Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi ile çözünüz ve başlangıçta verilen problemin çözümünü bulunuz. a) K (x 1, x 2 ) = 9x 1 + 4x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x 2 13 3x 1 + x 2 24 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: 221
222 BÖLÜM 11. DERS 11 A = 2 1 13 3 2 24 9 4 1 Buradan K (y 1, y 2 ) = 13y 1 434y 2 2y 1 + 3y 2 9 y 1 + 2y 2 4 A T = 2 3 9 1 2 4 13 24 1 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: M(x 1, x 2 ) = 9x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 9 x 1 + 2x 2 4 K (y 1, y 2 ) = 13y 1 434y 2 2y 1 + 3y 2 9 y 1 + 2y 2 4 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: 2y 1 + 3y 2 + x 1 = 9 y 1 + 2y 2 + x 2 = 4 13y 1 24y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K 2 3 1 0 0 9 1 2 0 1 0 4 13 24 0 0 1 0 y 1 y 2 x 1 x 2 K 1/2 0 1 3/2 0 3 1/2 1 0 1/2 0 2 1 0 0 12 1 48
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 223 y 1 y 2 x 1 x 2 K 1/2 0 1 3/2 0 3 1/2 1 0 1/2 0 2 0 2 0 13 1 52 buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 13, M = 52 çıkar
224 BÖLÜM 11. DERS 11 b) M(x 1, x 2 ) = 10x 1 + 6x 2 fonksiyonunu 3x 1 + 2x 2 15 2x 1 + x 2 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 3 2 15 2 1 8 10 6 1 3y 1 + 2y 2 10 2y 1 + y 2 6 A T = 3 2 10 2 1 6 15 8 1 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: 3x 1 + 2x 2 15 2x 1 + x 2 8 3y 1 + 2y 2 10 2y 1 + y 2 4 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 15y 1 + 8y 2 3y 1 + 2y 2 + x 1 = 10 2y 1 + y 2 + x 2 = 6 15y 1 8y 2 + K = 0
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 225 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K 3 2 1 0 0 10 2 1 0 1 0 6 15 8 0 0 1 0 y 1 y 2 x 1 x 2 K 0 1/2 1 3/2 0 1 1 1/2 0 1/2 0 3 0 1/2 0 15/2 1 45 y 1 y 2 x 1 x 2 K 0 1 2 3 0 2 1 0 1 2 0 2 0 0 1 6 1 46 buradan çözüm x 1 = 1, x 2 = 6, M = 46 çıkar
226 BÖLÜM 11. DERS 11 c) M(x 1, x 2 ) = 21x 1 + 12x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x 2 9 x 1 + 2x 2 12 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 2 1 9 1 2 12 21 12 1 A T = 2 1 21 1 2 12 9 12 1 2y 1 + y 2 21 y 1 + 2y 2 12 K (y 1, y 2 = 9y 1 + 12y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: 2x 1 + x 2 9 x 1 + 2x 2 12 2y 1 + y 2 21 y 1 + 2y 2 12 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz:
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 227 K (y 1, y 2 ) = 9y 1 + 12y 2 2y 1 + y 2 + x 1 = 21 2y 1 + 2y 2 + x 2 = 12 9y 1 12y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K 2 1 1 0 0 21 1 2 0 1 0 12 9 12 0 0 1 0 y 1 y 2 x 1 x 2 K 2 1 1 0 0 21 1/2 1 0 1/2 0 6 9 12 0 0 1 0 y 1 y 2 x 1 x 2 K 3/2 0 1 1/2 1/2 15 1/2 1 0 1/2 0 6 3 0 0 6 1 72 y 1 y 2 x 1 x 2 K 1 0 2/3 1/3 0 10 0 1 1/3 2/3 0 1 0 0 2 5 1 102 buradan çözüm x 1 = 2, x 2 = 5, M = 102 çıkar
228 BÖLÜM 11. DERS 11 ç) M(x 1, x 2 ) = 8x 1 + 10x 2 fonksiyonunu x 1 3x 2 10 2x 1 + x 2 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 1 3 10 2 1 8 8 10 1 A T = 1 2 8 3 1 10 10 8 1 y 1 2y 2 8 3y 1 + y 2 10 K (y 1, y 2 = 10y 1 + 8y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 3x 2 9 2x 1 + x 2 8 y 1 2y 2 8 3y 1 + y 2 10 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 10y 1 + 8y 2 y 1 2y 2 + x 1 = 21 3y 1 + y 2 + x 2 = 10 10y 1 8y 2 + K = 0
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 229 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K 1 2 1 0 0 8 3 1 0 1 0 10 10 8 0 0 1 0 y 1 y 2 x 1 x 2 K 1 2 1 0 0 8 0 5 3 1 0 34 0 28 10 0 1 80 Pozitif girdi olmadığı için çözüm yoktur.
