, - işrinin Fourir srisi çılımı olup çılımdi syılr - dır. Yorum: Bir sürli-zmn priyodi işr zmnd rsin çvrilirs, rşılı gln Fourir srisi syılrı d rsin çvrilir. O hld, çif işrlrin (- Fourir srisi syılrı çif ( -, işrlrini i ( - - olcır. Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri FS FS Özlli (Zmnd ölçlm: x ( is, x ( α İsp: Priyodi bir işr, ölçlndiğind priyodu dğişir. nin ml priyodu v ml frnsıω π/ is, α nin ml priyodu /α v ml frnsı αω dır. nin Fourir srisi çılımınd yrinα yzılırs x j ( αω ( α Son şili, ml frnsıαω oln işrin Fourir srisi gösrilimi olup çılımdi syılr dır. Yorum: Bir sürli-zmn priyodi işri zmnd ölçlm Fourir srisi syılrını dğişirmz. 5 6 9
..5 Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri Özlli (Zmnd ürv lm: FS x ( is, d FS π jω j İsp: Priyodi bir işrin ürvi lınırs yin priyodi olur v priyodu dğişmz. nin Fourir srisi çılımınd, şiliğin hr ii rfının y gör ürvi lınırs d d jω [ ] Son şili, ml frnsı ω π/ oln işrin Fourir srisi gösrilimi olup çılımdi syılr jω j(π/ olr görülmdir. Yorum: Bir sürli-zmn priyodi işrin ürvini lm, Fourir srisi syılrının hm gnliğini hm d fzını dğişirmdir. jω jω jω d 7 Özlli 5 (Prsvl ilişisi: Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri * İsp:İngrld, x ( x ( yzıp, v x * ( için Fourir srisi gösrilimlrini ullnırs Köşli prnz içindi ingrli dh önc hsplmışı: * x ( * l l * jlω l l j( l ω O hld, son şili sonsuz n ingrl olmsın rğmn ingrllrin sonucu sdc l için, diğr l dğrlrind şiir. Sonuç olr, ii oplm bir oplmy indirgnir v l olur: * jω j( l ω,, l l 8 Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri Prsvl İlişisinin Yorumu: Bir işri dğişi şillrd msil m slınd ilv bir bilgi vrmmdir. Bir bış çısınd gizli oln bir bilgi, diğr bir bış çısınd ory çıbilir. İşrin nrjisi ullnıln gösrilimdn bğımsızdır. Diğr bir dyişl, işrin nrjisini zmn vy frns uzyınd hsplm ynı sonucu vrmlidir. Diğr Özllilr: Sürli-zmn Fourir srisinin ispını vrmdiğimiz bş özllilri d vrdır. Diğr özllilrin ispı bnzr şild ypılbilir. Özllilrin ümü şğıdi blod lislnmişir. Özlli Priyodi İşr Fourir Srisi Ksyılrı Doğrusllı Zmnd ölm Frns ölm Eşlni lm Zmnd rsin çvirm Zmnd ölçlm Priyodi onvolüsyon Zmnd çrpm Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri ω π / ml frnsı v y( ml priyodu il priyodi Ax ( + By( A + Bb jω j ( π / jm (π / M jmω α> ( /α il priyodi b x * ( * α x τ y( τ dτ ( b y( l l b l 9
..5 Özlli Priyodi İşr Fourir Srisi Ksyılrı Zmnd ürv lm Zmnd ingrl lm Grçl işrlr için şlni simrili Grçl v çif işrlr Grçl v işrlr Grçl işrlrin çif- yrışırmsı Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri dx ( x grçl grçl v çif grçl v çif jω Priyodi İşrlr için Prsvl İlişisi π j ( j ω j (π / x ( Ev{ } [ grçl] x ( Od{ } [ grçl] o * R{ } R{ } Im{ } Im{ } p p grçl v çif sf rmşı v çif R{ } jim{ } Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri ÖRNEK: Sürli-zmn Fourir srisinin özllilrindn yrrlnr şğıd vriln g( işrinin ( il priyodi Fourir srisi syılrını bullım. ÇÖZÜM: g( işrini nliz dnlmind yrin oyr, Fourir srisi syılrını blirlybiliriz. Anc, g( işrini dh önc Fourir srisini hspldığımız priyodi simri r dlg cinsindn ifd dip sonucu bulcğız. Kr dlg v Fourir srisi syılrı, hırlm mcıyl şğıd vrilmişir: sin( ω, π Priyodi r dlg işrind v llım. Şillrdn, g( il rsındi ilişinin g( - / olduğu görülmdir. - işrinin Fourir srisi syılrı b olsun. Ölm özlliğindn, DC rimin (-/ Fourir srisi syılrı c olsun. DC işrin sıfırdn frlı bir Fourir srisi syısı vrdır:, c /, g( işrinin Fourir srisi syılrı d olsun. Doğrusllı özlliğindn Son ifdd yrin onulurs b d b + c jπ / jπ /, /, sin( π / jπ /, d π,
..5 Sürli-zmn Fourir Srisinin Özllilri ÖRNEK: Sürli-zmn Fourir srisinin özllilrindn yrrlnr şğıd vriln işrinin ( il priyodi Fourir srisi syılrını bullım. ÇÖZÜM: Bu işrin ürvi, önci örn l lınn g( işrin şiir. g( v işrlrinin Fourir srisi syılrını sırsıyl d v il gösrlim. ürv özlliğindn, d d j( π / jπ İfd, için gçrlidir. d şiliyrin onulurs sin( π / jπ /, j( π, bir priyo boyunc nin lındi ln priyod bölünr ld dilbilir: x ( 5