230 BÖLÜM 11. DERS 11 2. Soru 2 Aşağıdaki problemleri simpleks yöntemi ile çözünüz. a) M(x 1, x 2 ) = 8x 1 + 6x 2 fonksiyonunu x 1 + x 2 5 x 1 2x 2 10 2x 1 + x 2 10 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 1 1 5 1 2 10 2 1 10 8 6 1 A T = 1 1 2 8 1 2 1 6 5 10 10 1 y 1 + y 2 2y 3 8 y 1 2y 2 + y 3 6 K (y 1, y 2 = 5y 1 10y 2 10y 3 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 + x 2 5 x 1 2x 2 10 2x 1 + x 2 10 y 1 + y 2 2y 3 8 y 1 2y 2 + y 3 6 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 231 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 2y 3 + x 1 = 8 y 1 2y 2 + y 3 + x 2 = 6 5y 1 + 10y 2 + 10y 3 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K 1 1 2 1 0 0 8 1 2 1 0 1 0 6 5 10 10 0 0 1 0 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K 0 3 3 1 1 0 2 1 2 1 0 1 0 6 0 0 15 0 5 1 30 buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 5, M = 30 çıkar.
232 BÖLÜM 11. DERS 11 b) M(x 1, x 2 ) = 10x 1 + 13x 2 fonksiyonunu x 1 5 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 12 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 1 0 5 1 1 10 1 2 12 10 13 1 A T = 1 1 1 10 0 1 2 13 5 10 12 1 y 1 + y 2 + y 3 10 y 2 + y 3 13 y 3 0 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 + 10y 2 + 12y 3 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 5 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 12 y 1 + y 2 + y 3 10 y 2 + 2y 3 13 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 + 10y 2 + 12y 3 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 233 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 + y 3 + x 1 = 10 y 2 + 2y 3 + x 2 = 13 5y 1 10y 2 10y 3 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K 1 1 1 1 0 0 10 0 1 2 0 1 0 13 5 10 12 0 0 1 0 İşlemler yapılırsa çözüm : x 1 = 8, x 2 = 2, M = 106 çıkar.
234 BÖLÜM 11. DERS 11 c) M(x 1, x 2, x 3 ) = 5x 1 + 7x 2 + 6x 3 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 + 2x 3 14 2x 1 + 2x 2 + x 3 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: A = 1 2 2 14 2 2 1 8 5 7 6 1 A T = 1 2 5 2 2 7 2 1 6 14 8 1 Buradan 2y 1 + 2y 2 5 2y 1 + 2y 2 7 2y 1 + y 2 6 K (y 1, y 2 ) = 14y 1 + 8y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: x 1 + 2x 2 + 2x 3 14 2x 1 + 2x 2 + x 3 8 Dual Problem: y 1 + 2y 2 5 2y 1 + 2y 2 7 2y 1 + y 2 6 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 235 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 + 2y 2 + x 1 = 5 2y 1 + 2y 2 + x 2 = 7 2y 1 + y 2 + x 3 = 6 14y 1 8y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: 1 2 1 0 0 0 5 2 2 0 1 0 0 7 2 1 0 0 1 0 6 14 8 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 5 2 2 0 1 0 0 7 1 1/2 0 0 1/2 0 3 14 8 0 0 0 1 0 0 3/2 1 0 1/2 0 2 0 1 0 1 1 0 1 1 1/2 0 0 1/2 0 3 0 1 0 0 7 1 42 0 0 1 3/2 1 0 1/2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1/2 1 0 5/2 0 0 0 1 6 1 43 buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 6, M = 43 çıkar.
236 BÖLÜM 11. DERS 11 ç) M(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + x 2 + 5x 3 fonksiyonunu x 1 2x 2 + x 3 6 4x 1 + x 2 2x 3 4 x 3 0 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = 1 2 1 6 4 1 2 4 2 1 5 1 y 1 4y 2 2 2y 1 + y 2 1 y 1 2y 2 5 A T = 1 4 2 2 1 1 1 2 5 6 4 1 K (y 1, y 2 ) = 6y 1 + 4y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 2x 2 + x 3 6 4x 1 + x 2 2x 3 4 x 3 0 y 1 4y 2 2 2y 1 + y 2 1 y 1 2y 2 5 K (y 1, y 2 ) = 6y 1 + 4y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 237 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 4y 2 + x 1 2 2y 1 + y 2 + x 2 1 y 1 2y 2 + x 3 5 6y 1 4y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: x 1 1 4 1 0 0 0 2 x 2 2 1 0 1 0 0 1 x 3 1 2 0 0 1 0 5 K 6 4 0 0 0 1 0 x 1 1 4 1 0 0 0 2 x 2 0 7 2 1 0 0 5 x 3 0 2 1 0 1 0 3 K 0 28 6 0 0 1 17 x 1 1 0 1 0 4 0 22 x 2 0 0 3/2 1 7 0 26 x 3 0 1 1/2 0 1/2 0 3/2 K 0 0 8 0 28 1 101 Sütun negatif olduğundan çözüm yoktur.
238 BÖLÜM 11. DERS 11 3. Soru 3 Bir gıda şirketi İstanbul, İzmir ve Mersin deki fabrikalarında normal ve diyet türü olmak üzere iki çeşit dondurma üretiyor. Her iş saatinde İstanbul daki fabrikada 20 kg normal ve 10 kg diyet, İzmir deki fabrikada 10 kg normal ve 20 kg diyet ve Mersin deki fabrikada 20 kg normal ve 20 kg diyet türü dondurma üretilebilmektedir. Bu fabrikalarda l saatlik gider, sırasıyla, 700 TL, 750 TL ve 900 TL dir. Bu durumda; a) Şirketin bağlantıları gereği, günde normal türden en az 300 kg ve diyet türünden en az 200 kg dondurma üretilmesi gerekiyor ise, bu talebin karşılanması ve toplanı giderin minimum olması için her fabrika günde kaç saat çalışıtırılmalıdır? Minimum gider nedir? Çözüm: İstanbul İzmir Mersin Minimum Normal: N 20 10 20 300 Diyet : D 10 10 20 200 Gider : D 700 750 900 Tablo 11.1: Soru 10-3 M(x 1, x 2, x 3 ) = 700x 1 + 750x 2 + 900x 3 20x 1 + 10x 2 + 20x 3 30 10x 1 + 20x 2 + 20x 3 30 x 3 0 Denkleminkatsayılarını sadeleştirebiliriz: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 x 3 9 Sistemin ekli katsayılar matrisi ile transpozunu yazalım:
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 239 Asıl Problem: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 Dual Problem: 2y 1 + y 2 700 y 1 + 2y 2 750 2y1 2 y 2900 M(y 1, y 2 ) = 30y 1 + 30y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 + x 1 = 10 y 2 + x 2 = 13 30y 1 20y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: x 1 2 1 1 1 0 0 700 x 2 1 2 0 0 1 0 750 x 3 2 2 0 0 0 1 900 K 30 20 0 0 0 0 0 x 1 1 1/2 1/2 0 0 0 350 x 2 0 3/2 1/2 1 0 0 400 x 3 0 1 1 0 1 0 200 K 0 5 15 0 0 1 10500 x 1 1 0 1 0 1/2 0 150 x 2 0 0 1 1 3/2 0 100 x 3 0 1 1 0 1 0 200 K 0 10 10 0 5 0 11500 Çözüm : x 1 = 10, x 2 = 0, x 3 = 5, M = 1500 çıkar. Buna göre; İstanbul daki fabrika 10 saat, İzmir deki fabrika hiç çalışmamalı çalışmalı. Minimum gider: M = 11500 olur.
240 BÖLÜM 11. DERS 11 b) Şirketin yeni bir bağlantısı sonucu, diyet türü dondurmadan üretilmesi gereken en az miktar da 300 kg a yükseliyor. Bu değişim üretim planım ve minimum gideri nasıl etkiler? Çözüm: M(x 1, x 2, x 3 ) = 700x 1 + 750x 2 + 900x 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 x 3 9 Asıl Problem: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 Dual Problem: 2y 1 + y 2 700 y 1 + 2y 2 750 2y1 2 y 2900 M(y 1, y 2, y 3 ) = 30y 1 + 20y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Sistemin ekli katsayılar matrisi ile transpozunu yazalım: A = 2 1 2 30 1 2 2 30 700 750 900 1 A T = 2 1 700 1 2 750 2 2 900 30 30 1 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 30y 1 + 30y 2 2y 1 + y 2 + x 1 = 700 y 1 + 2y 2 + x 2 = 750 2y 1 + 2y 2 + x 3 = 900 30y 1 30y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu:
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 241 x 1 2 1 1 0 0 0 700 x 2 1 2 0 1 0 0 750 x 3 2 2 0 0 1 0 900 K 30 30 0 0 0 1 0 x 1 1 1/2 1/2 0 0 0 350 x 2 0 3/2 1/2 1 0 0 400 x 3 0 1 1 0 1 0 200 K 0 15 15 0 0 1 10500 x 1 1 0 1 0 1/2 0 250 x 2 0 0 1 1 3/2 0 100 x 3 0 1 1 0 1 0 200 K 0 0 0 0 15 1 13500 Çözüm : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 15 için M = 13500 çıkar.
242 BÖLÜM 11. DERS 11 4. Soru 4 Ders Bir un fabrikatörü Konya ve Afyon dan buğday satın alıp Ankara ve Aydın daki fabrikalarına taşıyor ve un üretiyor. Konya ve Afyon daki siloların depolama kapasitesi (ton olarak) ve bu şehirlerden Ankara ve Aydın a fon başına taşıma maliyeti (Tl. olarak) ve ayrıca Ankara ve Aydın daki fabrikaların, siparişleri gereği mutlaka işlemeleri gereken buğday miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tasıma maliyeti minimum olacak şekilde bir taşıma programı yapınız. Ankara Aydın silo kapaistesi Konya 220 380 700 Afyon 460 240 500 Zorunlu miktar 400 600 Tablo 11.2: Soru11-4 Çözüm: M(x 1, x 2, x 3, x 4 ))220x 1 + 380x 2 + 460x 3 + 240x 4 x 1 + x 2 700 x 3 + x 4 500 x 1 + x 3 400 x 2 + x 4 600 x 3 0 x 4 0 Eşitsizlik yönlerini aynı kılmak için sistemi aşağıdaki gibi yazabiliriz: x 1 x 2 700 x 3 x 4 500 x 1 + x 3 400 x 2 + x 4 600 x 3 0 x 4 0
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 243 Bu kısıtlar altında M fonksiyonunu minimixe etmeliyiz. Sistemim ekli katsayılar matrisi ve onun transpozu aşağıdaki gibidir: A = 1 1 0 0 700 0 0 1 1 500 0 0 1 0 A400 T = 0 1 0 1 600 220 380 460 240 1 1 0 1 0 220 1 0 0 1 380 0 1 1 0 460 0 1 0 1 240 700 500 400 600 1 Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 + y 3 220 y 1 + y 4 380 y 2 + y 3 460 y 2 + y 4 240 y 1, y 2, y 3, y 4 0 Bu sisteme aylak değikenleri ekleyerek aşğıdaki sistemi yazabiliriz: y 1 + 0 + y 3 + 0 + x 1 = 220 y 1 + 0 + 0 + y 4 + x 2 = 380 0 y 2 + y 3 + 0 + x 3 = 460 0 y 2 + 0 + y 4 + x 4 = 240 700y 1 + 500y 2 400y 3 600y 4 + K = 0 Bunun çözümü için simplex yöntemini uygulayacağız: y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 220 x 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 380 x 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 460 x 4 0 1 0 1 0 0 0 1 0 240 K 700 500 400 600 0 0 0 0 1 0 y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 220 x 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 140 x 3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 460 x 4 0 1 0 1 0 0 0 1 0 240 K 700 100 400 0 0 0 0 600 1 144000
244 BÖLÜM 11. DERS 11 y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 220 x 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 140 x 3 1 1 0 0 1 0 1 0 0 240 x 4 0 1 0 1 0 0 0 1 0 240 K 300 100 0 0 400 0 0 600 1 232000 y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 220 x 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 140 x 3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 380 x 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 380 K 200 0 0 0 400 100 0 500 1 246000 Çözüm: x 1 = 400, x 2 = 100, x 3 = 0, x 4 = 500 için M = 246000 olur.
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 245 5. Soru 5 Bir büyük şehrin A, B, C ve D semtlerinden her birinde birer adet lise bulunmaktadır. A ve B semtlerinden her birinde o semtin lisesinin kapasitesinden daha fa/!a; C ve D semtlerinin her birinde ise o semtin lisesinin kapasitesinden daha a/, öğrenci olduğu saptanmıştır. Bu nedenle, A ve B semtlerindeki öğrencilerin bir kısmının C ve D semtlerindeki liselere taşınması gerekmektedir. A semtinde, lisenin kapasitesinden 300 fazla; B semtinde, lisenin kapasitesinden 500 fazla öğrenci vardır. C semtindeki lise, diğer semtlerden en çok 400 öğrenci; D semtindeki lise, diğer senitlerden en çok 500 öğrenci kabul edebilecek durumdadır. Bir öğrencinin bir semtten diğer bir semte taşınmasının»unluk maliyeti aşağıdaki gibi verilmiştir: A semtinden (l semtine ISO Kr A semtinden D semtine 120 Kr, lî semtinden C semtine 130 Kr, B semtinden D semtine 140 Kr. Öğrencilerin liselere dengeli biçimde dağıtılabilmeleri için her semtten diğerine kaç öğrenci taşınmalıdır7 Minimum malivet ne olacaktır?
246 BÖLÜM 11. DERS 11 6. Soru 6 Bir hastanenin diyet uzmanı, bir hastasi için X, Y, Z besinlerini kullanarak bir diyet hazırlamak istiyor. X besininin her ölçeğinde, 20 birim kalsiyum, 10 birim demir, 10 birim A vitamini ve 20 birini kolesterol vardır. Y besininin her ölçeğinde, 10 birim kalsiyum, İÜ birim demir, 15 birim A vitamini ve 24 birim kolesterol vardır. Z- besininin her ölçeğinde, 10 birim kalsiyum, 10 birim demir, 10 birim A vitamini ve 18 birim kolesterol vardır. Hastanın günlük minimum gereksinimi, 300 birim kalsiyum, 200 birim demir ve 240 birim A vitaminidir. Hastanın günlük gereksinimini minimum Kalsiyum Demir A Vitamini Kolestrol X 20 10 10 20 Y 10 10 15 24 Z 10 10 10 18 Min 300 200 240 Tablo 11.3: Soru 10-6 M(x 1, x 2, x 3 ) = 20x 1 + 24x 2 + 18x 3 fonksiyonunun 20x 1 + 10x 2 + 10x 3 300 10x 1 + 10x 2 + 10x 3 200 10x 1 + 15x 2 + 10x 3 240 x 3 0 kısıtları altındaki minimmum değerini bulacağız. Önceki problemlerde yaptığımız gibi, asıl ve dual problemleri yazıp, aylak değişkenleri kulanarak sistemi yeniden yazarsak, katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibi olur: A = 20 10 10 300 10 10 10 200 10 15 10 240 20 24 18 1 A T = 20 10 10 20 10 10 15 24 10 10 10 18 300 200 240 1
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 247 K (y 1, y 2, y 3 ) = 300y 1 + 200y 2 + 240y 3 20y 1 + 10y 2 + 10y 3 20 10y 1 + 10y 2 + 15y 3 24 10y 1 + 10y 2 + 10y 3 18 y 1, y 2, y 3 0 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 20 10 10 1 0 0 0 20 x 2 10 10 15 0 1 0 0 24 x 3 10 10 10 0 0 1 0 18 K 300 200 240 0 0 0 1 0 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/2 1/2 1/20 0 0 0 1 x 2 0 5 10 1/2 1 0 0 14 x 3 0 5 5 1/2 0 1 0 8 K 0 50 90 15 0 0 1 300 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/2 1/2 1/20 0 0 0 1 x 2 0 1/2 1 1/20 1/10 0 0 14/10 x 3 0 5 5 1/2 0 1 0 8 K 0 50 90 15 0 0 1 300 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 0 1/4 0 3/40 1/20 0 0 3/10 x 2 0 1/2 1 1/20 1/10 0 0 14/10 x 3 0 5/2 0 1/4 1/2 1 0 1 K 0 5 0 21/2 9 0 1 426 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/4 0 3/40 1/20 0 0 3/10 x 2 0 1/2 1 1/20 1/10 0 0 14/10 x 3 0 1 0 1/10 1/5 2/5 0 2/5 K 0 5 0 21/2 9 0 1 426 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 0 0 1/10 0 1/10 0 1/5 x 2 0 0 1 0 1/5 1/5 0 12/10 x 3 0 1 0 1/10 1/5 2/5 0 2/5 K 0 0 0 10 8 2 1 428 Çözüm: x 1 = 10, x 2 = 8, x 3 = 2 için min değer M = 428 olur.
248 BÖLÜM 11. DERS 11 7. Soru 7 Bir gıda şirketi, Edirne, Kars ve Urfa daki fabrikalarında beyaz peynir ve kaşar peyniri üretiyor. Bir iş saatinde, Edirne deki fabrika 20 kg beyaz peynir ve 20 kg kaşar peyniri; Kars taki fabrika, 10 kg beyaz peynir ve 20 kg kaşar peyniri; Urfa daki fabrika ise 20 kg beyaz peynir ve 10 kg kaşar peyniri üretiyor. Bu fabrikaların bir saatlik çalışma maliyetleri, sırasıyla, 900, 750, 700 TL dir. Şirket, bağlantıları gereği, günde en az 500 kg beyaz peynir ve en az 300 kg kasar peyniri üretmek zorundadır. Şirketin, gerekli liretimi minimum masrafla gerçekleştirebilmesi için her bir fabrika günde kaç saat çalışmalıdır? Çözüm: Beyaz Kaşar Maliyet Edirne 20 20 900 Kars 10 20 750 Urfa 20 10 700 Min 500 300 Tablo 11.4: Soru 10-7 M(x 1, x 2, x 3 ) = 900x 1 + 750x 2 + 700x 3 fonksiyonunun 20x 1 + 10x 2 + 20x 3 500 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 300 x 3 0 kısıtları altındaki extrem değerlerini arayacağız. Önceki problemlerde yaptığımız gibi, asıl ve dual problemleri yazıp, aylak değişkenleri kulanarak sistemi yeniden yazarsak, katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibi olur: A = 20 10 20 500 20 20 10 300 750 700 1 A T = 20 20 900 10 20 750 20 10 700 500 300 1
11.1. ALIŞTIRMALAR 11 249 K (y 1, y 2 ) = 500y 1 + 300y 2 20y 1 + 20y 2 900 10y 1 + 20y 2 750 20y 1 + 10y 2 700 2 2 1 0 0 0 90 1 2 0 1 0 0 75 2 1 0 0 1 0 70 500 300 0 0 0 1 0 2 2 1 0 0 0 90 1 2 0 1 0 0 75 1 1/2 0 0 1/2 0 35 500 300 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 20 0 3/2 0 1 1/2 0 40 1 1/2 0 0 1/2 0 35 0 50 0 0 250 1 175 0 1 1 0 1 0 20 0 0 3/2 1 1 0 10 1 0 1/2 0 1 0 25 0 0 50 0 200 1 1175 Çözüm : x 1 = 50, x 2 = 0, x 3 = 200 için M = 1175 çıkar.